资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
函数高考大题的类型与解法
函数问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个函数问题的12分大题。从题型上看是20（或21）题的12分大题，难度为中，高档题型，一般的考生都只能拿到4到10分。纵观近几年高考试卷，归结起来函数大题问题主要包括：①运用导函数探导函数的性质并求函数的极值（或最值）；②运用导函数求方程的根（或确定函数的零点）；③运用导函数证明不等式；④运用导函数，求函数满足某一条件时，解析式中参数的值（或取值范围）；⑤运用导函数求解与函数相关的应用问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、记函数f(x）的导函数为(x)，已知f(x)=+ax+10，(2)=0。
（1）求实数a的值；
（2）求函数f(x)在[-3，4]的值域（成都市高2021级高三零诊）
2、（理）已知函数f(x)=（+a）ln(x+1)。
当a=-1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；
是否存在a，b，使得曲线y=f()关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由；
若函数f(x)在（0，+）存在极值，求a的取值范围。
（文）已知函数f(x)=（+a）ln(x+1)。
当a=-1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；
（2）若函数f(x)在（0，+）上单调递增，求a的取值范围（2023全国高考乙卷）
3、（1）证明：当0（2）已知函数f(x)=cosax-ln(1-)，若x=0是f(x)的极大值点，求a的取值范围（2023全国高考新高考II）
4、（理）已知函数f(x)=-asinx，其中aR。
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（，）处的切线方程；
（2）若x=0是函数f(x)的极小值点，求a的取值范围。
（文）已知函数f(x)=a-xsinx，其中a≥0。
（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在点（，0）处的切线方程；
（2）若x=0是函数f(x)的极小值点，求a的取值范围（成都市高2020级高三三珍）
5、设函数f(x)= -++（a-1）x-1，其中aR，若函数f(x)的图像在x=0处的切线与x
轴平行。
（1）求a的值；
（2）求函数f(x)的单调区间（成都市2020级高三零诊）
6、（理）已知函数f(x)= +cosx。
（1）证明：f(x) 1；
（2）设函数g(x)=（sinx+cosx-2x-2），F（x）=a f(x)+ g(x)，其中aR，若函数F（x）存在非负的极小值，求a的取值范围。
（文）已知函数f(x)= +cosx。
（1）记函数f(x)的导函数(x)，证明：当x0时，(x) 0；
（2）设函数g(x)= ， F（x）=a f(x)+ g(x)，其中a<0，若0为函数F（x）的极小值点，求a的取值范围（成都市2020级高三零诊）
7、已知函数f(x)= +-2x+，其中aR，若函数f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线与直线2x+y-1=0平行。
（1）求a的值；
（2）求函数f(x)的极值（成都市2019级高三零诊）
8、已知函数f(x)= -a-2ax，其中aR。
（1）若函数f(x)在[0，+）上单调递增，求a的取值范围；
（2）（理）若函数f(x)存在两个极值点，（<），当+ [3ln2-4，]时，求的取值范围。（文）若函数f(x)存在两个极值点，（<），当+ [3ln2，]时，求的取值范围（成都市2019高三二诊）
9、（理）已知函数f(x)=cosx-a,其中aR，x[-，]。
（1）当a=-时，求函数f(x)的值域；
（2）若函数f(x)在[-，]上恰有两个极小值点，，求a的取值范围，并判断是否存在实数a，使得f(-)=1+成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。
（文）已知函数f(x)=cosx-a,其中aR，x[0，]。
（1）当a=-时，求函数f(x)的值域；
（2）若函数f(x)在[0，]有唯一的极值点，求a的取值范围（2021成都市高三三诊）。
10、已知函数f(x)=a+ -2x，其导函数为（x），且（-1）=0。
（1）求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)在［-1,1］上的最大值和最小值（2019成都市高三零诊）
11、（理）已知函数f(x)=2-a+b。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）是否存在a，b，使得f(x)在区间［0，1］的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。
（文）已知函数f(x)=2-a+2。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当0＜a＜3时，记f(x)在区间［0，1］的最大值为M，最小值为m，求M-m的取值范围（2019全国高考新课标III）
12、设函数f(x)=（x-a）（x-b）（x-c），a，b，cR，（x）为f(x)的导函数。
（1）若a=b=c，f(4)=8，求a的值；
（2）若a b，b=c，且（x）和f(x)的零点均在集合{-3，1，3}中，求f(x)的极小值；
（3）若a=0，0『思考问题1』
（1）【典例1】是运用导函数探导函数的性质，并求函数的极值（或最值）问题，解答这类问题需要理解函数的单调性，函数的极值，函数的最值的定义，掌握运用函数导函数求函数单调区间（或判断函数单调性），函数极值，函数最值的基本方法；
（2）判断函数的单调性（或求函数的单调区间），可将问题转化为求解不等式（x）0（或（x）0）或证明（x）0（或（x）0）在区间上恒成立的问题；
（3）解答含参数的函数极值或函数最值问题关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，需要注意结合导函数图像的性质进行分析。
【典例2】解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)= ，其中x>0，aR。
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当a>0时，函数g(x)=alnx+-2x+1恰有两个零点，求a的取值范围。
（文）已知函数f(x)= ，其中x>0，a>0。
（1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若方程=x-alnx恰有两个不相等的实数根，求a的取值范围（成都市高2020级高三二诊）
2、（理）已知f(x)= -lnx+x-a。
（1）若f(x) 0，求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x)有两个不同的零点，，求证：<1。
（文）已知f(x)= -x，g(x)= +a，曲线y=f(x)在点（，f（））处的切线也是曲线y=g(x)的切线。
（1）若=-1，求a；
（2）求实数a的取值范围（2022全国高考甲卷）
3、（理）已知函数f(x)=ln(1+x)+ax。
（1）当a=1时，求曲线f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；
（2）若f(x)在区间（-1，0），（0，+）各恰好有一个零点，求a的取值范围。
（文）已知函数f(x)=ax- -(a+1)lnx。
（1）当a=0时，求f(x)的最大值；
（2）若 f(x)恰有一个零点，求a的取值范围（2022全国高考乙卷）
4、已知函数f(x)= -ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值。
（1）求a；
（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列（2022全国高考新高考I卷）
5、（理）已知a>0，且a1，函数f(x)= （x>0）。
（1）当a=2时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围。
的位置关系，并说明理由。
（文）设函数f(x)= +ax-3lnx+1，其中a>0。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若y=f(x)的图像与X轴没有公共点，求a的取值范围（2021全国高考甲卷）。
6、已知函数f(x)=（x-1）-a+b。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）从下面两个条件中任选一个，证明：函数f(x)有一个零点。
①2a；②07、已知函数f(x)=x+ -(a-1)lnx-2，其中aR。
（1）若函数f(x)存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；
（2）（理）讨论函数f(x)在区间[1，]上零点的个数。（文）讨论函数f(x)在区间[1，e]上零点的个数（2021成都市高三二诊）。
8、（理）已知函数f(x)= -2a-2ax，其中a>0。
（1）当a=1时，求曲线y= f(x)在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f(x)有唯一零点，求a的值。
（文）已知函数f(x)=a--1，其中a>0。
（1）当a=2时，求曲线y= f(x)在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f(x)有唯一零点，求a的值（2020成都市高三零诊）
9、（理）设函数f(x)= +bx+c，曲线y= f(x)在点（，f（））处的切线与Y轴垂直。
（1）求b；
（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1。
（文）已知函数f(x)= -kx+ 。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)有三个零点，求k的取值范围（2020全国高考新课标III）。
10、设函数f(x)=axlnx-x+ ，a 0（2019成都市高三零诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（理）当a＞0时，函数f(x)恰有两个零点，（＜），证明7+＞7a。
（文）若存在x∈（1，e］，使+＞0成立，求a的取值范围。
『思考问题2』
（1）【典例2】是运用导函数探导方程的根（或函数的零点）的问题，解答这类问题需要理解方程的根（或函数的零点）的定义，掌握求方程的根(或函数零点)的基本方法，注意函数图像与X轴的交点与方程的根（或函数的零点）之间的内在联系；
（2）求解方程的根（或函数的零点）的基本方法是：①运用函数导函数判断函数的单调性并求出函数的极值（或最值）；②借助函数图像，根据方程的根（或函数的零点）与函数图像与X轴交点之间的关系建立含参数的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）得出结果。
【典例3】解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)= lnx+a，其中aR。
（1）当a=-2时，求函数f(x) 的单调区间；
（2）当x>1时，若f(x)<恒成立，求整数a的最大值。
（文）已知函数f(x)= lnx+-a，其中aR。
（1）当a=1时，求函数f(x) 的单调区间；
（2）当x>1时，若f(x)>-2恒成立，求整数a的最大值（成都市高2021级高三零诊）
2、（理）已知f(x)= ax--，x（0，）。
（1）若a=8，讨论函数f(x) 的单调性；
（2）若f(x)（文）已知f(x)= ax--，x（0，）。
（1）若a=1，讨论函数f(x) 的单调性；
（2）若f(x)+sinx<0，求实数a的取值范围（2023全国高考甲卷）
3、已知函数f(x）=a（+a）-x。
讨论函数f(x）的单调性；
证明：当a>0时，f(x）>2lna+（2023全国高考新高考I）
4、（理）已知函数f(x)=ln(ax)，a>0。
（1）当a=1时，若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=kx+b，证明：f(x)≤kx+b；
（2）若f(x)≤（x-1）,求a的取值范围。
（文）已知函数f(x)=lnx+a-1，aR。
（1）若f(x)≤x，求a的取值范围；
（2）当a（0,1]时，证明：f(x)≤（成都市高2020级高三一诊）
5、已知函数f(x)=x-。
（1）当a=1时，讨论函数f(x)的单调性；
（2）当x>0时，f(x)<-1，求实数a的取值范围；
（3）设n，证明：++------+>ln(n+1)（2022全国高考新高考
II卷）
6、（理）已知函数f(x)= 2ax-lnx，其中aR。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a>0时，若，（0<<）满足f()=f()，证明f(2a)+f(2a)>4（
+）（成都市2019级高三零诊）
7、已知函数f(x)=sinx- 2ax，aR。
（1）当a时，求函数f(x)在区间[0，]上的最值；
（2）（理）若关于x的不等式不等式f(x) axcosx在区间（0，+）上恒成立，求a的取值范围。（文）若关于x的不等式不等式f(x) cosx-1在区间（，）上恒成立，求a的取值范围（成都市2019级高三一诊）
8、已知函数f(x)=2+3a-12x，其中aR（成都市2019级高三三珍）
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）（理）若函数g(x)= 2--（12-1）x+2sinx-2，当a>0，x>0时，证明：g(x)< f(x)。
（文）若函数f(x)区间[，2a]上的最大值为g(a)，证明：g(a)< 32
9、（理）设函数f(x)=ln(a-x)，已知x=0是函数y=x f(x)的极值点。
（1）求a；
（2）设函数g(x)= ，证明：g(x)<1。
（文）已知函数f(x)= - +ax+1。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）求曲线y= f(x)过坐标原点的切线与曲线y= f(x)的公共点的坐标（2021全国高考乙卷）。
10、已知函数f(x)=x(1-lnx)（2021全国高考新高考I卷）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<+11、（理）已知函数f(x)= x+ax，aR。
（1）设f(x)的导函数为(x)，试讨论(x)的零点个数；
（2）设g(x)=alnx+alnx+(a-1)x，当x（1，+）时，若f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围。
（文）已知函数f(x)= （x-1）lnx。
（1）判断函数f(x)的单调性；
（2）设g(x)=-a+（a-1）x+1，aR，当x[，]时，讨论函数f(x) 与g(x)图像的公共点个数（2021成都市高三零诊）。
12、已知函数f(x)=（x-2）- +ax，aR（2021成都市高三一诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（理）若不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，求实数a的取值范围。（文）
当x<1时，不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，求实数a的取值范围。
已知函数f(x)=（a-1）lnx+x+，aR，(x)为函数f(x)的导函数。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（理）当a<-1时，证明：x（1，+），f(x)>-a- 。（文）当a=2时，证明： f(x)-
(x) x+对任意的x[1,2]都成立（2020成都市高三一诊）
14、（理））已知函数f(x)=a ，其中a，mR。
（1）当a=m=1时，设g(x)= f(x)-lnx，求函数g(x)的单调区间；
（2）当a=4，m=2时，证明：f(x)>x(1+lnx)。
（文）已知函数f(x)= -lnx，其中mR。
（1）当m=1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）当m=2时，证明：f(x)>0（2020成都市高三三诊）。
15、（理）已知函数f(x)=sin xsin2x。
（1）讨论函数f(x)在区间（0，）的单调性；
（2）证明：| f(x)| ；
（3）设n，证明：sin x sin 2x sin 4x------ sin x。
（文）已知函数f(x)=2lnx+1。
（1）若f(x)2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0，讨论函数g(x)= 的单调性（2020全国高考新课标II）。
『思考问题3』
（1）【典例3】是运用导函数证明不等式的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义和性质，掌握运用导函数证明不等式的基本方法；
（2）运用导函数证明不等式的基本方法是：①构造一个新函数（一般是所证明的不等式两边之差）；②运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别证明函数的最大值（或最小值）小于或等于零（或大于或等于零）在某区间上恒成立；③由②判断不等式在某区间上是否恒成立；④综合得出证明的结论。
【典例4】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= +m+nx+3，其导函数（x）的图像关于Y轴对称，f(1)=- ，
（1）求实数m，n的值；
（2）若函数y= f(x)- 的图像与X轴有三个不同的交点，求实数的取值范围（2020成都市高三零诊）
2、（理）已知函数f(x)= +2x-mln(x+1)，其中mR。
（1）当m>0时，求函数f(x)的单调区间；
（2）设g(x)= f(x)+ ，若g(x)> 在（0，+）上恒成立，求实数m的最大值。
（文））已知函数f(x)= -mx-mlnx，其中m>0。
（1）若m=1，求函数f(x)的极值；
（2）设g(x)= f(x)+mx，若g(x)> 在（1，+）上恒成立，求实数m的取值范围（2020成都市高三二诊）。
3、已知函数f(x)=a-lnx+lna。
（1）当a=e时，求曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f(x) 1，求a的取值范围（2020全国高考新高考I）
『思考问题4』
（1）【典例4】是运用函数导函数求不等式在某个区间恒成立时，不等式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题的基本思路是构造一个新函数，其解析式是不等式两边的差，把问题转化为运用函数导函数求函数最值的基本方法和参数分类讨论的原则与基本方法分别求函数最值的问题，从而求出参数的值（或取值范围）；
（2）求解运用函数导函数求不等式在某个区间恒成立时，不等式中参数的值（或取值范围）问题的基本方法是：①构造一个新函数（函数解析式为不等式两边的差）；②运用函数导函数求函数最值的基本方法和参数分类讨论的原则与基本方法求出新函数在区间上的最值；③由②判断不等式在区间上是否恒成立；④综合得出参数的值（或取值范围）。
【典例5】解答下列问题：
1、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱的包装盒，E，F在AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与
底面边长的比值（2019全国高考江苏）
2、某农场有一块农田如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成，已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米，现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚II内的地块形状为CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上，设OC与MN所成的角为。
（1）用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围；
（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚II内种植乙种蔬菜，且甲，乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3，求当为何值时，能使甲，乙两种蔬菜的年产值最大（2018全国高考江苏卷）
『思考问题5』
（1）【典例5】是运用函数导函数解答函数实际应用问题的类型，解答这类问题的关键是建立适当的函数模型；
（2）运用函数导函数解决函数实际应用问题的基本方法是：①认真读题，理解题意；②根据问题的条件选择适当的函数模型，列出相应函数的解析式； ③运用该函数导函数求出函数的最值；④得出函数实际应用问题的结果。
函数高考大题的类型与解法
函数问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个函数问题的12分大题。从题型上看是20（或21）题的12分大题，难度为中，高档题型，一般的考生都只能拿到4到10分。纵观近几年高考试卷，归结起来函数大题问题主要包括：①运用导函数探导函数的性质并求函数的极值（或最值）；②运用导函数求方程的根（或确定函数的零点）；③运用导函数证明不等式；④运用导函数，求函数满足某一条件时，解析式中参数的值（或取值范围）；⑤运用导函数求解与函数相关的应用问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、记函数f(x）的导函数为(x)，已知f(x)=+ax+10，(2)=0。
（1）求实数a的值；
（2）求函数f(x)在[-3，4]的值域（成都市高2021级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数的几何意义；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，由(2)=0得到关于a的方程，求解方程就可求出实数a的值；（2）由（1）得到函数f(x)的解析式，根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数求函数在闭区间是最值的基本方法求出函数f(x)在[-3，4]上的最值，从而就可求出数f(x)在[-3，4]上的值域。
【详细解答】（1）(x)= 3+a，(2)=12+a=0，a= -12，即实数a的值为-12；（2）由（1）知f(x)=-12x+10，(x)= 3-12=3（x+2)（x-2），令(x)=0解得：x=-2或x=2，自变量x，函数(x)， x -3 （-3，-2）-2 （-2，2） 2 （2，4） 4
函数f(x)的变化情况如表所 (x) + + 0 - 0 + +
示f(x) 在（-3，-2），（2， f(x)
4）上单调递增，在（-2，2）
上单调递减，f(-3)=-27+36+10=19，=f(-2)=-8+24+10=26，=f(2)=8
24+10=-6，f(4)=64-48+10=26，-6<19<26，函数f(x)在[-3，4]的值域为[-6，26]。
2、（理）已知函数f(x)=（+a）ln(x+1)。
当a=-1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；
是否存在a，b，使得曲线y=f()关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由；
若函数f(x)在（0，+）存在极值，求a的取值范围。
（文）已知函数f(x)=（+a）ln(x+1)。
当a=-1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；
（2）若函数f(x)在（0，+）上单调递增，求a的取值范围（2023全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导函数的几何意义及运用；③求曲线在某点出切线方程的基本方法；④参数分类讨论原则和基本方法；⑤运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；⑥求解探索性问题的基本方法；⑦运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)在点x=1的导函数值，运用函数在某点导函数的几何意义和求曲线在某点出切线方程的基本方法就可求出当a=-1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；（2）设存在a，b，使得曲线y=f()关于直线x=b对称，根据解探索性问题的基本方法得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值；（3）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数求函数极值的基本方法，得到关于a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。（文）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)在点x=1的导函数值，运用函数在某点导函数的几何意义和求曲线在某点出切线方程的基本方法就可求出当a=-1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；（2）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，得到关于a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（理）（1）当a=-1时， （x）=-ln(x+1)+（-1），（1）
=-ln2+0=-ln2，f(1)=（1-1）ln(1+1)=0，曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程为：
y=-xln2+ln2；（2）设存在a，b，使得曲线y=f()关于直线x=b对称，函数f()=（x+a）ln(+1)，定义域为（-，-1）（0，+）关于直线x=-对称，b=-，f(-+m)
=f(--m)（m>），当m=时，f(1)=f(-2)，（1+a）ln(1+1)=（-2+a）ln(-+1)，（1+a）ln2=-（-2+a）ln2，a=，即存在a=，b=-，使得曲线y=f()关于直线x=b对称；（3）
（x）=-ln(x+1)+（+a），函数f(x)在（0，+）存在极值，函数（x）在在（0，+）存在变号的零点，（x）=-ln(x+1)+（+a）=0，-（x+1）
Ln(x+1)+(x+a)=0，设g(x)=a+x-(x+1)ln(x+1)，g(x)=a+x-(x+1)ln(x+1)>g(x)=a
+x-(x+1）[(x+1)-]=（a-）+，由（a-）+=0解得：x=，
g()>（a-）+=0，0Ln(x+1)+(x+a)≥0在（0，+）上恒成立，设g(x)=a+x-(x+1)ln(x+1)，（x）=2ax+1
-ln(x+1)-1=2ax-ln(x+1)，①当a≤0时，（x）≤0在（0，+）上恒成立，函数g(x)在（0，+）上单调递减，g(x)0时，令h(x)=2ax-ln(x+1)，。（x）=2a-=，当2a≥1，即a≥时，（x）≥0在（0，+）上恒成立，函数h(x）在（0，+）上单调递增，h(x)=（x）>h(0)=0-0=0在（0，+）上恒成立，函数g(x)在（0，+）上单调递增，g(x)>g(0)=0+0-0=0在（0，+）上恒成立，符号题意，当0<2a<1，即03、（1）证明：当0（2）已知函数f(x)=cosax-ln(1-)，若x=0是f(x)的极大值点，求a的取值范围（2023全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数证明不等式的基本方法；③函数极值定义与性质；④参数分类讨论原则和基本方法；⑤运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）分别构造函数g(x)=-x+sinx，h(x)=x-sinx，根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件分别求出函数g(x)，h(x)的导函数（x），（x），运用函数导函数证明不等式的基本方法，分别证明g(x)>0，h(x)>0在（0，1）上恒成立，就可证明结论；（2）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数求函数极值的基本方法和函数极值的性质，得到关于a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（1）构造函数g(x)=-x+sinx，h(x)=x-sinx，对函数g(x)， （x）=2x-1+cosx，（x）=2-sinx>0在（0，1）上恒成立，函数（x）在（0，1）上单调递增，（x）>（0）=0-1+1=0在（0，1）上恒成立，函数g(x)在（0，1）上单调递增，g(x)>g(0)=0-0+0=0在（0，1）上恒成立，当00在（0，1）上恒成立，函数h(x)在（0，1）上单调递增，h(x)>h(0)=0-0=0在（0，1）上恒成立，当0=-cosax+，（0）=-+2，（x）=sinax
+=sinax+，①当-+2>0，
即-0，令t=min(1，），x（0，t）时，（x）>0，(x)在（0，t）上单调递增，(x)>(0)=-+2>0，函数（x）在（0，t）上
单调递增，（x）>（0）=0在（0，t）上恒成立，（x）<（0）=0在（-t，0）上恒成立，x=0是f(x)的极大值点；；②当-+2<0，即a<-或a>时，（0）=-+2<0，对a>，令t=min(1，），x（0，t）时，（x）>0，(x)在（0，t）上单调递增，(x)>=（-cosax+)=+，存在（0，t），使（）=0，x（0，）时，(x)<0，函数（x）在（0，）上单调递减，（x）<（0）=0在（0，）上恒成立，函数f(x)在（0，）上单调递减，函数（x）是奇函数，x（-，0）时，（x）>（0）=0在（-，0）上恒成立，函数f(x)在（-，0）上单调递增，x=0不是f(x)的极大值点；f(-x)=cos(-ax)-ln(1-)=cosax-ln
)=f(x)，函数f(x)是偶函数，同理可得，当a<-时，x=0不是f(x)的极大值点，③
当-+2=0，即a=-或a=时，（0）=-+2=0，对a=，（x）=-sin>x
+，x（0，1）时，（x）>-2x+=2x（-1）>0在（0，1）上恒成立，函数f(x)在（0，1）上单调递增，x=0不是f(x)的极大值点，由函数f(x)是偶函数，同理可得，当a=-时，x=0不是f(x)的极大值点，综上所述，若x=0是f(x)的极大值点，则a的取值范围是（-，）。
4、（理）已知函数f(x)=-asinx，其中aR。
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（，）处的切线方程；
（2）若x=0是函数f(x)的极小值点，求a的取值范围。
（文）已知函数f(x)=a-xsinx，其中a≥0。
（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在点（，0）处的切线方程；
（2）若x=0是函数f(x)的极小值点，求a的取值范围（成都市高2020级高三三珍）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②曲线y=f(x)在某点处的切线方程的基本方法；③函数极值定义与性质；④运用函数导函数求函数极值的基本方法；⑤参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)导函数（x），运求曲线y=f(x)在某点处的切线方程的基本方法，就可求出曲线y=f(x)在点（，）处的切线方程；（2）函数f(x)=-asinx=（x-asinx），设函数g(x)=x-asinx，根据求导公式，法则与基本方法求出函数g(x)导函数（x），运用参数分类讨论的原则和函数导函数求函数极值的基本方法，就可求出a的取值范围。（文）（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)导函数（x），运求曲线y=f(x)在某点处的切线方程的基本方法，就可求出曲线y=f(x)在点（，0）处的切线方程；（2）函数f(x)=a-xsinx=x(ax-sinx)，设函数g(x)=ax-sinx，根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数g(x)导函数（x），运用参数分类讨论的原则和函数导函数求函数极值的基本方法，就可求出a的取值范围。
【详细解答】（理）（1）当a=1时，f(x)=-sinx，（x）=4-3sinx-cosx，f()=-0=，点（，）在曲线y=f(x)上，（）=4-0+=5，曲
线y=f(x)在点（，）处的切线方程为y-=5（x-），即y=5x-4；（2）
f(x)=-asinx=（x-asinx），设函数g(x)=x-asinx，（x）=1-acosx，①当a≤1时，对任意的x（-，），cosx（0，1），（x）>0在（-，）上恒成立，函数g(x)在（-，）上单调递增，g(0)=0-0=0，x（-，0）时，g(x)<0，x（0，）时，g(x)>0，f(x)=g(x)，（x）=3g(x)+（x），x（-，0）时，（x）<0，x（0，）时，（x）>0，函数f(x)在（-，0）上单调递减，在（0，）上单调递增，x=0是函数f(x)的极小值点；②当a>1时，设x（0，），存在（0，），使（）=0，x（0，）时，（）<0，函数g（x）在（0，）上单调递减，g（x）<0在（0，）上恒成立，x（0，）时，（x）=3g(x)+（x）<0，函数f（x）在在（0，）上单调递减，x=0不是函数f(x)的极小值点， 综上所述，若x=0是函数f(x)的极小值点，则实数a的取值范围是（-，1]。
（文）（1）当a=0时，f(x)=-xsinx，（x）=-sinx-xcosx，f()=-0=0，点（，0）在曲线y=f(x)上，（）=-0+=，曲线y=f(x)在点（，0）处的切线方程为y=（x-），即y=x-；（2） f(x)=a-xsinx=x(ax-sinx)，设函数g(x)=ax-sinx，（x）=a-cosx，①当a≥1时，对任意的x（-，），cosx（0，1），（x）≥0在（-，）上恒成立，函数g(x)在（-，）上单调递增，g(0)=0-0=0，x（-，0）时，g(x)<0，x（0，）时，g(x)>0，f(x)=xg(x)，（x）=g(x)+x（x），x（-，0）时，（x）<0，x（0，）时，（x）>0，函数f(x)在（-，0）上单调递减，在（0，）上单调递增，x=0是函数f(x)的极小值点；②当0≤a<1时，设x（0，），存在（0，），使（）=0，x（0，）时，（）<0，函数g（x）在（0，）上单调递减，g（x）<0在（0，）上恒成立，x（0，）时，（x）=g(x)+x（x）<0，函数f（x）在在（0，）上单调递减，x=0不是函数f(x)的极小值点， 综上所述，若x=0是函数f(x)的极小值点，则实数a的取值范围是[1,+)。
5、设函数f(x)= -++（a-1）x-1，其中aR，若函数f(x)的图像在x=0处的切线与x轴平行。
（1）求a的值；
（2）求函数f(x)的单调区间（成都市2020级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数的几何意义；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数在某点导数的几何意义，得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）由（1）得到函数f(x)的解析式，根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，就可求出函数f(x)的单调区间。
【详细解答】（1）(x)= -+2x+a-1，函数f(x)的图像在x=0处的切线与X轴平行，(0)= -0+0+a-1= a-1=0，a=1；（2）由（1）知f(x)= -+-1，(x)= -+2x=x（-x+22），令(x)=0解得：x=0或x=2，自 x （-，0） 0 （0，2） 2 （2，+）
变量x，函数(x)，f(x)的变化情况如表所 (x) - 0 + 0 -
示，函数f(x) 在（-，0），（2，+） f(x)
上单调递减，在（0，2）上单调递增。
6、（理）已知函数f(x)= +cosx。
（1）证明：f(x) 1；
（2）设函数g(x)=（sinx+cosx-2x-2），F（x）=a f(x)+ g(x)，其中aR，若函数F（x）存在非负的极小值，求a的取值范围。
（文）已知函数f(x)= +cosx。
（1）记函数f(x)的导函数(x)，证明：当x0时，(x) 0；
（2）设函数g(x)= ， F（x）=a f(x)+ g(x)，其中a<0，若0为函数F（x）的极小值点，求a的取值范围（成都市2020级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数单调性定义与性质；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数单调性的性质和由函数导函数判断函数单调性的基本方法就可得出函数的单调性；（2）根据运用函数导函数证明不等式的基本方法，就可证明f(2a)+f(2a
)>4（+）。（文）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数单调性的性质和由函数导函数判断函数单调性的基本方法就可得出函数的单调性；（2）根据运用函数导函数证明不等式的基本方法，就可证明f(2a)+f(2a)>4（+）。
【详细解答】（理）（1）(x)=x - sixx，设函数u（x）= x - sixx， (x)=1-cosx0在R上恒成立， 函数u(x)在R上单调递增， u(0)=0，当x （-，0）时，函数u（x）=(x)<0，当x（0，+）时，函数u（x）=(x)>0，函数f(x)在（-，0）上单调递减,，在（0，+）上单调递增，= f(0)=0+1=1， f(x) 1；（2）③当a<0时， F（x）=a f(x)+ g(x)= a+acosx+（sinx+cosx-2x-2）， (x)=ax-asinx+（cosx-sinx-2） -（sinx+cosx-2x-2）=a（x-sinx）+（cosx-sinx-2 –sinx-cosx+2x+2）=<（x-sinx）（a+2），①当a0时，当x （-，0）时， (x)<0，当x （0，+）时， (x)>0，函数F(x)在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增， = F(0)=0+a-1=a-10， a1；②当a<0时，令 (x)=0解得x=0或x=ln（-），若-20，当x （-，0）时， (x)<0，当x （0，ln（- ））时， (x)>0，当x （ln（- ），+）时， (x)<0，函数F(x)在（-，0），（0，+）上单调递减，在（0，ln（- ））上单调递增， = F(0 )= 0+a-1=a-1<0，与题意不符；若a<-2， x=ln（-）<0，当x （-，ln（- ））时， (x)<0，当x （ln（- ），
0）时， (x)>0，当x （0，+）时， (x)<0，函数F(x)在（-，ln（- ）），（0，+）上单调递减，在（ln（- ），0）上单调递增， = F(ln（- ） )< F(0 )= 0+a-1=a-1<0，与题意不符，综上所述，若函数F（x）存在非负的极小值，求a的取值范围是[1，+）。（文）（1）(x)=x - sinx，设函数u（x）= x - sinx， (x)=1-cosx0在[0，+）上恒成立， 函数u(x)= (x)在[0，+）上单调递增， = (0)=0-0=0，当x0时，(x) 0；（2） F（x）=a f(x)+ g(x)= a+acosx
+， (x)=ax-asinx+=，令 (x)=0解得x=0或x=ln（-），①当-20，当x （-，0）时， (x)<0，当x （0，ln（- ））时， (x)>0，当x （ln（- ），+）时， (x)<0，函数F(x)在（-，0），（0，+）上单调递减，在（0，ln（- ））上单调递增， x=0是函数F(x) 的极小值点； ②当a<-2时， x=ln（-）<0，当x （-，ln（- ））时， (x)<0，当x （ln（- ），0）时， (x)>0，当x （0，+）时， (x)<0，函数F(x)在（-，ln（- ）），（0，+）上单调递减，在（ln（- ），0）上单调递增， x=0是函数F(x) 的极大值点，与题意不符，综上所述，若0为函数F（x）的极小值点，则实数 a的取值范围是（-2，0）。
7、已知函数f(x)= +-2x+，其中aR，若函数f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线与直线2x+y-1=0平行。
（1）求a的值；
（2）求函数f(x)的极值（成都市2019级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数的几何意义；③函数极值定义与与性质；④运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数在某点导数的几何意义，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）根据函数极值的性质，运用函数导函数求函数极值的基本方法，就可求出函数f(x)的极值。
【详细解答】（1）(x)= +ax-2，函数f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线与直线2x+y-1=0平行，(1)= 1+a-2= a-1=-2，a=-1；（2）由（1）知f(x)= --2x+，(x)= -x-2=（x+1）（x-2），令(x)=0解得：x=-1或x=2，自变量x，函数(x)，f(x)的变化情况如表所示， f(-1)= (-1) - x （-，-1） -1 （-1，2） 2 （2，+）
1-2（-1）+=2，f(2)= 8 (x) + 0 - 0 +
-4-22+ =-，函数f(x) f(x) 2 -
的极大值为2，极小值为-。
8、已知函数f(x)= -a-2ax，其中aR。
（1）若函数f(x)在[0，+）上单调递增，求a的取值范围；
（2）（理）若函数f(x)存在两个极值点，（<），当+ [3ln2-4，]时，求的取值范围。（文）若函数f(x)存在两个极值点，（<），当+ [3ln2，]时，求的取值范围（成都市2019高三二诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数导函数判定函数单调性的基本方法；③函数极值点定义与性质；④运用函数导函数确定函数极值点的基本方法；⑤求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，得到关于x，a的不等式，在某点存在极值和求函数极值的基本方法得到关于a的方程组，求解方程组就可求出a的值；（2）（理）根据函数零点的性质和求函数零点的基本方法，结合问题条件得到关于，的等式，设=t，从而得到+关于t的函数h(t)，运用函数导哈判断函数单调性的基本方法，判断函数h(t)，
在区间（1，+）上的单调性，从而得到当+ [3ln2-4，]时，t的取值范围，就可求出的取值范围。（文）根据函数极值点的性质和求函数极值点的基本方法，结合问题条件得到关于，的等式，设=t，从而得到+关于t的函数h(t)，运用函数导哈判断函数单调性的基本方法，判断函数h(t)，在区间（1，+）上的单调性，从而得到当+ [3ln2，]时，t的取值范围，就可求出的取值范围。
【详细解答】（1）(x)= -ax-2a，函数f(x)在[0，+）上单调递增，(x)= -ax-2a 0在[0，+）上恒成立，a在[0，+）上恒成立，设函数g(x) =， (x)= =0在[0，+）上恒成立， 函数g(x)在[0，+）上单调递增，= g(0)= =，a，即若函数f(x)在[0，+）上单调递增，则a的取值范围是（-，]；（2）（理）函数f(x)存在两个极值点，，()= ()=0，-a-2a=0，-a-2a=0，=a（+2），=a（+2），
=，令t=,t(1，+），=t, （+2）(t-1)=lnt，+2
=，+2=，+=-4，设h(t)= -4，t(1，+），
(t)== ，设u(t)= ， (t)
=1-+=0在（1，+）上恒成立， 函数u(t)在（1，+）上单调递增， u(1)=1-2ln1-1=0， u(t)>0在（1，+）上恒成立， (t)>0在（1，+）上恒成立， 函数h(t)在（1，+）上单调递增， h(2)=3ln2-4，h(e)= -4= ，当h(t) [3ln2-4，]时，t=[2，e]， 若函数f(x)存在两个极值点，（<），当+ [3ln2-4，]时，则的取值范围是[2，e]。（文）函数f(x)存在两个极值点，，()= ()=0，-a=0，-a=0，=a，=a，=，令t=,t(1，+），=t, =，=t, =，+=，设函数h(t)= t(1，+）， (t)== ，设u(t)= ， (t)=1-+=0在（1，+）上恒成立， 函数u(t)在（1，+）上单调递增， u(1)=1-2ln1-1=0， u(t)>0在（1，+）上恒成立， (t)>0在（1，+）上恒成立， 函数h(t)在（1，+）上单调递增， h(2)=3ln2，h(e)= ，当h(t) [3ln2，]时，t=[2，e]， 若函数f(x)存在两个极值点，（<），当+ [3ln2，]时，则的取值范围是[2，e]。
9、（理）已知函数f(x)=cosx-a,其中aR，x[-，]。
（1）当a=-时，求函数f(x)的值域；
（2）若函数f(x)在[-，]上恰有两个极小值点，，求a的取值范围，并判断是否存在实数a，使得f(-)=1+成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。
（文）已知函数f(x)=cosx-a,其中aR，x[0，]。
（1）当a=-时，求函数f(x)的值域；
（2）若函数f(x)在[0，]有唯一的极值点，求a的取值范围（2021成都市高三三诊）。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数导函数求函数值域的基本方法；③函数极值的定义与性质；④运用函数导函数判断函数极值存在的基本求法；⑤求解探索性问题的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)导函数（x），运用函数导函数求函数值域的基本方法就可求出当a=-时，函数f(x)的值域；（2）（理）根据函数极值的性质和运用函数导函数判断函数极值存在的基本方法得到关于a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围，运用求解探索性问题的基本方法得到关于a的方程，求解方程就可求出实数a的值。（文）根据函数极值的性质和运用函数导函数判断函数极值存在的基本方法得到关于a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（1）（理）当a=-时，f(x)=cosx+,（x）=-sinx+x=0，设g(x)=-sinx+x，
(x)=-cosx+1>0在[-，]上恒成立，函数g(x) 在[-，]上单调递增， g(0)
=-0+0=0，x[-，0）时，（x）=g(x)<0，x（0，]时，（x）=g(x)>0，
函数f(x)在[-，0）上单调递减，在（0，]上单调递增，当x[-，]时，= f(0)=1+0=1, f(-)=0+=，f()=0+=，当a=-时，函数f(x)的值域为[1，]；（文）当a=-时，f(x)=cosx+,（x）=-sinx+x=0，设g(x)=-sinx+x，
(x)=-cosx+1>0在[0，]上恒成立，函数g(x) 在[0，]上单调递增， g(0) =-0+0=0，（x）=g(x) 0在[0，]上恒成立，函数f(x)在（0，]上单调递增， f(0)=1+0=1, f()=0+=，当a=-时，函数f(x)的值域为[1，]；（2）（理） f(-x)=cos（-x）-a = cosx-a= f(x)，函数f(x)是 [-，]上的偶函数，函数f(x)在[-，]上恰有两个极小值点，函数f(x)在[0，]上恰有一个极小值点，（x）=-sinx-2ax，
设G（x）=-sinx-2ax，（x）=-cosx-2a，①当a0时，（x）0在[0，]上恒成立，函数G（x）在[0，]上单调递减， G（0）=-0-0=0，（x）= G（x）0在[0，]上恒成立，函数f(x)在[0，]上单调递减，此时无极值；②当-（0，]，使（）=-cos-2a=0，x[0，）时，（x）<0，x（，]时，（x）>0，函数G（x）在[0，）上单调递减，在（，]上单调递增， G（0）
=-0-0=0，G（）=-1-a，若-1-a0，即-a<0时，（x）= G（x）0在[0，]上恒成立，函数f(x)在[0，]上单调递减，此时无极值；若-1-a>0，即-G（）=-1-a>0，存在（，]使G（）=0，x[0，）时，（x）=G
（x）<0，x（，]时，（x）=G（x）>0，函数f（x）在[0，）上单调递减，在（，]上单调递增，函数f(x)在[0，]上恰有一个极小值点x=；③当a-时，（x）0在[0，]上恒成立，函数G（x）在[0，]上单调递增， G（0）=-0-0=0，（x）= G（x）0在[0，]上恒成立，函数f(x)在[0，]上单调递增，此时无极值，综上所述，函数f(x)在[-，]上恰有两个极小值点，实数a的取值范围是（-，-）；+=0，f(-)=1+，cos2-4a=1+， G（）=-sin
-2a=0， sin=-2a，1-2-4a=1+，（3a+1）（6a+1）=0，
0，a（-，-），a=-，即存在a=-，使得f(-)=1+成立。
此时无极值，综上所述，函数f(x)在[-，]上恰有两个极小值点，实数a的取值范围是（-，-）；+=0，f(-)=1+，cos2-4a=1+， G（）=-sin-2a=0， sin=-2a，1-2-4a=1+，（3a+1）（6a+1）=0，0，a（-，-），a=-，即存在a=-，使得f(-)=1+成立。（文）（x）=-sinx-2ax，设G（x）=-sinx-2ax，（x）=-cosx-2a，①当a0时，（x）0在[0，]上恒成立，函数G（x）在[0，]上单调递减， G（0）=-0-0=0，（x）= G（x）0在[0，]上恒成立，函数f(x)在[0，]上单调递减，此时无极值；②当-0，函数G（x）在[0，）上单调递减，在（，]上单调递增， G（0）=-0-0=0，G（）=-1-a，若-1-a0，即-a<0时，（x）= G（x）0在[0，]上恒成立，函数f(x)在[0，]上单调递减，此时无极值；若-1-a>0，即-0，存在（，]使G（）=0，x[0，）时，（x）=G（x）<0，x（，]时，（x）=G（x）>0，函数f（x）在[0，）上单调递减，在（，]上单调递增，函数f(x)在[0，]上恰有一个极小值点x=；③当a-时，（x）0在[0，]上恒成立，函数G（x）在[0，]上单调递增， G（0）=-0-0=0，（x）= G（x）0在[0，]上恒成立，函数f(x)在[0，]上单调递增，（x）= G（x）0在[0，]上恒成立，函数f(x)在[0，]上单调递增，此时无极值，综上所述，若函数f(x)在[0，]上恰有一个极小值点，则实数a的取值范围是（-，-）。
10、已知函数f(x)=a+ -2x，其导函数为（x），且（-1）=0。
（1）求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)在［-1,1］上的最大值和最小值（2019成都市高三零诊）
【解析】
【考点】①函数在某点导函的定义与基本求法；②函数在某点导数的几何意义；③求曲线在某点切线方程的基本方法；④函数导函数的定义与基本求法；⑤运用导函数判断函数在区间上单调性的基本方法；⑥运用导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用求函数导函数的基本方法求出导函数（x），结合问题条件得到关于参数a的方程，求解方程得出a的值，根据求函数在某点导数的基本方法和函数在某点导数的结合意义，求曲线在某点切线方程的基本方法就可求出曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程； （2）根据导函数为（x）在［-1,1］上的取值，确定函数f(x) 在［-1,1］上的单调性，利用由导函数求函数最值的基本方法就可求出函数f(x)在［-1,1］上的最大值和最小值。
【详细解答】（1）（x）=3a+x-2，（-1）=3a-1-2=0，a=1，函数 f(x)=+ -2x，（x）=3+x-2，（1）=3+1-2=2， f(1)=1+-2=-，曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程为：y+=2(x-1)，即：2x-y-=0；（2）（x）=3+x-2，令（x）=0得：x=-1或x=， 函数（x），f(x)在［-1,1］上随自变量x的变化情况如表所示： f(-1)=-1++2 x -1 （-1, ） （，1） 1
=，f()=+-=-， （x） 0 <0 0 >0 >0
f(1)=1+-2=-，函数 f(x) - -
f(x)在［-1,1］上的最大值为，最小值为-。
11、（理）已知函数f(x)=2-a+b。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）是否存在a，b，使得f(x)在区间［0，1］的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。
（文）已知函数f(x)=2-a+2。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当0＜a＜3时，记f(x)在区间［0，1］的最大值为M，最小值为m，求M-m的取值范围（2019全国高考新课标III）
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与基本求法；②运用函数的导函数判断函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④求解探索性问题的基本方法；⑤运用导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用求函数导函数的基本方法求出导函数（x），根据结合问题条件得到关于参数a的方程，求解方程得出a的值，根据参数分类讨论的原则与基本方法和由函数的导函数判断函数单调性的基本方法就可得到函数的单调性； （2）（理）根据求解探索性问题的基本方法和由函数的导函数求函数最值的基本方法求出函数f(x)在区间［0，1］上的最大值和最小值，结合问题条件就可得出结论。（文）根据由函数的导函数求函数最值的基本方法求出函数f(x) 在［0,1］上的最大值和最小值，从而得到关于参数a的函数，利用求函数值域的基本方法就可求出函数f(x)在［0,1］上的最大值和最小值之差的取值范围。
【详细解答】（1）（x）=6-2ax，函数（x）图像的对称轴为x=，与X轴的两个交点为（0，0），（，0），①当a>0时，（x）>0在（-，0）（，+）上恒成立，（x）<0在（0，）上恒成立， 函数f(x)在（-，0），（，+）上单调递增，在（0，）上单调递减；②当a=0时，（x）0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；③当a<0时，（x）>0在（-，）（0，+）上恒成立，（x）<0在（，0）上恒成立， 函数f(x)在（-，），（0，+）上单调递增，在（，0）上单调递减；综上所述，当a>0时，函数f(x)在（-，0），（，+）上单调递增，在（0，）上单调递减；当a=0时，函数f(x)在R上单调递增；当a<0时，函数f(x)在（-，），（0，+）上单调递增，在（，0）上单调递减；（2）（理）设存在a，b，使得f(x)在区间［0，1］的最小值为-1且最大值为1，①当0<<1，即00
在（，1]上恒成立，（x）<0在（0，）上恒成立，函数f(x)在（，1]上单调递增，在（0，）上单调递减， f(0)=0-0+b=b，f(1)=2-a+b，= f()=-+b
=-+b，=2-a+b（00在[0，1]上恒成立，函数f(x)在[0，1]上单调递增，= f(0)= b =-1，= f(1)= 2-a+ b=1，此时没有满足条件的a，b的值存在，综上所述，存在a=4，b=1或a=0，b=-1，使得函数f(x)在区间［0，1］的最小值为-1且最大值为1。
（文）0＜a＜3，0<<1，（x）>0在（，1]上恒成立，（x）<0在（0，）上恒成立，函数f(x)在（，1]上单调递增，在（0，）上单调递减， f(0)=0-0+b=b，f(1)=2-a+b，= f()=-+b=-+b，=2-a+b（0设g(a)= -a+2，(a)= -1=<0在（0，2）上恒成立，函数g(a)在（0，2）上单调递减，< g(0)=0-0+2=2，> g(,2)= -2+2=，函数g(a)的值域为（，2）；②当2a<3时，M==b，m==-+b，M-m=，
设g(a)= ，(a)= >0在[2，3）上恒成立，函数g(a)在[2，3）上,单调递增，
< g(3)=1，=g(2)= ，函数g(a)的值域为[，1），综上所述，
若函数f(x)在区间［0，1］的最大值为M，最小值为m，则M-m的取值范围是[，2）。
12、设函数f(x)=（x-a）（x-b）（x-c），a，b，cR，（x）为f(x)的导函数。
（1）若a=b=c，f(4)=8，求a的值；
（2）若a b，b=c，且（x）和f(x)的零点均在集合{-3，1，3}中，求f(x)的极小值；
（3）若a=0，0【解析】
【考点】①函数导函数的定义与基本求法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③函数零点的定义与性质；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）由a=b=c得到函数f(x)含参数a的解析式，结合问题条件得到关于参数ad的方程，求解方程就可求出a的值；（2）由a b，b=c得到函数 f(x)含参数a，b的解析式，根据（x）和f(x)的零点均在集合{-3，1，3}中得到关于参数a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，利用函数导函数求函数极值的基本方法求出函数f(x)的极小值；（3）由a=0，0【详细解答】（1） a=b=c， 函数f(x)=（x-a）（x-b）（x-c）= ， f(4)= =8，, a=2；（2） a b，b=c，函数f(x)=（x-a）（x-b）（x-c）=（x-a），（x）=3（x-b）（x-），令（x）=0，f(x)=0得：x=a或x=b或x=，（x）和f(x)的零点均在集合{-3，1，3}中，a b，=1，a=3，b=-3，函数f(x)=（x-3）=，（x）=3（x-1）（x+3），令（x）=0得：x=1或x=-3，函数（x），f(x)随自变量x的变化情况如表所示： x （-，-3） -3 （-3，1） 1 （1，+）
= f(1)=（1-3）=-32； （x） >0 =0 <0 =0 >0
（3） a=0，0-1）=-（b+1）+bx，（x）=3-2（b+1）x+b，0=+3>0，令（x）=0得：=，=，函数
（x），f(x)随自变量x的变化 x （-，） （，） （，+）
情况如表所示：M= （x） + 0 - 0 +
= f()=-（b+1）+b f(x)
=[3-2（b+1）+b]（-） -+=++
=-++，
若a=0，0『思考问题1』
（1）【典例1】是运用导函数探导函数的性质，并求函数的极值（或最值）问题，解答这类问题需要理解函数的单调性，函数的极值，函数的最值的定义，掌握运用函数导函数求函数单调区间（或判断函数单调性），函数极值，函数最值的基本方法；
（2）判断函数的单调性（或求函数的单调区间），可将问题转化为求解不等式（x）0（或（x）0）或证明（x）0（或（x）0）在区间上恒成立的问题；
（3）解答含参数的函数极值或函数最值问题关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，需要注意结合导函数图像的性质进行分析。
【典例2】解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)= ，其中x>0，aR。
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当a>0时，函数g(x)=alnx+-2x+1恰有两个零点，求a的取值范围。
（文）已知函数f(x)= ，其中x>0，a>0。
（1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若方程=x-alnx恰有两个不相等的实数根，求a的取值范围（成都市高2020级高三二诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④函数零点定义与性质；⑤运用函数导函数确定函数零点的基本方法；⑥运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法和参数分类讨论原则与基本方法，就可求出函数f(x)的单调区间；（2）由函数g(x)有两个零点，方程=2x-alnx-1有两个不同的实数根，根据x>0，a>0时，=2x-alnx-1=ln-ln-lne=ln，设t=>0，则=lnt，构造函数h(t)=lnt-，运用函数导函数确定函数零点的基本方法，得到函数h(t)有唯一零点t=e，从而得到方程=2x-alnx-1有两个不同的实数根，方程e=有两个不同的实根，方程alnx=2x-2有两个不同的实数根，构造函数u(x)=alnx-2x+2，u()=a（lna-ln2)-a+2>0，构造函数m（x）=x（lnx-ln2)-x+2 （x（0，+）），利用函数导函数证明不等式的基本方法，就可求出a的取值范围。（文）（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，就可求出函数f(x)的单调区间；（2）由方程=x-alnx有两个不同的实数根，根据x>0，a>0时，=x-alnx-1=ln-ln-lne=ln
-1，设t=>0，则=lnt，构造函数h(t)=lnt-，运用函数导函数确定函数零点的基本方法，得到函数h(t)有唯一零点t=e，从而得到方程=x-alnx-1有两个不同的实数根，方程e=有两个不同的实根，方程alnx=x-1有两个不同的实数根，构造函数u(x)=alnx-x+1，u(a)=alna-a+1>0，构造函数m（x）=xlnx-x+1 （x（0，+）），利用函数导函数证明不等式的基本方法，就可求出a的取值范围。
【详细解答】（理）（1）(x）==，①当a≤0时，(x)>0 在（0，+）上恒成立，函数f(x)在（0，+）上单调递增；②当a>0时，令(x）=0解得x=，x( 0，）时，(x）<0，x（，+）时，(x）>0， 函数f(x)在( 0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，综上所述，当a≤0时，函数f(x)在（0，+）上单调递增；当a>0时，函数f(x)在( 0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；（2）函数g(x)有两个零点，方程=2x-alnx-1有两个不同的实数根，
x>0，a>0时，=2x-alnx-1=ln-ln-lne=ln，设t=>0，则=lnt，令函数h(t)=lnt-，(t)=-，由(t)=0解得t=e，t( 0，e）时，(t）>0，x（e，+）时，(t）<0， 函数h(t)在( 0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，h(e)=1-1=0，方程=lnt有唯一的根t=e，方程=2x-alnx-1有两个不同的实数根，方程e
=有两个不同的实根，方程alnx=2x-2有两个不同的实数根，构造函数u(x)=alnx-2x
+2， (x)=-2，a>0，令 (x)=0解得x=，x( 0，）时，(x）>0，x（，+）时，(x）<0， 函数u(x)在( 0，）上单调递增，在（，+）上单调递减， 当x 0时，u(x) -，当x +时，u(x) -， 方程alnx=2x-2有两个不同的实数根，u()=a（lna-ln2)-a+2>0，构造函数m（x）=x（lnx-ln2)-x+2 （x（0，+））， (x)=lnx+1-ln2-1=lnx-ln2，令 (x)=0解得x=2，x( 0，2）时，(x）<0，x（2，+）时，(x）>0， 函数m(x)在( 0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，=m(2)=0-2+2=0，02，即当a>0时，若函数g(x)=alnx+-2x+1恰有两个零点，则a的取值范围是（0，2）（2，+）。
（文）（1）当a=1时，函数f(x)= ，(x）==，令(x）=0解得x=1，x( 0，1）时，(x）<0，x（1，+）时，(x）>0， 函数f(x)在( 0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；（2）方程=x-alnx有两个不同的实数根，当x>0，a>0时，=x-alnx-1=ln-ln-lne=ln-1，设t=>0，则=lnt，构造函数h(t)=lnt-，(t)=-，由(t)=0解得t=e，t( 0，e）时，(t）>0，x（e，+）时，(t）<0， 函数h(t)在( 0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，h(e)=1-1=0，方程=lnt有唯一的根t=e，方程=x-alnx-1有两个不同的实数根，方程e=
有两个不同的实根，方程alnx=x-1有两个不同的实数根，构造函数u(x)=alnx-x+1， (x)=-1，a>0，令 (x)=0解得x=a，x( 0，a）时，(x）>0，x（a，+）时，(x）<0， 函数u(x)在( 0，a）上单调递增，在（a，+）上单调递减， 当x>0，a>0时， 方程alnx=x-1有两个不同的实数根，u(a)=alna-a+1>0，构造函数m（x）=xlnx-x+1 （x（0，+））， (x)=lnx+1-1=lnx，令 (x)=0解得x=1，x( 0，1）时，(x）<0，x（1，+）时，(x）>0， 函数m(x)在( 0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，=m(1)=0-1+1=0，01，即当a>0时，若方程=x-alnx有两个不同的实数根，则a的取值范围是（0，1）（1，+）。
2、（理）已知f(x)= -lnx+x-a。
（1）若f(x) 0，求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x)有两个不同的零点，，求证：<1。
（文）已知f(x)= -x，g(x)= +a，曲线y=f(x)在点（，f（））处的切线也是曲线y=g(x)的切线。
（1）若=-1，求a；
（2）求实数a的取值范围（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数求函数最值的基本方法；③函数零点的定义与性质；④运用函数导函数确定函数零点的基本方法；⑤函数在某点导函数的几何意义及运用，⑥求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数f(x)的最小值，得到关于a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围；（2）根据函数零点的性质，运用函数导函数确定函数零点的基本方法，确定出，的取值范围就可证明<1。（文）（1）设曲线y=f(x)在点（，f（））处的切线与曲线y=g(x)的切点为（，g（）），根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件分别求出函数f(x)，g(x)的导函数，运用函数在某点导函数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法，分别求出求函数最值的基本方法求出曲线y=f(x)在点（，f（））处与曲线y=g(x)的切点（，g（））处的切线方程，得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）设曲线y=f(x)在点（，f（））处的切线与曲线y=g(x)的切点为（，g（）），根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件分别求出函数f(x)，g(x)的导函数，运用函数在某点导函数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法，分别求出求函数最值的基本方法求出曲线y=f(x)在点（，f（））处与曲线y=g(x)的切点（，g（））处的切线方程，由曲线y=f(x)在点（，f（））处的切线也是曲线y=g(x)的切线得到a关于，的表示式，从而得到a关于x的函数式，礼仪函数导函数求函数最值的基本方法求出a的最值，就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（理）（1） （x）=-+1==，令（x）=0解得x=1，x（0，1）时，（x）<0，x（1，+ ）时，（x）>0，函数f(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+ ）上单调递增，= f(1)=e-0+1-a=e+1-a， f(x) 0， e+1-a,0，ae+1，若f(x) 0，则实数a的取值范围是（- ，e+1]；（2）函数f(x)有两个不同的零点，，由（1）知， = f(1)=e-0+1-a=e+1-a<0，a>e+1，设0<<1，>1，<1 1<<， f()< f()， f()< f()，设函数g(x)= f(x)-f()，x（0，1），（x）=（x）+（）.
=，>ex，x在（0，1）上单调递减，+x>ex+x=(e+1)x，-x-1<-e-1，+x-x-10在（0，1）上恒成立，函数g(x)在（0，1）上单调递增， g(1)= f(1)-f(1)=0， 对任意的x（0，1），g(x)<0， f(x)-2-+，设函数h(x)= -2-+，（x）=9-6-3x=3x（3x+1）(x-1)，令（x）=0解得： x （-，-）- （-，0） 0 （0，1） 1 （1，+）
x=-或x=0，或x=1， （x） - 0 + 0 - 0 +
x，（x），h(x) 的变化 h(x)
情况如表所示，h(-)=+2-+=，h(0)=0-0-0 +=，h(1)= -2-+=-1， =-1，函数h(x)的值域为[-1，+），实数a的取值范围的取值范围是[-1，+）。
3、（理）已知函数f(x)=ln(1+x)+ax。
（1）当a=1时，求曲线f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；
（2）若f(x)在区间（-1，0），（0，+）各恰好有一个零点，求a的取值范围。
（文）已知函数f(x)=ax- -(a+1)lnx。
（1）当a=0时，求f(x)的最大值；
（2）若 f(x)恰有一个零点，求a的取值范围（2022全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数的几何意义及运用；③求曲线在某点处切线方程的基本方法；④函数零点定义与性质；⑤运用函数导函数确定函数零点的基本方法；⑥参数分类讨论的原则和基本方法；⑦运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）（1）当a=1时，根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法，就可求出求曲线f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；（2）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数（x），①当a>0时，（x）>0在（-1，0）上恒成立，得到函数f(x) 在（-1，0）上单调递增，从而得到f(x)<0在（-1，0）上恒成立，函数f(x) 在（-1，0）上没有零点；②当-1a0时，由（x）0在（0，+）上恒成立，函数f(x) 在（0，+）上单调递增，从而得到f(x)>0在（0，+）上恒成立，函数f(x) 在（0，+）上没有零点；③当a<-1时，根据函数零点的性质，运用确定函数零点的基本方法，得到函数f(x)在（-1，0）和（0，+）上各有唯一一个零点，从而求出若函数 f(x) 在区间（-1，0），（0，+）各恰有一个零点，实数a的取值范围。（文）（1）当a=0时，根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数（x），运用函数导函数求函数最值的基本方法，就可求出函数f(x)的最大值；（2）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数（x），运用函数零点的性质和用函数导函数求导函数零点的基本方法，利用参数分类讨论的原则和基本方法，就可求出若 f(x)恰有一个零点，实数 a的取值范围。
【详细解答】（理）（1）当a=1时，函数f(x)= ln(1+x)+x，（x）=+-x
=+(1-x) ，（0）=1+1=2， f(0)=0+0=0，曲线f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程为y=2x；（2）（x）=+a-ax=，设函数g(x)= +a(1
-)，①当a>0时， x（-1，0）时，g(x)= （x）>0在（-1，0）上恒成立，函数f(x) 在（-1，0）上单调递增， 当x（-1，0）时，f(x)< f(0)=0+0=0，f(x)<0在（-1，0）上恒成立，函数f(x) 在（-1，0）上没有零点，与题意不符；②当-1a0时，（x）=-2ax>0在（0，+）上恒成立，函数g(x) 在（0，+）上单调递增， 当x（0，+）时，g(x)> g(0)=1+a 0， g(x)= （x）0在（0，+）上恒成立，函数f(x) 在（0，+）上单调递增，当x（0，+）时，f(x)> f(0)=0+0=0，f(x)>0在（0，+）上恒成立，函数f(x) 在（0，+）上没有零点，与题意不符；③当a<-1时，若x（0，+）（x）=-2ax>0在（0，+）上恒成立，函数g(x) 在（0，+）上单调递增， g(0)=1+a<0，g(1)=e+0=e>0，存在（0，1），使g()= （）=0，x（0，）
时，（x）<0，x（，+）时，（x）>0，函数f(x)在（0，）上单调递减，
在（，+）上单调递增，当 x（0，）时，f(x)< f(0)=0+0=0，当x→ +时，f(x) →+，函数f(x)在（0，+）上有唯一一个零点；若x（-1，0），设h(x)= （x）=-2ax，（x）=-2a>0在（-1，0）上恒成立，函数h(x) = （x）在（-1，0）上单调递增，（-1）=+2a<0，（0）=1-0=1>0，存在（-1，0），使h()= （）=0， x（-1，）时，（）<0，x（，0）时，（）>0，函数g(x)在（-1，）上单调递减，在（，0）上单调递增，当x（，0）时，g(x) < g(0) =1+a<0， g(-1)=+0=>0，存在（-1，0），使g()=（）=0，x（-1，）时，（x）>0，x（，0）时，（x）<0，函数f(x)在（-1，）上单调递增，在（，0）上单调递减， 当x -时，f(x) -，f(0)=0+0=0， 当x（，0）时，f(x)> f(0)=0+0=0，函数f(x)在（-1，）有唯一零点，即函数f(x)在（-1，0）有唯一零点，综上所述，若f(x)在区间（-1，0），（0，+）各恰好有一个零点，实数a的取值范围是（-，-1）。（文）（1）当a=0时，f(x)=- -lnx，（x）=-=，令（x）=0解得：x=1，x（0，1）时，（x）>0，x（1，+）时，（x）<0，函数f(x)在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，= f(1)=-1-0=-1，当a=0时，,f(x)的最大值为-1；（2）（x）=a+-=
=，①当a>1时， x（0，）（1，+）时，（x）>0，x（，1）时，（x）<0，函数f(x)在（0，），（1，+）上单调递增，在（，1）上单调递减，= f(1)=a-1+0=a-1>0， f()=-+（a+1）xlna，当x → +时，f() → -，函数f(x)在（0，）上有唯一一个零点，在（，+）没有零点；②当00，x（1，）时，（x）<0，函数f(x)在（0，1），（，+）上单调递增，在（1，）上单调递减，== f(1)=a-1+0=a-1<0，当x → +时，f(x) → +，函数f(x)在（0，1）上无零点，在（，+）上有唯一一个零点；③当a0时， x（0，1）时，（x）>0，x（1，+）时，（x）<0，函数f(x)在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，= f(1)=-1-0=-1，此时函数f(x)没有零点，综上所述，若 f(x)恰有一个零点，则实数a的取值范围是（0，+）。
4、已知函数f(x)= -ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值。
（1）求a；
（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列（2022全国高考新高考I卷）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②参数分类讨论的原则与基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法；⑤等差中项定义与性质；⑥证明三项成等差数列的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法分别求出函数f(x)和g(x)的导函数(x)和（x），运用函数导函数求函数最值的基本方法，分别求出函数f(x)和g(x)的最小值，从而得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）由（1）得到函数f(x)和g(x)的解析式，根据函数零点的性质，参数分类讨论的原则与基本方法和确定函数零点的基本方法，结合问题条件，①当b<1时，直线y=b，与两条曲线y=f(x)和y=g(x)没有交点；②当b=1时，直线y=b，与两条曲线y=f(x)和y=g(x)有且仅有两个交点；③当b>1时，直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，，，利用等差中项的性质和证明三项成等差数列的基本方法，证明，，成等差数列就可证明结论。
【详细解答】（1）(x)= -a，（x）=a-=，①当 a0时，(x)>0在R上恒成立，（x）<0在（0，+）上恒成立，函数f(x)在R上单调递增，函数g(x)在（0，+）上得到递减，此时函数f(x)和g(x)都没有最小值；②当a>0时，令(x)=0，（x）=0分别解得：x=lna，x=， x（-，lna）时，（x）<0，x（lna，+）时，（x）>0，函数f(x)在（-，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，
= f(lna)=a-alna， x（0，）时，（x）<0，x（，+）时，（x）>0，
函数g(x)在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，= g()=1+lna，
函数f(x)和g(x)有相同的最小值， a-alna=1+lna，lna=，设函数h(x)=lnx-
(x>0)，（x）=-=>0在（0，+）上恒成立，函数h(x)在（0，+）上单调递增， h(1)=0-0=0= h(a)，且a>0，a=1；（2）证明：由（1）知数f(x)= -x和g(x)=x-lnx，(x)= -1，（x）=1-=，令(x)=0，（x）=0分别解得：x=0，x=1，当x（-，0）时，（x）<0，x（0，+）时，（x）>0，函数f(x)在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，= f(0)=1-0=1，当x（0，1）时，（x）<0，x（1，+）时，（x）>0，函数g(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，= g(1)=1-0=1，①当b<1时，显然此时直线y=b，与两条曲线y=f(x)和y=g(x)没有交点；②当b=1时，直线y=b，与两条曲线y=f(x)和y=g(x)有且仅有两个交点，且交点的横坐标分别为=0，=1,；③当b>1时，设函数u(x)= f(x)-b，
（x）=-1，令（x）=0解得：x=0，当x（-，0）时，（x）<0，x（0，+）时，（x）>0，函数u(x)在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，= u(0)=1-0-b=1-b<0， u(-b)= +b-b= >0，u(b)= -b-b= -2b，设函数r(x)= -2x（x>1），（x）=-2>0在（1，+）上恒成立，函数r(x) 在（1，+）上单调递增，当x（1，+）时，r(x)> r(1)=e-2>0，u(b)= -b-b= -2b>0，函数u(x)在（-b，0）有一个零点，在（0，b）上有一个零点，设函数m（x）= x-lnx-b，
（x）=1-=，令（x）=0解得x=1，当x（0，1）时，（x）<0，x（1，+）时，（x）>0，函数m(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，= m(1)=1-0-b=1-b<0， m()= +b-b= >0，m(2b)=2b-ln2b-b=b-ln2b，设函数n(x)=x
-ln2x（x>1），(x)=1-=，令 (x)=0，解得x=1，当x（0，1）时，（x）<0，x（1，+）时，（x）>0，函数n(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+）上
单调递增，= n(1)=1-ln2>0，函数m(x)在(，1)上有一个零点，在（1，2b）上有一个零点， u()=--b=m()=-ln-b=0，b=-=-ln，若
=，-2+ln=0，设函数d(x)= -2x+lnx（0=>0（0，1）上恒成立，函数d(x)在（0，1）上单调递增， d()=
- -3<0，d(1)=e-2+0=e-2>0，存在（0，1），使d（）=-2+ln=0，
=，直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，，， u()
= u()=u()=0，m()=m()=m()=0， u()= u()=u(ln)，函数u(x)在（-，0）上单调递减，<0，0<<1，ln<0，= ln，=， u() =m()=m()，
函数m(x) 在（1，+）上单调递增，0<<1，>1，>1，=，-2+ln=0，
+= ln+2-ln=2，，，成等差数列，存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。
5、（理）已知a>0，且a1，函数f(x)= （x>0）。
（1）当a=2时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围。
的位置关系，并说明理由。
（文）设函数f(x)= +ax-3lnx+1，其中a>0。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若y=f(x)的图像与X轴没有公共点，求a的取值范围（2021全国高考甲卷）。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③函数零点的定义与性质；④运用函数导函数确定函数零点的基本方法。
【解题思路】（理）（1）当a=2时，根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间；（2）由曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，函数g(x)= f(x)-1有且仅有两个零点，运用函数导函数确定函数零点的基本方法，就可求出a的取值范围。（文）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可得出函数f(x)的单调性；（2）由y=f(x)的图像与X轴没有公共点， 函数 f(x)没有零点，运用函数导函数确定函数零点的基本方法，就可求出a的取值范围。
【详细解答】（理）（1）当a=2时，函数f(x)= （x>0），（x）=
=，令（x）=0解得x=0或x=，x（0，）时，（x）>0，
x（，+ ）时，（x）<0，函数f(x)在（0，）上单调递增，在（，+ ）上单调递减；（2）曲线y=f(x)与直线y=1在（0，+ ）上有且仅有两个交点，方程=在（0，+ ）上有且仅有两个根，方程alnx=xlna在（0，+ ）上有且仅有两个根，方程=在（0，+ ）上有且仅有两个根，设函数g(x)= ，（x）=，令（x）=0解得x=e，当x（0，e）时，（x）>0，x（e，+ ）时，（x）<0，函数g(x)在（0，e）上单调递增，在（e，+ ）上单调递减，
= g(e)= ， g(x)=- ，g(1)=0， g(x)==0，0<<，a>1且ae，
若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，则实数a的取值范围是（1，e）（e，+ ）。
（文）（1） （x）=2x+a-==，令（x）=0解得x=-或x=，-（0，+ ），当x（0，）时，（x）<0，x（，+ ）时，（x）>0，函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+ ）上单调递增；（2） y=f(x)的图像与X轴没有公共点， 函数 f(x)没有零点， 由（1）知，函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+ ）上单调递增， = f()=1+1-3lna+1
=3（1-lna），1-lna =1+lna>0在（0，+ ）上恒成立， a>，即若y=f(x)的图像与X轴没有公共点，则实数a的取值范围为（，+ ）。
6、已知函数f(x)=（x-1）-a+b。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）从下面两个条件中任选一个，证明：函数f(x)有一个零点。
①2a；②0【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②参数分类讨论的原则与基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④函数零点的定义与性质；⑤运用函数导函数确定函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数(x)，运用参数分类讨论的原则与基本方法和函数导函数判断函数单调性的基本方法，分别考虑①a0，②0时，函数f(x)的单调性；（2）根据函数零点的性质和确定函数零点的基本方法，结合问题条件就可证明函数f(x)有一个零点。
【详细解答】（1）(x)= +（x-1）-2ax= x-2ax=x（-2a），①a0时，（-2a）>0在R上恒成立，x（-，0）时，(x)<0，x（0，+）时，(x)>0，函数f(x)在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增；②00，x（ln2a，0）时，(x)<0，x（0，+）时，(x)>0，函数f(x)在（ln2a，0）上单调递减，在（-，ln2a），（0，+）上单调递增；③a=时，(x) 0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；④a>时，x（-，0）时，(x)>0，x（0，
ln2a）时，(x)<0，x（ln2a，+）时，(x)>0，函数f(x)在（0，ln2a）上单调递减，
在（-，0），（ln2a，+）上单调递增，综上所述，当a0时，函数f(x)在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增；当0时，
函数f(x)在（0，ln2a）上单调递减，在（-，0），（ln2a，+）上单调递增；（2）若选择
①2a的条件，证明：2a，1<2a，b>1，由（1）知，
函数f(x)在（0，ln2a）上单调递减，在（-，0），（ln2a，+）上单调递增，f(-b)=(-b-1) -a-b<0，f(0)=（0-1）1-0+b=b-1>0，函数f(x)在（-b，0）上有一个零点， f(ln2a)
=2a（ln2a-1）-a(ln2a) +b>2a（ln2a-1）-a(ln2a) +2a=2aln2a- a(ln2a) = aln2a（2-ln2a）0，函数f(x)在（0，+）上没有零点，综上所述，函数f(x)有一个零点。若选择②00，函数f(x)在（0，2）上有一个零点，②当b<0时，设函数g（x）=-x-1，（x）=-1，x（-，0）时， (x)<0，x（0，+）时， (x)>0，函数g（x）在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，
= g（0）=1-0-1=0， g（x）0在R上恒成立，x+1，f(x)=（x-1）-a+b
（x-1）（x+1）-a+b=（1-a）+b-1，当x>时，（1-a）+b-1>0，取=1+
，显然f()>0，f(0)=（0-1）1-0+b=-1+b<0，函数f(x)在（0，1+）上有一个零点， f(ln2a)=2a（ln2a-1）-a(ln2a) +b2a（ln2a-1）-a(ln2a) +2a=2aln2a- a(ln2a) = aln2a（2-ln2a）<0， 函数f(x)在（-，0）上没有零点，综上所述，函数f(x)有一个零点。
7、已知函数f(x)=x+ -(a-1)lnx-2，其中aR。
（1）若函数f(x)存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；
（2）（理）讨论函数f(x)在区间[1，]上零点的个数。（文）讨论函数f(x)在区间[1，e]
上零点的个数（2021成都市高三二诊）。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②判定函数在某点存在极值的基本方法；③求还是极值的基本方法；④函数零点的定义与性质；⑤求函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数(x)，运用判断函数在某点存在极值和求函数极值的基本方法得到关于a的方程组，求解方程组就可求出a的值；（2）（理）根据函数零点的性质和求函数零点的基本方法，结合问题条件确定函数f(x)在区间[1，]上的零点就可得出函数f(x)在区间[1，]上零点的个数。（文）根据函数零点的性质和求函数零点的基本方法，结合问题条件确定函数f(x)在区间[1，e]上的零点就可得出函数f(x)在区间[1，e]上零点的个数。
【详细解答】（1）(x)=1--=，①当 a0时，(x) 0在（0，+）上恒成立，函数f(x) 在（0，+）上单调递增，显然函数f(x)没有极值点，与题意不符合；②当a>0时，令(x)=0解得：x=-1或x=a，-1（0，+），x（0，a）时，(x)<0，当x（a，+）时，(x)>0，函数f(x)在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，x=a是函数f(x)的极小值点， f(a)=a+1-(a-1)lna-2=（a-1）(1-lna)=0，
a=1或a=e；（2）（理）①当 a1时，(x) 0在[1，]上恒成立，函数f(x) 在[1，]上单调递增， f(1)=1+a-0-2=a-1<0，f()=+-2（a-1）-2=+-2a=+a
（-2）>0，函数f(x)在[1，]上有唯一一个零点；②当1=a+1-(a-1)lna-2=（a-1）(1-lna)=0，函数f(x)在[1，]上有一个零点；若ef(a)=a+1-(a-1)lna-2=（a-1）(1-lna)>0，函数f(x)在[1，]上没有零点；若a=e，f(a)
f(1)=1+a-0-2=a-1>0，f(a)=a+1-(a-1)lna-2=（a-1）(1-lna)<0，f() =+-2（a-1）-2=
+-2a=+a（-2），当a（-2）<-，即-，即e0，函数f(x)在[1，]上有两个零点；③当a时，(x) 0在[1，]上恒成立，函数f(x)在[1，]上单调递减， f(1)=1+a-0-2=a-1>0，f()=+-2（a
-1）-2=+-2a=+a（-2）<0，函数f(x)在[1，]上有一个零点，综上所述，当1在[1，]上有一个零点；当e+a-0-2=a-10，f(e)=e +-（a-1）-2=e+-a-1=e+a（-1）-1>0，函数f(x)在[1，e]上有一个零点；②当10， 函数f(x)在[1，e]上没有零点；③当ae时，(x) 0在[1，e]上恒成立，函数f(x) 在[1，e]上单调递减， f(1)=1+a-0-2=a-1>0，f(e) =e+-（a-1）-2= e+a（-1）-10，函数f(x)在[1，e]上有一个零点，综上所述，当 a1或ae时，函数f(x)在[1，e]上有一个零点；当18、（理）已知函数f(x)= -2a-2ax，其中a>0。
（1）当a=1时，求曲线y= f(x)在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f(x)有唯一零点，求a的值。
（文）已知函数f(x)=a--1，其中a>0。
（1）当a=2时，求曲线y= f(x)在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f(x)有唯一零点，求a的值（2020成都市高三零诊）
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②函数在某点导数的定义与几何意义；③求曲线在某点处切线方程的基本方法；④函数零点的定义与性质；⑤求函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）（理）运用函数在某点导数的求法和求曲线在某点处切线方程的基本方法，结合问题条件就可求出曲线y= f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；（文）运用函数在某点导数的求法和求曲线在某点处切线方程的基本方法，结合问题条件就可求出曲线y= f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；（2）（理）利用确定函数零点的基本方法，结合问题条件得到关于实数a的方程，求解方程就可求出实数a的值。（文）利用确定函数零点的基本方法，结合问题条件得到关于实数a的方程，求解方程就可求出实数a的值。
【详细解答】（1）（理）当a=1时， f(x)= -2-2x，(x)=2-2-2=2（--1），
(0)=2（1-1-1）=-2， f(0)=1-2-0=-1，曲线y= f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程为：y+1=-2(x-0)，2x+y+1=0；（文）当a=2时， f(x)= 2--1，(x)=2-=，(0)=21-1=1， f(0)= 21-0-1=1，曲线y= f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程为：y-1=(x-0)，x-y+1=0；（2）（理）(x)=2-2a-2a=2（-a-a），令t=，t（0，+），(t)=2（-at-a）， a>0，存在唯一的（0，+），使()=0，即存在R，使=，且()=0，当x（-，）时，(x)<0，当x（，+）时，(x)>0，函数f(x)在（-，）上单调递减，在（，+）上单调递增，当x -时，-2a 0，-2ax +， f(x) +，当x +时，（-4a ）+， f(x) +，函数f(x)有唯一零点，=f ()=-2a-2a=0，且()=2-2 a-2a=0，+2-1=0，设g(x)= +2x-1， (x)= +2>0在R上恒成立，函数g(x)在R上单调递增， g(0)= 1+0-1=0，方程+2-1=0有唯一解=0，2-2
a-2a=0，a=，当函数f(x)有唯一零点时，实数a=。（文）函数f(x)有唯一零点，
方程+ =a有唯一一解，设g(x)= + ，（x）=-+=，令h(x)=1-2x-，(x)=-2-<0在R是恒成立，函数h(x)在R上单调递减，h(0)
=1-0-1=0，当x(-，0)时，（x）>0，当x(0，+)时，（x）<0，函数g(x)在(-，0)上单调递增，在(0，+)上单调递减，= g(0)=1+0=1，当x(-，
0)时， g(x)(-，1]，当x(0，+)时， g(x)(-，1]， a>0，当方程+ =a
有唯一一解时，a=1，当函数f(x)有唯一零点时，实数a的值为1。
9、（理）设函数f(x)= +bx+c，曲线y=