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圆锥曲线高考大题的类型与解法
圆锥曲线问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个圆锥曲线问题的12分大题。从题型上看是20（或21）题的12分大题，难度为中，高档题型，一般的考生都只能拿到4到10分。纵观近几年高考试卷，归结起来圆锥曲线大题问题主要包括：①已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程（或直线的斜率）；②已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求多边形的面积（或多边形面积的最值）；③已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求某个式子的值（或取值范围）和证明某个式子的值为定值；④已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求点的坐标（或点的轨迹方程）；⑤已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，证明直线过定点（或点在定直线上）等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、（理）已知椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，椭圆E上的点到其左，右焦点的距离之和为4。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若椭圆E上存在点N满足=（>0），求四边形AOBN面积的最小值及此时的值。
（文）已知椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，椭圆E上的点到其左，右焦点的距离之和为4。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若椭圆E上存在点N满足=3，求四边形AOBN的面积（成都市高2021级高三零诊）
2、设抛物线C：=2px（p>0），直线x-2y+1=0与C相交于A，B两点，且|AB|=4。
（1）求p；（2023全国高考甲卷）
（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，.=0，求MNF面积的最小值。
3、在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W。
求W的方程；
已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明矩形的周长大于3（2023全国高考新高考I）
4、已知椭圆E：+=1（a>b>0）的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，OH=，点（1，）在椭圆,E上。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点P（-2，0），Q（2，0），若M，N分别为直线AP，BQ与Y轴的交点，MPQ，NPQ的面积分别为，求的值（成都市2020级高三零诊）
5、已知点A（2，1）在双曲线C：-=1（a>1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0。
（1）求直线l的斜率；
（2）若tanPAQ=2，求PAQ的面积（2022全国高考新高考I卷）
6、（理）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为，，点P在椭圆C上，|P|=3，P=，且椭圆C的离心率为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m（m0）与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值。
（文）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为，，点P在椭圆C上，|P|=2，P=，且椭圆C的离心率为（成都市2019级高三零诊）
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点M（3，0）直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AB面积的最大值。
7、（理）已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点（，），其右顶点为A（2，0）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，求APQ面积的最大值。
（文）已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点（，），其右顶点为A（2，0）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，证明直线PQ经过定点，并求APQ面积的最大值（成都市2019级高三二诊）
8、（理）已知抛物线C：=2py（p>0）的焦点为F，且F与圆M：+=1上点的距离的最小值为4（2021全国高考乙卷）。
（1）求P；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值。
（文）已知抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F到准线的距离为2。
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足=9，求直线OQ斜率的最大值。
9、已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点A（1，），其长半轴长为2。
（1）求椭圆C的方程；
（2）（理）设经过点B（-1，0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于X轴的对称点为F，直线DF与X轴相交于点G，求DEG的面积S的取值范围。（文）设经过点B（-1，0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于X轴的对称点为F，直线DF与X轴相交于点G，记BEG与BDG的面积分别为，，求|-|的最大值（2021成都市高三二诊）。
10、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为（-，0），（，0），
且经过点A（，）（2020成都市高三零诊）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（理）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P
关于X轴对称的点为，若直线Q与X轴相较于点D，求DPQ面积的最大值。
（文）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P关于X轴对称的点为，证明直线Q经过X轴上一定点D，并求出定点D的坐标。
11、已知椭圆C：+ =1（0（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP BQ，求APQ的面积（2020全国高考新课标III）。
12、已知椭圆C：+=1（a>b>0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为（2020全国高考新高考II）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）N为椭圆上任意一点，求AMN面积的最大值。
『思考问题1』
（1）【典例1】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是多边形面积（或周长）的值（或取值范围或最值）；
（2）解答这类问题的基本思路是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用多边形面积的相关知识把多边形的面积表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数值（或值域或最值）；⑥得出问题的结果。
【典例2】解答下列问题：
1、设抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F，点D（p，0），过点F的直线交C于M，N两点，当直线MD垂直于X轴时，|MF|=3。
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线AB，MN的倾斜角分别为，，当-取得最大值时，求直线AB的方程（2022全国高考甲卷）
2、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为2，右焦点到直线x-y+2=0的距离为2（2021成都市高三三诊）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）（理）过点M（-3，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点作直线l的垂线，垂足为N（点A，B在点M，N之间），若AM与BN面积相等，求直线l的方程。
（文）过点M（-3，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点作直线l的垂线，垂足为N（点A，B在点M，N之间），若|MA|=|BN|，求直线l的方程。
3、在平面直角坐标系XOY中，已知点(-，0)，(，0)，点M满足|M|-|M|=2,
记M的轨迹为C。
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|.|TB|
=|TP|.|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和（2021全国高考新高考I卷）。
4、抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在X轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OPOQ，已知点M（2，0），M与l相切。
（1）求C，M的方程；
（2）设，，是C上的三个点，直线，均与M相切，判断与M的位置关系，并说明理由（2021全国高考甲卷）。
5、（理）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B（0,1），右焦点为F，连接BF并延长与椭圆C相交于点C，且|CF|= |BF|。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点（1，0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线x=3相交于点P，点Q，若APQ的面积是AMN的面积的2倍。求直线l的方程。
（文）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在经过点（0，2）的直线与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得M，N与Y轴上的一点P连线后组成以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由（2019成都市高三零诊）
6、（理）已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在X轴和Y轴上运动，动点P满足=3，记动点P的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点H（0，1）的直线y=2x+t，与曲线C相交于两点M，N，若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值。
（文）已知点A（m，0）和B（0，n），且+=16，动点P满足=3，记动点P
的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点H（0，1）的直线y=2x+t，与曲线C相交于两点M，N，若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值（2019成都市高三一诊）
7、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（理）设椭圆C的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆
C设位于X轴上方的两点，且M//N，记直线AM，BN的斜率分别为，，若3
+2=0，求直线M/的方程。（文）设椭圆C的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C设位于X轴上方的两点，且M//N，直线M 的斜率为2 ，记直线AM，BN的斜率分别为，，求3+2的值（2019成都市高三二诊）
『思考问题2』
（1）【典例2】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线的方程或直线斜率的值（或取值范围）；
（2）解答这类问题的基本思路是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），然后运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程，消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④结合问题条件得到关于参数k（或m）的方程（或不等式）（注意相交于不同两点的条件）；⑤求解方程（或不等式）求出参数k（或m）的值；⑥得出问题的结果。
【典例3】解答下列问题：
1、（理）已知，分别为椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线-=1在第一象限与椭圆C相交于点P，且|P|=1。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线y=kx+1与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且=m（m>0），若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围。
（文）已知中心为原点，对称轴为坐标轴的椭圆C经过点P（，），Q（，）。（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点（0，1）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，2=3，=+，且点E在椭圆C上，求直线l的方程（成都市高2020级高三二诊）
2、设双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y=x。
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别相交于A，B两点，点P（，），Q（，），在C上，且>>0，>0，过点P且斜率为-的直线与过点Q且斜率为的直线相交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个条件成立。①M在AB上；②PQ//AB，③|MA|=|MB|。注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分（2022全国高考新高考II卷）
3、已知抛物线C：=2px（p＞0，p4），过点A（2，0）且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点。
（1）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为，，若+=0，求点B的坐标；
（2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求的值（成都市2019级高三一诊）
4、（理）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P在椭圆E上，P，且|P|=3|P|。
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：x=my+1(mR)与椭圆E相较于A，B两点，与圆+=相较于C，D两点，求|AB|.|CD|的取值范围。
（文）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），
点P（1，）在椭圆E上。
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：x=my+1(mR)与椭圆E相较于A，B两点，与圆+=相较于C，D两点，当|AB|.|CD|的值为8时，求直线l的方程（2020成都市高三二诊）。
5、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为（- ，0），点Q（1，）在椭圆C上（2020成都市高三三诊）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过圆O：+=5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相较于异于点P的M，N两点。
（理）①求证：+=0；②求OAB的面积的取值范围。（文）①当直线PA，PB的斜率都存在时，记直线PA，PB斜率分别为，，求证：.=-1；②求的取值范围。
6、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点M，N在C上，且AM AN，AD MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值（2020全国高考新高考I）。
『思考问题3』
（1）【典例3】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是某一式子的值（或取值范围或最值）或证明某一式子为定值；
（2）解答这类问题的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数得到关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识把问题中的式子表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数的值（或值域或最值）或证明该式子的值与参数无关（为定值）；⑥得出问题的结果。
【典例4】解答下列问题：
1、（理）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为，，上顶点为D，且D为等边三角形，经过焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，AB的周长为8。
（1）求椭圆C的方程；
（2）试探究：在x轴上是否存在定点T，使得.为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。
（文）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为，，上顶点为D，且D为等边三角形，经过焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，AB的周长为8。
（1）求椭圆C的方程；
（2）求AB的面积的最大值及此时直线l的方程（成都市2020级高三一诊）
2、在同一平面直角坐标系XOY中，圆+=4经过伸缩变换：=x，后得到曲线
=y，C。
（1）求曲线C的方程；
（2）（理）设直线l与曲线C相较于A，B两点，连接BO并延长与曲线C相较于点D，且
|AD|=2，求ABD面积的最大值；（文）设曲线C与X轴和Y轴的正半轴分别相交于A，B两点，P是曲线C位于第二象限上的一点，且直线PA与Y轴相交于点M，直线PB与X轴相交于点N，求ABM与BMN的面积之和（2021成都市高三零诊）。
3、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且直线+=1与圆+=2相切。
（1）求椭圆C的方程；
（2）（理）设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上，记AOM，BOP的面积分别为，，求的取值范围。（文）设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且|OP|= |OM|，
求ABO的面积（2021成都市高三一诊）
4、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-，0），（，
0），且经过点A（，）（2020成都市高三零诊）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（理）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，及点P关于X轴对称的点为，若直线Q与X轴相较于点D，求DPQ面积的最大值。（文）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P关于X轴对称的点为，证明直线Q经过X轴上一定点D，并求出定点D的坐标。
5、已知椭圆：=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过F且与X轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且|CD|
=|AB|（2020全国高考新课标II）。
（1）求的离心率；
（2）（理）设M是与的公共点，若|MF|=5，求与的标准方程。（文）若的四个顶点到的准线距离之和为12，求与的标准方程。
6、（理）已知抛物线C：=2px过点P（1，1），过点（0，）的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作X轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点。
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点。
（文）已知椭圆C的两个顶点分别为A（-2，0），B（2，0），焦点在X轴上，离心率为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）点D为X轴上一点，过D作X轴的垂线交椭圆C于不同两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E，求证：BDE与BDN的面积之比为4：5（2017全国高考北京卷）
（理科图） （文科图）
『思考问题4』
（1）【典例4】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是某点的坐标（或点的轨迹方程）；
（2）解答这类问题的基本方法是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程得到方程组，消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识结合问题的条件把点的坐标表示成关于参数k（或m）的式子；⑤求出参数的值得到点的坐标（或消去参数得到点的轨迹方程）；⑥得出问题的结果。
【典例5】解答下列问题：
已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，点A（-2，0）在C上。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点（-2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点（2023全国高考乙卷）
已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（-2，0），离心率为。
求C的方程；
记C的左，右顶点分别为，，过点（-4，0）的直线与C的左支相交于M，N两点，M在第二象限，直线M与直线N相交于点P，证明：点P在定直线上。
3、（理）已知斜率为的直线l与抛物线E：=4x相交于P，Q两点。
（1）求线段PQ中点纵坐标的值；
（2）已知点T（，0），直线TP，TQ分别与抛物线E相交于M，N两点（异于P，Q），求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标。
（文）已知斜率为的直线l与抛物线E：=4x相交于P，Q两点。
（1）求线段PQ中点纵坐标的值；
（2）已知点T（，0），直线TP，TQ分别与抛物线E相交于M，N两点（异于P，Q），则在y轴上是否存在一定点S，使直线MN恒过定点，若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由（成都市高2020级高三三珍）
4、已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为X轴，Y轴，且过点A（0，-2），B（，-1）两点。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点P（1，-2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于X轴的直线与线段AB交于点T，点H满足=，证明直线HN过定点（2022全国高考乙卷）
5、已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，2），椭圆C的右顶点到抛物线E：=2px（p>0）的准线的距离为4。
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若.=-4，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分MHN，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由（成都市2019级高三三珍）
6、已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线+=相切，证明M，N，F三点共线的充分必要条件是|MN|= ，（2021全国高考新高考II卷）。
7、（理）已知椭圆C：+=1的右焦点为F，过点F的直线（不与X轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x=2与X轴相较于点H，过点A作ADl，垂足为D。
（1）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；
（2）证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标。
（文）已知椭圆C：+=1的右焦点为F，过点F的直线（不与X轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x=2与X轴相较于点H，E为线段FH的中点，直线BE与直线l的交点为D。
（1）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；
（2）证明：直线AD与X轴平行（2020成都市高三一诊）。
8、已知A，B分别为椭圆E：+=1（a>1）的左，右顶点，G为E上顶点，.=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一个交点为C，PB与E的另一个交点为D。
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点（2020全国高考新课标I）。
9、（理）已知抛物线C：=2py经过点（2，-1）。
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过Y轴上的两个定点。
（文）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为原点，直线l：y=kx+t（t1）与椭圆C相较于不同两点P，Q，直线AP与x轴相较于点M，直线AQ与x轴相较于点N，若|OM|.|ON|=2，求证：直线l经过定点（2019全国高考北京）
『思考问题5』
（1）【典例5】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线过定点（或点在定直线上）；
（2）解答这类问题的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识结合问题的条件把直线方程（或某点的坐标）表示成关于参数k（或m）的式子；⑤确定直线存在与参数k（或m）无关的点（定点）（或把某点的坐标代入给定的直线方程验证）；⑥得出问题的结果。
圆锥曲线高考大题的类型与解法
圆锥曲线问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个圆锥曲线问题的12分大题。从题型上看是20（或21）题的12分大题，难度为中，高档题型，一般的考生都只能拿到4到10分。纵观近几年高考试卷，归结起来圆锥曲线大题问题主要包括：①已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程（或直线的斜率）；②已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求多边形的面积（或多边形面积的最值）；③已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求某个式子的值（或取值范围）和证明某个式子的值为定值；④已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求点的坐标（或点的轨迹方程）；⑤已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，证明直线过定点（或点在定直线上）等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、（理）已知椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，椭圆E上的点到其左，右焦点的距离之和为4。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若椭圆E上存在点N满足=（>0），求四边形AOBN面积的最小值及此时的值。
（文）已知椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，椭圆E上的点到其左，右焦点的距离之和为4。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若椭圆E上存在点N满足=3，求四边形AOBN的面积（成都市高2021级高三零诊）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④平面向量坐标运算法则和基本方法；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥弦长公式及运用；⑦三角形面积公式及运用；⑧基本不等式及运用。
【解题思路】（理）（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆E的方程；（2）根据设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，点O到直线AB的距离关于参数k，m的式子，根据三角形的面积公式得到OAB面积关于参数k，m的表示式，运用基本不等式求出表示式的最值就可得到OAB面积的最大值。（文）（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆E的方程；（2）根据设而不求，整体代入的数学思想，由点N在椭圆E上得到关于m的方程，求解方程求出m的值，运用点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，点O到直线AB的距离的值，利用三角形的面积公式得到OAB面积，从而就可求出四边形AOBN的面积。
【详细解答】（理）（1）椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，椭圆E上的点
到其左，右焦点的距离之和为4， =①，2a=4②，=+③，联立①②③解得：=4，=3，椭圆E的方程为：+=1；（2）设A（+，），B（，），由（1）知F（-1，0）， 直线l经过点F，直线l的方程 y
为x=my-1，联立直线l和椭圆E的方程得： A
（4+3）-6my-9=0， M是AB的中点， N
+=，=-，+ B
=m(+)-2== ，M（，），=（，），=（>0），N（，），点N在椭圆E上，+=1，4+3=，|AB|=
=，==.，=|PQ|=.
=，=（>0），=4+3≥4，=
==≥≥，当且仅当=4，即=2时，等号成立，
四边形AOBN面积的最小值为，及此时的值为2。
（文）（1）椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，椭圆E上的点到其左，右焦点的距离之和为4， =①，2a=4②，=+③，联立①②③解得：=4，=3，椭圆E的方程为：+=1；（2）设A（，），B（，），由（1）知F（-1，0）， 直线l经过点F，直线l的方程 为x=my-1，联立直线l和椭圆E的方程得：
（4+3）-6my-9=0， M是AB的中点， y A
+=，=-，+ N
=m(+)-2== ， B
M（，），=（，），=3，N（-，），点N在椭圆E上，+=1，9-3-20=0，=，|AB|===，=.==，=|PQ|=.=，=3，=3=。
2、设抛物线C：=2px（p>0），直线x-2y+1=0与C相交于A，B两点，且|AB|=4。
（1）求p；（2023全国高考甲卷）
（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，.=0，求MNF面积的最小值。
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②设而不求，整体代入数学思想及运用；③弦长公式及运用；④平面向量数量积定义与性质；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）根据抛物线的性质，运用设而不求，整体代入数学思想和弦长公式，结合问题条件得到关于p的方程，求解方程就可求出p的值；（2）如图，设M（，），N（，）， 直线MN的方程为x=my+n，联立抛物线C和直线MN的方程得到关于y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想得到 +，.关于m，
n的表示式，结合问题条件得到关于m，n的等式，从而求出n的取值范围，利用弦长公式，点到直线的距离公式和三角形面积公式得到MNF面积关于n的表示式，由n的取值范围就可求出MNF面积的最小值。
【详细解答】（1）设A（，），B（，），联立抛物线C和直线方程得：-4py+2p=0，+=4p，.=2p，|AB|==2=4 ，2-p
-6=0，p=2或p=-，p>0， p=2；（2）如图，设M（，），N（，）， 直线MN的方程为x=my+n，联立抛物线C与直线MN的方程得：-4my-4n=0， +
=4m，.=-4n， +=m（+）+2n y M
=4+2n，.=.+mn（+）+
=-4n + 4n+=，F（1，0）， 0 F x
=（,-1，），=（,-1，）， N
.=0，（,-1)（,-1）+=.-（+）+1+=-4-6n+1=0， 4（+n）=，M，N 是不同两点，=16+16n=16（+n）>0， +n>0， n1，且-6n+1=4≥0，n≥3+2或n≤3-2， =
=，|MN|==4，=|MN|
=2|1-n|=，当且仅当n=3-2时，= = 12-8为最小值，即MNF面积的最小值为12-8。
在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W。
求W的方程；
已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明矩形的周长大于3（2023全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①点轨迹方程定义与性质；②求点轨迹方程的基本方法；③两点之间的距离公式及运用；④矩形定义与性质；⑤已知在直线上两点求直线斜率的基本方法；⑥设而不求，整体代入数学思想及运用；⑦矩形周长公式及运用。
【解题思路】（1）根据点轨迹方程的性质，运用求点轨迹方程的基本方法，结合问题条件就可求出WD的方程；（2）设A（，+），B（，+），C（，+）在轨迹W上，根据直线方程的求法，求出直线AB的方程为y=k（x-)++，直线BC的方程为y=（x-)++，联立直线和W的方程得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想得到 +，.关于k的表示式，利用两点之间的距离公式和矩形的周长公式，得到矩形ABCD周长关于k的表示式，由求函数值域的基本方法求出矩形ABCD周长的取值范围就可证明结论。
【详细解答】（1）设P（x，y），点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，
|y|=，y=+，W的方程为y=+；（2）设A（，+），
B（，+），C（，+）在轨迹W上，直线AB的方程为y=k（x-)++，直线BC的方程为y=（x-)++，联立直线AB和W的方程得：-kx+k-=0，
B是不同两点，=-4（k-）>0，， +=k，.=k-，=k-，同理可得-，=-，矩形ABCD的周长为2（|AB|+|BC|）
=2|-|+2|-|=2|2-k|+2|2-|=2
（|2-k|+|2-|），设f() =（|2-k|+|2-|），k（0，1]，①当<-时，f()=-（+2）+k-在（-，-）上单调递减，f()>f(-)=k+；②
当-<<时，f()=-（-2）+k+在（-，）上单调递增，f()>f(-)
=k+；③当>时，f()=-（+2）-k+在（，+）上单调递增，f()>f()
>f(-)=k+，综上所述函数f()的最小值为k+，矩形ABCD的周长为2
f()>2（k+）k（0，1]，设g（x）=2（x+）x（0，1]，（x）
=，令（x）=0解得：x=，当x（0，）时，（x）<0，当x（，1]时，（x）>0，函数g（x）在（0，）上单调递减，在（，1]上单调递增，
函数g（x）的最小值为g（）=2（+）=3，矩形ABCD的周长大于3。
4、已知椭圆E：+=1（a>b>0）的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，OH=，点（1，）在椭圆,E上。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点P（-2，0），Q（2，0），若M，N分别为直线AP，BQ与Y轴的交点，MPQ，NPQ的面积分别为，求的值（成都市2020级高三零诊）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦基本不等式及运用。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）根据设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，点O到直线AB的距离关于参数k，m的式子，根据三角形的面积公式得到OAB面积关于参数k，m的表示式，运用基本不等式求出表示式的最值就可得到OAB面积的最大值。
【详细解答】（1）椭圆C：+=1（a>b>0）的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，OH=，点（1，）在椭圆,E上， =①，4+9=4②，=+③，联立①②③解得：=4，=3，椭圆E的方程为：+=1；（2）设A（，），B（，），由（1）知（1，0）， y
直线l经过点，直线l的方程为x=my+1，联立 H A
直线l和椭圆E的方程得：（4+3）+6my-9=0， P Q x
+=-，=-，m B
=（+），=，直线AP的方程为y=(x+2)，令x=0，得y=，点M（0，），同理可得点N（0，-），|PQ|=2-（-2）=4，
=|PQ|=，=|PQ|||=，=
=====。
5、已知点A（2，1）在双曲线C：-=1（a>1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0。
（1）求直线l的斜率；
（2）若tanPAQ=2，求PAQ的面积（2022全国高考新高考I卷）
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②求双曲线方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④椭圆弦长公式及运用；⑤三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）设P（，），Q（，），直线l的方程为y=kx+m，根据双曲线的性质和求双曲线方程的基本方法，结合问题条件得到关于的方程，求解方程求出的值，从而得到双曲线的方程，联立直线l和双曲线C的方程得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想得到+，.关于k，m的式子，由+ =0得到关于k，m的方程，求解方程就可求出直线l的斜率；（2）如图，设直线AP的倾斜角为，根据直线倾斜角与斜率的关系，结合问题条件得到直线AP的斜率，由点P在双曲线C上得到关于，的方程组，求解方程组求出，的值，从而求出m，+，.的值，得到直线AP的方程，|AP|，|AQ|关于，的表示式，从而求出PAQ的面积。
【详细解答】（1）设P（，），Q（，），直线l的方程为y=kx+m，点A（2，1）在双曲线C：-=1（a>1）上，4-4-=（-1），=2，双曲线C的方程为-=1，联立直线l和双曲线C的 P y A
方程得：（2-1）+4kmx+2+2=0， 0 x
+=-，.=，+ Q
=+=
==0，k+km+m+2-1 =(k+1)(m+2k-1)=0，直线l不过点A，k=-1； （2）如图，设直线AP的倾斜角为， tanPAQ=2， tan = ，2+PAQ=，==tan=①，点P（，）在双曲线C上，-=1②，联立①②解得：=，=，m=，+=，.=，直线AP的方程为y=(x-2)+1，点P（，(-2)+1），|AP|===|-2|，同理可得
|AQ|=|-2|，sinPAQ==，=3|.-2（+）+4|=|-+4|==，PAQ的面积为。
6、（理）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为，，点P在椭圆C上，|P|=3，P=，且椭圆C的离心率为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m（m0）与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值。
（文）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为，，点P在椭圆C上，
|P|=2，P=，且椭圆C的离心率为（成都市2019级高三零诊）
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点M（3，0）直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AB面积的最大值。
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦基本不等式及运用。
【解题思路】（理）（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）根据设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，点O到直线AB的距离关于参数k，m的式子，根据三角形的面积公式得到OAB面积关于参数k，m的表示式，运用基本不等式求出表示式的最值就可得到OAB面积的最大值。（文）（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）根据设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，点O到直线AB的距离关于参数k，m的式子，根据三角形的面积公式得到OAB面积关于参数k，m的表示式，运用基本不等式求出表示式的最值就可得到OAB面积的最大值。
【详细解答】（理）（1）椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为，，点P在椭圆C上，|P|=3，P=，且椭圆C的离心率为，4=4+-2（2a-3）①，e==②，=+③，联立①②③解得：=4，=3，椭圆C的方程为：
+=1；（2）设A（，），B（，），联立直线l和椭圆C的方程得：（3+4） +8kmx+4-12=0，+=-， A y P
=，|AB|= x
=， B
====2 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 2，当且仅当=，即
=2+，OAB的面积取得最大值。
（文）（1）椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为，，点P在椭圆C上，|P|=3，P=，且椭圆C的离心率为，4=4+-2（2a-2）①，e==②，=+③，联立①②③解得：=4，=3，椭圆C的方程为：
+=1；（2）设A（，），B（，），直线l过点M（3，0），直线l的方程为：x=my+3，联立直线l和椭圆C的方程得：（3+4）+18my+15=0，+
=-，=，|AB|= y
. =， A P
==，= B x
|AB|.=，设t=，A，B是不同两点，=48（3-5）>0，
>，t（0，+），3=+5，==，当且仅当t=即t==3，也就是=时，AB的面积取得最大值。
7、（理）已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点（，），其右顶点为A（2，0）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，求APQ面积的最大值。
（文）已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点（，），其右顶点为A（2，0）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，证明直线PQ经过定点，并求APQ面积的最大值（成都市2019级高三二诊）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于的方程，求解方程求出的值就可得到椭圆的方程；（2）设P（，），Q（，），根据求直线方程的基本方法，结合问题条件求出直线PQ的方程，联立直线PQ和椭圆C的方程得到关于y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想和已知直线上两点，求直线斜率的基本方法，得到，关于，，，的表示式，从而得到关于n的方程，求解方程求出n的值，由椭圆的弦长公式和点到直线的距离公式求出|PQ|，关于参数m的表示式，利用三角形的面积公式得到APQ面积关于参数m的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到APQ面积的最大值。（文）（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于的方程，求解方程求出的值就可得到椭圆的方程；（2）设P（，），Q（，），根据求直线方程的基本方法，结合问题条件求出直线PQ的方程，联立直线PQ和椭圆C的方程得到关于y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想和已知直线上两点，求直线斜率的基本方法，得到，关于，，，的表示式，从而得到关于n的方程，求解方程求出n的值，由椭圆的弦长公式和点到直线的距离公式求出|PQ|，关于参数m的表示式，利用三角形的面积公式得到APQ面积关于参数m的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到APQ面积的最大值。
【详细解答】（理）1）椭圆C：+=1（a>b>0）经过点（，），其右顶点为A（2，0），a=2①，+=1②，联立①②解得：=4，=1，椭圆C的方程为+=1；（2）设P（，），Q（，），直线PQ的方程为x=my+n，联立直线PQ和椭圆C的方程得：（+4）+2mny+-4=0， +=-，.=-，+=m(+)+4n==，.=.+ mn(+)+=，直线AP的斜率为==，直线BP的斜率为==，.======，n=-3，|PQ|=.
=.，==，=|PQ|=
..=，令t=，t[0，+），==，当且仅当t=3时，==为最大值，APQ的面积最大值为。（文）（1）椭圆C：+=1（a>b>0）经过点（，），其右顶点为A（2，0），a=2①，+=1②，联立①②解得：=4，=1，椭圆C的方程为+=1；（2）设P（，），Q（，），直线PQ的方程为x=my+n，联立直线PQ和椭圆C的方程得：（+4）+2mny+-4=0， +=-，.=-，+=m(+)+4n==，.=.+ mn(+)+==，直线AP的斜率为==，直线BP的斜率为==，.======，n=-3，直线PQ的方程为：x=my-3，当y=0时，x=0-3=-3，直线PQ过定点（-3，0） ，|PQ|=.
=.，==，=|PQ|=.
.=，令t=，t[0，+），==，当且仅当t=3时，==为最大值，APQ的面积最大值为。
8、（理）已知抛物线C：=2py（p>0）的焦点为F，且F与圆M：+=1上点的距离的最小值为4（2021全国高考乙卷）。
（1）求P；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值。
（文）已知抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F到准线的距离为2。
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足=9，求直线OQ斜率的最大值。
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求抛物线切线方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤抛物线弦长公式及运用；⑥点到直线的距离公式及运用；⑦三角形面积公式及运用；⑧求函数最值的基本方法；⑨平面向量的定义与性质；⑩已知直线上两点的坐标，求直线斜率的公式及运用。
【解题思路】（理）（1）根据抛物线和圆的性质，结合问题条件得到关于p的方程，求解方程就可求出p的值；（2）根据求曲线在某点处切线方程的基本方法分别求出切线PA，PB的方程，从而求出直线AB的方程，联立直线AB与抛物线C的方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想，弦长公式和点到直线的距离公式求出|AB|，点P到直线AB的距离关于点P横坐标的式子，根据三角形的面积公式得到PAB面积关于点P横坐标的函数，利用求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到PAB面积的最大值。（文）（1）根据抛物线的性质，结合问题条件得到关于p的方程，求解方程求出p的值就可求出抛物线C的方程；（2）根据平面向量的性质，结合问题条件求出点Q关于点P
坐标的表示式，由点P在抛物线C上求出点Q的轨迹方程，联立直线OQ与点Q的轨迹方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用直线OQ与点Q的轨迹相切时斜率最大得到关于直线OQ斜率k的方程，求解方程就可求出直线OQ斜率的最大值。
【详细解答】（理）（1）F（0，），F与圆M：+=1上点的距离的最小值为4，+3=4，p=2， p=2；（2）设A（，），B（，），P（，），
由（1）知，=4y，切线PA，PB的方程分别为：y=x-, y=x-，切线PA，PB均过点P（，），=-，=-，直线AB的方程为y
=x-+=x-，联立直线AB与抛物线C的方程消去y得：-2x+4
=0，+=2，.=4，+=1，|AB|==
，==，=|AB|=
==，-5-3，当且仅当=-5时，取得最大值=20，即PAB面积的最大值为20。（文）（1）
抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F到准线的距离为2，+=p=2，抛物线C的方程为=4x；（2）设P（，），Q（x，y），直线OQ的方程为y=kx，=（x-，y-），=（1-x，-y），=9, x-=9-9x，y-=-9y，=10x-9，=10y，P（10x-9，10y），点P在抛物线C上，100=4（10x-9），点Q的轨迹方程为=x-（x>0），联立直线OQ和点Q的轨迹方程消去y得：-x+=0，当且仅当直线OQ与点Q的轨迹相切时，直线OQ的斜率最大，=-4=-
=0，k=，直线OQ斜率的最大值为。
9、已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点A（1，），其长半轴长为2。
（1）求椭圆C的方程；
（2）（理）设经过点B（-1，0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于X轴的对称点为F，直线DF与X轴相交于点G，求DEG的面积S的取值范围。（文）设经过点B（-1，0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于X轴的对称点为F，直线DF与X轴相交于点G，记BEG与BDG的面积分别为，，求|-|的最大值（2021成都市高三二诊）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④椭圆弦长公式及运用；⑤两点之间的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数值域（或最值）的基本方法。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于的方程，求解方程求出的值就可得到椭圆的方程；（2）（理）设D（，），E（，），F（，-），根据求直线方程的基本方法，结合问题条件求出直线DF的方程，从而求出点G的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想，两点之间的距离公式和椭圆的弦长公式求出|BG|关于参数m的表示式，利用三角形的面积公式得到DEG面积关于参数m的函数，由求函数值域的基本方法求出函数的值域就可得到DEG面积的取值范围。（文）设D（，），E（，），F（，-），根据求直线方程的基本方法，结合问题条件求出直线DF的方程，从而求出点G的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想，两点之间的距离公式和椭圆的弦长公式求出|BG|关于参数m的表示式，利用三角形的面积公式得到BEG与BDG面积，关于参数m的表示式，从而得到|-|关于m的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最大值就可得到|-|的最大值。
【详细解答】（1）椭圆C：+=1（a>b>0）经过点A（1，），其长半轴长为2，
a=2①，+=1②，联立①②解得：=4，=1，椭圆C的方程为+=1；
（2）（理）设D（，），E（，），F（，-），直线l过点B（-1，0），直线l的方程为x=my-1，联立直线l和椭圆C的方程得：（+4）-2my-3=0， +
=，.=-，直线DF的方程为y-=(x-)，令y=0，x=-
====-4，G（-4，0），|BG|=-1-（-4）=3，=|BG||-|=3=，令t=
，t（,+），0<==<，DEG的面积S的取值范围是（0，）。（文）设D（，），E（，），F（，-），直线l过点B（-1，0），直线l的方程为x=my-1，联立直线l和椭圆C的方程得：（+4）-2my-3=0， +=，.=-，直线DF的方程为y-=(x-)，令y=0，x=-====-4，G（-4，0），|BG|=-1-（-4）=3，=|BG|，=|BG|（-），0<|-|=|BG||+|=||=，|-|的最大值为。
10、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为（-，0），（，0），
且经过点A（，）（2020成都市高三零诊）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（理）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P
关于X轴对称的点为，若直线Q与X轴相较于点D，求DPQ面积的最大值。
（文）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P关于X轴对称的点为，证明直线Q经过X轴上一定点D，并求出定点D的坐标。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）（理）利用设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|PQ|，点D到直线PQ的距离关于参数k的式子，根据三角形的面积公式得到DPQ面积关于参数k的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到DPQ面积的最大值。（文）利用设而不求，整体代入的数学思想，求直线方程的基本方法求出直线Q的方程，运用证明直线过定点的基本方法证明直线Q经过X轴上一定点D，并求出定点D的坐标。
【详细解答】（1）c=，A（，）在椭圆C上，=+3①，+=1
②，联立①②解得：=4，=1，椭圆C的标准方程为+=1；（2）（理）设P（，），Q（，），直线l的斜率不为0，过点B（4，0），直线l的方程为：x=my+4，联立直线l与椭圆C的方程得：（+4）+8my+12=0，+=-，.=，|PQ|=. =
=，点P关于X轴对称的点为，（，-），直线Q的方程为，y-=(x-)，令y=0得x=-
====4+
=4-3=1，点D（1，0），==，P，Q是不同的两点，=64-48（4+）=16-1612>0，>12，=|PQ|.=
.=，设t=，t（0，+），==
=，当且仅当t=4，即m=2时，等号成立，DPQ面积的最大值为。（文）设P（，），Q（，），直线l的斜率不为0，且过点B（4，0），直线l的方程为：x=my+4，联立直线l与椭圆C的方程得：（+4）+8my+12=0，+ =-，.=点P关于X轴对称的点为，（，-），直线Q的方程为，y-= (x-)，令y=0得x=-=
===4+=4-3=1为定值，直线Q经过x轴上一定点D，且定点D的坐标为（1，0）。
11、已知椭圆C：+ =1（0（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP BQ，求APQ的面积（2020全国高考新课标III）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线垂直直线的定义与性质；④求直线方程的基本方法；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥两点之间的距离公式及运用；⑦三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出的值就可得到椭圆的标准方程；（2）设点P（，），Q（6，），根据等腰直角三角形的性质，直线垂直直线的性质和两点之间的距离公式，结合问题条件得到关于，，的方程组，求解方程组求出，，的值，利用三角形的面积公式通过运算就可求出APQ的面积。
【详细解答】（1）椭圆C：+ =1（0==，25=+，=25-=，即椭圆C的方程为：+=1；
（2）如图设点P（，），Q（6，），A（-5，0），B（5，0），|BP|=|BQ|，BP BQ，点P在C上，.=-1①，+ =1②，= ③，联立①②③解得：=3，=1，=2，或=-3，=1，=8，P（3，1），Q（6，2），或P（-3，1），Q（6，8），|AQ|==5，或|AQ|==，直线AQ的方程为：2x-11y+10=0，或8x-11y+40=0，
==，或==，=|AQ|
.=5=,或=|AQ|.==,综上所述APQ的面积为。
12、已知椭圆C：+=1（a>b>0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为（2020全国高考新高考II）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）N为椭圆上任意一点，求AMN面积的最大值。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③求直线方程的基本方法；④点到直线的距离公式及运用；⑤两点之间的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求三角函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）设点N（x，y），根据椭圆的性质，点到直线的距离公式和两点之间的距离公式，结合问题条件求出|AM|的值，得到点N到直线AM的距离关于角的三角函数式，由三角形的面积公式得到AMN面积关于角的三角函数式，利用求三角函数最值的基本方法就可求出AMN面积的最大值。
【详细解答】（1）椭圆C：+=1（a>b>0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为，+=1①，==②，联立①②解得：=16，=12，椭圆C的标准方程为：+=1；（2）如图设点N（x，y），点A（-4，0），点N为椭圆C上任意一点，|AM|==3，N（4cos，2sin）（），直线AM的方程为：x-2y+4=0，=
=，=|AM|.=3
=6，当且仅当=，即=时，取得最大值为18，
AMN面积的最大值为18。
『思考问题1』
（1）【典例1】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是多边形面积的值（或取值范围或最值）；
（2）解答这类问题的基本思路是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用多边形面积的相关知识把多边形的面积表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数值（或值域或最值）；⑥得出问题的结果。
【典例2】解答下列问题：
1、设抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F，点D（p，0），过点F的直线交C于M，N两点，当直线MD垂直于X轴时，|MF|=3。
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线AB，MN的倾斜角分别为，，当-取得最大值时，求直线AB的方程（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②求抛物线方程的基本方法；③已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；④求直线方程的基本方法；⑤正切三角函数差角公式及运用。
【解题思路】（1）根据抛物线的性质，运用求抛物线方程的基本方法，结合问题条件就可求出抛物线C的方程；（2）如图，设M（，），N（，），根据已知直线两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件分别表示出，，均与M相切，得到关于，，的等式，运用判断直线与圆位置关系的基本方法就可判断与M的位置关系。
【详细解答】（1）如图，当直线MD垂直于X轴时，点M为（p，p），在RtMDF中，|FD|=p，|DM|=p ，|FM|=3，|FD| y B
+|DM|=|FM|，+2=9，p=2， M
抛物线C的方程为：=4x；（2）如图， 0 N F D x
A
设M（，），N（，）， F（1，0），D（2，0），直线MN过点F，直线MN的方程为：x=my+1，联立直线MN和抛物 线C的方程得：-4my-4=0， +=4m，. =-4，=tan= ==①， 点A， D，M在直线AM上， =，=，
=-，同理由点B，D，N在直线BN上可得=-，= tan=
=-=-=，tan(-)===，当且仅当2m=，即m=-时，tan(-)=为最大值，此时-取得最大==-，+==8m=-4，. ==-16， 直线AB的方程为：y-=-（x-），即x+y-4=0。
2、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为2，右焦点到直线x-y+2=0的距离为2（2021成都市高三三诊）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）（理）过点M（-3，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点作直线l的垂线，垂足为N（点A，B在点M，N之间），若AM与BN面积相等，求直线l的方程。
（文）过点M（-3，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点作直线l的垂线，垂足为N（点A，B在点M，N之间），若|MA|=|BN|，求直线l的方程。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④两点之间的距离公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥求直线方程的基本方法。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b的值就可求出椭圆C的方程；（2）（理）设A（，），B（，），根据求直线方程的基本方法求出直线N的方程，从而得到点N的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想和两点之间的距离公式，得到|MN|关于参数m的表示式，利用点到直线的距离公式和三角形面积公式得到关于m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线l的方程。（文）设A（，），B（，），根据求直线方程的基本方法求出直线N的方程，从而得到点N的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想和两点之间的距离公式，得到|MA|，|BN|关于参数m的表示式，从而得到关于m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线l的方程。
【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为2，右焦点到直线x-y+2=0的距离为2，2ab=2①，===2②，=+③，联立①②③解得：=5，=1，椭圆C的方程为+=1；（2）（理）设A（，），B（，），直线l过点M（-3，0），直线l的方程为x=my-3，
联立直线l和椭圆C的方程得：（+5）-6my+4=0，+=，.=，
直线N的方程为y=-mx+2m，N（，），|MN|=
=，==，=-=,|MN|
. -|M|.||=|M|.||，.=（2+3）|+|=，5（+5）=6（+1），m=，直线l的方程为x=y-3或x=-y-3。
（文）设A（，），B（，），直线l过点M（-3，0），直线l的方程为x=my-3，
联立直线l和椭圆C的方程得：（+5）-6my+4=0，+=，.=，
直线N的方程为y=-mx+2m，N（，），|MA|=|BN|，|-0|=|
-|，点A，B在点M，N之间，+=，=， m=，即直线l的方程为x=y-3或x=-y-3。
3、在平面直角坐标系XOY中，已知点(-，0)，(，0)，点M满足|M|-|M|=2,
记M的轨迹为C。
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|.|TB|
=|TP|.|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和（2021全国高考新高考I卷）。
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④求圆方程的基本方法；⑤已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑥判断直线与圆位置关系的基本方法。
【解题思路】（1）根据双曲线的性质和求双曲线方程的基本方法，结合问题条件就可求出C的方程；（2）如图，设A（，），B（，），T（，m），直线AB的斜率为，直线PQ的斜率为，根据直线点斜式方程求出直线AB的方程，联立直线AB和双曲线C的方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想，得到|TA|.|TB|关于，m的表示式，同理可得|TP|.|TQ|关于，m的表示式，联立两个表示式得到关于，的等式，求出，之间的关系就可求出直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和。
【详细解答】（1）点(-，0)，(，0)，点M满足|M|-|M|=2, a=1，c=，=-=17-1=16，C的方程为-=1（x1）；（2）如图，设A（，
），B（，），T（，m），直线AB的斜率为，直线PQ的斜率为，直线
AB过点T（，m），斜率为，直线AB的方程为y=x-+m，联立直线AB和双曲线C的方程消去y得：（16-）+（-2m）x-+m--16=0，+
=，.=，|TA|.|TB|=（1+）（-）（-）
=（1+）[-+]=-（1+）=（1+）
，同理可得|TP|.|TQ|=（1+），|TA|.|TB|=|TP|.|TQ|，（1+）
=（1+），（1+）（）=（1+）（），=，，
=-，+=0，直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0。
4、抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在X轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OPOQ，已知点M（2，0），M与l相切。
（1）求C，M的方程；
（2）设，，是C上的三个点，直线，均与M相切，判断与M的位置关系，并说明理由（2021全国高考甲卷）。
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求抛物线方程的基本方法；④求圆方程的基本方法；⑤已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑥判断直线与圆位置关系的基本方法。
【解题思路】（1）根据抛物线与圆的性质和求抛物线与圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出抛物线和圆的方程；（2）如图，设（，），（，），（，），根据直线，均与M相切，得到关于，，的等式，运用判断直线与圆位置关系的基本方法就可判断与M的位置关系。
【详细解答】（1）设抛物线的方程为 =2px（p>0），直线l：x=1交C于P，Q两点，P（1，），Q（1，-），=（1，），=（1，-）， OPOQ，.=1-2P=0，p=，抛物线C的方程为： =x，点M（2，0），M与l相切，M的方程为：+=1；如图，设（，），（，），（，），直线，的方程 y
分别为：x-y+ =0，x-y 0
+ =0，直线，均与M相
切，=1，，，是方程（-1）+2x-+3=0
的两根，直线的方程为：x-(+)y+=0，点M到直线的距离
====1，直线与M相切。
5、（理）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B（0,1），右焦点
为F，连接BF并延长与椭圆C相交于点C，且|CF|= |BF|。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点（1，0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线x=3相交于点P，点Q，若APQ的面积是AMN的面积的2倍。求直线l的方程。
（文）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在经过点（0，2）的直线与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得M，N与Y轴上的一点P连线后组成以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由（2019成都市高三零诊）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③求直线方程的基本方法； ④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤直线斜率的定义与基本求法；⑥求解探索性问题的基本方法。
【解题思路】（理）（1）运用椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b的值就可得出椭圆C的方程；（2）根据求直线方程的基本方法求出直线l的方程；联立直线方程和椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，结合问题条件得到关于参数m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线l的方程。（文）运用椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b的值就可得出椭圆C的方程；（2）根据求直线方程的基本方法求出直线l的方程；联立直线方程和椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，结合问题条件得到关于参数m的方程，求解方程就可得出结论。
【详细解答】（理）（1）设点C（，）， 椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点
为A，上顶点为B（0,1），右焦点为F，b=1，A（a，0），F（，0），连接BF并延长与椭圆C相交于点C，且|CF|= |BF|，=，=，-
=， a=2，即椭圆C的方程为：+=1；（2）设点M（，），N（，
），直线l过点（1，0），直线l的方程为：x=my+1，联立直线l的方程和椭圆C的方程得：（4+）+2my-3=0，+=-， .=-，直线AM，AN的方程分别为：y=(x-2)，y= (x-2)，直线AM，AN分别与直线x=3相交于点P，点Q，P（3，），Q（3，），｜MN｜=
=，==，｜PQ｜=-
=，== ，
=1== ，=，
=，m=2，直线l的方程为：x-2y-1=0或x+2y-1=0。
（文）（1） 椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，），
=①，且+=1②，=+③，联立①②③解得：=4，=1，椭圆C的方程为：+=1；（2）设存在经过点（0，2）的直线与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得M，N与Y轴上的一点P连线后组成以P为直角顶点的等腰直角三角形，点M（，），N（，），P（0，），线段MN的中点为Q（,）直线l过点（0，2），直线l的方程为：x=my-2m，联立直线l的方程和椭圆C的方程得：（4+）-4y
+4-4=0，+=， .=，=16-4（4+）（4-4）=-48+64
>0，+=m（+）-4m=,<，=,=, Q（,
）, PMN是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，直线PQ的方程为：y-
=-m(x-)，令x=0，得y=,=,|PQ|=
=，|MN|=.=，|MN|=2|PQ|，
=， m=，存在经过点（0，2）直线l，其
方程为：x-2y+4=0或x+2y-4=0与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得M，N与y轴上的一点P（0，-）连线后组成以P为直角顶点的等腰直角三角形。
6、（理）已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在X轴和Y轴上运动，动点P满足=3，记动点P的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点H（0，1）的直线y=2x+t，与曲线C相交于两点M，N，若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值。
（文）已知点A（m，0）和B（0，n），且+=16，动点P满足=3，记动点P的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点H（0，1）的直线y=2x+t，与曲线C相交于两点M，N，若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值（2019成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①点轨迹方程的定义与基本求法；②椭圆的定义与性质；③直线斜率的定义与基本求法；④设而不求，整体代入数学思想及运用。
【解题思路】（理）（1）运用求点的轨迹方程的基本方法就可求曲线C的方程；（2）联立直线方程和曲线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，；结合韦达定理得到两根之和与两根之积关于t的式子，利用已知直线上两点的坐标求直线的斜率的公式分别求出直线HM，HN的斜率，根据斜率之和为1得到关于t的方程，求解方程并注意M，N是不同两点，直线y=2x+t不经过点（0，1）的条件就可求出t的值；
【详细解答】如图，设P（x，y），A（，0），B（0，）， y
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 =（x，y-），=（-x，-y），=3， B
（x，y-）=（3-3x，-3y）， x=3-3x， P（x，y）
y-=-3y， 0 A x
=x，=4y，|AB|==4，+16=16，+=1，曲线C
的方程是：+=1；（2）设M（，），N（，），直线y=2x+t不经过点（0，1），10+ t，即t 1，由 +=1，得：37+36tx+9-9=0，+=-，
y=2x+t，.=，M，N是不同两点， =-437（9-9）=36（36-37+37）>0，-（文）（1）如图，设P（x，y），A（，0），B（0，）， y
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 =（x，y-），=（-x，-y），=3， B
（x，y-）=（3-3x，-3y）， x=3-3x， P（x，y）
EMBED Equation.DSMT4 =x， y-=-3y， 0 A x
=4y，|AB|==4，+16=16，+=1，曲线C的方程是：+=1；（2）设M（，），N（，），直线y=2x+t不经过点（0，1），
10+ t，即 t 1，由 +=1，得： 37+36tx+9-9=0，+=-，.
y=2x+t， =，M，N是不同两点， =-437
（9-9）=36（36-37+37）>0，-+=+===4
+=+4=1，t=31，且-<3<，t的值是3。
7、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（理）设椭圆C的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆
C设位于X轴上方的两点，且M//N，记直线AM，BN的斜率分别为，，若3
+2=0，求直线M/的方程。（文）设椭圆C的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C设位于X轴上方的两点，且M//N，直线M 的斜率为2 ，记直线AM，BN的斜率分别为，，求3+2的值（2019成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②椭圆离心率的定义与性质；③椭圆标准方程的定义与求法；④设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；⑤直线与椭圆相交的定义与性质；⑥已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；⑦求直线方程的基本方法。
【解题思路】（1）运用椭圆的定义与性质，结合椭圆离心率的定义与性质，求出a，b的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）（理）运用设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件和已知直线上两点求直线斜率的公式把，表示出来，从而得到关于参数M的方程，求解方程得出m的值，利用求直线方程的基本方法就可求出直线M的方程。（文）运用设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件和已知直线上两点求直线斜率的公式把，表示出来，从而得到关于参数m的方程，求解方程得出m的值，利用求直线方程的基本方法就可求出直线M的方程。 y
【详细解答】（1） 由题意有：2b=4①，=②,
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 = +③，联立①②③解 A
得=9, =8, 椭圆C的标准方程是：
+ =1；（2）（理）设M（，）， M
D（，），N（，），由（1）知， A B
（-1，0），（1，0），A（-3，0），
B（3，0），如图，直线M过点（-1，0），直线M的方程为：x=my-1,
由x=my-1,得：（8+9）-16my-64=0，+=，.=-，
+ =1，M//N, 点D与点N关于原点对称，=-，=-，
N（-，-），=，==，3+2=0，=-，
3（+3）=-2（+3），3+2+9+6=0，3（m-1）
+2(m-1) +9+6=0，5m-3+2++4=0，=,
=-,>0，m>0，.=-.=-，m=，直线M的方程是：x=y-1，即：y=2x+2。（2）设M（，），直线M与椭圆C的另一个交点为D（，），N（，），由（1）知，（-1，0），（1，0），A（-3，0），B（3，0），如图，直线M过点（-1，0），斜率为2直线M的方程为：y=2(x+1)，由y=2(x+1)，14+27x+9=0， + =- ，
+ =1，.=，M//N, 点D与点N关于原点对称，=-，=-， N（-，-），=，=
=，3+2=+=
==
==,+ =- ，
.=，=-或=-，=2(x+1)>0，=-，3+2
===0。
『思考问题2』
（1）【典例2】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线的方程或直线斜率的值（或取值范围）；
（2）解答这类问题的基本思路是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），然后运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程，消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④结合问题条件得到关于参数k（或m）的方程（或不等式）（注意相交于不同两点的条件）；⑤求解方程（或不等式）求出参数k（或m）的值；⑥得出问题的结果。
【典例3】解答下列问题：
1、（理）已知，分别为椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线-=1在第一象限与椭圆C相交于点P，且|P|=1。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线y=kx+1与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且=m（m>0），若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围。
（文）已知中心为原点，对称轴为坐标轴的椭圆C经过点P（，），Q（，）。（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点（0，1）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，2=3，=+，且点E在椭圆C上，求直线l的方程（成都市高2020级高三二诊）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②双曲线第一与性质；③求椭圆标准方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤平行四边形定义与性质；⑥平面向量定义与性质；⑦平面向量坐标运算的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据椭圆和双曲线的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）设A（，），B（，），D（m，m），联立直线方程和椭圆C的方程得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想，根据平行四边形和平面向量的性质，求出点E的坐标，由点A，B，E在椭圆C上，得到关于，，，的等式，从而得到m关于kd的表示式，就可求出m的取值范围。
（文）（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）设A（，），B（，），由直线l过点（0，1）得到直线l的方程为x=my-m，联立直线l和椭圆C的方程得到关于y的一元二次方程，根据设而不求，整体代入的数学思想，结合问题条件求出点E的坐标，由点A，B，E在椭圆C上，得到关于，，，的等式，从而得到关于m的方程，求解方程求出m的值，就可求出直线l的方程。
【详细解答】（理）（1）如图，，分别为椭圆C： y P
+=1（a>b>0）的左，右焦点，椭圆C与双曲
线-=1有相同焦点，-=4+1=5①，椭 B
圆C与双曲线在第一象限相交于点P，且|P|=1，
|P|=4+1=5，2a=|P|+|P|=5+1=6②，联立①②解得：=9，=4，椭圆C的方程为+=1；（2）设A（，），B（，），D（m，m），联立直线和椭圆C的方程得：（9+4）+18kx-27=0， +=-，.=-，四边形OAED为平行四边形，=（m，m），=，E（+m，+m），
点A，B，E在椭圆C上，m>0，4+9+18m=0，（9+4）
+9k（+）+9+18m=0，-（9+4）-9k+9+18m=0，m=2-
， 1≤m<2，即若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，则m的取值范围是[1，2）。
（文）（1）由题意设题意C的方程为A+B=1（A>0，B>0），椭圆C经过点P（，），Q（，）， 3 A+B=1①，6 A+B=1②，联立①②解得：A=，B=，椭圆C的方程为+=1；（2）设A（，），B（，），
直线l过点（0，1），直线l的方程为 y
x=my-m，联立直线l和椭圆C的方程得： E A
（9+4）-18x+9-36=0，
+=，.=，
=（，），=（，）， B
2=3，=+，==（，），=+，=（+，+），点A，B，E在椭圆C上，m>0，4+9+27=0，（4+9）-4（+）+4+27=0，（4+9）4+4+27=0，m=， 直线l的方程为2x-3x+3=0或2x+3x-3=0。
2、设双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y=x。
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别相交于A，B两点，点P（，），Q（，），在C上，且>>0，>0，过点P且斜率为-的直线与过点Q且斜率为的直线相交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个条件成立。①M在AB上；②PQ//AB，③|MA|=|MB|。注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分（2022全国高考新高考II卷）
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②求双曲线标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④已知直线上一点的坐标和斜率，求直线方程的基本方法；⑤两点之间距离公式及运用。
【解题思路】（1）根据双曲线的性质，运用求双曲线标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到双曲线C方程；（2）设直线PQ的方程为x=my+n，选取①②为条件，根据直线AB过点F（2，0），得到直线AB的方程为x=my+2，分别联立直线AB和双曲线C的渐近线方程，求出A（，），B（，-），联立直线PQ和双曲线C的方程得到关于x的一元二次方程，由设而不求，整体代入数学思想得到+，.关于k，n的表示式，从而得到点M的轨迹方程，由点M在直线AB上得到证明点M是线段AB的中点，就可证明结论。
【详细解答】（1）双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方
程为y=x，+=4①，=②，联立①②解得：=1，=3，双曲线C
的方程为-=1，（2）设直线PQ的方程为x=my+n，点M（，），选取①②为条件，直线AB过点F（2，0），PQ//AB，直线AB的方程为x=my+2，分别联立直线AB
和双曲线C的渐近线方程解得：=，=，=，=-，A（，），B（，-），联立直线PQ与双曲线C的方程得：（3-1）+6mnx+3-3=0，+=-，.=，-=
=，=-，=，
=-（）①，=（）②，①-②得：-=-2-（+）=m（-），=，①+②得：+-2= m（+）+2n-2=-（-），==3m，点M的轨迹为直线y=3mx，+=+==，
+=-==，点M的坐标同时满足=m+2和=3m，=，=，点M是线段AB的中
点，|MA|=|MB|。
3、已知抛物线C：=2px（p＞0，p4），过点A（2，0）且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点。
（1）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为，，若+=0，求点B的坐标；
（2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求
的值（成都市2019级高三一诊）
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④弦长公式及运用；⑤两点之间距离公式及运用。
【解题思路】（1）根据抛物线的性质和已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件得到关于k，p的方程，求解方程就可求出点B的坐标；（2）设M（，），N（，），联立直线与抛物线的方程，得到关于x的一元二次方程，根据设而不求，整体代入的数学思想，运用弦长公式和两点之间的距离公式得到关于k，p的等式，从而求出的值。
【详细解答】（1）设B（，0），P（，），Q（，），直线过点A（2，0）且斜率为k， 直线的方程为y=k(x-2)，联立直线和抛物线C的方程得：-y-4p=0，+
=，.=-4p，=，=，+=0，+
=-（+）=（-2-）=0，=-2，点B的坐标为（-2，0）；（2）设M（，），N（，），直线过抛物线C的焦点F，且与直线PQ的平行，直线的方程为y=k(x-)，联立直线和抛物线C的方程得：-y-=0，+
=，.=-，|MN|=.=，|AP|=||，|AQ|= ||，|AP|.|AQ|= |.|=，=
.=。
4、（理）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P在椭圆E上，P，且|P|=3|P|。
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：x=my+1(mR)与椭圆E相较于A，B两点，与圆+=相较于C，D两点，求|AB|.|CD|的取值范围。
（文）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P（1，）在椭圆E上。
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：x=my+1(mR)与椭圆E相较于A，B两点，与圆+=相较于C，D两点，当|AB|.|CD|的值为8时，求直线l的方程（2020成都市高三二诊）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线垂直直线的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤椭圆弦长公式及运用；⑥圆弦长公式及运用；⑦求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）（理）设A（，），B（，），根据椭圆的性质，椭圆弦长公式和圆弦长公式，结合问题条件得到|AB|，|CD|关于参数m的式子，从而得到|AB|.|CD|关于参数m的函数，利用求函数值域的基本方法就可求出|AB|.|CD|的取值范围；（文）设A（，），B（，），P（，）根据椭圆的性质，椭圆弦长公式和圆弦长公式，结合问题条件得到关于参数m的方程，求解方程求出m的值就可得到直线l的方程。
【详细解答】（理）（1）设P（，），椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P在椭圆E上，P，且|P|=3|P|，=+1①，+=1②，. =-1③，2=a④，联立①②③④解得：=2，=1，椭圆E的标准方程为：+=1；（2）如图设A（，），B（，），由 +=1，得：（2+ ）+2my-1=0，+=-，
x=my+1，.=-，|AB|=
.=，+=2，直线l：x=my+1(mR)与圆+=相较于C，D两点，==，|CD|=4（2-）=，|AB|.|CD|=.==8（2-），2-<2，48（2-）<16，即|AB|.|CD|的取值范围是[4，16）。（文）（1）椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），
（1，0），点P（1，）在椭圆E上，=+1①，+=1②，联立①②解得：=2，=1，椭圆E的标准方程为：+=1；（2）如图设A（，），B（，），由 +=1，得：（2+ ）+2my-1=0，+=-，
x=my+1，.=-，|AB|=
=，+=2，直线l：x=my+1 (mR)与圆+=相较于C，D两点，==，|CD|=4（2-）=，|AB|.|CD|
=.==8，=1，m=1，当|AB|.|CD|的值为8时，直线l的方程为：x-y-1=0或x+y-1=0。
5、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为（- ，0），点Q（1，）在椭圆C上（2020成都市高三三诊）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过圆O：+=5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相较于异于点P的M，N两点。
（理）①求证：+=0；②求OAB的面积的取值范围。（文）①当直线PA，PB的斜率都存在时，记直线PA，PB斜率分别为，，求证：.=-1；②求的取值范围。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③圆的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤椭圆切线的定义与性质；⑥直线斜率的定义与基本求法；⑦椭圆弦长公式及运用；⑧点到直线的距离公式及运用；⑨三角形面积公式及运用；⑩求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）（理）①如图设P（，），运用椭圆切线的性质，结合问题条件得到直线PA，PB的斜率，关于，的式子，根据点P在圆O上，证明直线PM垂直直线PN，利用圆的性质就可证明+=0；②如图设A（，），B（，），运用椭圆切线的性质，结合问题条件得到直线PA，PB的斜率关于，的式子，关于，的式子，从而得到直线PA，PB的方程，根据点P在直线PA，PB上，得到关于，，，，，的等式，从而求出直线AB的方程，联立直线AB和椭圆C的方程，得到关于x的一元二次方程，从而由题意弦长公式和点到直线的距离公式求出|AB|, 的值，根据三角形的面积公式得到OAB的面积关于的函数，利用求函数值域的基本方法就可求出OAB面积的取值范围；（文）①如图设P（，），运用椭圆切线的性质，结合问题条件得到直线PA，PB的斜率，关于，的式子，根据点P在圆O上就可证明.=-1；②如图设A（，），B（，），运用椭圆切线的性质，结合问题条件得到直线PA，PB的斜率关于，的式子，关于，的式子，从而得到直线PA，PB的方程，根据点P在直线PA，PB上，得到关于，，，，，的等式，从而求出直线AB的方程，联立直线AB和椭圆C的方程，得到关于x的一元二次方程，从而由题意弦长公式和点到直线的距离公式求出|AB|关于的式子,根据直线PAPB得到MN是圆O的直径求出|MN|的值，从而得到关于的函数，利用求函数值域的基本方法就可求出的取值范围。
【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为（- ，0），点Q（1，）在椭圆C上，=+3①，+=1②，联立①②解得：=4，=1，椭圆E的标准方程为：+=1；（2）（理）①如图设P（，），（i）当直线PA，PB的斜率存在时，设过点P（，）与椭圆C相切的直线方程为：y=k(x-)+，联立直线和椭圆方程消去y得：（1+4）+8k（-k）x+4-4=0，直线与椭圆相切，=64-16[-1]. （1+4）=（4-）+2k+1-=0，
设直线PA，PB的斜率分别为，，点P（，）在圆O：+=5上，+=5，
.===-1，PAPB，即MN是圆O的直径，+=0；（ii）当直线PA或直线PB的斜率不存在时，当y=1时，=5-1=4，x=2或x=-2，点（2，1），（-2，1）在圆O上，取P（2，1），直线PA的方程为：x=2，直线PB的方程为：y=1，点M（2，1），N（-2，1），=（2，-1），=（-2，1），+=0也成立，综上所述，+=0；②如图设A（，），B（，），（i）当直线PA的斜率存在时，设直线PA，PB的斜率分别为，，则直线PA的方程为：y=（x-）+，联立直线PA与椭圆C的方程消去y得：（1+4）+8（-）x+4-4=0，直线PA与椭圆C相切，=64-16[-1]. （1+4）=（4-）+2k+1-=0，=-=-=-，直线PA的方程为；y=-（x-）+，即：+y-1=0，（ii）当直线PA的斜率不存在时，直线PA的方程为：x=2或
x=-2，也满足+y-1=0，直线PA的方程为：+y-1=0，同理可得直线PB的方程为：+y-1=0，点P（，）在直线PA，PB上，+-1=0，+-1=0，直线AB的方程为：+y-1=0，联立直线AB和椭圆C的方程消去y得：（3+5）-8x+16-16=0, +=,.=,|AB|
=.==,
==,=.=,
令t=，t[1，4]，则==， t[1，4]，[4，5]，即：OAB面积的取值范围是[，1]。（文）①如图设P（，），当直线PA，PB的斜率存在时，设过点P（，）与椭圆C相切的直线方程为：y=k(x-)+，联立直线和椭圆方程消去y得：（1+4）+8k（-k）x+4-4=0，直线与椭圆相切，=64-16[-1]. （1+4）=（4-）+2k+1-=0，直线PA，PB的斜率分别为，，点P（，）在圆O：+=5上，+=5，即： .===-1，②如图设A（，），B（，），（i）当直线PA的斜率存在时，设直线PA，PB的斜率分别为，，则直线PA的方程为：y=（x-）+，联立直线PA与椭圆C的方程消去y得：（1+4）+8（-）x+4-4=0，直线PA与椭圆C相切，=64-16[-1]. （1+4）=（4-）+2k+1-=0，=-=-=-，直线PA的方程为；y=-（x-）+，即：+y-1=0，（ii）当直线PA的斜率不存在时，直线PA的方程为：x=2或x=-2，也满足+y-1=0，直线PA的方程为：+y-1=0，同理可得直线PB的方程为：+y-1=0，点P（，）在直线PA，PB上，+-1=0，+-1=0，直线AB的方程为：+y-1=0，联立直线AB和椭圆C的方程消去y得：（3+5）-8x+16-16=0, +=,.
=,|AB|=.=
=,直线PAPB，MN是圆O的直径|MN|=2，
==1-，[0，5]，[，]，1-
[，]，的取值范围是 [，]。
6、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点M，N在C上，且AM AN，AD MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值（2020全国高考新高考I）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线垂直直线的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤两点之间的距离公式及运用。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）如图设M（，），N（，），运用椭圆的性质和设而不求，整体代入的数学思想得到关于m，n的等式，从而求出直线MN的方程，由直线MN的方程可得直线MN过定点P，取线段AP的中点为Q就可证明结论。
【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1），=①，+=1②，联立①②解得：=6，=3，椭圆C的标准方程为：
+=1；（2）如图设M（，），N（，），直线MN的方程为：x=my+n，联立直线MN和椭圆C的方程消去x得：（2+ ）+2mny+ -6=0，+=-，
.=，+=m

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