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第二十二章 二次函数
22.1.4.1二次函数的图象和性质
学案
一、学习目标
1.会用配方法或公式法将一般式化成顶点式.
2.会熟练求出二次函数一般式的顶点坐标，对称轴等性质
二、基础知识
1.我们如何用配方法将一般式化成顶点式？
.
2.抛物线的顶点坐标是：.
对称轴是：直线
如果，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
如果，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.
3.二次函数的图象与系数的关系
①a决定开口方向：开口向上；开口向下；
②同号对称轴在y轴的左侧；异号对称轴在y轴的右侧；
③经过原点；与y轴的交点位于x轴的上方；与y轴的交点位于x轴的下方；
④当时，y的值为，当时，y的值为.
⑤当对称轴时，，，此时；
当对称轴时，，，此时.
因此，判断的符号，需判断对称轴与1的大小，若对称轴在直线的左边，则，再根据a的符号即可得出结果；判断的符号，同理需判断对称轴与的大小.
三、巩固练习
1.如果在二次函数的表达式中，，，，那么这个二次函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
2.对于二次函数的图像，下列说法错误的是( )
A.开口向上
B.与x轴有两个交点
C.抛物线的顶点坐标是
D.当时，y随x的增大而减小
3.已知抛物线 上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表:
x -1 0 1 2 3
y 3 0 -1 m 3
以下结论中错误的是
A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线
C. m的值为 0 D. 图象不经过第三象限
4.在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的( )
A. B. C. D.
5.将抛物线向左平移2个单位长度，所得抛物线为__________.
6.已知点，是抛物线 上的两点, 则m,n的大小关系为_______.
7.在二次函数的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是___________.
8.如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点，是抛物线上不同的两点且，求的最小值．
9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线(b，c是常数)经过点，点.点P在此抛物线上，其横坐标为m.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围.
(3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为，求m的值.
答案
巩固练习
1.答案：B
解析：由，，，推出，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断。
，，，
，
抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴.故选B.
2.答案：D
解析：A.二次函数中，，则，
抛物线开口向上，故选项正确，不符合题意；
B.当时，，
对于方程来说，
，
方程有两个不相等的实数根，则二次函数的图像
与x轴有两个交点，故选项正确，不符合题意；
C.，
抛物线的顶点坐标是，故选项正确，不符合题意；
D.，
抛物线的对称轴是，
，
抛物线开口向上，
当时，y随x的增大而增大，故选项错误，符合题意.故选D.
3.答案：B
解析：由表格中数据可知, 当或3时, 3 , 故抛物线的对称轴是直线. 点关于抛物线的对称轴的对称点为点, 即抛物线一定经过点, 故. 描点画出大致图象可知, 该拋物线开口向上, 且不经过第三象限. 故选B.
4.答案：C
解析：A.由抛物线的开口方向向下知，抛物线与y轴交于负半轴知，则，故本选项错误；
B.由抛物线与x轴有两个交点知，故本选项错误；
C.由抛物线图的轴对称性质知，抛物线与x轴的另一个交点坐标是点，所以当时，，即，本选项结论正确；
D.由图象可得：对称轴是直线，即，故本选项结论错误；
故选C.
5.答案：
解析：将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，故答案为.
6.答案：
解析：易知抛物线 的对称轴为直线, 点A到对称轴的距离为 2 , 点B到对称轴的距离为1，，抛物线开口向上, 抛物线上 的点到对称轴的距离越小, 点的纵坐标越小,.
7.答案：
解析：二次函数解析式为，
二次函数对称轴为直线，开口向下，
当时，y随x的增大而减少，
故答案为：.
8.解析：（1）设抛物线的表达式为：，
由题意可得：，，
，
，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线，
①若点M、N关于抛物线对称轴对称，则，，
②，
，
，
即的最小值为．
9.解析：(1)将，分别代入，
得解得
故此抛物线的解析式为.
(2)对于，
当时，，解得或，
则此抛物线与x轴的另一个交点坐标为.
结合图象可知，当点P在x轴上方时，m的取值范围为或.
(3)易知抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，.
分以下2种情况讨论.
i.当时，最低点的纵坐标为，
令，
解得，(不合题意，舍去).
ii.当时，最低点的纵坐标为-1，
令，
解得.
综上所述，m的值为或3.
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