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第四章 数列
4.1 数列的概念
学案
学习目标
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法（列表、图象、通项公式）以及数列的分类.
2.了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质.
3.理解数列的通项公式的意义，了解数列的递推公式，了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同.
4.理解数列的前n项和，并能用数列的前n项和求出数列的通项公式.
知识汇总
1.数列的相关概念及分类：一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示.其中第1项也叫做首项.
2.数列的符号表示：数列的一般形式是，，…，，…，简记为.
3.从函数角度看数列：
（1）从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数：
定义域 正整数集N*（或它的有限子集）
解析式 数列的通项公式
值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成
表示方法 （1）通项公式（解析法）；（2）列表法；（3）图象法
（2）数列的单调性：与函数类似，可以定义数列的单调性，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列. 特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
4.数列的通项公式：如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
5.数列的递推公式：若一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子叫做这个数列的递推公式. 知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
6.数列的前n项和：
①数列的前n项和的定义：数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前n项和，记作，即.
②数列的前n项和公式：如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式.
③由求通项公式：，，所以
习题检测
1.若数列的前4项分别是，，，，则此数列一个通项公式为( ).
A. B. C. D.
2.在数列中，，(，)，则( ).
A. B. C.2 D.6
3.已知数列中，，若为递增数列，则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
4.已知数列满足(，)，，是的前n项和，则( ).
A. B. C.6 D.10
5.（多选）已知数列，则前六项适合的通项公式为( ).
A. B.
C. D.
6.已知数列的前n项和，且，则___________.
7.数列中，，，，则__________.
8.已知数列的前n项和为，点均在函数的图象上，则数列的通项公式为__________.
9.（1）已知数列的通项公式为，若数列为递增数列，求的取值范围；
（2）已知数列的通项公式为，求数列的最大项.
10.已知数列的前n项和为.
（1）当取最小值时，求n的值；
（2）求出的通项公式.
答案以及解析
1.答案：A
解析：设所求数列为，可得出，，，，因此该数列的一个通项公式为.故选A.
2.答案：D
解析：因为，(，)，所以，则，故.故选D.
3.答案：A
解析：由已知得，因为为递增数列，所以有，即恒成立，所以，则只需，即，所以.故选A.
4.答案：A
解析：因为，所以，故.故选A.
5.答案：AC
解析：A：取前六项得0，2，0，2，0，2，满足条件.
B：取前六项得0，-2，0，2，0，-2，不满足条件.
C：取前六项得0，2，0，2，0，2，满足条件.
D：取前六项得0，2，2，8，12，22，不满足条件.故选AC.
6.答案：
解析：因为，所以，则.
当时，，不符合上式，所以
7.答案：-4
解析：因为，，，所以有，，，，，数列是以6为周期的周期数列，故.
8.答案：
解析：依题意得，即，当时，，因为满足，所以数列的通项公式为.
9.解析：（1）由已知，只需，所以.
（2）由，得，
所以当时，数列为递增数列，当时，数列为递减数列，
从而为数列的最大项.
10.解析：（1），
因为，所以当或时，取最小值.
（2）当时，.
当时，.
验证得当时，满足上式，所以.

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