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第十二章 全等三角形
知识梳理
1、全等三角形的概念
（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（2）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
2、全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
3、三角形全等的判定
(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。
(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
提升练习
一、选择题
1．如图，已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　）
A．72° B．60° C．58° D．50°
2． 如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破. 带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，，点B，C，E在同一条直线上，且，则的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，中，分别是其角平分线和中线，过点C作于F，连接，则线段的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
6．如图，，平分，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图，，于，于E，与交于点．有下列结论：
①；②；③点在的平分线上；④点在的中垂线上．以上结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在△ABC中，BC＝1，AB＝3，，D为AC上一点，连接BD，若，则的度数为（　　）
A．40° B．35° C．30° D．20°
二、填空题
9．如图，已知△ABC≌△DBE，∠A＝36°，∠B＝40°，则∠AED的度数为 　 　.
10．如图，在和中，，，，则　 　°．
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD与BE相交于点F，且AC=BF，DF=DC．若∠ABE=10°，则∠DBF的度数为　 　．
12．如图，已知平分，，当　 　°时，．
13．如图，在中，平分，若，则的面积是　 　．
三、解答题
14．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
15．如图，、为直角，与相交于点E，，求证：．（推理过程请注明理由）
16．如图，，，E是上的一点，且，．求证：．
17．如图，已知A，D，C，E在同一直线上，，，．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB．
（1）求∠AOE得度数；
（2）求证：AC=AE+CD．
参考答案
1．D
2．B
3．B
4．A
5．B
6．B
7．C
8．B
9．76°
10．130
11．35
12．35
13．
14．证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，
△DBF的面积为： BF·DM，
△DCE的面积为： DN·CE，
∵△DCE和△DBF的面积相等，
∴ BF·DM＝ DN·CE，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
又∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
15．证明：，为直角（已知），
（直角定义），
在利中，
，
．
（全等三角形的对应边相等）．
16．解：，
，
和都是直角三角形，
，
，
在和中，，
．
∴
∵，
∴
∴
∴
17．（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵是的外角，
∴；
（2）证明：在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴ ，
∴，
∵，
∴．

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