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(共75张PPT)
发挥向量方法（坐标法）的“统帅”作用，
体现几何直观与代数运算的融合
——选择性必修第一册教材解读与教学建议
2023年高中数学新教材培训培训课件★★
选择性必修第一册（43）
第一章 空间向量与立体几何（14）
第二章 直线和圆的方程（16）
第三章圆锥曲线的方程（13）
关于选择性必修教材内容安排的顺序
考虑内容之间的逻辑关系；
相关联的（尤其是同一主题）内容尽量就近安排。
几何与代数主题
课标定位：几何与代数是高中数学课程的主线之一。在必修课程与选择性必修课程中，突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。
向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁
用向量“统领”几何与代数主题内容
平面向量：平面几何中的向量方法；余弦定理、正弦定理、解三角形。
复数：复数代数表示（几何意义）、三角表示；复数的运算。
立体几何初步：用向量方法理解判定定理。
空间向量与立体几何：证明判定定理；直线、平面间的位置关系；解决距离、夹角问题。
解析几何：倾斜角引入，斜率公式推导，点到直线距离公式。
一般地，解析几何：向量法是解析几何的返璞归真，是不依赖坐标系的解析几何。(尽管向量法的诞生晚于坐标法）
向量具有统领作用
第一部分
发挥向量方法的“统帅”作用，
体现几何直观与代数运算的融合
——“第一章 空间向量与立体几何”教材解读与教学建议
一、向量及其运算
向量集数与形于一身，向量运算既是数的运算，也是图形的运算。根据图形列出向量等式（关系式），使计算与图形融为一体，这是向量法解决几何问题的关键。
向量具有明确的几何背景，向量的运算具有明显的几何意义，涉及距离、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决，因此应用向量可以解决几何问题。
“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处。初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括。” （F·克莱因 ）
向量的运算，是“带方向的量的运算”。如何对方向进行运算是核心问题。“位移的合成”很好地解释了“两个方向之和”，以此为背景可以定义向量加法的三角形法则；而以“力的合成”为背景又可以定义向量加法的平行四边形法则。
向量加法与三角形一致，三角形是最基本、最重要的几何图形，是整个欧氏几何的基础。
“定义了一种运算就要研究运算律”，向量加法满足交换律、结合律，而交换律就是“平行四边形的两组对边分别平行且相等”的向量表达式。
类比数a的整数倍na是n个a相加的总和，可以定义实数与向量a的乘积a是一个向量，得到向量的数乘运算。
向量的数乘运算满足结合律和分配律：λ(μa)=(λμ)a，
λ(a+b)=λa+λb；(λ+μ)a=λa+μa。
数乘运算的分配律k(a+b)=ka+kb是
“相似三角形对应边的比等于相似比”
的代数化形式。
由向量a与a共线，由此，两个非零向量a，b共线（平行）的充要条件是a=b。
以物理中力做功为背景，可以定义向量的数量积。（欧氏空间）
向量的数量积满足交换律、结合律、分配律。
a b= b a；（λa） b=λ（a b）；
（a+b） c=a c + b c。（用投影向量加以证明）
余弦定理就是平面向量的数量积。
向量的投影（向量）与向量的数量积
（= (a ) ）
其中相同的单位向量
证明分配律（a+b） c=a c + b c；
向量的投影、数量积与距离、夹角等紧密相联，用它可以解决一些涉及距离、夹角的几何问题。
直线与直线所成的角
cosθ＝|cos|＝=
直线与平面所成的角
sinθ＝|cos< u，n >|＝=
平面与平面所成的角（夹角） cosθ＝|cos|＝=
教学问题：
关于平面与平面的夹角、二面角的平面角（二面角的大小）：体现通性通法，视需要进一步加以研究
为了彻底实现几何问题的代数化，需要进一步把空间中的向量的表示。利用平面向量基本定理、向量的加法、数乘运算，可以把空间任意一个向量，用不共面的三个向量a，b，c表示为xa+yb+zc。从而使它成为可运算的对象。在解决几何问题时，这种表示发挥了基础性作用，因此我们把它叫做空间向量基本定理。
仿射坐标系：不共面的三个向量（一组基）
a，b，c+空间一个定点O , {O， a，b，c}
特别地，我们以标准正交基{i，j，k}为基底，
建立了空间直角坐标Oxyz，向量与点A的坐标
间的一一对应。（空间直角坐标系）
向量法→坐标法
用向量方法解决平面(立体)几何问题的四个重要的法则（定理）
向量加法法则（三角形回路）及其运算律；
向量数乘的意义及其运算律；（向量共线的充要条件）
向量数量积的意义和运算律；（垂直向量的数量积为0）
空间（平面）向量基本定理。
二、本章的内容安排（研究框架）
第一章 空间向量与立体几何（14）
1.1 空间向量及其运算（2）
空间向量及其线性运算；空间向量的数量积运算
1.2 空间向量基本定理（2）
1.3 空间向量及其运算的坐标表示（2）
空间直角坐标系；空间向量运算的坐标表示
阅读与思考 向量概念的推广与应用
1.4 空间向量的应用（6）
用空间向量研究直线、平面的位置关系
用空间向量研究距离、夹角问题
小结（2）
关注内容的联系性和整体性，构建本章的研究框架
三、类比平面向量研究空间向量的概念及其运算，关注其中维数带来的变化
平面向量与空间向量都属于向量，平面向量是二维向量，空间向量是三维向量，空间向量是平面向量的推广，两者除维数不同外，在概念、运算及其几何意义、坐标表示等方面具有一致性。
平面向量基本定理与空间向量基本定理在形式上也具有一致性。
利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展，主要变化是维数的增加，讨论对象由二维图形变为三维图形，基本方法都是将几何问题用向量形式表示，通过向量的运算，得出相应几何结论。
平面向量和空间向量具有相同的运算性质，在构建空间向量及其运算的结构体系时，把空间向量及其运算的内容进行了集中处理，相关概念和运算性质都是通过类比平面向量的方式呈现。
“与平面向量一样”多次出现。
空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合。因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。
四、加强从四个基本法则出发思考和解决问题，加强对向量法解决几何问题的一般方法的理解和掌握
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
第一步，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
第二步，通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
第三步，把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 。
对于立体几何中的向量方法，教科书采取了先分散后集中的方式。
在学生系统学习空间向量知识的同时，安排利用空间向量解决简单的立体几何问题，渗透向量方法；
在建立空间向量的体系后，集中安排用空间向量研究空间直线、平面的平行、垂直关系，体会空间向量在研究空间图形位置关系中的作用；
通过对距离、夹角等立体几何度量问题的研究，结合具体问题明确给出利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”；
通过综合应用“向量法”“坐标法”解决立体几何问题，进一步体会向量方法在解决立体几何问题中的普适作用。
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
空间中点、直线、平面的向量表示
空间中直线、平面的平行；空间中直线、平面的垂直
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
点到直线距离、点到平面距离；三步曲；
直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角
综合应用
通过系列化问题引导学习，获得“四基”，提升数学核心素养
为了使学生得到思维方法上的训练，教科书根据知识的发生发展过程，利用“观察”“思考”“探究”等栏目提出问题，引导学生层层深入地进行思考．教学时应深入理解教科书构建的问题链，并在此基础上进行教学设计．
例如，在用空间向量研究直线、平面的位置关系的学习中，教科书围绕空间中点、直线和平面的向量表示，通过空间向量的运算，以栏目为载体，构建了这样一条问题链：
以“思考 如何用向量表示空间中的一个点？”引导学生思考空间中点的向量表示；
以“思考 我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l．如何用向量表示直线l？”引导学生思考空间中直线的向量表示；
以“思考 一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？”引导学生思考空间中平面的向量表示；
以“思考 由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？”为引导，研究空间中直线、平面的平行；
以“思考 类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？”为引导，研究空间中直线、平面的垂直．
教学中的问题
没有反映向量法的本质，披着向量法的外衣，实际上还是综合几何的方法；
把向量法中的代数化曲解为“坐标运算”——窄化了向量法的应用范围。
改进
加强对向量运算的认识，向量的运算是带方向的量的运算，是“代数运算”和“图形运算”的结合。
加强从四个基本法则（定理）出发思考和解决问题
加强对向量法解决几何问题的一般方法（三步曲）的理解和掌握。
向量运算 坐标运算；向量方法（基底法） 坐标方法
五、全面认识投影向量的意义、作用
向量的投影是高维空间到低维子空间的一种线性变换，得到的投影向量是变换的结果。空间向量投影概念的建立对于学生利用投影向量研究立体几何问题有重要意义。
教科书在引入向量数量积后，类比在必修课程中学习过的平面向量投影的概念，利用几何直观给出了空间向量投影的概念。
向量投影在解决空间距离问题中发挥重要作用
投影向量的几何意义和代数表示，不仅为研究立体几何的距离问题提供了便利，而且还提供了研究距离的方法。
距离：两点间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等。
除两点间距离外，垂直反映了距离的本质，因此借助勾股定理可以直观地研究距离问题。
无论是平面还是直线，法向量都是反映垂直方向的最为直观的表达形式，利用法向量可以刻画表示“距离”的线段的方向。法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了几何直观，又提供了代数定量刻画，因此利用方向向量、法向量和向量投影可以研究距离问题。
在研究距离问题时，参考向量、参考向量的投影向量、二者的差，构成直角三角形，这样，利用勾股定理，结合空间向量的运算，距离问题也就迎刃而解。
例如，教科书在利用空间向量研究点到直线的距离时，就采用了如下投影向量和勾股定理相结合的方式：
如图，P为直线l外的一点，为直线l的单位方向向量。设，则向量在直线l上的投影向量的长。
在Rt△APQ中，由勾股定理，得
PQ ＝。
（平行直线间的距离）
接下来，通过问题“类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？” 引导学生自己研究两条平行直线之间的距离。
进而，利用投影向量研究点到平面的距离，并渗透利用法向量和投影向量研究距离问题的一般方法：
第一步，确定法向量；
第二步，选择参考向量（向量）；
第三步，确定参考向量到法向量的投影向量；
第四步，利用向量运算求投影向量的长度。
PQ ＝=
（直线到平面的距离、平行平面间的距离）
异面直线的距离
教学问题：
为什么用向量投影研究点到直线的距离时，不采用参考向量向直线的法向量投影？
1. 确定直线的要素（点+方向向量）
2. 在空间，直线的法向量组成法平面
向量投影的背景、意义和作用
1. 空间的正交分解（直和）
线性变换的限制
从而利用低维空间研究高维空间的结构和变换
2.利用向量投影证明向量的内积运算对向量的加法运算的分配律
3.求距离的通性通法
第二部分
突出坐标法这一解析几何基本思想（向量方法），用代数方法研究几何曲线问题
——第二、三章 直线和圆、圆锥曲线的方程
教材解读与教学建议
一、解析几何中的坐标法
坐标法：代数方法研究几何问题，借助坐标系。
关注确定图形的几何要素——在坐标系中用代数方法表示几何要素——曲线的方程——研究图形的有关性质
用坐标法研究几何图形，是把图形看成点的集合或点运动的轨迹。在平面直角坐标系中，点与有序数对（坐标）一一对应，用点的坐标刻画几何图形的特征，就得到描述几何图形特征的代数表达式 f（x，y）=0，也就是曲线的方程。
方程与曲线之间的一一对应关系是解析几何的基石
高中数学课程主要研究直线、圆、圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线），建立它们的方程，由方程研究它们的有关性质。
坐标法是方法论
解析几何的创建是为了科学发展的需要。从数学内部看，则是出于对数学方法的追求。笛卡儿创立解析几何的原动力是他对普适性方法的追求，
笛卡儿：以往的几何、代数研究都存在很大缺陷：欧氏几何中没有那种普遍适用的证明方法，几乎每一个证明都需要某种新的、技巧性很强的想法；代数的方法具有一般性，其推理程序也是机械化的，但它完全受法则和公式的控制，以至于成为一种充满混杂与晦暗、故意用来阻碍思想的艺术，而不像用来改进思想的科学。
更重视代数方法：代数方法在提供广泛的方法论方面要高出几何方法，因此代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力。
任何问题→数学问题→代数问题→方程求解
笛卡尔的理论建立在两个观念的基础上：坐标观念；利用坐标方法把带有两个未知数的任意代数方程看成是平面上的一条曲线的观念。
“创造一种方法，以便用来解决所有的几何问题，给出这些问题的所谓一般的解法”的思想指引着笛卡儿他的创新之路，而几何、代数和一般变量概念的结合是坐标法的起源，所以解析几何具有浓厚的“方法论”色彩。
教科书把“解析几何是一种方法论”作为解析几何内容的一个核心定位，并在编写过程中把如何讲好“方法论”作为教科书的一个关键问题。
二、突出坐标法，建立曲线的方程，研究曲线的性质
在章、节引言中，加强研究方法的引导，构建先行组织者。
“直线和圆的方程”章引言
直线的倾斜角和斜率节引言
直线的交点坐标与距离公式节引言
正文中随时随地强调坐标法思想
在直线、圆、圆锥曲线的建立、研究它们的几何性质、研究它们的位置关系时，加强“先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决”的过程，并在“如何以直角坐标系为参照，确定问题中的几何要素”上加强引导，突出用坐标法解决几何问题的“三步曲”。
曲线方程的建立：关注确定图形的几何要素——在坐标系中用代数方法表示几何要素——曲线的方程
倾斜角和斜率——直线的方程
确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置？
两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线。借助向量，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线。
在平面直角坐标系中，经过x轴上一点P有无数条直线，它们的区别在于方向不同。 如何表示这些直线的方向？
这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同。 因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向。倾斜角
设P1（x1，y1），P2（x2，y2）是直线l上的两点。由两点确定一条直线可知，直线l由点P1，P2唯一确定。所以，可以推断，直线l的倾斜角一定与P1，P2两点的坐标有内在联系。
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α，如果直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有怎样的关系？
利用向量（从特殊到一般）推导tanα= ，定义斜率。
给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线。这样，在平面直角坐标系中，给定一个点P0（x0，y0）和斜率k（或倾斜角），就能唯一确定一条直线。也就是说，这条直线上任意一点的坐标（x，y）与点P0的坐标（x0，y0）和斜率k之间的关系是完全确定的。 那么，这一关系如何表示呢？
直线l经过点P0（x0，y0），且斜率为k。设P（x，y）是直线l上不同于点P0的任意一点，因为直线l的斜率为k，由斜率公式得 ，即y-y0=k(x-x0) Ⅰ。（点斜式——斜截式）
上述推导说明直线l上任意一点的坐标一定满足关系式Ⅰ；再验证坐标满足关系式Ⅰ的点一定在直线l上。我们把方程y-y0=k(x-x0)称为过点P0（x0，y0），斜率为k的直线l的方程。
已知直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2，因为两点确定一条直线，所以直线l是唯一确定的. 也就是说，对于直线l上的任意一点P（x，y），它的坐标与点P1，P2的坐标之间具有唯一确定的关系. 这一关系是什么呢？ （两点式——截距式）
观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于x，y的二元一次方程。直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？
（1）平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二
元一次方程表示吗？ （2）任意一个关于x，y的二元一次方程都表
示一条直线吗？（一般式）
椭圆的标准方程
分析背景——探索几何特征——选择坐标系、建立标准方程——探索不同形式的标准方程——研究性质
节引言：“椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？”从宏观上提出问题，给出研究目标。
在引入椭圆概念时，以“探究：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？”引导学生探究椭圆的几何特征，为抽象椭圆概念、展开后续内容做好必要准备。
以“思考：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？”引导学生思考如何利用椭圆的几何特征合理建立坐标系。
以“思考：观察图3.1-3，你能从中找出表示
a，c， 的线段吗？”引导学生思考
它们的几何意义，使学生理解引入b2的合理性。
说明“椭圆上任意一点的坐标（x，y）都满足
方程；反之，以方程的解为坐标的点（x，y）
与椭圆的两个焦点（c，0），（-c，0）的距离之和为2a”，得到椭
圆的标准方程。
以“思考：如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别为（0，－c），（0，c），a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？”引导学生通过类比，自主推导焦点在y轴上时的标准方程。
除正文研究简单几何性质外，把那些通过不太复杂的代数运算就能得出的性质及其在现实中的应用设计为例题、习题，让学生进一步体会坐标法的思想。
从“角度”的关系反映性质
如果一个动点与两个定点连线的斜率之积是一个负（正）常数，那么它的轨迹是椭圆（双曲线）。
椭圆上的点（长轴端点除外）与长轴的两个端点所连两条直线的斜率之积为定值，是一个不变量
在小结中，用明确的语言表述数形结合思想、坐标思想。
三、加强单元设计，整体设计教学内容
围绕碎片化的知识点，以“知识点讲解+例题+练习”的方式设计教学活动，已经无法承载数学基本思想和基本活动经验教学的要求，对“四基、四能”的提高不利，对核心素养发展更不利。
课标：“教材编写应体现整体性”“要便于教师把握知识本质，驾驭课程内容；要便于教师把握知识结构，统筹教学安排；要便于教师教学设计，创设教学情境、提出合适问题、有效组织教学；要为教师自主选择、增补和调整教学内容预留必要空间”（核心：以前后一致的思想方法为导引）
直线、圆、圆锥曲线
分析背景——探索几何特征——选择坐标系、建立方程——通过方程研究几何性质（关系）——应用方程和性质解决问题
例：圆锥曲线的教学
以每一种圆锥曲线的几何特征、方程、性质和应用为明线，以坐标法和数形结合思想为暗线，以逻辑连贯、环环相扣的“问题串”为脚手架，设计系列化的学习活动。
在“椭圆”中，教科书用前后连贯、循序渐进的十多个问题组成“问题串”，将内容连成一体，引导学生有逻辑地展开学习与探究。
问题既有针对整体思路的，也有针对具体内容的；既有针对思想方法、研究策略的，也有操作性的、针对特例或细节的。它们是以椭圆知识的内在逻辑为依据而设置的、自然而然的学习主线，解决了这些问题就可以形成思想内涵丰富的“椭圆与方程”知识体系。
椭圆的研究脉络
通过具体情境（如行星运行轨道），了解椭圆的背景与应用；
结合情境、通过动手操作清晰地描述图形的几何特征与问题，即椭圆是到两个定点的距离之和为定长的动点的轨迹；
结合几何特征合理地建立坐标系，用代数语言描述这些特征，建立椭圆的方程；
借助几何图形的特点，形成研究椭圆性质的思路，利用方程，并通过直观想象和代数运算，研究椭圆的几何性质；
把圆锥曲线丰富多彩的性质选作例题和习题（包含了椭圆与圆的联系、定义椭圆的其他方式、椭圆的光学性质等），通过这些题目加强知识间的相互联系，从而帮助学生建立对圆锥曲线的整体认识。
关于三种圆锥曲线的定义
由平面截圆锥得到三种截线，是最原始的定义（阿波罗尼奥斯，齐曲线、超曲线、亏曲线）。由这个定义可以容易地区分截线的类型，但每一种截线的几何特征却不明显。由此出发推导圆锥曲线的方程，需要用到较多的几何知识，推理过程比较复杂。
“平面内，与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆”的几何特征非常明确，可以与圆的定义相衔接，容易作图，其基本几何性质（对称性）也易于直观想象，方便合理地建立直角坐标系求出椭圆的方程。
由“距离的和等于常数”联想到“距离的差等于常数”也是非常自然的，所以教科书对椭圆、双曲线的定义做出如此选择。
缺陷：与抛物线的定义无法衔接
教材处理：椭圆一节设置例题：动点M（x，y）到定点F（4，0）的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹”；信息技术应用：探究到定点的距离和到定直线的距离的比小于1时的点的轨迹。
双曲线一节设置例题：“动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹”；设置习题：“设动点M与定点F(c,0)（c＞0）的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是（a＜c），求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状”。
在抛物线的节引言中先进行引导：“在前面的学习中我们发现：设动点M到定点F的距离与动点M到定直线l的距离的比为常数k，当0＜k＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当k＞1时，动点M的轨迹是双曲线。一个自然的想法是，如果k=1，即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离相等，那么动点M的轨迹是什么形状？”
通过“探究”栏目，让学生用信息技术画出动点的轨迹，发现动点满足的几何条件，在此基础上再给出抛物线的定义。
小结提出问题：圆锥曲线的统一性体现在哪些方面？你如何理解圆锥曲线的“统一性”？
兼顾了三种圆锥曲线的“个性”与“共性”，使概念的引入、定义的给出基本做到了衔接自然、光滑。
重视对研究对象几何特征的分析
解析几何是“以代数方法研究几何问题”
基本图形 点，直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线
特征量 距离，斜率，半径，长、短轴，实、虚轴，焦距，离心率，
焦半径等
位置关系 平行，垂直，相交，相切等
度量和 计算 长度，角度，面积
研究的主要问题 直线、圆、圆锥曲线的方程及其几何性质，位置关系，
图形在运动变化中的不变性、不变量等。
四、加强运算能力的培养
要把握解析几何中运算的特点。解析几何中的运算是建立在几何背景下的代数运算，所以先用几何眼光观察，分析清楚几何图形的要素及其基本关系，再用代数语言表达，而且在运算过程中时刻注意利用图形的几何特征及图形间的关系来简化运算，这是解析几何教学中突破运算难点的关键举措。教学中，提高运算能力不能仅从代数角度入手，还要努力提高学生的几何图形分析能力，也就是要在落实数形结合思想上下功夫。
点到直线的距离公式
点到直线的距离公式推导这个公式有多种方法.
第一种方法是典型的坐标法. 它是解析几何研究问题最基础、最常用的方法，即把点到直线的距离问题转化为已知点与交点之间的距离，交点的坐标可以由两条直线的方程得到，表示点到直线的距离的线段所在直线的方程可以由点斜式得到，其斜率可以由与它垂直的直线的斜率的负倒数求得.它完全通过代数运算，中间过程都是带字母系数的表达式，形式很复杂，得到最终结果需要较强的数学运算能力，这对提升学生的数学运算素养是有利的.
根据直线PQ与已知直线l垂直，可以获得直线PQ的斜率，进而得到直线PQ的方程，由直线PQ和直线l的方程，可以求出它们的交点Q的坐标，利用两点间的距离公式，求出|PQ|是最常见的一种方法，也是基本方法.
第二种方法是“设而不求”
这种方法思路自然，但运算量较大 . 教科书在分析引起复杂运算原因的基础上，提出探究简化运算方法的任务，采取“设而不求”的策略，将方程组
转化为关于的方程组
将③④两边分别平方后相加，得
所以
所以
教科书没有给出上述完整的过程，教学时，可以先让学生探索求解的过程，然后进行补充完善.
“设而不求”是学生第一次接触，教学时教师要积极引导，“设”的是什么，“求”的是什么，能不能把点Ｐ到直线ｌ的距离用含有所设未知数的式子表达出来，进而得到整个式子的结果，而不是式子中具体未知数的结果. 这就是“设而不求”的原因.
第三种方法是典型的向量法. 用投影向量的模表示点到直线的距离，把求距离转化为向量数量积的运算，而且把点到直线的距离这个点与已知直线上的点的距离的最小值，用已知点与已知直线上任意一点构成的向量在与已知直线垂直的单位向量上的投影向量的模表示. 这种方法构造性强，需要较高的思维水平以及对向量的深入认识，但是运算较为简便. 这种用一般化的向量(参考向量)处理最特殊的距离（点到直线的距离）的思路给了解决此类问题的通性通法. 在“空间向量与立体几何”一章中，我们有过类似的方法.
其他方法
面积法等
提升运算求解能力
几何与代数主题中几个普适性研究方法
一、注重通性通法
1.几个“三步曲”
向量方法有别于综合几何方法．综合几何方法是借助图形直观，从公理、定义和定理等出发，通过逻辑推理解决几何问题；而向量方法则是用向量表示几何元素，通过向量运算得到几何问题的解决．一般地，利用空间向量解决立体几何问题，有如下的“三步曲”：
第一步，建立立体图形与空间向量的联系 ， 用空间向量表示问题中涉及的点 、 直线 、 平面，把立体几何问题转化为向量问题；
第二步，通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
第三步，把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 ．
特别地，用投影向量解决距离问题的三部曲
上述利用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”，在解决几何问题时具有程序性、普适性．
坐标法的“三步曲” ：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
二、重视类比的方法
类比数及其运算研究向量及其运算
类比平面向量研究空间向量
类比用平面向量研究平面几何问题来用空间向量研究立体几何问题
类比研究直线和圆的方程的方法研究圆锥曲线的方程
类比用坐标法研究椭圆的方法研究双曲线、抛物线。
另外，在几何与代数主题中，要加强运算技能的培养
几何与代数主题逻辑结构图
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敬请批评指正！

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