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函数导函数及运用5分小题问题的类型与解法
函数导函数及运用问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及函数导函数及运用的问题。从题型上看可能是选择题（或填空题），也可能渗透到函数的大题，这里主要探导函数导函数及运用的5分小题；难度系数为中，高档。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试卷，归结起来函数导函数及运用问题主要包括：①函数在某点导函数的定义及运用；②运用函数导函数判断函数的单调性；③运用函数导函数求函数的极值（或最值）；④运用函数导函数求函数的零点；⑤运用函数导函数证明不等式等几种类型问题。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数导数问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
（理）一条直线与函数y=lnx和y=的图像分别相切于点P（，）和点Q（，），则（1-）（1+）的值为 。
（文）一条直线与函数y=lnx和y=的图像分别相切于点P（，）和点Q（，），则的值为 （成都市高2021级高三零诊）
2、曲线y=在点（1，）处的切线方程为（ ）（2023全国高考甲卷文）
A y=x B y=x C y=x + D y=x +
3、记函数f(x)的导函数为 (x)，若f(x)= sin2x，则 (0)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 B 1 C 0 D -1
4、若曲线y=lnx++1在点（1，2）处的切线与直线ax+y-1=0平行，则实数a的值为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A -4 B -3 C 4 D 3
5、曲线y=在点（-1，-3）处的切线方程为 （2021全国高考甲卷）
6、若过点（a，b）可以做曲线y=的两条切线，则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 7、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x) （2021全国高考新高考II）
①f()= f(). f()；②当x,（0，+）时，（x）>0；③（x）是奇函数。
8、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的
两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国高考新高考II）
9、设函数f(x)的导函数是 (x)，若f(x)= ()-cosx，则 ()=（ ）（2021成都市高三零诊）
A - B C D -
10、函数f(x)=-2+3的图像在x=0处的切线方程为 （2021成都市高三零诊）
11、已知函数f(x)=lnx+（mR）的图像在点（1，f(1)）处的切线l的斜率为2，则直线l在Y轴上的截距为（ ）（2021成都市高三三诊）
A 3 B -3 C 1 D -1
12、（理）设函数f(x)= +（a-1）+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y= f(x)在点（0，0）处的切线方程为（ ）（2020全国高考新课标I）
A y=-2x B y=-x C y=2x D y=x
（文）曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为，则该切线的方程为 （2020全国高考新课标I）
13、（理）若直线l与曲线y=和圆+=相切，则l的方程为（ ）
A y=2x+1 B y=2x+ C y=x+1 D y=x+
（文）设函数f(x)= ，若（1）=，则a= （2020全国高考新课标III）
14、设函数f(x)的导函数为(x)，若f(x)=lnx+ -1，则(1)=（ ）（2020成都市高三零诊）
A e-3 B e-2 C e-1 D e
15、曲线y= -x在点（1，0）处的切线方程为（ ）（2020成都市高三二诊）（答案：D）
A 2x-y=0 B 2x+y-2=0 C 2x+y+2=0 D 2x-y-2=0
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数在某点的导数定义与性质及运用的问题，解答这类问题需要理解函数在某点的导数的定义，掌握求函数在某点导数的基本方法；
（2）函数在某点导数的定义中，增量的形式是多样的，但无论如何变化，其实质是分子中y的增量与分母中x的增量必须一致，否则需要通过一些适当的变换使之一致；
（3）用函数在某点导数的定义求函数在该点导数的基本方法是：①求出当自变量给定一个增量时对应的函数增量；②求出对应函数增量与自变量增量的比值（平均变化率）；③求出当自变量增0时，=的极限值。
（4）函数在某点导数的几何意义是曲线在该点处切线的斜率，在质点的运动过程中是质点在该点的瞬时速度。
（5）已知函数f(x)的解析式，求函数f(x)的导函数的基本原则是先化简，再运用求导公式，法则和求导的基本方法求出函数的导函数；
（6）求函数导函数的基本方法是：①若函数f(x)的解析式是连乘形式，则应先化为多项式，再求导函数；②若函数f(x)的解析式是根式形式，则先化为指数幂，再求导函数；③若函数f(x)的解析式是复杂的分式，则先把解析式化为几个简单分式的和或差，再求导函数；
（7）运用复合函数求导法则：（x）=〔g(x)〕.(x)求函数导函数时应注意：①利用复合函数求导法则求导时，一定要把中间变量换成自变量的函数；②需要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆；
（8）若问题的已知条件中没有函数的解析式，求函数的导函数或函数在某点的导数值时，需要首先根据条件求出函数的解析式，然后再求解问题；
（9）已知一点的坐标，求曲线过已知点的切线方程的问题主要包括：①已知点在曲线y= f(x)上；②已知点在曲线y= f(x)外，解答这类问题时，应注意判断已知点是否在曲线y= f(x)上；
（10）求已知点在曲线y= f(x)上切线方程的基本方法是：①求出函数f(x)在该点的导数值，②运用点斜式求出切线的方程；
（11）求已知点在曲线y= f(x)外切线方程的基本方法是：①设出切线切点的坐标P（，f()）；②求出过点P（，f()）的切线方程；③把已知点代入切线方程求出；④把的值代入切线方程得出答案；
（12）已知切线斜率或切线方程，求参数值的基本方法是：①求出曲线y=f(x)的切线方程；②把求出的切线方程与已知方程相比较得到关于参数的方程或方程组；③求解方程或方程组得出参数的值；
（13）对导数与函数图像的关系问题，应注意运用导数与函数变化之间的联系并结合问题的具体情况进行考虑。
【典例2】解答下列问题：
1、（理）记函数f(x)的导函数为(x)，若函数f(x)为奇函数，且当x（ -，0）时恒有f(x)<(x)tanx成立，则（ ）
A f（-）>f（-） B f（-）>-f（）
C f（）>f（） D f（-）（文）记函数f(x)的导函数为(x)，若函数f(x)为奇函数，且当x（ -，0）时恒有f(x)cosx<
(x)sinxx成立，则（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A f（-）>f（-） B f（）>-f（-）
C f（）>f（） D f（-）>-f（）
2、设a（0，1），若函数f(x)=+在（0，+）时单调递增，则a的取值范围是
（2023全国高考乙卷理）
3、已知函数f(x)=a-lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（ ）（2023全国高
考新高考II）
A e B e C D
4、若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
5、（理）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，则（ ）
A a（文）设a0，若x=a为函数f(x)=a(x-b)的极大值点，则（ ）（2021全国高考乙卷）
A ab C ab< D ab>
『思考问题2』
（1）【典例2】是运用函数导函数解答函数单调性的问题，解答这类问题需要理解函数导函数与函数单调性的关系定理，掌握运用函数导函数判定函数单调性的基本方法，同时注意参数分类讨论的原则和基本方法；
（2）运用函数导函数解答函数单调性问题的基本方法是：①确定函数的定义域；②求函数的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；③用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导函数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号由定理判断函数f(x)在各个小区间的增减性；⑤得出结论；
（3）运用函数导函数解答含参数函数单调性问题的基本方法是：①确定函数定义域；②求函数导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根（注意参数对实根的影响）；③用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导函数（x）在各个小区间上的符号（注意参数对不等式的影响），根据（x）的符号由定理判断函数f(x)在各个小区间的单调性；⑤得出结论；
（4）含参数的函数的单调性问题一般要对参数分类讨论，常见的分类讨论标准是：①方程（x）=0是否有根；②若方程（x）=0有根，需要判断求出的根是否在定义域内；③若方程（x）=0的根在定义域内且有两个需要比较根的大小。
【典例3】解答下列问题：
若函数f(x)=alnx++(a0)既有极大值又有极小值，则（ ）（2023全国高考新高
考II）
A bc＞0 B ab＞0 C b+8ac＞0 D ac＜0
（理）若函数f(x)=x在x=1处有极大值，则实数a的值为（ ）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
（文）若函数f(x)=+2a+x在x=1处有极大值，则实数a的值为（ ） （成都市高2020级高三一诊）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
（理）若函数f(x)=xlnx-a存在极大值点，且2f（）>，则实数a的取值范为 。
（文）函数f(x)=-+1的最大值为 （成都市高2020级高三二诊）
4、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=lnx，若对任意， （0，2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（ ）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
（文）已知函数f(x)= +lnx，若对任意， （0，2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（ ）（成都市2019级高三零诊）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
5、若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍文）
A 0 B 1 C 2 D 3
6、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
7、若函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）（2021成都市高三一诊）
A （-，0）（4，+） B （-，-8）（0，+） C ［0，4］ D (-8，0)
8、（理）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=1+2lnt，g()=，则（-）
lnt的最小值为（ ）
A B C - D -
（文）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=lnt，g()=t，则lnt的最小值为（ ）（2021成都市高三一诊）
A B C - D -
9、已知P是曲线y=sinx+cosx(x［0, ］)上的动点，点Q在直线x+y-6=0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为（ ）（2021成都市高三二诊）
A B C D
10、已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是 （2020全国高考新课标I）
11、已知函数f(x)=（+x+1），则“a=”是“函数f(x)在x=-1处取得极小值”的（ ）（2020成都市高三零诊）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
12、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，则的最大值为（ ）
A B e C D
（文）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，则的最小值为（ ）（2020成都市高三二诊）
A -1 B - C - D -
『思考问题3』
（1）【典例3】是运用函数导函数求函数极值（或最值）的问题，解答这类问题应该理解函数极值（或最值）的定义，掌握函数极值（或最值）存在定理和求函数极值（或最值）的基本方法；
（2）函数在某点存在极值的必要条件是该点的导数值为0；函数的导数在某点的导数值为0，函数在该点的极值可能存在，也可能不存在；
（3）判定函数在某点的极值是否存在或确定函数在某点存在极大值还是极小值的基本方法是：①求出该点的导数值，看是否为0，②判定函数在该点左右的导数值的符号，③运用极值存在定理判定该点是否是极值点，④运用极大值或极小值的判断方法确定函数在该点是极大值还是极小值并求出该点的函数值，⑤得出结果；
（4）与函数极值相关问题的常见题型有：①根据函数图像判断函数的极值；②求函数的极值；③已知函数的极值求参数的值或取值范围；
（5）求函数极值的基本方法是：①求函数的导函数，②求出导函数等于0这个方程的根，③判定这些点哪些极值点，④确定极值点是极大值还是极小值，⑤求出函数在该点的极大值或极小值；
（6）运用函数导函数求函数的最大值与最小值的理论依据是函数最值存在定理；
（7）函数的极值与最值的关系是：①区别：函数的极值是定义域上某一区间函数的最值，而函数最值是函数在整个定义域上的最值；②联系：当函数在某一开区间上只有一个极值点时，函数的极值就是函数的最值，当函数在区间上的极值点有多个时函数的极值不一定是函数的最值 ；
（8）求函数f(x)在闭区间〔a，b〕上的最值的基本方法是：①求出函数在闭区间〔a，b〕上的所有极值；②求出函数的端点值f(a) ，f(b)；③比较函数在闭区间〔a，b〕上的极值与端点值f(a) ，f(b)的大小，④得出函数的最值。
【典例4】解答下列问题：
函数f(x)=+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（ ）（2023全国高考乙卷文）
A （-，-2） B （-，-3） C （-4，-1） D (-3，0)
2、（理）已知函数f(x)=x--mlnx有三个零点，，，其中mR，则m的取值范围是（ ）
A （1，+） B （2，+） C （e，+） D （3，+）
（文）已知函数f(x)=x--mlnx有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）（成都市高2020级高三三珍）
A （4，+） B （3，+） C （e，+） D （2，+）
3、若正实数是函数f(x)=x-x-的一个零点，是函数g(x)=（x-e）(lnx-1)- 的一个
大于e的零点，则的值为（ ）（成都市2020级高三零诊理）
A B C e D
4、（理）已知函数f(x)= ，x>0，则关于x的方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)的解的个数x，x0，的所有可能值为（ ）
A 3或4或6 B 1或3 C 4或6 D 3
（文）已知函数f(x)= |lnx|，x>0，若函数g(x)= f(x) –m(mR)有三个不同的零点，，，
-3-x，x0，则..的值为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 0 B - C 0或- D 0或-
『思考问题4』
（1）【典例4】是运用函数导函数探导方程的根（或函数的零点）的问题，解答这类问题需要理解方程的根（或函数的零点）的定义，掌握求方程的根(或函数零点)的基本方法，注意函
数图像与X轴的交点与方程的根（或函数的零点）之间的内在联系；
（2）求解方程的根（或函数的零点）的基本方法是：①运用函数导函数判断函数的单调性并求出函数的极值（或最值）；②借助函数图像，根据方程的根（或函数的零点）与函数图像与X轴交点之间的关系建立含参数的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）得出结果。
【典例5】解答下列问题：
1、设函数f(x)=（x-1）（-e），g(x)=lnx-ax，其中aR，若对任意的正实数，，不等式f()g()恒成立，则实数a的最小值为（ ）（成都市2020级高三零诊文）
A 0 B 1 C D e
2、记定义在R上的可导函数f(x)的导函数为（x），且（x）- f(x)>0，f(1)=1，则不等式f(x)>的解集为 （成都市2019级高三三珍）
3、（理）设k，bR，若关于x的不等式ln(x-1)+xkx+b在（1，+）上恒成立，则的最小值是（ ）
A - B - C - D -e-1
（文）设k，bR，若关于x的不等式kx+b+1lnx在（0，+）上恒成立，则的最小值是（ ）（2021成都市高三零诊）
A - B - C - D -e
4、若关于x的不等式xlnx-kx+2k+1>0在（2，+）内恒成立，则满足条件的整数k的最大值为（ ）（2020成都市高三零诊）
A 2 B 3 C 4 D 5
5、（理）已知f(x)是定义在（-，）上的奇函数，其导函数(x)，f ()=，且当x（0，）时， (x)sin2x+2 f(x)cos2x>0，则不等式f(x)sin2x<1的解集为 。
（文）已知f(x)是定义在（-，）上的奇函数，其导函数(x)，f ()=，且当x（0，）时， (x)sinx+2 f(x)cosx>0，则不等式f(x)sinx<1的解集为 （2020成都市高三零诊）
『思考问题5』
（1）【典例5】是运用函数导函数证明不等式的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义和性质，掌握运用函数导函数证明不等式的基本方法；
（2）运用导函数证明不等式的基本方法是：①构造一个新函数（一般是所证明的不等式两边之差）；②运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别证明函数的最大值（或最小值）小于或等于零（或大于或等于零）在某区间上恒成立；③由②判断不等式在某区间上是否恒成立；④综合得出证明的结论。
函数导函数及运用5分小题问题的类型与解法
函数导函数及运用问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及函数导函数及运用的问题。从题型上看可能是选择题（或填空题），也可能渗透到函数的大题，这里主要探导函数导函数及运用的5分小题；难度系数为中，高档。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试卷，归结起来函数导函数及运用问题主要包括：①函数在某点导函数的定义及运用；②运用函数导函数判断函数的单调性；③运用函数导函数求函数的极值（或最值）；④运用函数导函数求函数的零点；⑤运用函数导函数证明不等式等几种类型问题。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数导数问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1.（理）一条直线与函数y=lnx和y=的图像分别相切于点P（，）和点Q（，），则（1-）（1+）的值为 。
（文）一条直线与函数y=lnx和y=的图像分别相切于点P（，）和点Q（，），则的值为 （成都市高2021级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导函数的几何意义；③曲线在某点处切线方程定义与性质；④求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数求导公式，法则和基本方法分别求出函数y=lnx和y=在点P（，）和点Q（，）的导函数值，运用求曲线在某点处切线方程的基本方法分别求出曲线y=lnx和y=在点P（，）和点Q（，）处的切线方程，由两条切线为同一条直线，得到关于，的等式，从而就可求出（1-）（1+）的值。
（文）根据函数求导公式，法则和基本方法分别求出函数y=lnx和y=在点P（，）和点Q（，）的导函数值，运用求曲线在某点处切线方程的基本方法分别求出曲线y=lnx和y=在点P（，）和点Q（，）处的切线方程，由两条切线为同一条直线，得到关于，的等式，从而就可求出的值。
【详细解答】（理）函数y=lnx和y=分别在点P（，）和点Q（，）的导函
数值为和y=，曲线y=lnx和y=在点P（，）和点Q（，）处的切线方程分别为：y=（x-）+ln，y=（x-）+，两切线为同一直线，=，-1+ln=（1-），1-=1-，-1-=(1-)，--=1-，1--
+=（1-）（1+）=2，=，（1-）（1+）=（1-） （1+） =2。
（文）函数y=lnx和y=分别在点P（，）和点Q（，）的导函数值为和y=，曲线y=lnx和y=在点P（，）和点Q（，）处的切线方程分别为：y=（x-）+ln，y=（x-）+，两切线为同一直线，=，-1+ln=（1-），-1-=(-1)，=-1。
2、曲线y=在点（1，）处的切线方程为（ ）（2023全国高考甲卷文）
A y=x B y=x C y=x + D y=x +
【解析】
【考点】①函数在某点导函数定义与性质；②曲线在某点切线定义与性质；③直线点斜式方程及运用。
【解题思路】根据函数在某点导函数和曲线在某点切线的性质，运用直线点斜式方程，结合问题条件求出曲线y=在点（1，）处的切线方程就可得出选项。
【详细解答】（x）==，（1）==，y-=
（x-1），曲线y=在点（1，）处切线方程为 y=x + ， C正确，选C。
3、记函数f(x)的导函数为 (x)，若f(x)= sin2x，则 (0)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 B 1 C 0 D -1
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②求函数在某点导数值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数 (x)，运用求函数在某点导数值的基本方法求出 (0)的值就可得出选项。
【详细解答】 (x)= sin2x+ 2cos2x=( sin2x+2cos2x)， (0)= (sin0
+2cos0)=1(0+21)=2， A正确，选A。
4、若曲线y=lnx++1在点（1，2）处的切线与直线ax+y-1=0平行，则实数a的值为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A -4 B -3 C 4 D 3
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数的几何意义及运用；③两条直线平行的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，求出函数y的导函数，从而求出函数y在点x=1的导数值，运用函数在某点导数的结合意义和两条直线平行的充分必要条件得到关于a的方程，求解方程求出实数a的值就可得出选项。
【详细解答】=+2x， =1+21=1+2=3， 曲线y=lnx++1在点（1，2）处的切线与直线ax+y-1=0平行， -a=3,即a=-3, B正确，选B。
5、曲线y=在点（-1，-3）处的切线方程为 （2021全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数定义与性质；③求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数y的导函数，从而求出导函数在点x=-1的导数值，运用函数在某点导数的结合意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法就可求出曲线y=在点（-1，-3）处的切线方程。
【详细解答】==，==5，切线过点（-1，-3），曲线y=在点（-1，-3）处的切线方程为y+3=5(x+1)，即：5x-y+2=0。
6、若过点（a，b）可以做曲线y=的两条切线，则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数定义与性质；③求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数y的导函数，运用函数在某点导数的性质和求曲线在某点处切线方程的基本方法，求出曲线y=过点（a，b）的两条切线方程，从而得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b之间的关系就可得出选项。 A
【详细解答】如图，设过点（a，b）与曲线y=的两条切线 y
的切点分别为A（，），B（，），=， B (a，b)
EMBED Equation.DSMT4 =，=，过点（a，b）与曲线y=的
两条切线方程分别为：y=(x-+1)，y= (x-+1)，由图知，当-时，切线y=0，
当+时，切线y=+，点（a，b）在第一象限，且位于曲线y=，即 0D正确，选D。
7、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x) （2021全国高考新高考II）
①f()= f(). f()；②当x,（0，+）时，（x）>0；③（x）是奇函数。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②奇函数定义与性质。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用奇函数的性质，结合问题条件，就可求出函数f(x)。
【详细解答】设函数f(x)= ，f()==.，f(). f()=.， f()= f(). f()满足①；（x）=2x，当x,（0，+）时，（x）>0满足②；函数
（x）=2x的定义域为R关于原点对称，（-x）=2（-x）=-2x=-（x），函数（x）是奇函数满足③，同时具有下列性质①②③的函数f(x)= 。
8、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数定义与性质；③求曲线在某点处切线方程的基本方法；④两条直线垂直的充分必要条件及运用；⑤两点之间距离公式及运用。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数y的导函数，运用函数在某点导数的性质和求曲线在某点处切线方程的基本方法，分别求出曲线y= f(x)在点A，B处的切线方
程，从而得到点M，N的坐标，运用两条直线垂直的充分必要条件和两点之间的距离公式得
到关于的表示式，利用指数函数的性质就可求出的取值范围。
【详细解答】<0，>0， A（，1-），B（，-1），（）=-，（）=，曲线y= f(x)在点A，B处的切线方程分别为：y=-(x-+1)+1，y= (x-+1)
-1，M(0，-(-+1)+1)，N（0， (-+1)-1），直线AM垂直直线BN，-.
=-1，+=0，|AM|==-，|BN|=
==-，
==，<0，0<<1，即的取值范围是（0，1）。
9、设函数f(x)的导函数是 (x)，若f(x)= ()-cosx，则 ()=（ ）（2021成都市高三零诊）
A - B C D -
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②求函数在某点导数值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数 (x)，运用求函数在某点导数值的基本方法求出 ()的值就可得出选项。
【详细解答】 (x)= 2 ()x+sinx， ()= 2 ()+sin， ()=0， ()=2 ()+sin=0+=，B正确，选B。
10、函数f(x)=-2+3的图像在x=0处的切线方程为 （2021成都市高三零诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数的结合意义；③求函数图像在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，从而求出函数f(x)在点x=0处的导数值，运用函数在某点导数的结合意义和求函数图像在某点处切线方程的基本方法就可求出函数f(x)=-2+3的图像在x=0处的切线方程。
【详细解答】 (x)=4， (0)=41=4， f(0)=-21+3=-2+3=1，函数f(x)=-2+3的图像在x=0处的切线方程为 y-1=4(x-0)，即：y=4x+1。
11、已知函数f(x)=lnx+（mR）的图像在点（1，f(1)）处的切线l的斜率为2，则直线l在Y轴上的截距为（ ）（2021成都市高三三诊）
A 3 B -3 C 1 D -1
【解析】
【考点】①函数在某点导数的定义与性质；②函数在某点导数的几何意义；③函数求导公式，法则及运用；④求曲线在某点处切线方程的基本方法；⑤求直线在Y轴上截距的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则求出函数f(x)在点x=1的导数，运用函数在某点导数的性质和几何意义，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程求出m的值，利用曲线在某点处切线方程的基本方法求出直线l的方程，从而求出直线l在Y轴上的截距就可得出选项。
【详细解答】（x）=-=，函数f(x)=lnx+（mR）的图像在点（1，f(1)）
处的切线l的斜率为2，（1）=1-m=2，m=-1， f(1)=0-1=-1，函数f(x)
的图像在点（1，f(1)）处的切线l的方程为：y+1=2(x-1)，即y=2x-3，令x=0得y=0-3
=-3，直线l在Y轴上的截距为-3，B正确，选B。
12、（理）设函数f(x)= +（a-1）+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y= f(x)在点（0，0）处的切线方程为（ ）（2020全国高考新课标I）
A y=-2x B y=-x C y=2x D y=x
（文）曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为，则该切线的方程为 （2020全国高考新课标I）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数定义与性质；③求曲线在某
点处切线方程的基本方法；④奇函数定义与性质。
【解题思路】（理）根据奇函数的性质，求出a的值，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，由函数在某点导数的性质和求曲线在某点处切线方程的基本方法求出曲线y= f(x)在点（0，0）处的切线方程就可得出选项。（文）根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，由函数在某点导数的性质求出切线在曲线上切点的横坐标，从而得到切线在曲线上切点的坐标，运用求曲线在某点处切线方程的基本方法就可求出该切线的方程。
【详细解答】（理）函数f(x)= +（a-1）+ax为奇函数，f(-x)= -+（a-1）-ax=-f(x)= --（a-1）-ax，2（a-1）=0，a=1，f(x)= +x， (x)=3+1， (0)=0+1=1，
曲线y= f(x)在点（0，0）处的切线方程为y=x，D正确，选D。（文）设切线在曲线上切点为（，f()）， (x)= +1=， ()==2，=1， f()=ln1+1+1
=0+1+1=2，该切线的方程为y-2=2(x-1)，即y=2x 。
13、（理）若直线l与曲线y=和圆+=相切，则l的方程为（ ）
A y=2x+1 B y=2x+ C y=x+1 D y=x+
（文）设函数f(x)= ，若（1）=，则a= （2020全国高考新课标III）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数定义与性质；③求曲线在某
点处切线方程的基本方法；④判断直线与圆相切的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数y=的导函数，运用函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法求出直线l关于的方程，利用判断直线与圆相切的基本方法得到关于的方程，求解方程求出的值，从而得出直线l的方程就可得出选项。 （文）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数在某点导数的性质得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】（理）设直线l与曲线y=在点P（，）处相切，=，
=， 直线l的方程为：y-=(x-)，即x-y+=0，直线l与
圆+=相切， = = ， =1，直线l的方程为：
y=x+，D正确，选D。（文）（x）==，（1）
===，4ea=e，-2a+1=0，a=1。
14、设函数f(x)的导函数为(x)，若f(x)=lnx+ -1，则(1)=（ ）（2020成都市高三零诊）
A e-3 B e-2 C e-1 D e
【解析】
【考点】①导函数的定义与求法；②求函数值的基本方法。
【解题思路】运用求导函数的基本方法，结合问题条件求出(x)，利用求函数值的基本方法通过运算就可求出(1)的值，从而得出选项。
【详细解答】(x)= lnx+-，(1)=e-1，C正确，选C。
15、曲线y= -x在点（1，0）处的切线方程为（ ）（2020成都市高三二诊）
A 2x-y=0 B 2x+y-2=0 C 2x+y+2=0 D 2x-y-2=0
【解析】
【考点】①函数在某点导数的几何意义；②曲线在某点处切线方程的定义与性质；③求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】根据函数在某点导数的几何意义，运用求曲线在某点处切线方程的基本方法求出曲线y=-x在点（1，0）处的切线方程就可得出选项。
【详细解答】（x）=3-1，（1）=3-1=2，f(1)=1-1=0，曲线y=-x在点（1，0）处的切线方程为：y=2(x-1),即2x-y-2=0，D正确，选D。
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数在某点的导数定义与性质及运用的问题，解答这类问题需要理解函数在某点的导数的定义，掌握求函数在某点导数的基本方法；
（2）函数在某点导数的定义中，增量的形式是多样的，但无论如何变化，其实质是分子中y的增量与分母中x的增量必须一致，否则需要通过一些适当的变换使之一致；
（3）用函数在某点导数的定义求函数在该点导数的基本方法是：①求出当自变量给定一个增量时对应的函数增量；②求出对应函数增量与自变量增量的比值（平均变化率）；③求出当自变量增0时，=的极限值。
（4）函数在某点导数的几何意义是曲线在该点处切线的斜率，在质点的运动过程中是质点在该点的瞬时速度。
（5）已知函数f(x)的解析式，求函数f(x)的导函数的基本原则是先化简，再运用求导公式，法则和求导的基本方法求出函数的导函数；
（6）求函数导函数的基本方法是：①若函数f(x)的解析式是连乘形式，则应先化为多项式，再求导函数；②若函数f(x)的解析式是根式形式，则先化为指数幂，再求导函数；③若函数f(x)的解析式是复杂的分式，则先把解析式化为几个简单分式的和或差，再求导函数；
（7）运用复合函数求导法则：（x）=〔g(x)〕.(x)求函数导函数时应注意：①利用复
合函数求导法则求导时，一定要把中间变量换成自变量的函数；②需要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆；
（8）若问题的已知条件中没有函数的解析式，求函数的导函数或函数在某点的导数值时，需要首先根据条件求出函数的解析式，然后再求解问题；
（9）已知一点的坐标，求曲线过已知点的切线方程的问题主要包括：①已知点在曲线y= f(x)上；②已知点在曲线y= f(x)外，解答这类问题时，应注意判断已知点是否在曲线y= f(x)上；
（10）求已知点在曲线y= f(x)上切线方程的基本方法是：①求出函数f(x)在该点的导数值，②运用点斜式求出切线的方程；
（11）求已知点在曲线y= f(x)外切线方程的基本方法是：①设出切线切点的坐标P（，f()）；②求出过点P（，f()）的切线方程；③把已知点代入切线方程求出；④把的值代入切线方程得出答案；
（12）已知切线斜率或切线方程，求参数值的基本方法是：①求出曲线y=f(x)的切线方程；②把求出的切线方程与已知方程相比较得到关于参数的方程或方程组；③求解方程或方程组得出参数的值；
（13）对导数与函数图像的关系问题，应注意运用导数与函数变化之间的联系并结合问题的具体情况进行考虑。
【典例2】解答下列问题：
1、（理）记函数f(x)的导函数为(x)，若函数f(x)为奇函数，且当x（ -，0）时恒有f(x)<(x)tanx成立，则（ ）
A f（-）>f（-） B f（-）>-f（）
C f（）>f（） D f（-）（文）记函数f(x)的导函数为(x)，若函数f(x)为奇函数，且当x（ -，0）时恒有f(x)cosx<
(x)sinxx成立，则（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A f（-）>f（-） B f（）>-f（-）
C f（）>f（） D f（-）>-f（）
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②正切三角函数定义与性质；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（理）根据奇函数和正切三角函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件得到函数f(x)的解析式，利用函数导函数判断函数单调性的基本方法，对各选项的正确与错误进行判断，就可得出选项。（文）根据奇函数和正切三角函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件得到函数f(x)的解析式，利用函数导函数判断函数单调性的基本方法，对各选项的正确与错误进行判断，就可得出选项。
【详细解答】（理）设函数f(x)=，(x) ==-，当x（ -，0）时，f(x)-(x)tanx=+）=（cosx+）<0恒成立，且函数设函数f(x)奇函数，函数f(x)=符合题意，对A，f（-）=
=-，f（-）=-1，-<-1，f（-）f（-）==-，-f（）=-=-3，->-3，f（-）>-f（），B正确；对C，f（）==，f（）=-=，<，f（）-3，f（-）>f（-），D错误，综上所述，D正确，选D。
（文）设函数f(x)=，(x) ==-，当x（ -，0）时，cosxf(x)-(x)sinx=+）=<0恒成立，且函数设函数f(x)奇函数，
函数f(x)=符合题意，对A，f（-）==-，f（-）==-，
-<-，f（-）1，f（）>-f（），B正确；对C，f（）==1，f（）==，1<，f（）2、设a（0，1），若函数f(x)=+在（0，+）时单调递增，则a的取值范围是
（2023全国高考乙卷理）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②函数导函数定义与性质；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据指数函数和函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法和用函数导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式就可求出a的取值范围。
【详细解答】（x）=lna+ln(1+a)，函数f(x)=+在（0，+）时单
调递增，（x）=lna+ln(1+a)≥0在（0，+）上恒成立，设g(x)=（x）=lna+ln(1+a)，（x）=lna+ln(1+a)>0在（0，+）上恒成立，
函数g(x)=（x）在（0，+）时单调递增，>g(0)=（0）=lna+ln(1+a)
=ln(+a)≥0，+a-1≥0，a≤或a≥，a（0，1），≤a<1，
即若函数f(x)=+在（0，+）时单调递增，则a的取值范围是[，1）。
3、已知函数f(x)=a-lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（ ）（2023全国高
考新高考II）
A e B e C D
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数的导函数，利用函数导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式求出a的最小值就可得出选项。
【详细解答】（x）= a-,函数f(x)=a-lnx在区间（1，2）上单调递增，（x）= a-0, a，若函数f(x)=a-lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为， C正确，选C。
4、若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数 (x)，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法得到关于k的不等式，求解不等式求出实数k的取值范围就可得出选项。
【详细解答】 (x)= k-=，①当k0时， (x)<0在（1，+）恒成立，函数f(x)在（1，+）上单调递减，与题意不符；②当k>0时，令 (x)=0解得x=，函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增， 1，k2，综上所述，若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是[2，+），B正确，选B。
5、（理）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，则（ ）
A a（文）设a0，若x=a为函数f(x)=a(x-b)的极大值点，则（ ）（2021全国高考乙卷）
A ab C ab< D ab>
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②比较实数大小的基本方法；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；⑤函数极值定义与性质；⑥运用函数导
函数求函数极值的基本方法。
【解答思路】（理）根据对数的性质，运用比较实数大小和运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，得到实数a，b，c的大小关系，就可得出选项。（文）根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数在某点存在极值的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的式子，从而求出a，b直角的关系就可得出选项。
【详细解答】（理） a=2ln1.01=ln=ln1.0201，1.0201>1.02， a=2ln1.01> b=ln1.02，
设f(x)=2ln(1+x)-+1，（x）=-=>0在（0，2）上恒成立，函数f(x) 在（0，2）上单调递增， f(0)=2ln(1+0)- +1=0-1+1=0，当x（0，2）时，f(x)>0恒成立，a>c，设g(x)=ln(1+2x)- +1，（x）=-
=<0在[0，+）上恒成立，函数g(x)在[0，+）上单调递减， g(0)
=ln(1+0)- +1=0-1+1=0，当x[0，+）时，g(x)<0恒成立，c>b，综上所述， b作出函数f(x)的 大致图像如图（1）所示，由图
知0图（2）所示，由图知b， (图1) (图2)
D正确， 选D。
『思考问题2』
（1）【典例2】是运用函数导函数解答函数单调性的问题，解答这类问题需要理解函数导函数与函数单调性的关系定理，掌握运用函数导函数判定函数单调性的基本方法，同时注意参数分类讨论的原则和基本方法；
（2）运用函数导函数解答函数单调性问题的基本方法是：①确定函数的定义域；②求函数的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；③用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导函数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号由定理判断函数f(x)在各个小区间的增减性；⑤得出结论；
（3）运用函数导函数解答含参数函数单调性问题的基本方法是：①确定函数定义域；②求函数导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根（注意参数对实根的影响）；③用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导函数（x）在各个小区间上的符号（注意参数对不等式的影响），根据（x）的符号由定理判断函数f(x)在各个小区间的单调性；⑤得出结论；
（4）含参数的函数的单调性问题一般要对参数分类讨论，常见的分类讨论标准是：①方程（x）=0是否有根；②若方程（x）=0有根，需要判断求出的根是否在定义域内；③若方程（x）=0的根在定义域内且有两个需要比较根的大小。
【典例3】解答下列问题：
1、若函数f(x)=alnx++(a0)既有极大值又有极小值，则（ ）（2023全国高考新高
考II）
A bc＞0 B ab＞0 C b+8ac＞0 D ac＜0
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③函数极值定义与性质；④运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数的导函数，利用函数导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式求出a的最小值就可得出选项。
【详细解答】（x）=--=，函数f(x)=alnx++(a0)既有极大值又有极小值，方程 a-bx-2c=0在（0，+∞）有不同的两个根，= b+8ac＞0，且b/a＞0，且-2c/a＞0， b+8ac＞0，且a，b同号，a，c异号，综上所述，A错误，B，C，D正确，选BCD。
2、（理）若函数f(x)=x在x=1处有极大值，则实数a的值为（ ）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
（文）若函数f(x)=+2a+x在x=1处有极大值，则实数a的值为（ ） （成都市高2020级高三一诊）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
【解析】
【考点】①函数极值定义与性质；②函数求导法则和基本方法；③判断函数在某点存在极值的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数求导法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数 (x)，运用函数极值的性质和判断函数在某点存在极值的基本方法得到关于的方程，求解方程求出实数a的值就可得出选项。（文）根据函数求导法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数 (x)，运用
函数极值的性质和判断函数在某点存在极值的基本方法得到关于的方程，求解方程求出实数a
的值就可得出选项。
【详细解答】（理） (x)=+2x（x+a）=（x+2）(3x+a)，函数f(x)=x在x=1处有极大值， (1)=（1+2）(3+a)=0，a=-3，若函数f(x)=x在x=1处有极大值，则实数a的值为-3，D正确，选D。
（文） (x)=3+4ax+=（3x+a）(x+a)，函数f(x)=+2a+x在x=1处有极大值， (1)=（3+a）(1+a)=0，a=-3，或a=-1，若函数f(x)=+2a+x在x=1处有极大值，则实数a的值为-3或-1，B正确，选B。
3、（理）若函数f(x)=xlnx-a存在极大值点，且2f（）>，则实数a的取值范为 。
（文）函数f(x)=-+1的最大值为 （成都市高2020级高三二诊）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导法则和基本方法；③运用函数导函数求函数极值的基本方法；④参数分类讨论原则与基本方法；⑤运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数导函数的性质和函数求导法则与基本方法，求出函数f(x)的导函数(x)，运用参数分类讨论原则与基本方法和函数导函数求函数极值的基本方法，结合问题条件就可求出实数a的取值范围。（文）根据函数导函数的性质和函数求导法则与基本方法，求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数导函数求函数最值的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的最大值。
【详细解答】（理）(x)=lnx+1-ax，设函数g(x)=lnx+1-ax，(x)=-a，①当a≤0时，(x)=-a＞0在（0，+）上恒成立，函数g(x)=(x)在（0，+）上单调递增，(1)=0+1-a>0，存在点（0，1）使()=0，x（0，）时，(x)<0，x（，1）时，(x)>0，此时函数f(x)存在极小值点，与题意不符；②当a>0时，令(x)=-a=0，解得x=，x（0，）时，(x)>0，x（，+）时，(x)<0，函数g(x)=(x)在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，g()=()=-lna+1-1=-lna，若a≥1，()=-lna<0，函数g(x)=(x)<0在（0，+）上恒成立，函数f(x)在（0，+）上单调递减，此时函数f(x)不存在极大值点；若00，存在点（，+）使()=ln+1-a=0，即a=，x（，）时，(x)>0，x（，+）时，(x)<0，函数f(x)存在极大值点，2f（）=2ln-
=ln-）>（（，+）），设函数h(x)=xlnx-x-，（x（，+）），(x)=lnx+1-1=lnx，令(x)=lnx=0解得x=1，(x)>0在（，+）上恒成立，函数h(x)在（，+）上单调递增，h()=2--=0，>，a=（x（，+）），设函数u（x）=（x（，+）），(x)==<0在（，+）上恒成立，函数u（x）在（，+）上单调递减，0，则实数a的取值范围为（0，）。
（文）(x)=-2x，令(x)=0解得：x=0或x=2，x（-，0）（2，+）时，(x)>0，x（0，2）时，(x)<0，函数f(x)在（-，0），（2，+）上单调递增，在（0，2）上单调递减，函数f(x)的最大值为f(0)=0-0+1=1。
4、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=lnx，若对任意， （0，2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（ ）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
（文）已知函数f(x)= +lnx，若对任意， （0，2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（ ）（成都市2019级高三零诊）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
【解析】
【考点】①函数单调性定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解答思路】（理）根据函数单调性的性质，结合问题条件得到函数h(x)= + lnx+x（0，2]上单调递增，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数h(x)的导函数（x），得到（x）0在（0，2]恒成立，从而得到a，设M（x）=，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数M（x）的最小值，从而得到实数a的取值范围就可得出选项。（文）
根据函数单调性的性质，结合问题条件得到函数g(x)= + lnx+x在（0，2]上单调递增，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数g(x)的导函数（x），得到（x）0在（0，2]恒成立，从而得到a，设h（x）=，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数h（x）的最小值，从而得到实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】（理）设<，对任意， （0，2]，且<，都有
>-1成立，对任意， （0，2]，且<，都有f()+ g()+>f()+ g()+
成立，函数h(x)= f(x)+ g(x)+x= + lnx +x在（0，2]上单调递增，函数（x）=- + +10在（0，2]恒成立， a在（0，2]恒成立，设函数M（x）=，（x）===，令（x）=0解得：x=-1或x= ，-1（0，2]，当x（0，）时，（x）<0，当x（，2]时，（x）>0， 函数M（x）在（0，）上单调递减，在（，2]上单调递增，当x（0，2]，= M（）==，若对任意， （0，2]，且，都有 >-1，则实数a的取值范围是（-，]，A正确，选A。（文）设<，对任意， （0，2]，且<，都有>-1成立，
对任意， （0，2]，且<，都有f()+>f()+成立，函数g(x)= f(x)-+x=
+ lnx +x在（0，2]上单调递增，函数（x）=- + +10在（0，2]恒成立， a在（0，2]恒成立，设函数h（x）=，（x）==，令（x）=0解得：x=-1或x= ，-1（0，2]，当x（0，）时，（x）<0，当x（，2]时，（x）>0， 函数h（x）在（0，）上单调递减，在（，2]上单调递增，当x（0，2]，= h（）==，若对任意， （0， 2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（-，]，A正确，选A。
5、若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍文）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②对数定义与性质；③运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】设t= x，t（0，+ ），结合问题条件得到函数f(t)=t-lnt-1，根据函数零点的性质，运用函数导函数求函数最值的基本方法，求出函数f(t)在（0，+ ）上的最小值为0，从而得到函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数就可得出选项。
【详细解答】 函数f(x)= x-x-lnx-1，函数f(x)= x-ln（x）-1，设t= x，t（0，
+ ），函数f(x)= x-ln（x）-1，函数f(t)=t-lnt-1，（t）=1-=，令（t）=0解得：t=1，当t（0，1）时，（t）<0，当t[1，+ ）时，（t）>0，函数f(t)在（0，1）上单调递减，在[1，+ ）上单调递增， f(1)=1-ln1-1=1-0-1=0，函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为1，B正确，选B。
6、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数求函数最值的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的最小值。
【详细解答】①当x时，f(x)=2x-1-2lnx，（x）=2-=，令（x）=0解得x=1，当x[，1）时，（x）<0，当x,（1，+）时，（x）>0，
= f(1)=2-1-0=1；②当0上恒成立，函数f(x)在（0，）上单调递减，> f()=1-1+2ln2=2ln2>1, 综上所述，函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为1。
7、若函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）（2021成都市高
三一诊）
A （-，0）（4，+） B （-，-8）（0，+） C ［0，4］ D (-8，0)
【解析】
【考点】①函数零点的定义与性质；②确定函数零点的基本方法；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数零点的性质和确定函数零点的基本方法，得到f(x)= -3+a=0，-+3=a，设g(x)= -+3，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数g(x)的导函数，利用函数导函数确定函数极值的基本方法求出函数g(x)的极值，作出函数g(x)的大致图像，由函数图像求出函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点时，实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】 f(x)= -3+a=0，-+3=a，设g(x)= -+3，（x）=-3+6x=-3x(x-2)，令（x）=0解得：x=0或x=2，当x（-，0）（2，+）时，（x）＜0，当x（0，2）时，（x）＞0，函数g(x)在（-，0），（2，+）上单调递减，在（0，2）上单调递增，
= g(0)=-0+0=0，= g(2)=-8+12=4，作出函数 y y=a
g(x)的大致图像如图所示，函数f(x)= -3+a有 g(x)= -+3
且仅有一个零点，直线y=a与函数g(x)的图像有且 0 1 2
仅有一个交点，由图知实数a的取值范围是（-，0）（4，+），A正确，选A。
8、（理）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=1+2lnt，g()=，则（-）lnt的最小值为（ ）
A B C - D -
（文）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=lnt，g()=t，则lnt的最小值为（ ）（2021成都市高三一诊）
A B C - D -
【解析】
【考点】①对数的定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法； ③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）根据对数的性质，结合问题条件得到(-1)= ln,构造函数
h(x)=x x（0，+）,运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，可知函数h(x)在（0，+）上单调递增，得到，的等式，从而得到（-）lnt关于t的函数表示式，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数的导函数，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出（-）lnt的最小值就可得出选项。（文）根据对数的性质，结合问题条件得到(-1)= ln,构造函数h(x)=x x（0，+）,运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，可知函数h(x)在（0，+）上单调递增，得到，的等式，从而得到lnt关于t的函数表示式，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数的导函数，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出lnt的最小值就可得出选项。
【详细解答】（理） f(x)=x+ln(x-1)，f()=+ln(-1)=ln (-1)=1+2lnt=lne， (-1)= e， (-1)= , g(x)=xlnx，g()=ln= ln=， (-1)= ln,设h(x)=x,x（0，+），（x）=+x= (x+1)＞0在（0，+）上恒成立，函数h(x)在（0，+）上单调递增， h(-1)= h(ln)，-1= ln，（-）lnt=（-1）lnt=ln lnt= lnt，设函数u（t）=lnt， t（0，+）， (t)=2tlnt+t=t(2lnt+1)，令 (t)=0解得：t=0或t=，当t（0，）时， (t)＜0，当t［，+）时， (t) 0，函数u（t）在（0，）上单调递减，在［，+）上单调递增，= u（）=ln=-,（-）lnt的最小值为-,C正确，选C。（文） f(x)=x+lnx，f()=+ln=ln=lnt，= t， g(x)=xlnx，g()=ln= ln=t， = ln,设h(x)=x,x（0，+），（x）=+x= (x+1)＞0在（0，+）上恒成立，函数h(x)在（0，+）上单调递增， h()= h(ln)，= ln，lnt=ln lnt=t lnt，设函数u（t）=tlnt， t（0，+）， (t)=lnt+1，令 (t)=0解得：t=，当t（0，）时， (t)＜0，当t［，+）时，
(t) 0，函数u（t）在（0，）上单调递减，在［，+）上单调递增，= u
（）=ln=-,lnt的最小值为-,C正确，选C。
9、已知P是曲线y=sinx+cosx(x［0, ］)上的动点，点Q在直线x+y-6=0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为（ ）（2021成都市高三二诊）
A B C D
【解析】
【考点】①正弦三角函数的定义与性质；②点到直线的距离公式及运用；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据y=sinx+cosx=sin(x+)和点到直线的距离公式，得到|PQ|关于x的三
角函数式，运用函数求导公式，法则和基本方法，利用函数导函数求函数最值的基本方法，求出|PQ|取最小值时，点P横坐标x的值就可得出选项。
【详细解答】 y=sinx+cosx=sin(x+)，x［0, ］, x+ ［,］，
点P（x, sin(x+)）, |PQ|=,设函数g(x)=x
+sin (x+),(x)=1+ cos(x+),令(x)=0解得：x+=，即
x=，当x［,）时， (x)＞0，当x［,］时， (x)＜0，函数g(x)在［,）上单调递增，在［,］单调递减，= g()， |PQ|取最小值时，点P的横坐标为，C正确，选C。
10、已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是 （2020全国高考新课标I）
【解析】
【考点】①正弦三角函数的定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数f(x)=2sinx+sin2x的最小正周期为2，得到函数f(x)=2sinx+sin2x的最小值，函数f(x)=2sinx+sin2x在［0,2］上的最小值，运用函数求导公式，法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数，利用函数导函数求函数最值的基本方法，求出函数f(x)
=2sinx+sin2x在［0,2］上的最小值，就可得到函数f(x)=2sinx+sin2x的最小值。
【详细解答】函数f(x)=2sinx+sin2x的最小正周期为2，函数f(x)=2sinx+sin2x的最小值，函数f(x)=2sinx+sin2x在［0,2］上的最小值， (x)=2cosx+2cos2x=2（2cosx-1）
（cosx+1），令 (x)=0解得：x=或x=或x=，函数f(x)=2sinx+sin2x在［0,2］上的最小值是f(0)，f()，f()，f()中的最小值， f(0)=2sin0+sin0=0+0=0，f()
=2sin+sin=2+=，f()=2sin+sin2=0+0=0，f()=2sin+sin
=2（-） -=-，-<0<，函数f(x)=2sinx+sin2x的最小值为-。
11、已知函数f(x)=（+x+1），则“a=”是“函数f(x)在x=-1处取得极小值”的（ ）（2020成都市高三零诊）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②函数极值的定义与求法；③充分条件，必要条件，充分必要条件的定义与判定的基本方法。
【解题思路】运用求函数导函数的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数 (x)，当a=，利用判定函数在某点存在极值的基本方法，判定函数f(x)是否在x=-1处取得极小值；当函数f(x)在x=-1处取得极小值时，看能否求出a=，根据判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法通过判定就可得出选项。
【详细解答】当a=时， (x)=(2x+) +（+2x+1）=（+4x+3），令 (x)=0，
得x=-1或x=-3，当x （-3，-1）时， (x)<0，当x （-1，+ ）时， (x)>0，
函数f(x)在x=-1处取得极小值,；当数f(x)在x=-1处取得极小值时， (x)=(2x+) +（+x+1）=[+（+2）x++1]，1++2++2=2+5，a=
，综上所述“a=”是“函数f(x)在x=-1处取得极小值”的充分而不必要条件，
A正确，选A。
12、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，则的最大值为（ ）
A B e C D
（文）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，则的最小值为（ ）（2020成都市高三二诊）
A -1 B - C - D -
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数导函数的性质和求函数导函数的公式，法则与基本方法，结合问题条件，求出函数f(x)的导函数 (x)，运用函数导函数判断函数单调性和求函数最值的基本方法，得到x （0，1）时，f(x)<0，x （1，e）时，f(x)>0，x （e，+ ）时，f(x)>0；由g(x)= x= = = f()，存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，得到0<<1，且f()=g()=f()，从而求出=，=ln，得到k，关于的表示式，求出关于k的函数表示式，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出的最大值就可得出选项。（文）根据函数导函数的性质和求函数导函数的公式，法则与基本方法，结合问题条件，求出函数f(x)的导函数 (x)，运用函数导函数判断函数单调性和求函数最值的基本方法，得到x （0，1）时，f(x)<0，x （1，e）时，f(x)>0，x （e，+ ）时，f(x)>0；由g(x)= x= = = f()，存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，得到0<<1，且f()=g()=f()，从而求出=，=ln，求出关于的函数表示式，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出的最小值就可得出选项。
【详细解答】（理）函数f(x)的定义域为（0，+ ）， (x)= ，令 (x)=0解得：x=e，当x （0，e）时， (x)>0，当x （e，+ ）时， (x)<0，函数f(x)在（0，e）
上单调递增，在（e，+ ）上单调递减， f(x)= =0， x （0，1）时，f(x)<0，x
（1，e）时，f(x)>0，x （e，+ ）时，f(x)>0， g(x)= x= = = f()，存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，=，=ln，
k=，=，=，设G（k）=（k<0），（k）=2k+
=(2k+)，令（k）=0解得：k=0或k=-2， k<0， k=-2，当k（- ，-2）时，（k）>0，当k（- 2，0）时，（k）<0，函数G（k）在（- ，-2）上单调递增，在（- 2，0）上单调递减，= G（-2）= . =，C正确，选C。
（文）函数f(x)的定义域为（0，+ ）， (x)= ，令 (x)=0解得：x=e，当x （0，e）时， (x)>0，当x （e，+ ）时， (x)<0，函数f(x)在（0，e）
上单调递增，在（e，+ ）上单调递减， f(x)= =0， x （0，1）时，f(x)<0，x
（1，e）时，f(x)>0，x （e，+ ）时，f(x)>0， g(x)= x= = = f()，存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，=，=ln，
=ln(0<<1)，设G（x）=xlnx（0x=，当x（0，）时，（x）<0，当x（，1）时，（k）>0，函数G（x）
在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增，= G（）= . ln=-，D正确，选D。
『思考问题3』
（1）【典例3】是运用函数导函数求函数极值（或最值）的问题，解答这类问题应该理解函数极值（或最值）的定义，掌握函数极值（或最值）存在定理和求函数极值（或最值）的基本方法；
（2）函数在某点存在极值的必要条件是该点的导数值为0；函数的导数在某点的导数值为0，函数在该点的极值可能存在，也可能不存在；
（3）判定函数在某点的极值是否存在或确定函数在某点存在极大值还是极小值的基本方法是：①求出该点的导数值，看是否为0，②判定函数在该点左右的导数值的符号，③运用极值存在定理判定该点是否是极值点，④运用极大值或极小值的判断方法确定函数在该点是极大值还是极小值并求出该点的函数值，⑤得出结果；
（4）与函数极值相关问题的常见题型有：①根据函数图像判断函数的极值；②求函数的极值；③已知函数的极值求参数的值或取值范围；
（5）求函数极值的基本方法是：①求函数的导函数，②求出导函数等于0这个方程的根，③判定这些点哪些极值点，④确定极值点是极大值还是极小值，⑤求出函数在该点的极大值或极小值；
（6）运用函数导函数求函数的最大值与最小值的理论依据是函数最值存在定理；
（7）函数的极值与最值的关系是：①区别：函数的极值是定义域上某一区间函数的最值，而函数最值是函数在整个定义域上的最值；②联系：当函数在某一开区间上只有一个极值点时，函数的极值就是函数的最值，当函数在区间上的极值点有多个时函数的极值不一定是函数的最值 ；
（8）求函数f(x)在闭区间〔a，b〕上的最值的基本方法是：①求出函数在闭区间〔a，b〕上的所有极值；②求出函数的端点值f(a) ，f(b)；③比较函数在闭区间〔a，b〕上的极值与端点值f(a) ，f(b)的大小，④得出函数的最值。
【典例4】解答下列问题：
1、函数f(x)=+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（ ）（2023全国高考乙卷文）
A （-，-2） B （-，-3） C （-4，-1） D (-3，0)
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③参数分类讨论原则与基本方法，运用函数导函数确定函数零点的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数的导函数，利用参数分类讨论原则与基本方法和函数导函数确定函数零点的基本方法得到关于a的不等式组，求解不等式组求出a的取值范围就可可得出选项。
【详细解答】（x）=3+a，①当a≥0时，（x）=3+a≥0在R上恒成立，函数f(x)在R是单调递增，函数f(x)至多有一个零点，与题意不符；②当a<0时，令（x）=3+a
=0解得：x=-或x=，x（-，-）（，+）时，（x）>0，
x（-，）时，（x）<0，函数f(x)在（-，-），（，+）上单调递增，在（-，）上单调递减，=f(-)=-a+2
=-+2，=f(-)=-+a+2=+2，函数f(x)存在
3个零点，-+2>0且+2<0，解之得：a<-3，若函数f(x)=+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是 （-，-3），B正确，选B。
2、（理）已知函数f(x)=x--mlnx有三个零点，，，其中mR，则m的取值范围是（ ）
A （1，+） B （2，+） C （e，+） D （3，+）
（文）已知函数f(x)=x--mlnx有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）（成都市高2020级高三三珍）
A （4，+） B （3，+） C （e，+） D （2，+）
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②函数导函数定义与性质；③求函数导函数的法则和基本方法；④运用函数导函数确定函数极值的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数零点的性质，结合问题条件得到=1，从而得到m=m，运用函数导函数的性质和函数求导法则与基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），利用函数导函数确定函数极值的基本方法，求出m的取值范围就可得出选项。（文）根据函数导函数的性质和求函数导函数的法则与基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），从而求出函数（x）的导函数（x），运用数导函数确定函数极值的基本方法，结合问题条件求出实数m的取值范围就可得出选项。
【详细解答】（理） 函数f(x)有三个零点，，，=1，m=m，（x）=1+-，（x）=-+，①当m≤0时，（x）=-+<0在（0，+）上恒成立，函数（x）在（0，+）上单调递减，此时函数f(x)在（0，+）上不可能有三个不同的零点；②当m>0时，函数f(x)在（0，+）上有三个不同的零点，（x）=1+-=在（0，+）上有两个不同的零点，=-4>0，m>2，即若函数f(x)=x--mlnx有三个零点，，，其中mR，则m的取值范围是（2，+），B正确，选B。
（文） （x）=1+-，（x）=-+，①当m≤0时，（x）=-+<0在（0，+）上恒成立，函数（x）在（0，+）上单调递减，此时函数f(x)在（0，+）上不可能有三个不同的零点；②当m>0时，函数f(x)在（0，+）上有三个不同的零点，（x）=1+-=在（0，+）上有两个不同的零点，=-4>0，m>2，综上所述，若函数f(x)=x--mlnx有三个零点，则实数的取值范围是（2，+），D正确，选D。
3、若正实数是函数f(x)=x-x-的一个零点，是函数g(x)=（x-e）(lnx-1)- 的一个大于e的零点，则的值为（ ）（成都市2020级高三零诊理）
A B C e D
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数确定函数零点的基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解答思路】根据函数零点的性质，结合问题条件得到（-1）= ，（-e）（ln-1）=，从而得到（-e）=，（ln-1）（-e）=（ln-1）（-e）=，由此得到（-e）=（ln-1）（-e），设函数h(x)=x(-e)，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数h(x)的导函数（x），由（x）0在（0，+）上恒成立，得到函数h(x) 在（0，+）上单调递增，从而得到=（ln-1），求出的值就可得出选项。
【详细解答】正实数是函数f(x)=x-x-的一个零点，是函数g(x)=（x-e）(lnx-1)- 的一个大于e的零点，--=0.，（-e）（ln（-1）-=0，（-1）=，（-e）（ln-1）=，（-e）=，（-e）（ln-1）=（ln-1）（-e）=，（-e）=（ln-1）（-e）=，设函数h(x)=x(-e)（x>0），（x）=-e+x=(x+1) -e0在（0，+）上恒成立，函数h(x) 在（0，+）上单调递增， h()= h(ln-1)=， =ln-1，===e，C正确，选C。
4、（理）已知函数f(x)= ，x>0，则关于x的方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)的解的个x，x0，数的所有可能值为（ ）
A 3或4或6 B 1或3 C 4或6 D 3
（文）已知函数f(x)= |lnx|，x>0，若函数g(x)= f(x) –m(mR)有三个不同的零点，，，
-3-x，x0，则..的值为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 0 B - C 0或- D 0或-
【解析】
【考点】①函数零点的定义与性质；②确定函数零点的基本方法；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；⑤函数图像及运用；⑥数学换元法及运用。
【解题思路】（理）根据和零点的性质和函数求导公式，法则与基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数导函数判断函数单调性和确定函数零点的基本方法，作出函数f(x)的图像，由数学换元法得到e f(x) -a f(x)-1=0(aR)， e t-at-1=0(aR)，利用方程e t-at-1=0(aR)，的根，结合函数f(x)的图像确定出方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)的解的个数的所有可能值就可得出选项。（文）根据函数零点的性质和函数图像，运用确定函数零点的基本方法，得到函数g(x) 的三个不同的零点，，，从而求出..的值就可得出选项。
【详细解答】（理）当x>0时， (x)= =，令 (x)=解得：x=1，,当x（0，1）时，（x）>0，当x（1，+）时，（x）<0，函数f(x)在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，= f(1)= =1， y y=
f()==0，当 x0时， (x)=（x+1）， 1
令 (x)= 0解得：x=-1，当x（-，-1）时， -1 0 1 y=
EMBED Equation.DSMT4 （x）<0，当x（-1，0）时，（x）>0， -
函数f(x)在（-，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增，= f(-1)=- =-，作出函数f(x)的图像如图所示，设t= f(x)， e f(x) -a f(x)-1=0(aR)， e t-at-1=0(aR)，
= +4e>0，. =-，①当>1时，-<=-.<0，如图此时函数f(x)的图像与直线y=t有三个不同的交点，方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)有3个不同的解；②当=1时，=
-.=-，如图此时函数f(x)的图像与直线y=t有三个不同的交点，方程e f(x) -a f(x)-1
=0(aR)有3个不同的解；③当0<<1时，=-.<-，如图此时函数f(x)的图像与直线
y=t仍有三个不同的交点，方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)仍有3个不同的解，综上所述，方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)仍有3个不同的解，D正确，选D。
（文）函数g(x)的零点，方程f(x) =m(mR)的根，函数f(x)的图像与直线y=m的交点的横坐标，作出函数f(x)的图像如图所示，①当m>时，直线y=m和函数f(x)的图像
至多有两个交点，与函数g(x)= f(x) –m(mR)有三个不同的零点不符；②当m=时，直线y=m
和函数f(x)的图像有三个不同的交点，此时=-，|ln|=-ln，|ln|=ln，-ln= ln，
EMBED Unknown ln+ ln=ln(.)=0，.=1， y
.. =-1=- ； ③当0直线y=m和函数f(x)的图像有四个不同的交点， - - 0 1 x
与函数g(x)= f(x) –m(mR)有三个不同的零点不符；
④当m=时，直线y=m和函数f(x)的图像有三个不同的交点，此时=-，=0，=1，
.. =-01=0；⑤当m<0时，直线y=m和函数f(x)的图像只有一个交点，与函数g(x)= f(x) –m(mR)有三个不同的零点不符，综上所述，..的值为或0，D正确，选D。
『思考问题4』
（1）【典例4】是运用函数导函数探导方程的根（或函数的零点）的问题，解答这类问题需
要理解方程的根（或函数的零点）的定义，掌握求方程的根(或函数零点)的基本方法，注意函数图像与X轴的交点与方程的根（或函数的零点）之间的内在联系；
（2）求解方程的根（或函数的零点）的基本方法是：①运用函数导函数判断函数的单调性并求出函数的极值（或最值）；②借助函数图像，根据方程的根（或函数的零点）与函数图像与X轴交点之间的关系建立含参数的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）得出结果。
【典例5】解答下列问题：
1、设函数f(x)=（x-1）（-e），g(x)=lnx-ax，其中aR，若对任意的正实数，，不等式f()g()恒成立，则实数a的最小值为（ ）（成都市2020级高三零诊文）
A 0 B 1 C D e
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，求分别出函数f(x)，g(x)的导函数（x），（x），运用函数导函数求函数最值的基本方法，分别求出函数f(x)的最小值，函数g(x)的最大值，由对任意的正实数，，不等式f()g()恒成立，函数f(x)的最小值函数g(x)的最大值，从而求出实数a的取值范围，就可求出实数a的最小值得出选项。
【详细解答】（x）=+（x-1）-e= x-e，令（x）=0解得：x=1，当x（-，1）时，（x）<0，当x（1，+）时，（x）>0， 函数f(x) 在（-，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， =f（1）=0-0-e+e=0，（x）=-a=，①当 a0时，（x）>0在（0，+）上恒成立，函数g（x）在（0，+）上单调递增， g（1）=0-a 0，与题意不符；②当a>0时，令（x）=0解得：x=，当x（0，）时，（x）>0，当x（，+）时，（x）<0， 函数g（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减， = g（）=-lna-1，由-lna-10解得：a， 若对任意， ，不等式f()g()恒成立，则实数a的最小值为，C正确，选C。
2、记定义在R上的可导函数f(x)的导函数为（x），且（x）- f(x)>0，f(1)=1，则不等式f(x)>的解集为 （成都市2019级高三三珍）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②求函数导函数公式，法则和基本方法；③指数定义与性质；求解指数不等式的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，运用求函数导函数公式，法则和基本方法，结合问题条件得到函数f(x)的解析式，从而得到关于x的不等式，运用求解指数不等式的基本方法就可求出不等式f(x)>的解集。
【详细解答】设函数f(x)=x，（x）=+x=（x+1），（x）- f(x)= （x+1）- x=>0在R上恒成立，且f(1)=1=1，函数f(x)=x是符合定义在R上的可导函数，且（x）- f(x)>0，f(1)=1的函数，不等式f(x)>，不等式x>， 不等式(x-1)>0，解之得x>1, 不等式f(x)>的解集为（1，+）。
3、（理）设k，bR，若关于x的不等式ln(x-1)+xkx+b在（1，+）上恒成立，则的最小值是（ ）
A - B - C - D -e-1
（文）设k，bR，若关于x的不等式kx+b+1lnx在（0，+）上恒成立，则的最小值是（ ）（2021成都市高三零诊）
A - B - C - D -e
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数证明不等式的基本方法；③求函数最值的基本方法。
【解答思路】（理）根据函数求导公式，法则和基本方法求所构造函数的导函数，运用函数导函数证明不等式的基本方法，结合问题条件得到关于k，b的不等式，利用求函数最值的基本方法求出的最小值就可得出选项。（文）根据函数求导公式，法则和基本方法求所构造函数的导函数，运用函数导函数证明不等式的基本方法，结合问题条件得到关于k，b的不等式，利用求函数最值的基本方法求出的最小值就可得出选项。
【详细解答】（理）关于x的不等式ln(x-1)+xkx+b在（1，+）上恒成立，关于x的不等式ln(x-1)-（k-1）x-b0在（1，+）上恒成立，设函数f(x)= ln(x-1)-（k-1）x-b， (x)=
-（k-1）==，令 (x)=0解得x=，①当<1即k<1时， (x)>0在（1，+）上恒成立，函数f(x) 在（1，+）上单调递增，f(e+1)
=1-(k-1)(e+1)-b,若b0，则f(e+1)>0与题设不符；②当>1即k>1时，x（1，
）时， (x)>0，x（，+）时， (x)<0，函数f(x) 在（1，）上
单调递增，在（，+）上单调递减，= f()=ln（-1）-k-b
=ln-k-b， ln(x-1)-（k-1）x-b0在（1，+）上恒成立， ln-k-b0，b-1
-ln（k-1）-（k-1）-2在（1，+）上恒成立， -1，设函数g(x)= -1，x（1，+），（x）= ， 令（x）=0解得x= ， x（1，）时， （x）<0，x（，+）时，（x）>0，函数g(x) 在（1，）上单调递减，在（，+）上单调递增，= g() =
-e-1，-e-1，即的最小值是-e-1，D正确，选D。（文）关于x的不等式kx+b+1lnx在（0，+）上恒成立，关于x的不等式lnx –kx-b-10在（0，+）上恒成立，设函数f(x)= lnx-kx-b-1， (x)= -k=，令 (x)=0解得x=，①当<0即k<0时， (x)>0在（0，+）上恒成立，函数f(x) 在（0，+）上单调递增，f(e)=1
-ke-b-1,若b0，则f(e)>0与题设不符；②当>0即k>0时，x（0，）时， (x)>0，x（，+）时， (x)<0，函数f(x) 在（1，）上单调递增，在（，+）上单调递减，= f()=ln-1-b-1=ln-b-2， lnx –kx-b-10在（0，+）上恒成立， ln-b-20，b- lnk-2在（0，+）上恒成立， ，设函数g(x)= ，x（0，+），（x）= ， 令（x）=0解得x=， x（0，）时， （x）<0，x（，+）时，（x）>0，函数g(x) 在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，= g() = =-e，-e，即的最小值是-e，D正确，选D。
4、若关于x的不等式xlnx-kx+2k+1>0在（2，+）内恒成立，则满足条件的整数k的最大值为（ ）（2020成都市高三零诊）
A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②运用导函数求函数最值的基本方法；③运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】运用不等式在某区间恒成立的意义与性质，结合问题条件分离常数k，根据函数导函数的求法和运用导函数求函数最值的基本方法求出函数的值域，从而求出k的最大整数就可得出选项。
【详细解答】关于x的不等式xlnx-kx+2k+1>0在（2，+）内恒成立，不等式>
k在（2，+）内恒成立，设g(x)= ，(x)= =
，令h(x)=x-2lnx-3， h(6)=6–2ln6-3= 3-2ln6<0，h()=-6-3=-9>0，
存在（6，），使h()=0，当x（6，）时，(x)= <0 ，x（，）时，(x)= >0，函数g(x)在（6，）上单调递减，在（，+）上单调递增，= g()5、（理）已知f(x)是定义在（-，）上的奇函数，其导函数(x)，f ()=，且当x（0，）时， (x)sin2x+2 f(x)cos2x>0，则不等式f(x)sin2x<1的解集为 。
（文）已知f(x)是定义在（-，）上的奇函数，其导函数(x)，f ()=，且当x（0，）时， (x)sinx+2 f(x)cosx>0，则不等式f(x)sinx<1的解集为 （2020成都市高三零诊）
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②三角函数二倍角公式及运用；③求解三角函数不等式的基本方法。
【解题思路】（理）运用求函数导函数的基本方法，结合问题条件得到三角函数角x的取值范围，利用求三角函数不等式的基本方法就可求出不等式f(x)sin2x<1的解集。（文）运用求函数导函数的基本方法，结合问题条件得到三角函数角x的取值范围，利用求三角函数不等式的基本方法就可求出不等式f(x)sin2x<1的解集|。
【详细解答】（理）由题意设f（x)=2sin2x， (x)=4cos2x，当x（0，）时， (x)sin2x+2 f(x)cos2x>0，当x（0，）时，4sin2xcos2x+4sin2xcos2x=4sin4x>0， x（0，），
f(x)sin2x<12 sin 2x<1，- 0，当x（0，）时，2sinxcosx+2sinxcosx=2sin2x>0， x（0，）， f(x)sinx<12 sin x<1，- 『思考问题5』
（1）【典例5】是运用函数导函数证明不等式的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义和性质，掌握运用函数导函数证明不等式的基本方法；
（2）运用导函数证明不等式的基本方法是：①构造一个新函数（一般是所证明的不等式两边之差）；②运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别证明函数的最大值（或最小值）小于或等于零（或大于或等于零）在某区间上恒成立；③由②判断不等式在某区间上是否恒成立；④综合得出证明的结论。
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