【高考专题】集合5分小题问题的类型与解法 二轮专题练习(含解析)

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【高考专题】集合5分小题问题的类型与解法 二轮专题练习(含解析)

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集合5分小题问题的类型与解法
集合问题是高考的热点内容之一,可以这样毫不夸张地说,只要是高考(或高三诊断考试)试卷,都必有一个集合的5分小题问题。从题型上看一般是选择题,但有时也可能是填空题,难度为低档题,百分之九十以上的考生都能得分。纵观近几年高考(或高三诊断考试)试卷,归结起来集合5分小题问题主要包括:①集合元素与集合的关系及表示的问题;②集合与集合之间的关系问题;③集合运算问题;④集合新概念的问题等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征,解答方法也有一定的规律可寻,那么在具体解答集合5分小题问题时,到底应该如何抓住问题的结构特征,快捷,准确的予以解答呢?下面通过对近几年高考(或高
三诊断考试)试题的详细解析来回答这个问题:
【典例1】解答下列问题:
1、设全集U=R,集合A={x|2A 1A B 2A C 3 A D 4A
2、(理)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足M={1,3},则( )
A 2M B 3M C 4M D 5M
(文)集合M={2,4,6,8,10},N={x|-1A {2,4} B {2,4,6} C {2,4,6,8} D {2,4,6,8,10}
3、(理)已知集合A={(x,y)|x,y ,yx},B={(x,y)|x+y=8},则A B中元素的个数为( )
A 2 B 3 C 4 D 6
(文)已知集合A={1,2,3,5,7,11 },B={x|3A 2 B 3 C 4 D 5
4、已知集合A={-1,0,m},B={1,2},若AB={-1,0,1,2},则实数m的值为( )(成都市2020高三一诊 )
A -1或0 B 0或1 C -1或2 D 1或2
5、(理)已知集合A={(x,y)|+=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( )
A 3 B 2 C 1 D 0
(文)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为( )(2017全国高考新课标III卷)
A 1 B 2 C 3 D 4
6、已知集合A={1,2},B={a,+3},若A∩B={1},则实数a的值为 (2017全国高考江苏卷)
7、设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )(2016全国高考四川卷)
A 6 B 5 C 4 D 3
8、设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a A,b B},则M中元素的个数为( )
A 3 B 4 C 5 D 6
9、(理)已知集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z=()
A -2i B 2i C -4i D 4i
(文)若集合A={xR|a+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( )
A 4 B 2 C 0 D 0或4
10、设常数aR,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x |x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为( )
A (-∞,2) B (-∞,2〕 C (2,+∞) D 〔2,+∞)
11、已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m=( )
A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3
12、(理)已知集合A={xR||x+2|<3},B={xR|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m= ,n= ;
(文)集合A={xR||x-2|≤5}中的最小整数为 ;
『思考问题1』
(1)【典例1】是与集合元素和元素与集合关系相关的问题,解答这类问题需要理解集合元素的定义,掌握元素与集合之间的关系及其表示,注意集合中元素的性质;
(2)集合中的每一个个体,称为集合的元素;元素与集合的关系有两种:①元素是集合中的元素称为元素属于集合,用符号“”表示;②元素不是集合中的元素称为元素不属于集合,用符号“”表示;
(3)确定集合中的元素或集合中元素的个数,都必须求出集合,在求复合某些条件的集合时,应该注意集合元素的性质;
(4)集合元素的性质有:①确定性,即一个集合的元素是确定的;②互异性,即一个集合中元素与元素之间不能完全相同;③无序性,即一个集合中元素与元素之间没有先后顺序。
(5)对含有参数的集合问题,应该对参数的可能取值进行分类讨论,注意参数分类标准的确定,作到分类合理,不重复不遗漏。
(6)解决集合问题中参数问题的基本方法是:①确定集合元素的属性,它表示的是一个怎样的集合(定性),②结合问题的条件进行分析,实施解答(定量);
(7)注意空集的特殊性,在具体问题中,如果没有说明集合非空,则应该考虑空集的可能性,尤其问题中涉及到A∩B=时,一定要分A或B=和A或B两种情况来考虑。
〔练习1〕解答下列问题:
1、已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为 。
2、已知互异的复数a,b满足ab0,集合{a,b} = {,},则a+b= 。
3、若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4} ,且下列四个关系:①a=1 ;②b1;③c=2;
④d4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组{a,b,c,d}的个数是 。
4、含有三个元素的集合可以表示为{a,,1},也可以表示为{,a+b,0}.
求:的值。(答案:的值为-1.)
5、设集合P={0,2,5},Q={1,2,6}定义集合P+Q={a+b|aP,bQ},则集合P+Q中元素的个数是( )
A 9 B 8 C 7 D 6
6、已知集合P={x|≤1}, M={a},若 P∪M=P, 则实数a的取值范围是( )
A (-∞,-1〕 B 〔1,+∞〕 C 〔-1,1〕 (-∞,-1〕∪〔1,+∞)
【典例2】解答下列问题:
设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若AB,则a=( )(2023全国高考新高考II)
A 2 B 1 C D -1
2、已知集合A={0,z},B={0,2,4},若A B,则实数z的值为( )(成都市2020高三三诊 )
A 0或2 B 0或4 C 2或4 D 0或2或4
3、(理)设集合A={x|-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=( )
A -4 B -2 C 2 D 4
(文)已知集合A={x| -3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=( )
A {-4,1} B {1,5} C {3,5} D {1,3}
4、已知集合A={x|-2x >0},B={x|-<x<},则()
A A∩B= B A∪B=R C A B D B A
5、已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( )
A AB B CB C DC D AD
6、已知集合A={x| -x-2<0},B={x|-1<x<1},则()
A A B B B A C A=B D A∩B=
7、已知集合M={0,1,2,3,4}, N={1,3,5},P= M∩N,则P的子集共有()
A 2个 B 4个 C 6个 D 8个
8、设集合M={1,2}, N={},则 “a=1”是“N M”的()
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
9、设集合A={(x,y)| =1}, B={(x,y)|y=3},则 A∩B的子集的个数是( )
A 4 B 3 C 2 D 1
10、已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和 N={x|+x=0}关系的韦恩氏图是( )
A B C D
11、满足M {},且M∩{}={}的集合M的个数是( )
A 1 B 2 C 3 D 4
『思考问题2』
(1)【典例2】是集合与集合之间的关系问题,解答这类问题需要理解子集,真子集和集合相等的定义,掌握子集,真子集和集合相等的性质。
(2)设A、B是两个集合,如果对任意的xA,都有xB,则称集合A是集合B的子集,
子集用符合“”表示,读作包含于,或符号“”表示,读作包含;
(2)子集的性质有:①空集是任何集合的子集;②任何集合是它自身的子集;③子集具有传递性;④含有n个元素的集合有个子集;
(3)设A、B是两个集合,如果对任意的xA,都有xB,且存在B,但A,则称集合A是集合B的真子集,真子集用符合“”表示,读作真包含于,或符号“”表示,读真包含;
(4)真子集的性质有:①空集是任何非空集合的真子集;②真子集具有传递性;③ 含有n个元素的集合的真子集个数为(-1)个;
(5)设A、B是两个集合,如果AB,且BA,则称集合A与集合B相等,表示为A=B。
〔练习2〕解答下列问题:
1、已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A B”的()
A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
2、集合{-1,0,1}共有 个子集。
3、若集合A={1,2,3},B={1,3,4},则A∩B的子集个数为( )
A 2 B 3 C 4 D 16
4、已知集合A={x|-3x+2=0,xR},B={x|0<x<5,xN},则满足条件ACB的集合C的个数为( )
A 1 B 2 C 3 D 4
【典例3】解答下列问题:
1、设集合A={x|-x-2<0},集合B={-2,-1,0,1,2},则AB =( )(成都市高2021级高三零诊)
A {-2, 0,1} B {-1,0,1,2 } C {0,1} D {1 ,2}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②求解一元二次不等式的基本方法;③交集定义与性质;④集合交集运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和求解一元二次不等式的基本方法,运用交集的性质和集合交集运算的基本方法,结合问题条件求出AB就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|-x-2<0}={x|-12、(理)设集合A={x|x=3k+1,kZ},B={x|x=3k+2,kZ},U为整数集,则(AB)=( )
A {x|x=3k,kZ} B {x|x=3k-1,kZ} C {x|x=3k-2,kZ} D
(文)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},集合N={2,5},则NM=( )(2023全国高考甲卷)
A {2,3,5} B {1,3,4} C {1,2,4,5} D {2,3,4,5}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②全集定义与性质;③并集定义与性质;④补集定义与性质;⑤求两个已知集合并集和已知集合在全集下补集的基本方法。
【解题思路】(理)根据集合表示的基本方法,全集,并集和补集的性质,运用求两个已知集合并集和已知集合在全集下补集的基本方法,结合问题条件求出(AB)可得出选项。(文)根据集合表示的基本方法,全集,并集和补集的性质,运用求已知集合在全集下补集和两个已知集合并集的基本方法,结合问题条件求出NM可得出选项。
【详细解答】(理) A={x|x=3k+1,kZ}, B={x|x=3k+2,kZ}, AB = {x|x=3k+1或x=3k+2,kZ},全集U为整数集,(AB)={x|x=3k,kZ},A正确,选A。(文) 全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4}, M = {2,3,5},集合N={2,5},,NM={2,3,5},A正确,选A。
3、(理)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1A (MN) B NM C (MN) D MN
(文)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},集合N={0,1,6},则,MN=( )(2023全国高考乙卷)
A {0,2,4,6,8} B {0,1,4,6,8} C {1,2,4,6,8} D U
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②全集定义与性质;③并集定义与性质;④交集定义与性质;⑤补集定义与性质;⑥求两个已知集合并集,交集和已知集合在全集下补集的基本方法。
【解题思路】(理)根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用求两个已知集合交集,并集和求已知集合在全集下补集的基本方法,结合问题条件对各选项的正确与错误进行判断可得出选项。(文)根据集合表示的基本方法,全集,并集和补集的性质,运用求已知集合在全集下补集和两个已知集合并集的基本方法,结合问题条件求出MN可得出选项。
【详细解答】(理)对A,集合M={x|x<1},N={x|-14、已知集合M={-2,-1,0,,1,2},集合N={x|-x-6≥0},则MN =( )(2023全国高考新高考I)
A {-2,-1,0,1} B {0,1,2} C {-2} D {2}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②交集定义与性质;③求解一元二次不等式的基本方法;④求两个已知集合交集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用求解一元二次不等式和求两个已知集合交集的基本方法,结合问题条件求出MN可得出选项。
【详细解答】集合M={-2,-1,0,,1,2},集合N={x|-x-6≥0}={x|x≤-2或x≥3},MN ={-2},C正确,选C。
5、设集合A={x|-1A {x|-1【解析】
【考点】①集合定义与性质;②表示集合的基本方法;③求解一元二次不等式的基本方法;④交集定义与性质;⑤求两个集合交集的基本方法。
【解题思路】根据表示集合的基本方法,集合和交集的性质,运用求解一元二次不等式和两个集合交集运算的基本方法,将集合B化简,从而求出A B就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|-1C正确,选C。
6、设集合A={xN||x|≤2},B={2,4},则AB=( )(成都市高2020级高三三珍)
A {0,2} B {-2,-1,0,1,2,4} C {0,1,2,4} D {1,2,4}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②求解绝对值不等式的基本方法;③并集定义与性质;④求两个已知集合并集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示和求解绝对值不等式的基本方法,将集合A化简,运用并集的性质和求两个已知集合并集的基本方法求出AB就可得出选项。
【详细解答】集合A={xN||x|≤2}={0,1,2}, B={2,4},,AB= {0,1,2,4},C正确,选C。
7、设集合A={x|-1A { 0,1} B {x|-18、(理)设全集U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,2},B={x|-4x+3=0},则(AB)=( )
A {1,3} B {0,3} C {-2,1} D {-2,0}
(文)设集合A={-2,-1,0,1,2,3}, B={x|0x<},则AB=( )(2022全国高考甲卷)
A {0,1,2} B {-2,-1,0} C {0,1} D {1,2}
9、若集合M={x|<4},N={x|3x1},则MN=( )(2022全国高考新高考I卷)
A {x|0≤x<2} B {x|≤x<2} C {x|3≤x<16} D {x|≤x<16}
10、已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则AB=() (2022全国高考新高考II卷)
A {-1,2} B {1,2} C {1,4} D {-1,4}
11、设全集U={x|x<9},集合A={3,4,5,6},则A =( )(成都市2019级高三零诊)
A { 1,2,3,8} B {1,2,7,8 } C {0,1,2,7 } D {0,1,2,7,8 }
12、设集合A={x|-x>0},B={x| 1 },则A B=( )(成都市2019级高三一诊)
A (- ,1) B (- 1,1) C (1,+) D [1,+)
13、设集合A={x|x<3}, 若集合B满足AB={1,2,3},则满足条件的集合B的个数为( )(成都市2019级高三二诊)
A 1 B 2 C 3 D 4
14、设集合A={x||x|<2},B={x|+3x<0},则AB=( )(成都市2019级高三三珍)
A (-2,3) B (-2,0) C (0,2) D (2,3)
15、(理)设集合M={x|0< x<4},N={x| ≤x<5},则M∩N=( )
A {x|0(文)设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则M∩N=( )(2021全国高考甲卷)
A {7,9} B {5,7,9} C {3,5,7,9} D {1,3,5,7,9}
16、(理)已知集合S={s| s=2n+1,nZ},T={t| t=4n+1,nZ},则S∩T=( )
A B s C T D Z
(文)已知全集U={1,2,3,4,5},M={1,2},N={3,4},则(M∪N)=( )(2021全国高考乙卷)
A {5} B {1,2} C {3,4} D {1,2,3,4}
17、设集合A={x|-2A {2} B {2,3} C {3,4} D {2,3,4}
18、设全集U={1,2,3,4,5,6 },集合A={1,3,6},B={2,3,4},则A(B)=( )(2021全国高考新高考II卷)
A {3} B {1,6} C {5,6} D {1,3}
19、设集合A={x|0A {x|020、设集合A={x|-3x-4<0},B={x||x-1|<3,x N},则A B=( )(成都市2021高三一诊 )
A {1,2,3} B {0,1,2,3} C {x|-1<x<4} D {x|-2<x<4}
21、设集合A={x|lgx<1}, B={x|x>3},则AB=( )(成都市2021高三二诊 )
A (0,+ ) B (3,10) C (-,+ ) D (3,+ )
22、设全集U=R,集合A={x|x>3},B={x|x<4},则(A)B=( )(成都市2021高三三诊 )
A {x|x<3} B {x|x3} C {x|x<4} D {x|x4}
23、设集合A={x|1x3},B={x|2A {x|224、(理)已知集合A={x|-x-2>0},则A=( )
A {x|-12} D {x|x-1}{x|x2}
(文)已知集合A={x|-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则AB=( )(2020全国高考新课标I卷)
A {-4,1} B {1,5} C {3,5} D {1,3}
25、(理)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1 },B={1,2},则(A∪B)=( )
A {-2,3} B {-2,2,3} C {-2,-1,0,3} D {-2,-1,0,2,3}
(文)已知集合A={x||x|<3,xZ},B={x||x|>1,xZ },则A B=( )(2020全国高考新课标II卷)
A B {-3,-2,2,3} C {-2,0,2} D {-2,2}
26、已知集合A={1,2,3,4},B={x|-x-6<0},则AB=( )(成都市2020高三零诊 )
A {2} B {1,2} C {2,3} D {1,2,3}
27、设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|x>2},则(M)∩N=( )(成都市2020高三二诊 )
A {x|x>2} B {x|x1} C {x|1『思考问题3』
【典例3】是集合运算的问题,集合的运算主要包括:①集合的并集;②集合的交集;③集合的补集;
设A,B是两个集合,由集合A,B的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的并集,用符号∪表示,读作并;
并集有如下性质:①任何集合与空集的并集等于这个集合本身;②任何集合与它自身的并集等于这个集合本身;③两个集合的并集具有交换性;④若A B,则A∪B=B;
设A,B是两个集合,由A,B的公共元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,用符号表示,读作交;
交集有如下性质:①任何集合与空集的交集等于空集;②任何集合与自身的交集等于它本身;③两个集合的交集具有交换性;④若A B,则A∩B=A;
研究对象的所有元素构成的集合,称为全集,一般用符号U表示;
设U为全集,A为集合,由属于集合U但不属于集合A的所有元素构成的集合,称为集合A在全集U下的补集,用符号A表示,读作集合A在全集U下的补集;
补集有如下性质:①任何集合与补集的并集等于全集;②任何集合与补集的交集等于空集;③两个集合并集的补集等于这两个集合补集的交集;④两个集合交集的补集等于这两个集合补集的并集;
(9)在进行集合运算时,如果集合是用描述法表示的应该先把集合进行化简,再进行运算;(10)如果集合涉及到不等式的解集,在进行集合的运算时应该借助于数学工具数轴来进行;(11)如果集合涉及到函数,在进行集合的运算时应该借助于函数的图像来进行,这样可以使问题更直观更简便。
〔练习3〕解答下列问题:
1、(理)已知集合A={x| x>-2},B={x| x 1},则A∪B=( )
A {x|x>-2} B{x|-2<x≤1} C{x|x≤-2} D{x|x1}
设集合P={-2,-1,0,1,2},Q={x|2+x->0},则P∩Q=( )
A {-1,0} B {0,1} C {-1,0,1} D {0,1,2}
3、设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},则A=( )
A {1,2,3} B {4,5,6} C {1,2} D {5,6}
4、设全集U=R,集合A={x|-1<x<3},B={x|x≤-2或x1},则A∩(B)=( )
A {x|-1<x<1} B{x|-2<x<3} C{x|-2≤x<3} D{x|x≤x-2或x>-1}
5、(理)设全集U={xZ |≤2x+3},集合A={0,1,2},则A=( )
A {-1,3} B {-1,0} C {0,3} D {-1,0,3}
(文)设全集U={xZ |(x+1)(x-3)≤0},集合A={0,1,2},则A=( )
A {-1,3} B {-1,0} C {0,3} D {-1,0,3}
6、已知集合A={-1,0,1,2},B={x|1},则AB=( )
A {-1,0,1} B {0,1} C {-1,1} D {0,1,2}
7、(理)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|-x-6<0},则MN=( )
A {x|-4<x<3} B {x|-4<x<-2} C {x|-2<x<2} D {x|2<x<3}
(文)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B(A)=( )
A {1,6} B {1,7} C {6,7} D {1,6,7}
8、(理)设集合A={x|-5x+6>0},B={x|x-1<0},则AB=( )
A (-,1 ) B (-2,1) C (-3,-1) D (3,+)
(文)集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则AB=( )
A (-1,+) B (-,2) C (-1,2) D
9、已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则AB=( )
A (-1,1) B (1,2) C (-1,+) D (1,+)
10、已知集合A={-1,2,3,4},B={-1,0,2},则AB= 。
11、(理)已知集合A={x| -x-2>0},则A=( )
A {x|-1<x<2} B{x|-1≤x≤2}C{x|x<-1}{x|x>2}D{x|x≤-1}{x|x2}
(文)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )
A {0,2} B {1,2} C {0} D {-2,-1,0,1,2}
12、(理)已知集合A={(x,y)| + ≤3,xZ,yZ},则A中元素的个数为( )
A 9 B 8 C 5 D 4
(文)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )
A {3} B {5} C {3,5} D {2,3,4,5,7}
14、已知集合A={x|x-10},B={0,1,2},则A∩B=( )
A {0} B {1} C {1,2} D {0,1,2}
4、已知集合A={x|x<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )
A {0,1} B {-2,0,1} C {-2,0,1,2} D {-1,0,1,2}
15、已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},则A∩B= 。
16、设集合P={x|0<x<2},Q={x|-1<x<1},则P∩Q=( )。
A {x|x<1} B {x|0<x<1} C {x|-1<x<1} D {0}
17、设集合P={x||x-1|<1},Q={x|-1<x<2},则P∩Q=( )
A (-1,) B (-1,2) C (1,2) D (0,2)
18、设全集U=R,集合A={x|x≤-2},B={x|x-1},则(A∪B)=( )
A (-2,-1) B [-2,-1] C (-,-2]∪[-1,+) D (-2,1)
19、(理)设集合A={x|-1<x<3},B={x|+x-2>0},则A∩B=( )
A (2,3) B (1,3) C (-,-2)∪(1,3) D (-,-2)∪(1,+)
(文)设集合A={x|-1<x<3},B={x|x1},若A∩B=( )
A (-1,1] B [1,3) C [-1,3] D (-1,+)
【典例4】解答下列问题:
1、若对任意xA,A,则称A是“伙伴关系集合”,则集合M={-1,0,,1,2}的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为 ;
2、设A是自然数集的一个非空子集,如果kA,A,且A,那么k是A的一个“酷元”。给定S={x∈N|y=lg(36-)},设MS,且集合M中的两个元素都是“酷元”,那么这样的集合M有( )
A 3个 B 4个 C 5个 D 6个
3、在整数集Z中,被5除余数为k的所有整数组成一个“类”,记为〔k〕 ,即〔k〕={5m+k|mZ},
K=0,1,2,3,4给出如下四个结论:(1)2011〔1〕;(2)-3〔3〕;(3)Z=〔0〕∪〔1〕∪〔2〕∪〔3〕∪〔4〕;(4)“整数a,b属于同一“类“的充要条件是a-b〔0〕”其中正确结论的个数是( )
A 1 B 2 C 3 D 4
4、已知集合A={(x,y)|+≤1,x,yZ},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,yZ},
定义集合A B={(+,+)|(,)A,(, )B},则AB中元素的个数为( )
A 77 B 49 C 45 D 30
『思考问题4』
(1)【典例4】是集合新概念的问题,它属于信息迁移类问题,是化归思想的具体运用,也是近几年的高考热点问题;它的结构特点是通过给出新的数学概念或新的运算方法,在新的情景下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向,常见的类型有:①定义新概念;②定义新公式;③定义新运算;④定义新法则;
(2)解答这类问题的基本思路是:①理解问题中新概念,新公式,新运算,新法则;②利用学过的数学知识进行逻辑推理;③对选项进行筛选,验证,得出结论。
〔练习4〕按要求解答下列各题:
1、设集合P={0,2,5},Q={1,2,6}定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},则集合P+Q中元素的个数是()
A 9 B 8 C 7 D 6
2、设集合P={1,2,3},Q={0,2,4},定义集合P×Q={a.b|aP,bQ},则集合P×Q中的元素的个数是( )
A 9 B 8 C 7 D 6
集合5分小题问题的类型与解法
集合问题是高考的热点内容之一,可以这样毫不夸张地说,只要是高考(或高三诊断考试)试卷,都必有一个集合的5分小题问题。从题型上看一般是选择题,但有时也可能是填空题,难度为低档题,百分之九十以上的考生都能得分。纵观近几年高考(或高三诊断考试)试卷,归结起来集合5分小题问题主要包括:①集合元素与集合的关系及表示的问题;②集合与集合之间的关系问题;③集合运算问题;④集合新概念的问题等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征,解答方法也有一定的规律可寻,那么在具体解答集合5分小题问题时,到底应该如何抓住问题的结构特征,快捷,准确的予以解答呢?下面通过对近几年高考(或高
三诊断考试)试题的详细解析来回答这个问题:
【典例1】解答下列问题:
1、设全集U=R,集合A={x|2A 1A B 2A C 3 A D 4A
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法;②补集定义与性质;③补集运算的基本方法;④元素与集合的关系及表示。
【解题思路】根据表示集合的基本方法和补集的性质,运用补集运算的基本方法求出A ,
利用元素与集合的关系及表示,对各选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】 全集U=R,集合A={x|24},1A , 2A , 3 A, 4A ,A,B,D错误,C正确,选C。
2、(理)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足M={1,3},则( )
A 2M B 3M C 4M D 5M
(文)集合M={2,4,6,8,10},N={x|-1A {2,4} B {2,4,6} C {2,4,6,8} D {2,4,6,8,10}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②全集定义与性质;③补集定义与性质;④交集定义与性质;⑤求已知集合在全集下补集的基本方法;⑥求两个已知集合交集的基本方法。
【解题思路】(理)根据集合表示的基本方法,全集和补集的性质,运用求已知集合在全集下补集的基本方法,结合问题条件确定出集合M,可得出选项。(文)根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用求两个已知集合交集的基本方法,结合问题条件求出MN就可得出选项。
【详细解答】(理)全集U={1,2,3,4,5}, M={1,3},集合M={2,4,5},
A正确,选A。(文) M={2,4,6,8,10}, N={x|-13、(已知理)集合A={(x,y)|x,y ,yx},B={(x,y)|x+y=8},则A B中元素的个数为( )
A 2 B 3 C 4 D 6
(文)已知集合A={1,2,3,5,7,11 },B={x|3A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法;②交集定义与性质;③集合运算的基本方法。
【解题思路】(理)根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用集合运算的基本方法求出A B,从而确定出A B中元素的个数就可得出选项。(文)根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用集合运算的基本方法求出AB,从而确定出A B中元素的个数就可得出选项。
【详细解答】(理)集合A={(x,y)|x,y ,yx},B={(x,y)|x+y=8},A B
={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},即A B中元素的个数为4,C正确,选C。
(文)集合A={1,2,3,5,7,11 },B={x|34、已知集合A={-1,0,m},B={1,2},若AB={-1,0,1,2},则实数m的值为( )(成都市2020高三一诊 )
A -1或0 B 0或1 C -1或2 D 1或2
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法;②并集的定义与性质;③并集运算的基本方法。
【解题思路】根据集合的表示法,运用并集的运算方法就可得出结果。
【详细解答】AB={-1,0,1,2},m=1或2,D正确,选D。
5、(理)已知集合A={(x,y)|+=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( )
A 3 B 2 C 1 D 0
(文)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为( )(2017全国高考新课标III卷)
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②交集定义与性质;③判断直线与圆位置关系的基本方法;④集合运算的基本方法;⑤集合元素定义与性质。
【解题思路】(理)根据表示集合的基本方法和交集的性质,运用判断直线与圆位置关系和集合运算的基本方法,求出A∩B,利用元素的性质确定出A∩B中元素的个数就可得出选项。(文)根据表示集合的基本方法和交集的性质,运用集合运算的基本方法方法,求出A∩B,利用元素的性质确定出A∩B中元素的个数就可得出选项。
【详细解答】(理)如图,由+=1,得 x=, y
y=x y= , x
或 x=-,且 y=-,A∩B={(,),(-,-)},即A∩B中元素的个数为2个,B正确,选B。(文)集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},A∩B={2,4},即A∩B中元素的个数为2个,B正确,选B。
6、已知集合A={1,2},B={a,+3},若A∩B={1},则实数a的值为 (2017全国高考江苏卷)
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②交集定义与性质;③集合运算的基本方法;④方程定义与性质;⑤求解方程的基本解法。
【解题思路】根据表示集合的基本方法和交集的性质,运用集合运算的基本方法得到1B,从而得到关于a的方程,利用求解方程的基本方法就可求出a的值。
【详细解答】集合A={1,2},B={a,+3},且 A∩B={1},1B, +3 3,
a=1。
7、设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )(2016全国高考四川卷)
A 6 B 5 C 4 D 3
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②交集定义与性质;③集合运算的基本方法;④集合元素定义与性质。
【解题思路】根据表示集合的基本方法和交集的性质,运用集合运算的基本方法,求出A∩Z,利用元素的性质确定出A∩Z中元素的个数就可得出选项。
【详细解答】 A={x|1≤x≤5},Z为整数集,A∩Z={1,2,3,4,5},即A∩Z中元素的个数为5个,B正确,选B。
8、设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a A,b B},则M中元素的个数为( )
A 3 B 4 C 5 D 6
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②集合元素定义与性质。
【解题思路】根据表示集合的基本方法和集合元素的性质,求出集合M,确定出集合M中元素的个数就可得出选项。
【详细解答】1+4=5,1+5=6,2+4=6,2+5=7,3+4=7,3+5=8, M={x|x=a+b,a A,b B}={5,6,7,8},B正确,选B。
9、(理)已知集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z=()
A -2i B 2i C -4i D 4i
(文)若集合A={xR|a+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( )
A 4 B 2 C 0 D 0或4
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②交集定义与性质;③集合运算的基本方法;④复数定义与性质;⑤方程定义与性质;⑥求解方程的基本方法;⑦参数分类讨论的原则和方法。
【解题思路】(理)设Z=a+bi,根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用集合运算的基本方法,得到 zi=4,利用复数的性质,求出a,b的值就可得出选项。(文)根据集合表示的基本方法和方程的性质,运用求解方程的基本方法和参数分类讨论的原则与基本方法,分情况分别求出a的值就可得出选项。
【详细解答】(理)设Z=a+bi,集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},且M∩N={4}, zi=(a+bi)i=ai+b=-b+ai=4,-b=4,a=0, Z=-4i,C正确,选C。(文)集合A={xR|a+ax+1=0}中只有一个元素,方程a+ax+1=0只有一个根,①当a=0时,a+ax+1=0 1=0,显然等式不成立,此时无解;②当a0时,方程a+ax+1=0只有一个根,=-4a=0, a=0或a=4, a0, a=4,综上所述,当集合A={xR|a+ax+1=0}中只有一个元素时,a=4,A正确,选A。
10、设常数aR,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x |x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为( )
A (-∞,2) B (-∞,2〕 C (2,+∞) D 〔2,+∞)
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②并集定义与性质;③集合运算的基本方法;④不等式定义与性质;⑤求解不等式的基本方法;⑥参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和并集的性质,运用集合运算的基本方法方法,结合问题条件,得到关于参数a的不等式,利用参数分类原则与基本方法和求解不等式的基本方法分别求解不等式求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】①当a>1时,如图, A={x|(x-1)(x-a)≥0}
={x|x 1或x≥a}, B={x |x≥a-1}, A∪B=R, 0 a-1 1 a
a-11,1≥0}= R, B={x |x≥a-1}, A∪B=R显然成立;③当a<1 a-1 a 0 1
时,如图 A={x|(x-1)(x-a)≥0}= A={x|x a或x≥1}, B={x |x≥a-1}, A∪B=R显然成立,综上所述,当A∪B=R时,实数a的取值范围是 a2,B正确,选B。
11、已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m=( )
A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②并集定义与性质;③集合运算的基本方法;④集合与集合的关系。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和并集的性质,运用集合运算的基本方法和集合与集合之间的关系,得到集合B是集合A的子集,从而得到m=3或m=,求解方程求出m的值就可得出选项。
【详细解答】 A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,BA,mA, m=3或m=,即 m=3或m=0,B正确,选B。
12、(理)已知集合A={xR||x+2|<3},B={xR|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m= ,n= ;
(文)集合A={xR||x-2|≤5}中的最小整数为 ;
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②交集定义与性质;③集合运算的基本方法;④方程,不等式定义与性质;⑤求解方程,不等式的基本方法;⑥参数分类的原则与方法。
【解题思路】(理)根据交集的性质和集合表示的基本方法,运用集合运算的基本方法,得到关于参数m,n的方程,利用求解方程的基本方法和参数分类的原则与方法分别求解方程就可求出m,n的值;(文)根据集合表示的基本方法和不等式的解法,结合问题条件求出集合A,就可得出集合A中的最小整数。
【详细解答】(理)①当m<2时,如图, A={x||x+2|<3}
={x|-5A∩B=(-1,n), m=-1,n=1 ;②当m=2时, A={x|
|x+2|<3}={x|-5A∩B=, 与题意不符合 ;③当m>2时,如图, A={x| -5 -1 0 1 2 m
|x+2|<3}= A={x|-5『思考问题1』
(1)【典例1】是与集合元素和元素与集合关系相关的问题,解答这类问题需要理解集合元素的定义,掌握元素与集合之间的关系及其表示,注意集合中元素的性质;
(2)集合中的每一个个体,称为集合的元素;元素与集合的关系有两种:①元素是集合中的元素称为元素属于集合,用符号“”表示;②元素不是集合中的元素称为元素不属于集合,用符号“”表示;
(3)确定集合中的元素或集合中元素的个数,都必须求出集合,在求复合某些条件的集合时,应该注意集合元素的性质;
(4)集合元素的性质有:①确定性,即一个集合的元素是确定的;②互异性,即一个集合中元素与元素之间不能完全相同;③无序性,即一个集合中元素与元素之间没有先后顺序。
(5)对含有参数的集合问题,应该对参数的可能取值进行分类讨论,注意参数分类标准的确定,作到分类合理,不重复不遗漏。
(6)解决集合问题中参数问题的基本方法是:①确定集合元素的属性,它表示的是一个怎样的集合(定性),②结合问题的条件进行分析,实施解答(定量);
(7)注意空集的特殊性,在具体问题中,如果没有说明集合非空,则应该考虑空集的可能性,尤其问题中涉及到A∩B=时,一定要分A或B=和A或B两种情况来考虑。
〔练习1〕解答下列问题:
1、已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为 。(答案:集合A∪B中元素的个数为5个。)
2、已知互异的复数a,b满足ab0,集合{a,b} = {,},则a+b= 。(答案:a+b=1。)
3、若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4} ,且下列四个关系:①a=1 ;②b1;③c=2;
④d4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组{a,b,c,d}的个数是 。(答案:符合条件的有序数组{a,b,c,d}的个数是6个。)
4、含有三个元素的集合可以表示为{a,,1},也可以表示为{,a+b,0}.
求:的值。(答案:的值为-1.)
5、设集合P={0,2,5},Q={1,2,6}定义集合P+Q={a+b|aP,bQ},则集合P+Q中元素的个数是()(答案:B)
A 9 B 8 C 7 D 6
6、已知集合P={x|≤1}, M={a},若 P∪M=P, 则实数a的取值范围是( )(答案:C)
A (-∞,-1〕 B 〔1,+∞〕 C 〔-1,1〕 (-∞,-1〕∪〔1,+∞)
【典例2】解答下列问题:
1、设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若AB,则a=( )(2023全国高考新高考II)
A 2 B 1 C D -1
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②子集定义与性质;③集合元素定义与性质;④元素与集合之间的关系及表示。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和集合元素与子集的性质,运用元素与集合的关系及表示,结合问题条件得到关于a的方程,求解方程求出a的值就可得出选项。
【详细解答】集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若AB,a-2=0,且-a=1,或2a-2=0,且-a=1,或a-2=0,且-a=2a-2,或2a-2=0,且-a=a-2,解之得:a=1,B正确,选B。
2、已知集合A={0,z},B={0,2,4},若A B,则实数z的值为( )(成都市2020高三三诊 )
A 0或2 B 0或4 C 2或4 D 0或2或4
【解析】
【考点】①集合元素的定义与性质;②子集的定义与性质;③集合表示的基本方法。
【解题思路】根据集合元素和子集的性质确定实数z可能的取值就可得出选项。
【详细解答】集合A={0,z},B={0,2,4},A B,实数z可能是2或4,C正确,
选C。
3、(理)设集合A={x|-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=( )
A -4 B -2 C 2 D 4
(文)已知集合A={x| -3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=( )
A {-4,1} B {1,5} C {3,5} D {1,3}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②交集定义与性质;③集合运算的基本方法。
【解题思路】(理)根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用集合运算的基本方法求出a的值就可得出选项。(文)根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用集合运算的基本方法求出A∩B就可得出选项。
【详细解答】(理) A={x|-4≤0}={x|-2≤x≤2},B={x|2x+a≤0}={x|x≤-}, A∩B={x|-2≤x≤1},-=1,即 a=-2,B正确,选B;(文) A={x| -3x-4<0}={x|-1<x<4},B={-4,1,3,5}, A∩B={1,3},D正确,选D。
4、已知集合A={x|-2x >0},B={x|-<x<},则()
A A∩B= B A∪B=R C A B D B A
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②集合与集合的关系;③并集定义性质;④交集定义与性质;⑤集合运算的基本方法;⑥求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据集合的表示方法,交集和并集的性质,运用集合运算和求解不等式的基本方法,求出A∩B,A∪B,利用集合与集合的关系就可得出选项。
【详细解答】如图, A={x|-2x >0}={x|x<0 - 0 1 2
或x >2},B={x|-<x<}, A∪B=R,B正确,选B。
5、已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( )
A AB B CB C DC D AD
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②集合与集合的关系;③平行四边形,菱形,矩形和正方形之间的关系。
【解题思路】根据集合的表示方法和平行四边形,菱形,矩形和正方形之间的关系,得到集合A,B,C,D之间的关系就可得出选项。
【详细解答】正方形是特殊的矩形,矩形是特殊的平行四边形,菱形是特殊的平行四边形,但不一定是矩形, CB ,B正确,选B。
6、已知集合A={x| -x-2<0},B={x|-1<x<1},则()
A A B B B A C A=B D A∩B=
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②集合与集合的关系;③求解不等式的基本方法;④交集定义与性质;⑤集合运算的基本方法。
【解题思路】根据集合的表示方法和求解不等式的基本方法,化简集合A,运用集合与集合的关系和集合运算的基本方法就可得出选项。
【详细解答】 A={x| -x-2<0}={x|-1<x<2},
B={x|-1<x<1} B A ,B正确,选B。 -1 0 1 2
7、已知集合M={0,1,2,3,4}, N={1,3,5},P= M∩N,则P的子集共有()
A 2个 B 4个 C 6个 D 8个
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②子集定义与性质;③交集定义与性质;④集合运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用集合运算的基本方法求出集合P,利用子集的性质确定出集合P子集的个数就可得出选项。
【详细解答】集合M={0,1,2,3,4}, N={1,3,5}, P= M∩N={1,3},即集合P的子集有4个,B正确,选B。
8、设集合M={1,2}, N={},则 “a=1”是“N M”的()
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②子集定义与性质;③充分条件,必要条件,充分必要条件定义与性质;④判断充分条件,必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法,子集和充分条件,必要条件,充分必要条件的性质,运用判断充分条件,必要条件和充分必要条件的基本方法对“a=1”是“N M”的条件进行判断就可得出选项。
【详细解答】当a=1时,N={}={1}, N M,“a=1”是“N M”的充分条件,当 N M时,=1或=2,a=1或a=, “a=1”不是“N M”的必要条件,即“a=1”是“N M”的充分不必要条件,A正确,选A。
9、设集合A={(x,y)| =1}, B={(x,y)|y=3},则 A∩B的子集的个数是( )
A 4 B 3 C 2 D 1
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②交集定义与性质;③集合运算的基本方法;④子集定义与性质。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用集合运算的基本方法方法,求出A∩B,利用子集的性质确定出集合A∩B的子集个数可得出选项。 y
【详细解答】如图, A={(x,y)| =1}, y=3
B={(x,y)|y=3}, A∩B={(,3),(- , x
3)},即集合 A∩B的子集个数为4个,A正确,选A。
10、已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和 N={x|+x=0}关系的韦恩氏图是( )
A B C D
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②子集定义与性质;③韦恩氏图及运用。
【解题思路】根据集合表示的基本方法,化简集合N,运用子集的性质和韦恩氏图就可得出选项。
【详细解答】 N={x|+x=0}={-1,0},NM,MR,B正确,选B。
11、满足M {},且M∩{}={}的集合M的个数是( )
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②子集定义与性质;③交集定义与性质;④集合运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用集合运算的基本方法,得到集合M所有可能的集合就可得出选项。
【详细解答】 M {},M∩{}={},M={},或M={,},即满足条件的集合M有2个,B正确,选B。
『思考问题2』
(1)【典例2】是集合与集合之间的关系问题,解答这类问题需要理解子集,真子集和集合相等的定义,掌握子集,真子集和集合相等的性质。
(2)设A、B是两个集合,如果对任意的xA,都有xB,则称集合A是集合B的子集,
子集用符合“”表示,读作包含于,或符号“”表示,读作包含;
(2)子集的性质有:①空集是任何集合的子集;②任何集合是它自身的子集;③子集具有传递性;④含有n个元素的集合有个子集;
(3)设A、B是两个集合,如果对任意的xA,都有xB,且存在B,但A,则称集合A是集合B的真子集,真子集用符合“”表示,读作真包含于,或符号“”表示,读真包含;
(4)真子集的性质有:①空集是任何非空集合的真子集;②真子集具有传递性;③ 含有n个元素的集合的真子集个数为(-1)个;
(5)设A、B是两个集合,如果AB,且BA,则称集合A与集合B相等,表示为A=B。
〔练习2〕解答下列问题:
1、已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A B”的()(答案:A)
A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
2、集合{-1,0,1}共有 个子集(答案:集合{-1,0,1}共有8个子集。)
3、若集合A={1,2,3},B={1,3,4},则A∩B的子集个数为( )(答案:C)
A 2 B 3 C 4 D 16
4、已知集合A={x|-3x+2=0,xR},B={x|0<x<5,xN},则满足条件ACB的集合C的个数为( )(答案:D)
A 1 B 2 C 3 D 4
【典例3】解答下列问题:
1、设集合A={x|-x-2<0},集合B={-2,-1,0,1,2},则AB =( )(成都市高2021级高三零诊)
A {-2, 0,1} B {-1,0,1,2 } C {0,1} D {1 ,2}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②求解一元二次不等式的基本方法;③交集定义与性质;④集合交集运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和求解一元二次不等式的基本方法,运用交集的性质和集合交集运算的基本方法,结合问题条件求出AB就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|-x-2<0}={x|-12、(理)设集合A={x|x=3k+1,kZ},B={x|x=3k+2,kZ},U为整数集,则(AB)=( )
A {x|x=3k,kZ} B {x|x=3k-1,kZ} C {x|x=3k-2,kZ} D
(文)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},集合N={2,5},则NM=( )(2023全国高考甲卷)
A {2,3,5} B {1,3,4} C {1,2,4,5} D {2,3,4,5}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②全集定义与性质;③并集定义与性质;④补集定义与性质;⑤求两个已知集合并集和已知集合在全集下补集的基本方法。
【解题思路】(理)根据集合表示的基本方法,全集,并集和补集的性质,运用求两个已知集合并集和已知集合在全集下补集的基本方法,结合问题条件求出(AB)可得出选项。(文)根据集合表示的基本方法,全集,并集和补集的性质,运用求已知集合在全集下补集和两个已知集合并集的基本方法,结合问题条件求出NM可得出选项。
【详细解答】(理) A={x|x=3k+1,kZ}, B={x|x=3k+2,kZ}, AB = {x|x=3k+1或x=3k+2,kZ},全集U为整数集,(AB)={x|x=3k,kZ},A正确,选A。(文) 全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4}, M = {2,3,5},集合N={2,5},,NM={2,3,5},A正确,选A。
3、(理)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1A (MN) B NM C (MN) D MN
(文)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},集合N={0,1,6},则,MN=( )(2023全国高考乙卷)
A {0,2,4,6,8} B {0,1,4,6,8} C {1,2,4,6,8} D U
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②全集定义与性质;③并集定义与性质;④交集定义与性质;⑤补集定义与性质;⑥求两个已知集合并集,交集和已知集合在全集下补集的基本方法。
【解题思路】(理)根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用求两个已知集合交集,并集和求已知集合在全集下补集的基本方法,结合问题条件对各选项的正确与错误进行判断可得出选项。(文)根据集合表示的基本方法,全集,并集和补集的性质,运用求已知集合在全集下补集和两个已知集合并集的基本方法,结合问题条件求出MN可得出选项。
【详细解答】(理)对A,集合M={x|x<1},N={x|-14、已知集合M={-2,-1,0,,1,2},集合N={x|-x-6≥0},则MN =( )(2023全国高考新高考I)
A {-2,-1,0,1} B {0,1,2} C {-2} D {2}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②交集定义与性质;③求解一元二次不等式的基本方法;④求两个已知集合交集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用求解一元二次不等式和求两个已知集合交集的基本方法,结合问题条件求出MN可得出选项。
【详细解答】集合M={-2,-1,0,,1,2},集合N={x|-x-6≥0}={x|x≤-2或x≥3},MN ={-2},C正确,选C。
5、设集合A={x|-1A {x|-1【解析】
【考点】①集合定义与性质;②表示集合的基本方法;③求解一元二次不等式的基本方法;④交集定义与性质;⑤求两个集合交集的基本方法。
【解题思路】根据表示集合的基本方法,集合和交集的性质,运用求解一元二次不等式和两个集合交集运算的基本方法,将集合B化简,从而求出A B就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|-1C正确,选C。
6、设集合A={xN||x|≤2},B={2,4},则AB=( )(成都市高2020级高三三珍)
A {0,2} B {-2,-1,0,1,2,4} C {0,1,2,4} D {1,2,4}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②求解绝对值不等式的基本方法;③并集定义与性质;④求两个已知集合并集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示和求解绝对值不等式的基本方法,将集合A化简,运用并集的性质和求两个已知集合并集的基本方法求出AB就可得出选项。
【详细解答】集合A={xN||x|≤2}={0,1,2}, B={2,4},,AB= {0,1,2,4},C正确,选C。
7、设集合A={x|-1A { 0,1} B {x|-1【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②交集定义与性质;③求交集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用求交集的基本方法,结合问题条件通过运算求出AB就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|-18、(理)设全集U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,2},B={x|-4x+3=0},则(AB)=( )
A {1,3} B {0,3} C {-2,1} D {-2,0}
(文)设集合A={-2,-1,0,1,2,3}, B={x|0x<},则AB=( )(2022全国高考甲卷)
A {0,1,2} B {-2,-1,0} C {0,1} D {1,2}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②全集定义与性质;③并集定义与性质;④补集定义与性质;⑤求两个已知集合并集和已知集合在全集下补集的基本方法;⑥交集定义与性质;⑦求两个已知集合交集的基本方法。
【解题思路】(理)根据集合表示的基本方法,全集,并集和补集的性质,运用求两个已知集合并集和已知集合在全集下补集的基本方法,结合问题条件求出(AB)可得出选项。(文)根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用求两个已知集合交集的基本方法,结合问题条件求出AB就可得出选项。
【详细解答】(理) A={-1,2}, B={x|-4x+3=0 }={1,3}, AB = {-1,1,2,3},全集U={-2,-1,0,1,2,3},(AB)={-2,0},D正确,选D。
(文) A={-2,-1,0,1,2}, B={x|0x<}, AB = {0,1,2}, A正确,选A。
9、若集合M={x|<4},N={x|3x1},则MN=( )(2022全国高考新高考I卷)
A {x|0≤x<2} B {x|≤x<2} C {x|3≤x<16} D {x|≤x<16}
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法;②交集定义与性质;③求两个已知集合交集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用求两个已知集合交集的基本方法求出M∩N就可得出选项。
【详细解答】集合M={x|<4}={x|0≤x<16},N={x|3x1}={x|x}, MN
={x|≤x<16},D正确,选D。
10、已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则AB=() (2022全国高考新高考II卷)
A {-1,2} B {1,2} C {1,4} D {-1,4}
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法;②交集定义与性质;③求两个已知集合交集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用求两个已知集合交集的基本方法求出A∩B就可得出选项。
【详细解答】集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}, AB={1,2},B正确,选B。
11、设全集U={x|x<9},集合A={3,4,5,6},则A =( )(成都市2019级高三零诊)
A { 1,2,3,8} B {1,2,7,8 } C {0,1,2,7 } D {0,1,2,7,8 }
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②全集定义与性质;③补集定义与性质;④求补集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法,全集和补集的性质,运用求补集的基本方法,结合问题条件通过运算求出A就可得出选项。
【详细解答】集合 U={x|x<9}={1,2,3,4,5,6,7,8} ,集合A={3,4,5,6 }, A ={1, 2,7,8},B正确,选B。
12、设集合A={x|-x>0},B={x| 1 },则A B=( )(成都市2019级高三一诊)
A (- ,1) B (- 1,1) C (1,+) D [1,+)
【解析】
【考点】①集合定义与性质;②表示集合的基本方法;③求解一元二次不等式的基本方法;④指数函数定义与性质;⑤交集定义与性质;⑥求两个集合交集的基本方法。
【解题思路】根据表示集合的基本方法,指数函数的性质和求解一元二次不等式的基本方法将集合A,B化简,运用交集的性质和求两个集合交集的基本方法求出A B就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|-x>0}={x|x<0或x>1},B={x| 1 }={x|x 0},A B={x|x>1},C正确,选C。
13、设集合A={x|x<3}, 若集合B满足AB={1,2,3},则满足条件的集合B的个数为( )(成都市2019级高三二诊)
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法;②并集定义与性质;③并集运算的基本方法;④子集定义与性质。
【解题思路】根据表示集合的基本方法和并集的性质,运用并集运算的基本方法和子集的性质求出AB={1,2,3}时,可能的集合B就可得出选项。
【详细解答】 A={x|x<3}= {1,2 }, AB={1,2,3},集合B可能为{3}, {1,3},{2,3},{1,2,3}共4个, D正确,选D。
14、设集合A={x||x|<2},B={x|+3x<0},则AB=( )(成都市2019级高三三珍)
A (-2,3) B (-2,0) C (0,2) D (2,3)
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②求解绝对值不等式的基本方法;③求解一元二次不等式的基本方法;④并集定义与性质;⑤求两个已知集合并集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示,求解绝对值不等式和一元二次不等式的基本方法,将集合A,B化简,运用并集的性质和求两个已知集合并集的基本方法求出AB就可得出选项。
【详细解答】集合A={x||x|<2}={x|-215、(理)设集合M={x|0< x<4},N={x| ≤x<5},则M∩N=( )
A {x|0(文)设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则M∩N=( )(2021全国高考甲卷)
A {7,9} B {5,7,9} C {3,5,7,9} D {1,3,5,7,9}
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法;②交集定义与性质;③交集运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用交集运算的基本方法求出A∩B就可得出选项。
【详细解答】(理)集合M={x|0< x<4},N={x| ≤x<5}, M∩N= {x|≤x<4}B正确,选B。(文)集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7}={x|x>},则M∩N={5,7,9},B正确,选B。
16、(理)已知集合S={s| s=2n+1,nZ},T={t| t=4n+1,nZ},则S∩T=( )
A B s C T D Z
(文)已知全集U={1,2,3,4,5},M={1,2},N={3,4},则(M∪N)=( )(2021全国高考乙卷)
A {5} B {1,2} C {3,4} D {1,2,3,4}
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法;②交集定义与性质;③全集定义与性质;④并集定义与性质;⑤补集定义与性质;⑥集合运算的基本方法。
【解题思路】(理)根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用集合运算的基本方法求出S∩T就可得出选项。(文)根据集合表示的基本方法,全集,并集和补集的性质,运用集合运算的基本方法求出(M∪N)就可得出选项。
【详细解答】(理) S={s| s=2n+1,nZ},T={t| t=4n+1,nZ}, S∩T=T,C正确,选C。(文)全集U={1,2,3,4,5},M={1,2},N={3,4}, (M∪N)={5},A正确,选A。
17、设集合A={x|-2A {2} B {2,3} C {3,4} D {2,3,4}
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法;②交集定义与性质;③交集运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用交集运算的基本方法求出A∩B就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|-218、设全集U={1,2,3,4,5,6 },集合A={1,3,6},B={2,3,4},则A(B)=( )(2021全国高考新高考II卷)
A {3} B {1,6} C {5,6} D {1,3}
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法;②交集定义与性质;③全集定义与性质;④补集定义与性质;⑤集合运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法,交集,全集和补集的性质,运用集合运算的基本方法求出A(B)就可得出选项。
【详细解答】全集U={1,2,3,4,5,6 },集合A={1,3,6},B={2,3,4}, A(B)
={1,6},B正确,选B。
19、设集合A={x|0A {x|0【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②集合交集的定义与性质;③求两个集合交集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法,集合交集的性质和求两个集合交集的基本方法,结合问题条件通过运算求出AB就可得出选项。
【详细解答】 A={x|020、设集合A={x|-3x-4<0},B={x||x-1|<3,x N},则A B=( )(成都市2021高三一诊 )
A {1,2,3} B {0,1,2,3} C {x|-1<x<4} D {x|-2<x<4}
【解析】
【考点】①集合的定义与性质;②表示集合的基本方法;③求解一元二次不等式的基本方法;④求解绝对值不等式的基本方法;⑤交集的定义与性质。
【解题思路】根据表示集合的基本方法,求解一元二次不等式和绝对值不等式的基本方法将集合A,B化简,运用交集的性质求出A B就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|-3x-4<0}={x|-1<x<4},B={x||x-1|<3,x N}= {0,1,2,3},A B={0,1,2,3},B正确,选B。
21、设集合A={x|lgx<1}, B={x|x>3},则AB=( )(成都市2021高三二诊 )
A (0,+ ) B (3,10) C (-,+ ) D (3,+ )
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②对数的定义与性质;③并集的定义与性质;④并集运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和对数的性质化简集合A,运用并集的性质和运算的基本方法求出AB就可得出选项。
【详细解答】 A={x|lgx<1}= {x|03}, AB={x|x>0},A正确,
选A。
22、设全集U=R,集合A={x|x>3},B={x|x<4},则(A)B=( )(成都市2021高三三诊 )
A {x|x<3} B {x|x3} C {x|x<4} D {x|x4}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法;②补集的定义与性质;③求已知集合在全集下补集的基本方法;④并集的定义与性质;⑤求两个已知集合并集的基本方法。
【解题思路】根据补集的性质和求已知集合在全集下补集的基本方法,结合问题条件求出结合A的补集,运用并集的性质和求两个已知集合并集的基本方法求出(A)B就可得出选项。
【详细解答】全集U=R,集合A={x|x>3}, A={x|x3}, B={x|x<4},(A)B= {x|x<4},C正确,选C。
23、设集合A={x|1x3},B={x|2A {x|2【解析】
【考点】①表示集合的基本方法;②并集定义与性质;③集合运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和并集的性质,运用集合运算的基本方法求出AB就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|1x3},B={x|2C。
24、(理)已知集合A={x|-x-2>0},则A=( )
A {x|-12} D {x|x-1}{x|x2}
(文)已知集合A={x|-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则AB=( )(2020全国高考新课标I卷)
A {-4,1} B {1,5} C {3,5} D {1,3}
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法;②全集定义与性质;③补集定义与性质;④交集定义与性质;⑤集合运算的基本方法。
【解题思路】(理)根据集合表示的基本方法,全集和补集的性质,运用集合运算的基本方法求出A 就可得出选项。(文)根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用集合运算的基本方法求出AB就可得出选项。
【详细解答】(理)集合A={x|-x-2>0}={x|x<-1或x>2},A={x|-1x2},B正确,选B。(文)集合A={x|-3x-4<0}={x|-125、(理)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1 },B={1,2},则(A∪B)=( )
A {-2,3} B {-2,2,3} C {-2,-1,0,3} D {-2,-1,0,2,3}
(文)已知集合A={x||x|<3,xZ},B={x||x|>1,xZ },则A B=( )(2020全国高考新课标II卷)
A B {-3,-2,2,3} C {-2,0,2} D {-2,2}
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法;②全集定义与性质;③补集定义与性质;④并集定义与性质;⑤交集定义与性质;⑥集合运算的基本方法。
【解题思路】(理)根据集合表示的基本方法,全集,并集和补集的性质,运用集合运算的基本方法求出(A∪B) 就可得出选项。(文)根据集合表示的基本方法和交集的性质,运用集合运算的基本方法求出AB就可得出选项。
【详细解答】(理)集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1 },B={1,2},(A
∪B)={-2,3},A正确,选A。(文)集合A={x||x|<3,xZ }={-2,-1,0,1,2 },
B={x||x|>1,xZ }={x|x<-1或x>1,xZ },AB= {-2,2} ,D正确,选D。
26、已知集合A={1,2,3,4},B={x|-x-6<0},则AB=( )(成都市2020高三零诊 )
A {2} B {1,2} C {2,3} D {1,2,3}
【解析】
【考点】①集合的表示法;②一元二次不等式的定义与解法;③集合交集的定义与运算方法。
【解题思路】运用一元二次不等式的解法,结合问题条件化简集合B,利用几何交集运算的基本方法通过运算求出AB就可得出选项。
【详细解答】 B={x|-x-6<0}={x|-227、设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|x>2},则(M)∩N=( )(成都市2020高三二诊 )
A {x|x>2} B {x|x1} C {x|1【解析】
【考点】①全集的定义与性质;②补集的定义与性质;③补集运算的基本方法;④交集的定义与性质;⑤交集运算的基本方法。
【解题思路】根据全集和补集的性质,运用补集运算的基本方法求出M,利用交集的性质和交集运算的基本方法,求出(M) N就可得出选项。
【详细解答】全集U=R,集合M={x|x<1},M= {x|x1},集合N={x|x>2},(M) N= {x|x>2},A正确,选A。
『思考问题3』
【典例3】是集合运算的问题,集合的运算主要包括:①集合的并集;②集合的交集;③集合的补集;
设A,B是两个集合,由集合A,B的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的并集,用符号∪表示,读作并;
并集有如下性质:①任何集合与空集的并集等于这个集合本身;②任何集合与它自身的并集等于这个集合本身;③两个集合的并集具有交换性;④若A B,则A∪B=B;
设A,B是两个集合,由A,B的公共元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,用符号表示,读作交;
交集有如下性质:①任何集合与空集的交集等于空集;②任何集合与自身的交集等于它本身;③两个集合的交集具有交换性;④若A B,则A∩B=A;
研究对象的所有元素构成的集合,称为全集,一般用符号U表示;
设U为全集,A为集合,由属于集合U但不属于集合A的所有元素构成的集合,称为集合A在全集U下的补集,用符号A表示,读作集合A在全集U下的补集;
补集有如下性质:①任何集合与补集的并集等于全集;②任何集合与补集的交集等于空集;③两个集合并集的补集等于这两个集合补集的交集;④两个集合交集的补集等于这两个集合补集的并集;
(9)在进行集合运算时,如果集合是用描述法表示的应该先把集合进行化简,再进行运算;(10)如果集合涉及到不等式的解集,在进行集合的运算时应该借助于数学工具数轴来进行;(11)如果集合涉及到函数,在进行集合的运算时应该借助于函数的图像来进行,这样可以使问题更直观更简便。
〔练习3〕解答下列问题:
1、(理)已知集合A={x| x>-2},B={x| x 1},则A∪B=( )(答案:A)
A {x|x>-2} B{x|-2<x≤1} C{x|x≤-2} D{x|x1}
2、设集合P={-2,-1,0,1,2},Q={x|2+x->0},则P∩Q=( )(答案:B)
A {-1,0} B {0,1} C {-1,0,1} D {0,1,2}
3、设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},则A=( )(答案:B)
A {1,2,3} B {4,5,6} C {1,2} D {5,6}
4、设全集U=R,集合A={x|-1<x<3},B={x|x≤-2或x1},则A∩(B)=( )(答案:A)
A {x|-1<x<1} B{x|-2<x<3} C{x|-2≤x<3} D{x|x≤x-2或x>-1}
5、(理)设全集U={xZ |≤2x+3},集合A={0,1,2},则A=( )(答案:A)
A {-1,3} B {-1,0} C {0,3} D {-1,0,3}
(文)设全集U={xZ |(x+1)(x-3)≤0},集合A={0,1,2},则A=( )(答案:A)
A {-1,3} B {-1,0} C {0,3} D {-1,0,3}
6、已知集合A={-1,0,1,2},B={x|1},则AB=( )(答案:A)
A {-1,0,1} B {0,1} C {-1,1} D {0,1,2}
7、(理)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|-x-6<0},则MN=( )(答案:C)
A {x|-4<x<3} B {x|-4<x<-2} C {x|-2<x<2} D {x|2<x<3}
(文)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B(A)=( )(答案:C)
A {1,6} B {1,7} C {6,7} D {1,6,7}
8、(理)设集合A={x|-5x+6>0},B={x|x-1<0},则AB=( )(答案:A)
A (-,1 ) B (-2,1) C (-3,-1) D (3,+)
(文)集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则AB=( )(答案:C)
A (-1,+) B (-,2) C (-1,2) D
9、已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则AB=( )(答案:C)
A (-1,1) B (1,2) C (-1,+) D (1,+)
10、已知集合A={-1,2,3,4},B={-1,0,2},则AB= (答案:AB={-1,2}。)
11、(理)已知集合A={x| -x-2>0},则A=( )(答案:B)
A {x|-1<x<2} B{x|-1≤x≤2}C{x|x<-1}{x|x>2}D{x|x≤-1}{x|x2}
(文)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )(答案:A)
A {0,2} B {1,2} C {0} D {-2,-1,0,1,2}
12、(理)已知集合A={(x,y)| + ≤3,xZ,yZ},则A中元素的个数为( )
A 9 B 8 C 5 D 4 (答案A)
(文)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )(答案:C)
A {3} B {5} C {3,5} D {2,3,4,5,7}
14、已知集合A={x|x-10},B={0,1,2},则A∩B=( )(答案:C)
A {0} B {1} C {1,2} D {0,1,2}
4、已知集合A={x|x<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )(答案:B)
A {0,1} B {-2,0,1} C {-2,0,1,2} D {-1,0,1,2}
15、已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},则A∩B= (答案:A∩B={1,8})
16、设集合P={x|0<x<2},Q={x|-1<x<1},则P∩Q=( )(答案:P∩Q={x|0<x<1})
A {x|x<1} B {x|0<x<1} C {x|-1<x<1} D {0}
17、设集合P={x||x-1|<1},Q={x|-1<x<2},则P∩Q=( )(答案:D)
A (-1,) B (-1,2) C (1,2) D (0,2)
18、设全集U=R,集合A={x|x≤-2},B={x|x-1},则(A∪B)=( )(答案:A)
A (-2,-1) B [-2,-1] C (-,-2]∪[-1,+) D (-2,1)
19、(理)设集合A={x|-1<x<3},B={x|+x-2>0},则A∩B=( )(答案:B)
A (2,3) B (1,3) C (-,-2)∪(1,3) D (-,-2)∪(1,+)
(文)设集合A={x|-1<x<3},B={x|x1},若A∩B=( )(答案:B)
A (-1,1] B [1,3) C [-1,3] D (-1,+)
【典例4】解答下列问题:
1、若对任意xA,A,则称A是“伙伴关系集合”,则集合M={-1,0,,1,2}的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为 ;
【解析】
【知识点】①集合的新概念的理解;②集合的表示法;③子集的定义与性质。
【解题思路】根据“伙伴关系集合”的定义,确定集合M={-1,0,,1,2}中具有“伙伴关系”的元素组为:-1,1,和2共3组,这三组元素中的任意一组构成的集合{-1},{1},{,2}满足“伙伴关系集合”的定义;任意两组构成的集合{-1,1},{-1,,2},{1,,2}满足“伙伴关系集合”的定义;三组构成的集合{-1,1,,2}满足“伙伴关系集合”的定义,从而得到具有“伙伴关系集合”的非空子集有7个。
【详细解答】对任意xA,A,则称A是“伙伴关系集合”, 集合M={-1,0,,1,2}中具有“伙伴关系”的元素组为:-1,1,和2共3组,这三组元素中的任意一组构成的集合{-1},{1},{,2}是“伙伴关系集合”,任意两组构成的集合{-1,1},{-1,,2},{1,,2}是“伙伴关系集合”,三组构成的集合{-1,1,,2}也是“伙伴关系集合”,集合M={-1,0,,1,2}的所有非空子集中,具有“伙伴关系集合”的非空子集有3+3+1=7个。
2、设A是自然数集的一个非空子集,如果kA,A,且A,那么k是A的一个“酷元”。给定S={x∈N|y=lg(36-)},设MS,且集合M中的两个元素都是“酷元”,那么这样的集合M有( )
A 3个 B 4个 C 5个 D 6个
【解析】
【知识点】①集合新概念的理解;②集合的表示法;③子集的定义与性质;④对数函数的定义与性质。
【解题思路】根据 A是自然数集的一个非空子集,如果kA,A,且A,那么k是A的一个“酷元”的定义,结合问题条件确定集合S中的 “酷元”,从而得到满足条件的可能集合M就可得出选项。
【详细解答】A是自然数集的一个非空子集,如果kA,A,且A,那么k是集合A的一个“酷元”, S={x∈N|y=lg(36-)}={0,1,2,3,4,5},集合S的元素中,0,1不是“酷元”,2,4不能同时在集合M中,3,5是“酷元”, MS ,集合M中的两个元素都是“酷元”,集合M可能是:{3,5},{2,3},{2,5},{3,4},{3,5}共5个C正确,选C。
3、在整数集Z中,被5除余数为k的所有整数组成一个“类”,记为〔k〕 ,即〔k〕={5m+k|mZ},
K=0,1,2,3,4给出如下四个结论:(1)2011〔1〕;(2)-3〔3〕;(3)Z=〔0〕∪〔1〕∪〔2〕∪〔3〕∪〔4〕;(4)“整数a,b属于同一“类“的充要条件是a-b〔0〕”其中正确结论的个数是( )
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①集合新概念的理解;②集合的表示法;③数的整除性质;④充分条件,必要条件,充分必要条件的判定方法;⑤命题真假判断的基本方法。
【解题思路】根据在整数集Z中,被5除余数为k的所有整数组成一个“类”,记为〔k〕 ,即〔k〕={5m+k|mZ},(K=0,1,2,3,4)的定义,运用判断命题真假的基本方法分别对各命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】在整数集Z中,被5除余数为k的所有整数组成一个“类”,记为〔k〕 ,即〔k〕={5m+k|mZ},(K=0,1,2,3,4),对(1),2011=4025+1,k=1,(1)正确;对(2),-3=(-1)5+2,k=,2,(2)错误;对(3),对任意的整数Z,Z=5m+0或Z=5m+1或Z=5m+2或Z=5m+3或Z=5m+4,(3)正确;对(4),设a=5 +k,b=5+k,a-b=5(-){0},同时a-b{0}可得a=5 +k,b=5+k属于
同一“类”, (4)正确,C正确,选C。
4、已知集合A={(x,y)|+≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A B={(+,+)|(,)∈A,(, )∈B},则AB中元素的个数为( )
A 77 B 49 C 45 D 30
【解析】
【知识点】①集合新概念的理解;②集合的表示法;③集合元素的定义与性质。
【解题思路】根据集合的表示方法,结合问题条件把集合A,B化为列举法表示的集合,运用集合A B={(+,+)|(,)∈A,(, )∈B}的定义求出集合A B就可得出选项。 y
【详细解答】如图, A={(x,y)|+≤1, 3
x,y∈Z}中有9个元素(即9个整数坐标点), 2
B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}中有25
个元素(即25个整数坐标点),A B={(+,-3 -2 -1 1 2 3x
+)|(,)∈A,(, )∈B}的元素
可看作是最大正方形的整数坐标点,除去4个顶点,即77-4=45,C正确,选C。
『思考问题4』
(1)【典例4】是集合新概念的问题,它属于信息迁移类问题,是化归思想的具体运用,也是近几年的高考热点问题;它的结构特点是通过给出新的数学概念或新的运算方法,在新的情景下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向,常见的类型有:①定义新概念;②定义新公式;③定义新运算;④定义新法则;
(2)解答这类问题的基本思路是:①理解问题中新概念,新公式,新运算,新法则;②利用学过的数学知识进行逻辑推理;③对选项进行筛选,验证,得出结论。
〔练习4〕按要求解答下列各题:
1、设集合P={0,2,5},Q={1,2,6}定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},则集合P+Q中元素的个数是()(答案:B)
A 9 B 8 C 7 D 6
2、设集合P={1,2,3},Q={0,2,4},定义集合P×Q={a.b|aP,bQ},则集合P×Q中的元素的个数是( )(答案:D)
A 9 B 8 C 7 D 6
M
N
N
M
M M
N
M
N
O
O
M
N
N
M
M M
N
M
N
O
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