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第二章 直线和圆的方程
2.5.2 圆与圆的位置关系
学案
学习目标
1.能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系.
2.能用圆的方程解决一些简单的问题.
3.进一步体会用代数方法处理几何问题的思想方法.
知识汇总
圆与圆的位置关系：
（1）两圆相交，有两个公共点；
（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.
习题检测
1.圆和圆的位置关系是( ).
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
2.圆和圆相交，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.已知圆，，则这两圆的公共弦长为( )
A.2 B. C.2 D.1
4.已知圆与圆相外切，则m的值为( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
5.（多选）已知圆和圆，则( ).
A.两圆的圆心的距离为25
B.两圆相交
C.两圆的公共弦所在直线的方程为
D.两圆的公共弦长为
6.已知，若圆与圆外切，则__________.
7.已知圆，圆，则两圆的公切线条数是_________.
8.圆与圆的交点为A，B，则弦AB的长为_____.
9.已知两圆，.
（1）m取何值时两圆外切？
（2）m取何值时两圆内切？
（3）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
10.已知圆与相交于A，B两点.
（1）求公共弦AB所在直线的方程；
（2）求圆心在直线上且经过A，B两点的圆的方程；
（3）求经过A，B两点且面积最小的圆的方程.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题可知圆心，，半径，，因为，所以两圆相交.故选B.
2.答案：D
解析：的圆心，半径，的圆心，半径，连接，因为两圆相交，所以，即，解得或，故选D.
3.答案：C
解析：由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离，所以这两圆的公共弦的弦长为.故选C.
4.答案：A
解析：由圆，可得，则，所以，所以圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为1，又圆与圆相外切，则，解得.故选A.
5.答案：BD
解析：圆的圆心的坐标为，半径，圆的圆心的坐标为，半径，则圆心距，故A错误；因为，，，，所以两圆相交，故B正确；两圆方程相减得，故两圆的公共弦所在直线的方程为，故C错误；圆心到直线的距离为，由垂径定理得两圆的公共弦长为，故D正确.故选BD.
6.答案：3
解析：圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为，两圆外切，则，因为，解得.
7.答案：2
解析：由，得，可得圆的圆心坐标为，半径为3，由，得，可得圆的圆心坐标为，半径为2，所以两圆的圆心距，则，故两圆相交，其公切线的条数为2.
8.答案：
解析：圆与圆联立可得公共弦的方程为，变形为，故的圆心为，半径为，而满足，故弦AB的长为圆的直径，故弦AB的长为.
9.解析：（1）由已知可得两个圆的方程分别为，，
两圆的圆心距，两圆的半径之和为，
由两圆的半径之和为，可得.
（2）由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为，
即，
可得(舍去)，或，
解得.
（3）当时，两圆的方程分别为，，
把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为.
第一个圆的圆心到公共弦所在的直线的距离为，
可得弦长为.
10.解析：（1）两圆方程相减，得公共弦AB所在的直线方程为.
（2）设经过A，B两点的圆的方程为，
即，
由圆心在直线上，得，
代入整理得所求圆方程为.
（3）法1：由（2）知，，
令，得，
当，即时，r有最小值，面积如有最小值，
此时圆的方程为.
法2：解方程组，得，.
经过A，B两点且面积最小的圆必是以AB为直径的圆，
圆的方程为，
即.
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