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2022-2023学年山东省德州市临邑县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 函数的自变量的取值范围是( )
A. 且 B. 且 C. D. 且
2. 已知，，是中，，的对边，下列说法正确的有个．( )
若，则；
若，则；
若，则；
总有．
A. B. C. D.
3. 下列计算不正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点绕原点逆时针方向旋转得到点，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
5. 下列命题为真命题的是( )
A. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
B. 对角线相等的平行四边形为矩形
C. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是( )
A. B. C. D.
7. 在年的体育学业水平测试中，名学生的一项体育成绩统计如图所示，则这组数据的中位数、方差、众数分别是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
8. 如图，数轴上点对应的数是，点对应的数是，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为( )
A. B. C. D.
9. 对于一元二次方程，下列说法：
若，则；
若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
若是方程的一个很，则一定有成立；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的( )
A. B. C. D.
10. 如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
11. 如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，运动路线是，设点经过的路程为，以点、、为顶点的三角形的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
12. 如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，以为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；按如此规律进行下去，点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 计算的结果是______ ．
14. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
15. 如图，把绕点按顺时针方向旋转，得到，交于点若，则 ．
16. 年，临邑县某单位为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，减少了对办公经费的投入，在两个月内将开支从每月元降到元，若平均每月降低开支的百分率为，则可根据题意列出方程为______ ．
17. 如图所示，直线分别与轴、轴交于点、，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过、两点直线的解析式为______ ．
18. 如图，正方形的对角线，交于点，为上的一点，连接，过点作交的延长线于点，延长交于点，则下列结论：；；点为的中点；；若，则；其中正确的结论有______ 个填正确结论的个数
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
；
先化简，再求值：，其中是方程的根．
20. 本小题分
年月日土耳其发生级地震，牵动世界各国人民的心为进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，现随机抽取部分学生的测试成绩单位：分整理成：，：，：，：四个等级，绘制成如下频数分布表和扇形统计图：
被抽取学生的测试成绩的频数表
等级 成绩分 频数人 各组总分分
根据以上信息，解答下列问题：
填空： ， ；
此次被抽取学生的测试成绩的中位数落在 等级，求此次被抽取学生的测试成绩的平均数；
如果分以上含分为优秀，请估计全校名学生中此次测试成绩优秀的学生人数．
21. 本小题分
如图，在中，，，分别是边，的中点，，点在的延长线上，且．
求证：四边形为菱形；
连接与相交于点，若，求的长．
22. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为．
求、的值；
请直接写出不等式的解集；
若点在上，且满足，求点的坐标．
23. 本小题分
如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使得，连接，
求证：四边形是矩形；
连接，若，，求的长．
24. 本小题分
近年来，预制菜消费持续升温，它既满足了消费者的需要，也不断拓展着饮食行业的发展某餐饮平台计划推出和两种预制菜品，已知售出份菜品和份菜品可获利元，售出份菜品和份菜品可获利元．
求每份菜品、的利润；
根据销售情况，该餐饮平台每日都能售完、两种菜品共份，且菜品的数量不高于菜品数量的，应该如何进货才能使总利润最高？最高利润是多少？
25. 本小题分
如图，正方形边长为，点在边上点与点、不重合，过点作，垂足为，与边相交于点．
求证：≌；
若的面积为，求的长；
在的条件下，取，的中点，，连接，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，且，
解得且；
故选：．
二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不等于，据此得出不等式求解即可．
本题考查求自变量的取值范围，涉及二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，不等式的求解，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，，是中，，的对边，
若，则；若，则；若，则；
故正确；
只有当时才有，
故错误，
故选：．
根据勾股定理逐一判断即可求解．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，故选项A正确，不符合题意；
，故选项B不正确，故选项B符合题意；
，故选项C正确，不符合题意；
，故选项D正确，不符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：过点作轴，过点作轴，
点的坐标为，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
点的坐标为，
故选：．
利用图象法解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．
5.【答案】
【解析】解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是假命题，不符合题意；
B.对角线相等的平行四边形为矩形，是真命题，符合题意；
C.一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，是假命题，不符合题意；
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是假命题，不符合题意；
故选：．
根据正方形、矩形、平行四边形、菱形的判定定理逐项分析判断即可求解．
本题考查了正方形、矩形、平行四边形、菱形的判定定理，熟练掌握正方形、矩形、平行四边形、菱形的判定定理是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：因为与，
所以时，两函数的值都是，
所以两直线的交点的横坐标为，
若，则一次函数与的图象都是随的增大而增大，且都交轴的正半轴；
若，则一次函数的图象中随的增大而减小，交轴的正半轴，的图象中随的增大而增大，交轴的负半轴，且两直线的交点的横坐标为；
故选：．
利用一次函数的性质进行判断．
此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
7.【答案】
【解析】解：这组数据从小到大依次为、、、、、，
最中间两个数的平均数是，则中位数是；
出现次，次数最多，所以众数为，
这组数据的平均数是：，
则方差是：．
故选：．
根据中位数和众数的定义、方差公式分别进行解答即可．
本题考查了众数和中位数、方差的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
8.【答案】
【解析】解：数轴上点对应的数是，点对应的数是，
，
，
，
由勾股定理得：，
以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，
，
点在点的左侧，
点表示的数为：，
故选：．
由勾股定理得，再由作图得，然后由点在点的左侧即可得出答案．
本题考查了勾股定理、实数与数轴等知识，由勾股定理求出的长是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：若，则是方程的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：，故正确；
方程有两个不相等的实根，
，
则方程的判别式，
方程必有两个不相等的实根，故正确；
是方程的一个根，
则，
，
若，等式仍然成立，
但不一定成立，故不正确；
若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：，
，
，故正确．
故正确的有，
故选：．
按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
本题考查了一元二次方程根的判别式，灵活运用根的判别式式解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图所示：连接，
在菱形中，，，
，
，
四边形是矩形，
，
的最小值，
即最小值，
当时，最小，
，
，
，
最小为，
即的最小值为，
故选：．
如图所示：连接，在菱形中，，，得，，由，，可得四边形是矩形，进而得出，当时，最小，即的最小值，即可得出．
本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形是矩形是解此题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
根据动点从点出发，首先向点运动，此时，当点在上运动时，随着的增大而增大，当点在上运动时，不变，当点在上运动时，随着的增大而减小，据此作出选择即可．
本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现随的变化而变化的趋势．
【解答】
解：当点由点向点运动，即时，的值为；
当点在上运动，即时，随着的增大而增大；
当点在上运动，即时，不变；
当点在上运动，即时，随的增大而减小．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得，点的坐标为，
设点的坐标为，
，
解得，，负根舍去
点的坐标为，
同理可得，点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，
故选：．
根据题意可以求得点的坐标，点的坐标，点的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点的坐标．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．
13.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
根据平方差公式和有理数的乘方计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
14.【答案】且
【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且，
的取值范围为且．
故答案为：且．
根据一元二次方程的定义和判别式，得出且，解出不等式，即可得到的取值范围．
本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系．一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
15.【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得出，则，即可得出的度数．
此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理等知识，得出的度数是解题关键．
【解答】
解：把绕点按顺时针方向旋转，得到，交于点，，
，则，
则．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：根据题意列出方程为，
故答案为：．
根据题意列出一元二次方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：对于直线，令，得到，
即，
，
令，得到，即，，
过作轴，可得，
，
为等腰直角三角形，即，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
即，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得．
过、两点的直线对应的函数表达式是，
故答案为：．
过作垂直于轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及，利用得到三角形与三角形全等，由全等三角形对应边相等得到，，由求出的长，即可确定出坐标，然后根据待定系数法即可求得过、两点的直线对应的函数表达式．
本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
故正确；
连接、、，设交于点，则，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
为中点，
故正确；
，，垂直平分，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
故正确；
当逐渐变小时，则的值逐渐变小，而的值逐渐变大，
与不一定相等，
故错误；
作于点，则，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
故正确，
综上所述，这个答案正确，
故答案为：．
由四边形是正方形，得，而，则，所以，因为，所以，可判断正确；
连接、、，设交于点，先证明≌，得，再证明，得，再证明，则，可判断正确；
由，，垂直平分，得，，进而证明≌，得，可判断正确；
当逐渐变小时，则的值逐渐变小，而的值逐渐变大，可知与不一定相等，可判断错误；
作于点，先证明≌，得，再证明，则，即可根据勾股定理求得，可判断正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、同角的余角相等、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：
．
，
是方程的根，
，即，
原式．
【解析】先化简各二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并；
将式子括号内通分，并将分子分母因式分解，再进行约分化简，然后根据一元二次方程的根的定义得出，代入化简的式子即可求解．
本题考查了二次根式的加减运算，分式的化简求值及一元二次方程的解的定义，熟练掌握二次根式加减法运算法则及分式的混合运算法则是解题关键．
20.【答案】
【解析】解：抽取的样本容量为：，
故；
；
故答案为：；；
此次被抽取学生的测试成绩的中位数落在等级，
此次被抽取学生的测试成绩的平均数为：分；
故答案为：；
人，
答：估计全校名学生中此次测试成绩优秀的学生人数大约为人．
用等级的人数除以即可得出样本容量，再用的频数除以样本容量可得的值；用样本容量减去其它等级的频数可得的值；
根据中位数的定义以及平均数的计算方法解答即可；
用全校人数乘样本中分以上含分所占百分比即可．
本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
21.【答案】证明：，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，是边的中点，
，
又，
，
平行四边形为菱形；
解：连接，交于于，如图，
由得：四边形为菱形，
，，
又，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，．
【解析】先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证出，即可得出结论；
由菱形的性质得，，再由等边三角形的性质得，，然后由含角的直角三角形的性质得，，进而得出．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质，证出．
22.【答案】解：把代入得，
点坐标为，
把，代入得，
解得．
由图象可得时，，
的解集为．
如图，当点在点上方使，时，满足题意，
，，
点坐标为．
当点在点下方时，时，满足题意，
此时点坐标为，
综上所述，点坐标为或．
【解析】由点在直线上求出点坐标，再通过待定系数法求解．
由图象求解．
由满足题意求解．
本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
23.【答案】证明：四边形是菱形，
且，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，，
，，，，
，
，
，，
，
，
菱形的面积，
即，
解得：．
【解析】先证四边形是平行四边形，再证出，然后由矩形的判定定理即可得到结论；
由菱形的性质得，，，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，，然后由勾股定理求出，则，最后由菱形的面积，即可求解．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
24.【答案】解：设每份菜品的利润为元，每份菜品的利润为元，
根据题意得，
解得，
答：每份菜品的利润为元，每份菜品的利润为元；
设购进菜品份，总利润为元，
根据题意得，
解得，
，
，
随着的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为元，
份，
答：购进菜品份，菜品份，所获利润最大，最大利润为元．
【解析】设每份菜品的利润为元，每份菜品的利润为元，根据售出份菜品和份菜品可获利元，售出份菜品和份菜品可获利元，列二元一次方程组，求解即可；
设购进菜品份，总利润为元，根据菜品的数量不高于菜品数量的，求出的取值范围，再表示出与的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定最大利润时进货方案，进一步求出最大利润即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键．
25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，即，
，
，
在与中，
，
≌；
解：≌，
可设，
，
，
，
解得或，
或，
或；
解：如图所示，连接并延长交于点，连接，
点是的中点，
，
在正方形中，，
，，
≌，
，或，
当时，，
，
，
是的中点，
是的中位线，
；
当时，，
，
，
同理可得；
综上所述，的长度为或．
【解析】先证得，再利用证明≌即可；
根据全等三角形的性质可设，则，再由得到方程，解方程求出的值，再利用勾股定理求出的长即可；
连接并延长交于点，连接，可证明≌，得到，再根据或，是的中位线，求出的长即可．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
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