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第二章 直线和圆的方程
2.5.1 直线与圆的位置关系
学案
学习目标
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
3.逐步理解用代数方法处理几何问题的基本思想和方法.
知识汇总
1.直线与圆的位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点.
2.在平面直角坐标系中，要判断直线与圆的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系.若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.
习题检测
1.对任意的实数k，直线与圆的位置关系一定是( )
A.相离 B.相切
C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
2.若直线l与圆相切于点，则直线l的方程为( )
A. B.
C. D.
3.若直线与圆没有公共点，则实数m的取值范围是( )
A. B.或
C.或 D.
4.若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为( )
A.0或4 B.0或3 C.或6 D.或
5.一束光线从点射出，经x轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A.或 B.或 C.或 D.或
6.（多选）已知圆，则( ).
A.圆M可能过原点
B.圆心M在直线上
C.圆M与直线相切
D.圆M被直线所戴得的弦长为
7.过点且与圆相切的直线的方程为__________________.
8.如图所示是一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱桥顶部离水面2m，水面宽12m，若水面下降1m，则水面的宽为_______________m.
9.已知圆，直线.
(1)求证：不论m取什么实数，直线l与圆恒有两个不同的交点；
(2)若直线l被圆C截得的弦长最小，求此时l的方程.
10.已知点，直线及圆.
（1）求过点M的圆的切线方程；
（2）若直线与圆相切，求a的值；
（3）若直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：直线恒过定点，由定点在圆内，知直线与圆一定相交.又直线不过圆心，所以位置关系是相交但直线不过圆心，故选C.
2.答案：D
解析：由题意，得点P在圆上，且点P与圆心的连线的斜率是，则切线l的斜率是，则切线方程为，即为.故选D.
3.答案：B
解析：圆的圆心为，半径为2，由题意得，圆心到直线的距离，或.故选B.
4.答案：A
解析：由圆的方程，可知圆心坐标为，半径.又直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离.又，所以，解得或.故选A.
5.答案：C
解析：圆的方程可化为，易知关于x轴对称的点为，如图所示，易知反射光线所在直线的斜率存在，设为k，其方程为，即，依题意得，圆心到反射光线所在直线的距离，化简得，解得或.故选C.
6.答案：ABD
解析：圆，圆心为，半径为1，若圆M过原点，则，解得或，故A正确；
因为，所以圆心M在直线上，故B正确；
圆心到直线的距离，故圆M与直线相离，故C错误；
圆心到直线的距离，所以圆M被直线截得的弦长，故D正确.故选ABD.
7.答案：或
解析：易知点在圆外，当切线的斜率存在时，设国的切线方程为，由圆心到切线的距离等于半径，得，所以切线方程为.当切线的斜率不存在时，切线方程为.
综上，所求直线的方程为或.
8.答案：
解析：如图，建立平面直角坐标系，
设初始水面在AB处，则由已知得，设圆C的半径长为，则，故圆C的方程为，将代入，得，所以圆C的方程为.① 当水面下降1m到时，设.将代入①式，得，所以水面下降1m后，水面宽为m.
9.解析：(1)将直线l的方程改写成，
因为，所以，解得，，
可知直线l恒过定点，
因为圆心，半径，易得，
因此点A必在圆C内，故直线l与圆恒有两个不同的交点.
(2)由图形位置关系可知，当弦长最小时，必有，
因为，则，
从而，得，故直线l的方程为.
10.解析：（1）由题意得，圆心，半径.
当直线的斜率不存在时，方程为.
由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切.
当直线的斜率存在时，设方程为，即.
由题意知圆心到直线的距离，解得，
方程为.
故过点M的圆的切线方程为或.
（2）由题意得，圆心到直线的距离为，
解得或.
（3）圆心到直线的距离为，
，
解得.
2

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