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第二章 直线和圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
学案
学习目标
1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.
2.能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.
3.初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法.
知识汇总
1.圆的一般方程：方程叫做圆的一般方程，且，为圆心，为半径.
2.（1）当时，方程表示以为圆心，为半径的圆；
（2）当时，方程表示一个点；
（3）当时，方程没有实数解，不表示任何图形.
习题检测
1.圆的圆心坐标和半径分别为( )
A.和4 B.和4
C.和 D.和
2.圆关于直线对称，则( )
A. B.
C. D.
3.已知点P，Q在圆上，且点P，Q关于直线对称，则该圆的半径为( )
A. B. C.1 D.
4.经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为( )
A. B.
C. D.
5.已知定点在圆的外部，则a的取值范围为___________.
6.如果圆的方程为，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为__________.
7.已知圆的方程是.
(1)若，求此圆的圆心和半径；
(2)若圆心落在圆内，求实数m的取值范围；
(3)求证：当时，方程所表示的圆的圆心在同一条直线上.
8.设方程.
(1)当且仅当m在什么范围内时，该方程表示一个圆
(2)当m在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程；
(3)在该方程表示圆的情况下，求圆心的轨迹方程.
答案以及解析
1.答案：C
解析：方程可化为.由圆心为，半径，易知圆心的坐标为，半径为.故选C.
2.答案：C
解析：由可知圆心坐标为，因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，所以，即.故选C.
3.答案：B
解析：由点P，Q在圆上，且点P，Q关于直线对称，可知直线经过圆心，故，解得，所以圆的方程为，化为标准方程为，所以该圆的半径为.故选B.
4.答案：D
解析：设圆的方程为.因为圆心在x轴上，所以，即.又圆经过点和，所以，即，解得，故所求圆的一般方程为.故选D.
5.答案：
解析：因为点在圆的外部，所以，所以，所以a的取值范围为.
6.答案：
解析：圆的方程可化为，所以半径，所以当时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程为，即，所以当圆的面积最大时，圆心坐标为.
7.解析：(1)将圆的方程化为标准形式，
由，可知圆心为，半径为.
(2)由圆心，半径，
可知，，解得.
(3)由(2)知，当时，方程表示圆，
设圆心坐标为，可得，
消去参数m，得圆心的轨迹是直线.
由此可知，方程所表示的圆的圆心在同一条直线上.
8.解析：(1)由，得，
化简得，解得.
所以当时，该方程表示一个圆.
(2)，
当时，.
(3)设圆心，则，
消去m得，
因为，所以，
故所求的轨迹方程为.
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