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精编人教版第一章有理数重难点题型汇总及答案解析
第一部分（第一章共二个部分）
小专题1 数轴、相反数、绝对值
小专题2 绝对值的性质及应用
小专题3 有理数的加减的实际应用
小专题4 有理数的计算技巧（一）
小专题5 有理数的计算技巧（二）
小专题6 乘方与数式规律
第一章有理数
小专题1 数轴、相反数、绝对值
[方法技巧]熟练掌握数轴、相反数、绝对值的概念和性质，依据其概念和性质解题.
[例1]有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示:
（1）请在数轴上标出|a|，-|b|，-c;
（2）试比较a，b，c，|a|，-|b|，-c的大小（用“＜”将它们连接起来）.
[例2]已知a，b为有理数，下列说法:
① 若a，b互为相反数，则;
② 若|a|＝|b|，则a＝b;
③ 若数轴上表示数a，b的点到原点的距离相等，则|a|＝|b|;
④ |a|＞|b|，且a大于其相反数，则a＞b.
其中正确的结论有______（填正确结论的序号）.
归纳总结：
1.要熟练掌握数轴、相反数、绝对值的概念和性质:
2.解决有关问题时，可采用数形结合的思想，借助数轴来帮助分析解决问题。
1.已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|.
（1）a_____0，b_____0，c_____0，a_____b，c_____b（用“＞”，“＝”或“＜”填空）;
（2）a+b＝_____，_____;
（3）在数轴上标出-b与-c，试比较a，b，c，-b，-c的大小（按从小到大的顺序排列）
小专题2 绝对值的性质及应用
[方法技巧]熟练掌握绝对值的意义和性质，依据其意义和性质解题.
1.绝对值的几何意义:数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，故绝对值表示的是数轴上两点之间的距离;
2.绝对值的代数意义:（1）一个正数的绝对值是它本身;（2）一个负数的绝对值是它的相反数;（3）0的绝对值是0;
3.去绝对值的法则:
4.绝对值的性质:|a|≥0.若|a|+|b|＝0，则a＝0且b＝0.
[例]（1）若|a|＝3，则a＝_________，若|a-2|＝3，则a＝___________;
（2）已知|a|＝2，|b+1|＝5，a＞b，求|a+b|;
（3）已知|a+b|与2|b-6|互为相反数，求|a-b|.
归纳总结：
1.要熟练掌握绝对值的意义和性质，以及去绝对值的法则;
2.解决有关绝对值问题时，关键是依据条件去绝对值，正负不明时，需分类讨论。
1.（1）数轴上点A表示的数为a，若点A到原点的距离为5，则a＝_____;若点B表示的数为1，点A到点B的距离为5，则a＝_________;
（2）若|a-2|＝5，则a＝_________;
（3）若|a+1|＝2，|2b-1|＝7，a＜b，求|a|+|b|;
（4）若|a+3|与|b-5|互为相反数，求|a-b|.
小专题3 有理数的加减的实际应用
[方法技巧]解答此类问题，要理解正数和负数以及绝对值在实际生活中的意义，通过有理数的加减混合运算解决问题，弄清题意是解答此类问题的关键.
[例]高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位:千米）:
+18，-9，+7，+11，-14，-3，-6，-8，+9，+15.
（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？
（3）若汽车行驶每千米耗油量为0.08升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？
归纳总结：
在解决有理数的实际应用问题时，要正确理解正数和负数以及绝对值在实际生活中的意义，通过有理数的加减计算解决问题，其关键是弄清题意。
1.某支股票上周末的收盘价格是10.00元，本周一到周五的收盘情况如下表:（“+”表示股票比前一天上涨，“-”表示股票比前一天下跌）.
（1）周一至周五这支股票每天的收盘价各是多少元？
（2）本周末的收盘价比上周末收盘价是上涨了，还是下跌了？______;
（3）这五天的收盘价中最高的是周_____;最低的是周_____;相差_____元.
2.小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为:（单位:cm）
+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10.
（1）小虫最后是否回到出发点A？
（2）小虫离开原点最远是多少cm？
（3）在爬行过程中，如果每爬行1cm奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？
小专题4 有理数的计算技巧（一）
[方法技巧]学习有理数的运算，除了要熟练掌握基本的运算方法以外，若能根据题目的结构特点，采用一些适当的计算技巧即简便运算，不仅能够提高速度，而且还能提高正确率，达到事半功倍的效果.比如有理数的加减通常可采用对消与凑整、归类与组合、裂项相消等方法.
[例]计算:
（1）-1.3+（-2.7）+4.5-5.7+3.5+2.7;
（2）27.45-（-32.39）+72.55+（-12.39）;
（3）（）（）;
（4）…
归纳总结：
1.在进行有理数的计算时，先观察算式的特点，看能否采取简便计算:
2.有理数的加减运算，一般可采取对消、凑整、归类组合。
裂项极消等方法。
1.计算:
（1）-19+6-（+11）-（-14）;
（2）（-0.7）+3.8+（-1.3）+（-3.8）+5;
（3）（）（）+（）;
（4）（+1.75）-（）+（-7.25）-（）-2.5.
（5）…
小专题5 有理数的计算技巧（二）
[方法技巧]有理数的乘除及混合运算，通常可采用交换律、结合律、分配律、变序、逆用、拆项等方法.
[例]计算:
（1）（-3）×（）×（）;
（2）（）×（）;
（3）（-3）;
（4）（）×（-24）;
（5）（）÷（-7）.
归纳总结：
1.在进行有理数的计算时，先观察算式的特点，看能否采取简便计算;
2.有理数的乘除运算，一般可采取交换律、结合律、分配律变序、逆用、拆项等方法。
1.计算:
（1）（-2.5）×0.37×1.25×（-4）×（-8）;
（2）（-138）×（）（）;
（3）（）÷（）;
（4）（-9）;
（5）（.
小专题6 乘方与数式规律
[方法技巧]从特殊中找规律，得出一般结论.
[例]观察下列三行数:
① 1，-2，4，-8，16，-32，…
② 2，-4，8，-16，32，-64，…
③ 4，-2，10，-14，34，-62，…
（1）第① 行数第8个数为______;第② 行数的第8个数为_______;第③ 行第8个数为_______;
（2）第① 行是否存在连续的三个数使得三个数的和是384？若存在，求出这三个数，若不存在，请说明理由;
（3）取每一行的第n个数，这三个数的和能否为-2558？若能，求出这三个数，若不能，请说明理由.
归纳总结：
1.在找规律时，注意每一行之间相邻两个数之间的关系尤其是第一行相邻两个数之间的关系;
2.注意行与行之间同位置的数字之间的和差倍分关系，
3.在解决关于同行或同列三个数的有关问题，一般设第一个数为x，表示出另外两个数，根据题意列方程求解，求出x后，还应检查是否存在这样的数。
1.观察下列三行数:
① -2，4，-8，16，-32，64，…;
② -1，2，-4，8，-16，32，…;
③ 0，6，-6，18，-30，66，…;
（1）第① 行数中的第n个数为_______（用含n的式子表示）;
（2）取每行数的第n个数，这三个数的和能否等于-318？如果能，求出n的值;如果不能，请说明理由;
（3）如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，若方框中的六个数之和为-156，求方框中左上角的数.
参考答案及解析：
第一章有理数
小专题1 数轴、相反数、绝对值
[方法技巧]熟练掌握数轴、相反数、绝对值的概念和性质，依据其概念和性质解题.
[例1]有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示:
（1）请在数轴上标出|a|，-|b|，-c;
（2）试比较a，b，c，|a|，-|b|，-c的大小（用“＜”将它们连接起来）.
分析:
a＜-|b|＜c＜-c＜b＜|a|
（1）由数轴可知a，c为负数，b为正数.
所以|a|＝-a，表示数a与-a的两点分别位于原点两侧，且到原点的距离相等，于是可画出|a|的位置;
b为正，所以-|b|＝-b，表示数b与-b的两点分别位于原点两侧，且到原点的距离相等，于是可画出-|b|的位置;
c在原点左侧，则-c在原点的右侧，且表示c和-c的两点到原点的距离相等，于是可画出-c的位置.
（2）根据数轴上右边的数总大于左边的数，则答案一目了然.
解答：
解:（1）如图所示;
（2）根据数轴上的点表示的数，右边的数大于左边的数，得a＜-|b|＜c＜-c＜b＜|a|.
[例2]已知a，b为有理数，下列说法:
① 若a，b互为相反数，则;
② 若|a|＝|b|，则a＝b;
③ 若数轴上表示数a，b的点到原点的距离相等，则|a|＝|b|;
④ |a|＞|b|，且a大于其相反数，则a＞b.
其中正确的结论有______（填正确结论的序号）.
解答：
①a＝-b，则;当a＝b＝0时不成立，故① 错误;
② 若|a|＝|b|，则a＝b;若|a|＝|b|，则a＝b或者a+b＝0，故② 错误;
③ 根据绝对值的几何意义，此说法正确，③ 对;
④ 因为a大于其相反数，所以a为正数，因为|a|＞|b|，无论b为正数还是负数，都有a＞b，所以④ 正确.
归纳总结：
1.要熟练掌握数轴、相反数、绝对值的概念和性质:
2.解决有关问题时，可采用数形结合的思想，借助数轴来帮助分析解决问题。
1.已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|.
（1）a_____0，b_____0，c_____0，a_____b，c_____b（用“＞”，“＝”或“＜”填空）;
（2）a+b＝_____，_____;
（3）在数轴上标出-b与-c，试比较a，b，c，-b，-c的大小（按从小到大的顺序排列）
解:（1）＞，＜，＜，＞，＜;
（2）0，-1;
（3）如图，c＜b＜a＝-b＜-c.
小专题2 绝对值的性质及应用
[方法技巧]熟练掌握绝对值的意义和性质，依据其意义和性质解题.
1.绝对值的几何意义:数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，故绝对值表示的是数轴上两点之间的距离;
2.绝对值的代数意义:（1）一个正数的绝对值是它本身;（2）一个负数的绝对值是它的相反数;（3）0的绝对值是0;
3.去绝对值的法则:
4.绝对值的性质:|a|≥0.若|a|+|b|＝0，则a＝0且b＝0.
[例]（1）若|a|＝3，则a＝_________，若|a-2|＝3，则a＝___________;
（2）已知|a|＝2，|b+1|＝5，a＞b，求|a+b|;
（3）已知|a+b|与2|b-6|互为相反数，求|a-b|.
解析：
（1）分析:由绝对值的意义可知|±3|＝3，若|a|＝3，则a＝±3;
若|a-2|＝3，则a-2＝±3，∴a＝5或-1;
（2）分析:由绝对值的意义和去绝对值的法则去绝对值，分类讨论即可.
解答：
解:∵|a|＝2，∴a＝±2.
∵|b+1|＝5，∴b+1＝±5，∴b＝4或-6.
∵a＞b，∴a＝±2，b＝-6.
当a＝2，b＝-6时，|a+b|＝|-4|＝4;
当a＝-2，b＝-6时，|a+b|＝|-8|＝8，
∴|a+b|＝4或8;.0
（3）分析:由绝对值的性质，几个非负式的和为0，则这几个非负式的和都为0，可求解.
解答：
解:依题意，得|a+b|+2|b-6|＝0，又∵|a+b|≥0且2|b-6|≥0，
∴|a+b|＝0且2|b-6|＝0，即b-6＝0且a+b＝0，
∴b＝6，a＝-6，
∴|a-b|＝|-12|＝12.
归纳总结：
1.要熟练掌握绝对值的意义和性质，以及去绝对值的法则;
2.解决有关绝对值问题时，关键是依据条件去绝对值，正负不明时，需分类讨论。
1.（1）数轴上点A表示的数为a，若点A到原点的距离为5，则a＝_____;若点B表示的数为1，点A到点B的距离为5，则a＝_________;
（2）若|a-2|＝5，则a＝_________;
（3）若|a+1|＝2，|2b-1|＝7，a＜b，求|a|+|b|;
（4）若|a+3|与|b-5|互为相反数，求|a-b|.
解答：
解:（1）±5;-4或6;
（2）7或-3;
（3）∵|a+1|＝2，∴a＝1或-3.
∵|2b-1|＝7，∴2b-1＝±7，∴b＝4或-3.
∵a＜b，∴a ＝1或-3，b＝4.
当a＝1，b＝4时，|a|+|b|＝|1|+|4|＝5;
当a＝-3，b＝4时，|a|+|b|＝|-3|+|4|＝3+4＝7;
∴|a|+|b|＝5或7;
（4）依题意，得|a+3|+|b-5|＝0，又∵|a+3|≥0且|b-5|≥0，
∴a+3＝0且b-5＝0，
∴a＝-3，b＝5，∴|a-b|＝|-8|＝8.
小专题3 有理数的加减的实际应用
[方法技巧]解答此类问题，要理解正数和负数以及绝对值在实际生活中的意义，通过有理数的加减混合运算解决问题，弄清题意是解答此类问题的关键.
[例]高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位:千米）:
+18，-9，+7，+11，-14，-3，-6，-8，+9，+15.
（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？
（3）若汽车行驶每千米耗油量为0.08升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？
分析:（1）将所记录的数据相加求和，即可得到答案;
（2）计算养护小组行驶过程中每次距出发的距离，比较得到养护过程中最远处离出发点的距离;
（3）将所记录的数据的绝对值相加即可得所走的路程，再将路程总数乘以0.08，即可得答案.
解答：
解:（1）18-9+7+11-14-3-6-8+9+15＝+20.
答:养护小组最后到达的地方在出发点的东边20千米处;
（2）+18，+18-9＝9，9+7＝16，16+11＝27，27-14＝13，13-3＝10，
10-6＝4， 4-8＝-4，-4+9＝5，5+15＝20，
答:养护过程中最远处离出发点是27千米;
（3）（18+9+7+11+14+3+6+8+9+15）×0.08＝100×0.08＝8（升）.
答:这次养护小组的汽车共耗油8升.
归纳总结：
在解决有理数的实际应用问题时，要正确理解正数和负数以及绝对值在实际生活中的意义，通过有理数的加减计算解决问题，其关键是弄清题意。
1.某支股票上周末的收盘价格是10.00元，本周一到周五的收盘情况如下表:（“+”表示股票比前一天上涨，“-”表示股票比前一天下跌）.
（1）周一至周五这支股票每天的收盘价各是多少元？
（2）本周末的收盘价比上周末收盘价是上涨了，还是下跌了？______;
（3）这五天的收盘价中最高的是周_____;最低的是周_____;相差_____元.
解答：
解:（1）周一收盘价是:10+0.28＝10.28（元）;
周二收盘价是:10.28-2.36＝7.92（元）;
周三收盘价是:7.92+1.80＝9.72（元）;
周四收盘价是:9.72-0.35＝9.37（元）;
周五收盘价是:9.37+0.08＝9.45（元）;
（2）由（1）可知，本周末的收盘价比上周末收盘价是下跌了;
（3）由（1）可知，周一最高，周二最低，相差2.36元.
2.小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为:（单位:cm）
+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10.
（1）小虫最后是否回到出发点A？
（2）小虫离开原点最远是多少cm？
（3）在爬行过程中，如果每爬行1cm奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？
解答：
解:（1）+5-3+10-8-6+12-10＝27-27＝0，所以小虫最后回到出发点A;
（2）第一次爬行距离原点是5cm，第二次是5-3＝2（cm），
第三次是2+10＝12（cm），第四次是12-8＝4（cm），
第五次是|4-6|＝2（cm），第六次是-2+12＝10（cm），
第七次是10-10 ＝0（cm），
∴小虫离开原点最远是12cm;
（3）小虫爬行的总路程为:|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5 +3+10+8+6+12+10＝54（cm）.所以小虫一共得到54粒芝麻.
小专题4 有理数的计算技巧（一）
[方法技巧]学习有理数的运算，除了要熟练掌握基本的运算方法以外，若能根据题目的结构特点，采用一些适当的计算技巧即简便运算，不仅能够提高速度，而且还能提高正确率，达到事半功倍的效果.比如有理数的加减通常可采用对消与凑整、归类与组合、裂项相消等方法.
[例]计算:
（1）-1.3+（-2.7）+4.5-5.7+3.5+2.7;
（2）27.45-（-32.39）+72.55+（-12.39）;
（3）（）（）;
（4）…
解答：
归纳总结：
1.在进行有理数的计算时，先观察算式的特点，看能否采取简便计算:
2.有理数的加减运算，一般可采取对消、凑整、归类组合。裂项极消等方法。
1.计算:
（1）-19+6-（+11）-（-14）;
（2）（-0.7）+3.8+（-1.3）+（-3.8）+5;
（3）（）（）+（）;
（4）（+1.75）-（）+（-7.25）-（）-2.5.
（5）…
解答：
解:（1）原式＝-19+6-11+14＝（-19-11）+（6+14）＝-30+20＝-10;
（2）原式＝（3.8-3.8）+（-0.7-1.3）+5＝-2+5＝3;
（3）原式（）]+[（）+（）]（）;
（4）原式＝（）+（）-（1.75+7.25）＝15+3-9＝9;
（5）原式（…）（）
小专题5 有理数的计算技巧（二）
[方法技巧]有理数的乘除及混合运算，通常可采用交换律、结合律、分配律、变序、逆用、拆项等方法.
[例]计算:
（1）（-3）×（）×（）;
（2）（）×（）; （3）（-3）;
（4）（）×（-24）; （5）（）÷（-7）.
归纳总结：
1.在进行有理数的计算时，先观察算式的特点，看能否采取简便计算;
2.有理数的乘除运算，一般可采取交换律、结合律、分配律变序、逆用、拆项等方法。
1.计算:
（1）（-2.5）×0.37×1.25×（-4）×（-8）;
（2）（-138）×（）（）;
（3）（）÷（）;
（4）（-9）;
（5）（.
解答：
解:（1）原式＝-（2.5×4）×（8×1.25）×0.37＝-10×10×0.37＝-37;
（2）原式＝（138+52-183）;
（3）原式;
（4）原式＝（）÷（-9）;
（5）∵（1--）÷（-）＝-×+×+×＝-3++1＝-，
∴原式＝-2.
小专题6 乘方与数式规律
[方法技巧]从特殊中找规律，得出一般结论.
[例]观察下列三行数:
① 1，-2，4，-8，16，-32，…
② 2，-4，8，-16，32，-64，…
③ 4，-2，10，-14，34，-62，…
（1）第① 行数第8个数为______;第② 行数的第8个数为_______;第③ 行第8个数为_______;
（2）第① 行是否存在连续的三个数使得三个数的和是384？若存在，求出这三个数，若不存在，请说明理由;
（3）取每一行的第n个数，这三个数的和能否为-2558？若能，求出这三个数，若不能，请说明理由.
解答：
[例]观察下列三行数:
①
②
③+2
分析:观察第① 行相邻两个数之间有何数量关系？
第① 行中，从第2个数开始，后面的数都是前一个数的-2倍;
第1个数:1＝（-2）0，第2个数:-2＝（-2）1，第3个数:4＝（-2）2，…，
第n个数:（-2）n-1.
∴第① 行第8个数是（-2）7＝-128.
第② 行中的数有什么规律？怎么找呢？同样的我们可以观察相邻两个数之间的关系，从第2个数开始，后面的数都是前一个数的-2倍;
第1个数:2＝-（-2）1，第2个数:-4＝-（-2）2，第n个数:-（-2）n.
我们也可以对比观察第② 行与① 行相应位置的两个数之间的关系，你有什么发现呢？
第② 行是第① 行相应位置的数的2倍.
∴第② 行第8个数是-128×2＝-256;
第③ 行中的数有什么规律？怎么找呢？
我们可以观察相邻两个数之间的关系，或者与第① 行或者与第② 行相应位置的两个数之间的规律，从中可以发现:第③ 行是第② 行相应位置的数加2. 第③ 行第8个数是-256+2＝-254;
（1）第① 行数第8个数为___-128___;第② 行数的第8个数为___-256____;第③ 行第8个数为___-254____;
（2）第① 行是否存在连续的三个数使得三个数的和是384？若存在，求出这三个数，若不存在，请说明理由;
分析:三个数之间存在确定的数量关系，则可设这三个数依次为x，-2x，4x，
依题意列方程，得x+（-2x）+4x＝384，解这个方程得x，算出x后还应检查该行是否存在这样的数.
解:设第① 行连续的三个数为x，-2x，4x，
x+（-2x）+4x＝384，解得，x＝128，
∵第① 行第8个数为-128，没有128这个数，∴不存在;
（3）取每一行的第n个数，这三个数的和能否为-2558？若能，求出这三个数，若不能，请说明理由.
分析:同样的，假设存在这样的三个数，则可设这三个数依次为x，2x，2x+2，
依题意列方程，得x+2x+2x+2＝2558，解这个方程得x，算出x后再检查是否存在这样的数.
解:设这三个数分别为x，2x，2x+2，
x+2x+2x+2＝-2558，解得x＝-512，
∵（-2）9＝-512，
∴n＝10，n为偶数，偶数列数字为负数，符合题意，
∴存在，这三个数分别为-512，-1024，-1022.
归纳总结：
1.在找规律时，注意每一行之间相邻两个数之间的关系尤其是第一行相邻两个数之间的关系;
2.注意行与行之间同位置的数字之间的和差倍分关系，
3.在解决关于同行或同列三个数的有关问题，一般设第一个数为x，表示出另外两个数，根据题意列方程求解，求出x后，还应检查是否存在这样的数。
1.观察下列三行数:
① -2，4，-8，16，-32，64，…;
② -1，2，-4，8，-16，32，…;
③ 0，6，-6，18，-30，66，…;
（1）第① 行数中的第n个数为_______（用含n的式子表示）;
（2）取每行数的第n个数，这三个数的和能否等于-318？如果能，求出n的值;如果不能，请说明理由;
（3）如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，若方框中的六个数之和为-156，求方框中左上角的数.
解答：
解:（1）第一行中，从第二个数起，每一个数与前一个数的比为-2，
∴第n个数为:-2×＝;
（2）设第一行的第n个数为x，则:（x+2）＝-318，
x ＝-128＝（-2）7，
∴n＝7，答:n＝7时满足题意;
（3）设方框中左上角的数为x，
则:x+（-2x）（-x）+（x+2）+（-2x+2）＝- 156，x＝64.
答:方框中左上角的数为64.

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