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第二章 直线和圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
学案
学习目标
1.掌握确定圆的几何要素.
2.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.
3.能够应用圆的方程解决简单的数学问题.
知识汇总
1.圆的几何要素：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 在平面直角坐标系中，一个圆的圆心坐标和半径确定，圆就唯一确定.
2.圆的标准方程：称为圆心为，半径为r的圆的标准方程.
3.点与圆的位置关系：点在圆内，则；在圆外，则.
习题检测
1.若一圆的圆心坐标为，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
2.若直线始终平分圆的周长，则等于( )
A.3 B.2 C.5 D.1
3.若点在圆的内部，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.若点在圆的内部，则实数a的取值范围是___________.
5.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且到直线的距离等于半径长，则圆C的标准方程为__________.
6.圆关于直线对称的圆的方程为____________.
7.已知圆.
（1）若点在圆上，求a的值；
（2）若点到圆C上点的距离的最小值为1，求a的值；
（3）若点与中，有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围.
8.已知圆P过点，.
（1）若圆P还过点，求圆P的标准方程；
（2）若圆心P的纵坐标为2，求圆P的标准方程.
答案以及解析
1.答案：A
解析：易知直径两端点的坐标分别为，，可得圆的半径为，因为圆心坐标为，所以所求圆的标准方程是.故选A.
2.答案：A
解析：由题可知，圆心在直线上，所以，即.故选A.
3.答案：B
解析：因为点在圆的内部，所以，解得.故选B.
4.答案：
解析：，因为点M在圆的内部，所以，又，
所以.故实数a的取值范围是.
5.答案：
解析：设圆心坐标为，且，则点到直线的距离为2，即，所以，解得或（舍去），则圆C的标准方程为.
6.答案：
解析：圆的圆心为，设对称圆的圆心坐标为，
由题意得，解得，所以对称圆的圆心坐标为，又半径为，所以对称圆的方程为.
7.解析：（1）因为点在圆上，所以.
（2）设M为圆C上任意一点，，
则，所以或.
（3）因为，，，
故点P在圆外，点Q在圆内，所以.
8.答案：（1）设圆P的标准方程是，
则，解得，
故圆P的标准方程为.
（2）由圆的对称性，可知圆心P的横坐标为，故圆心，
故圆P的半径，
故圆P的标准方程为.
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