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第三章 圆锥曲线的方程
3.1.1 椭圆及其标准方程
学案
学习目标
1.掌握椭圆的定义、标准方程.
2.通过对标准方程的推导，进一步体会数形结合的思想.
知识汇总
1.椭圆的定义：平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
2.椭圆的标准方程：
①方程表示焦点在x轴上的椭圆的标准方程，两个焦点分别是，，且.
②方程表示焦点在y轴上的椭圆的标准方程，两个焦点分别是，，且.
习题检测
1.椭圆的焦点坐标是( )
A.， B.，
C.， D.，
2.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为( )
A. B. C. D.
3.“”是“方程表示椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.椭圆上一点M到左焦点，的距离是2，N是的中点，O是坐标原点，则( )
A.8 B.4 C.3 D.2
5.（多选）已知，为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是( )
A.的最大值大于3
B.的最大值为4
C.的最大值为60°
D.若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A、B两点，P为l上满足的点，则点P的轨迹方程为或
6.设椭圆过点，则焦距等于____________.
7.已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的方程为________.
8.设，分别是椭圆的左、右焦点，当时，点P在椭圆上，且，，求椭圆的标准方程.
9.已知椭圆M与椭圆有相同的焦点，且椭圆M过点.
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设椭圆M的左、右焦点分别为，，点P在椭圆M上，且的面积为1，求点P的坐标.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为椭圆的方程为，所以，且焦点在y轴上，所以焦点坐标为，.故选C.
2.答案：A
解析：设所求椭圆方程为，则，且，解得，，故所求椭圆方程为.故选A.
3.答案：B
解析：当方程表示椭圆时，必有，所以且，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.
4.答案：B
解析：设椭圆的右焦点为，连接，NO，如图所示.
由椭圆的定义得，，，
又O是的中点，N是的中点，，故选B.
5.答案：BCD
解析：由椭圆方程得，，，因此，，对于A，，故A错误；对于B，，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，当点M为短轴的端点时，取得最大值，取，则，，的最大值为60°，故C正确；对于D，设，，，，，，即或，又由题意知，或，化简得或，故D正确.故选BCD.
6.答案：
解析：因为椭圆过点，所以将其代入，得，所以，，故焦距.
7.答案：
解析：分析知，，由椭圆的定义，得①.在中，②.由①②得，所以.故椭圆C的方程为.
8.解析：，，.
又，.
由椭圆的定义可知，
，
，.
椭圆的标准方程为.
9.解析：（1）由题意知椭圆N的焦点为，.
设椭圆M的方程为，
则，化简并整理得，
解得或（舍去），所以，
故椭圆M的标准方程为.
（2）由（1）知，，
设，则的面积为，所以.
又，所以，解得，
所以满足条件的点P有4个，坐标分别为，，，.
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