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三角函数高考大题的类型与解法
三角函数问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个三角函数问题的12分大题或两到三个三角函数问题的5分小题。从题型上看是17或18题的12分大题或选择题（也可能是填空题）的5分小题；难度系数为中，低档，一般考生都会拿到7到12分。纵观近几年高考试卷，归结起来三角函数大题主要包括：①正弦定理与余弦定理之间的综合，求三角形的边，内角（或内角的三角函数值），三角形的面积（或周长）；②正弦定理与余弦定理之间的综合，求三角形两边之和（或三角形周长，面积）的最值（或取值范围）；③正弦型函数与正弦函数之间的综合；④三角函数与平面向量之间的综合等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答三角函数大题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=2。
（1）求bc；
（2）若-=1，求ABC的面积（2023全国高考甲卷文）
在ABC中，已知BAC=，AB=2，AC=1。
求sinABC；
若D为BC上一点，且BAD=，求ADC的面积（2023全国高考乙卷理）
已知在ABC中，A+B=3C，2sin(A-C)=sinB。
求sinA；
设AB=5，求AB边时的高（2023全国高考新高考I）。
=，D为BC中点，AD=1。
若ADC=，求tanB；
若+=8，求b，c（2023全国高考新高考II）
5、记ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知=sinC+cosC。
（1）求A的大小；
（2）若2sinB=3sinC，再从下列条件①，条件②中任选一个作为已知，求ABC的面。积条件①：asinC=2；条件②：ac=2。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（成都市高2020级高三一诊）
6、已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c+a=bcosC-ccosB。
（1）求角B的大小；
（2）若D是AC上一点，且BD=CD=b，求cosBDA（成都市高2020级高三三珍）
7、记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)。
（理）（1）证明：2=+；
（2）若a=5，cosA=，求ABC的周长。
（文）（1）若A=2B,求C；
（2）证明：2=+（2022全国高考乙卷）
8、记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知-+=，sinB=。
（1）求ABC的面积；
（2）若sinA sinC= ，求b（2022全国高考新高考II卷）
9、已知ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B为钝角，且2asin(-B)
= （成都市2019级高三三珍）
（1）求角B的大小；
（2）若点D在边AC上，满足AC=4AD，且AB=4，BD=3，求BC边的长。
10、记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知=ac，点D在边AC上，Bdsin
ABC=asinC。
（1）证明：BD=b；
（2）若AD=2DC，求cosABC（2021全国高考新高考I卷）。
11、在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，b=a+1，c=a+2。
（1）若2sinC=3sinA，求ABC的面积；
（2）是否存在正整数a，使得ABC为锐角三角形？若存在，求a；若不存在，请说明理由（2021全国高考新高考II卷）
12、在ABC中，点M在边AC上，CM=3MA，tanABM=，tanBMC=-。
（1）求角A的大小；
（2）若BM=，求ABC的面积（2021成都市高三一诊）
13、ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知（b-a）cosC=ccosA。
（1）求角C的大小；
（2）若a=，c(acosB-bcosA)=，求ABC的面积（2021成都市高三二诊）。
14、在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且+-=bc。
（1）求sinA的值；
（2）若ABC的面积为，且sinB=3sinC，求ABC的周长（2020成都市高三一珍）
15、ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知B=。
（1）若a=c，b=2，求ABC的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C（2020全国高考新课标I文）。
16、在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知A=，+-abc=。
（1）求a的值；
（2）若b=1，求ABC的面积（2019成都市高三一珍）
17、已知ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且acosB=b+c。
（理）（1）求角A的大小；
（2）求sinB+sinC+sinBsinC的值。
（文）（1）求角A的大小；
（2）记ABC的外接圆半径为R，求的值（2019成都市高三三珍）
『思考问题1』
（1）【典例1】是正弦定理，余弦定理的综合运用问题，解答这类问题需要理解和掌握正弦定理，余弦定理并能够灵活运用两个定理解答相关的数学问题；
（2）运用正弦定理，余弦定理解答数学问题时，还需要注意三角形内角和定理，三角函数诱导公式，三角形面积公式等基本知识点的运用。
【典例2】解答下列问题：
1、记ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=。
（1）若C=，求B；
（2）求的最小值（2022全国高考新高考I卷）
2、在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且（a-c）sin（A+B）=（a-b）(sinA
+sinB)。
（1）求角B的大小；
（2）若b=4，求a+c的最大值（2020成都市高三三珍）
3、（理）ABC中，sinA-sinB-sinC=sinBsinC。
（1）求A；
（2）若BC=3，求ABC周长的最大值。
（文）ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知cos（+A）+cosA=。
（1）求A；
（2）若b-c=a，证明：ABC是直角三角形（2020全国高考新课标II）。
4、（理）在ABC中， +=-ac。
（1）求B的大小； （2）求cosA+cosC的最大值。
（文）已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x(＞0)的最小正周期为。
（1）求的值； （2）求f(x)的单调递增区间（2016全国高考北京卷）
5、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin=bsinA。
（1）求B；
（2）若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围（2019全国高考新课标III）
『思考问题2』
（1）【典例2】是正弦定理，余弦定理与基本不等式，三角函数的最值等知识综合问题，解答这类问题需要理解和掌握正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角函数最值的求法等基本知识点，并能够灵活运用这些知识点解答相关的数学问题；
（2）运用正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角函数最值等基本知识点解答数学问题时，需要注意三角形内角和定理，三角函数诱导公式，三角形面积公式等基本知识点的综合运用。
【典例3】解答心里问题：
1、知函数f(x)= sinxcosx+sinx，其中0<<6，且f（）=。
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）若（，），且f()=，求sin2的值（成都市2019级高三二诊）
2、已知函数f(x)=sinx+sinxcosx。
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）若f(x)在区间［-，m］上的最大值为，求m的最小值（2018全国高考北京卷（文））
3、已知函数f(x)= sincos-cos+。
（1）求函数f(x)的单调递减区间；
（2）若ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，f(A)= ，a=，sinB=2sinC，求c（2018成都市高三二诊）
『思考问题3』
（1）【典例3】是正弦函数（或正弦型函数）的图像和性质的综合运用问题，解答这类问题需要理解和掌握正弦函数（或正弦型函数）的图像和性质，同时还需要掌握正弦型函数处理的基本方法 ；
（2）解答该类问题时，经常与二倍角公式，辅助角公式等基本知识点融合在一起，因此理解和掌握二倍角公式，辅助角公式也显得尤为重要。
【典例4】解答心里问题：
1、已知向量=（cosx，sinx），=（3，-），x［0，］。
（1）若//，求x的值；
（2）记f(x)= .，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值（2017全国高考江苏卷）
2、（理）已知向量=(cos,sin)，=（cos,sin），=(-1,0)。
（1）求向量+的长度的最大值；
（2）设=，且⊥（+），求cos的值；
（文）已知向量=(sin ,cos -2sin )，=（1,2），
(1)若∥，求tan的值；
（2）若||=||，0＜＜，求的值。
『思考问题4』
（1）【典例4】是正弦函数（或正弦型函数）的图像和性质，平面向量坐标运算的法则和基本方法综合运用的问题，解答这类问题需要理解和掌握正弦函数（或正弦型函数）的图像和性质，平面向量坐标运算的法则和基本方法，还需要掌握正弦型函数处理的基本方法 ；
（2）解答该类问题时，经常与平面向量平行与垂直等基本知识点融合在一起，因此理解和掌握平面向量平行与垂直的充分必要条件也显得尤为重要。
三角函数高考大题的类型与解法
三角函数问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个三角函数问题的12分大题或两到三个三角函数问题的5分小题。从题型上看是17或18题的12分大题或选择题（也可能是填空题）的5分小题；难度系数为中，低档，一般考生都会拿到7到12分。纵观近几年高考试卷，归结起来三角函数大题主要包括：①正弦定理与余弦定理之间的综合，求三角形的边，内角（或内角的三角函数值），三角形的面积（或周长）；②正弦定理与余弦定理之间的综合，求三角形两边之和（或三角形周长，面积）的最值（或取值范围）；③正弦型函数与正弦函数之间的综合；④三角函数与平面向量之间的综合等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答三角函数大题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=2。
（1）求bc；
（2）若-=1，求ABC的面积（2023全国高考甲卷文）
【解析】
【考点】①三角形正弦定理及运用；②三角形余弦定理及运用；③三角函数诱导公式及运用；④三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）根据三角形余弦定理，结合问题条件得到关于bc的方程，求解方程就可求出bc的值；（2）根据三角形正弦定理和三角函数诱导公式，结合问题条件求出sinA的值，运用三角形面积公式就可求出ABC的面积。
【详细解答】（1）cosA=，=2bccosA，
==2bc=2，bc=1；（2）===2R，-=1，
-=-=1，2sinBcosA+sinB=sinB(2cosA+1)=0，sinB>0，2cosA+1
=0，cosA=-，sinA==，=1=。
在ABC中，已知BAC=，AB=2，AC=1。
求sinABC；
若D为BC上一点，且BAD=，求ADC的面积（2023全国高考乙卷理）
【解析】
【考点】①三角形正弦定理及运用；②三角形余弦定理及运用；③直角三角形定义与性质；④三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）根据三角形余弦定理，结合问题条件求出a的值，运用三角形正弦定理就可求出sinABC的值；（2）根据直角三角形的性质，结合问题条件求出AD的值，运用三角形面积公式就可求出ADC的面积。
【详细解答】（1）在ABC中，BAC=，AB=2，AC=1，BC=
=，=，sinABC===；（2）
D为BC上一点，且BAD=，sinABC=，cosABC==，
tanABC==，AD=AB.tanABC=2=，DAC=BAC
-DAB=-=，=1=。
已知在ABC中，A+B=3C，2sin(A-C)=sinB。
求sinA；
设AB=5，求AB边时的高（2023全国高考新高考I）。
【解析】
【考点】①三角形内角和定理及运用；②三角函数差角公式及运用；③同角三角函数基本关系及运用；④三角形正弦定理及运用；⑤三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）根据三角形内角和定理，结合问题条件求出C的值，运用三角函数差角公式和同角基本关系求出sinA的值，从而就可求出sinA的值；（2）根据三角形正弦定理和三角函数诱导公式，结合问题条件求出sinA的值，运用三角形面积公式就可求出ABC的面积。
【详细解答】（1）A+B=3C，A+B+C=3C+C=4C=，C=，B=-A，2sin(A-C)
=sinB，sin(A-C)=sin(A-)=（sinA-cosA），sinB=sin（-A）=（cosA+sinA），
sinA=cosA，sinA=3cosA，sinA+cosA=sinA=1，0sinA==；（2）设AB边上的高为h，AB=5，= ,BC===3，sinB=2sin(A-C)=（sinA-cosA）
=（-）=，=53=5h，h=6。
=，D为BC中点，AD=1。
若ADC=，求tanB；
若+=8，求b，c（2023全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①三角形中线定义与性质；②直角三角形定义与性质；③三角形面积公式公式及运用；④三角形余弦定理及运用。
【解题思路】（1）如图，过点A作AEBC于点E，根据三角形中线和直角三角形的性质，运用三角形面积公式，结合问题条件求出AE，BE的值就可求出tanB的值；（2）如图，设ADB=，根据三角形余弦定理，结合问题条件求出BC的值，从而求出bccosBAC的值，运用三角形面积公式求出bcsinBAC的值，从而求出bc的值就可求出b，c的值。
【详细解答】（1）如图，过点A作AEBC于点E， A
D为BC中点，AD=1，ADC=，AE=1
=，DE=1=，=2=2DC B D E C
1=DC=，DC=2，BE=AD+DE=2+=，tanB===；
如图，设ADB=，D为BC中点，AD=1，+=8，=1+DC+2DCcos，=1+BD-2BDcos，2+2DC=8，DC=，BC=2DC=2，12=8-2bccosBAC，bccosBAC=-2，=bcsinBAC=，bcsinBAC=2，tanBAC
=-，0b=c=2。
5、记ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知=sinC+cosC。
（1）求A的大小；
（2）若2sinB=3sinC，再从下列条件①，条件②中任选一个作为已知，求ABC的面。积条件①：asinC=2；条件②：ac=2。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（成都市高2020级高三一诊）
【解析】
【考点】①三角形内角和定理及运用；②三角形正弦定理及运用；③三角函数诱导公式及运用；④三角形余弦定理及运用；⑤三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）根据三角形内角和定理和三角形正弦定理，运用三角函数诱导公式，结合问题条件得到关于sinC，sinA，cosA的等式，从而得到关于sinA，cosA的等式就可求出A的值；（2）根据三角形余弦定理，结合已知条件求出c关于a的表示式，从而求出b，c的值，运用三角形面积公式就可求出ABC的面。
【详细解答】（1） =sinC+cosC，sinB=sinAsinC+sinAcosC，sinAcosC+cosAsinC
=sinAsinC+sinAcosC，sinC(sinA-cosA)=0，sinC>0，sinA-cosA=0，tanA=1，
A=；（2）若选条件①：asinC=2，2sinB=3sinC，==，由（1）知A=， RsinC=c=2，c=2，b=3，=bcsinA=32
=3。若选条件②：ac=2，2sinB=3sinC，==，由（1）知A=，
=+-bc=+-=，a=c，c=2，b=3，
=bcsinA=32=3。
6、已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c+a=bcosC-ccosB。
（1）求角B的大小；
（2）若D是AC上一点，且BD=CD=b，求cosBDA（成都市高2020级高三三珍）
【解析】
【考点】①三角形内角和定理及运用；②三角函数诱导公式及运用；③三角形正弦定理及运用；④三角形余弦定理及运用；⑤求解三角形的基本方法。
【解题思路】（1）根据三角形内角和定理和三角函数诱导公式，运用三角形正弦定理，结合问题条件得到关于cosB的等式，从而求出cpsB的值，就可求出角B的大小；（2）如图，根据三角形余弦定理，得到关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b关于c的表示式，就可求出cosBDA 的值。
【详细解答】（1）===2R，c+a=bcosC-ccosB sinC+sinA
=sinBcosC-sinCcosB，sinC(+2 cosB) =0 ，sinC>0，+2 cosB =0 ， cosB =-，0=b，cosB==-， cosBDC A
=，cosBDA =， D
cosBDC +cosBDA =，=2+， B C
ac，b=c，cosBDA ===。
7、记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)。
（理）（1）证明：2=+；
（2）若a=5，cosA=，求ABC的周长。
（文）（1）若A=2B,求C；
（2）证明：2=+（2022全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③三角函数差角公式及运用；④三角形内角和定理及运用；⑤求三角形周长的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据正弦定理，余弦定理和三角函数差角公式，结合问题条件得到关于a，b，c的等式，从而就可证明2=+；（2）根据（1）的结论，运用余弦定理求出b+c的值，利用求三角形周长的基本方法就可求出ABC的周长。（文）（1）根据三角形内角和定理，结合问题条件得到关于A，B，C的方程组，求解方程组就可求出C的值；
（2）根据正弦定理，余弦定理和三角函数差角公式，结合问题条件得到关于a，b，c的等式，从而就可证明2=+。
【详细解答】（理）（1）证明： sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)， sinC（sinAcosB-cosAsinB）=sinB(sinCcosA-cosCsinA)，2sinBsinCcosA=sinA（sinCcosB+ cosCsinB）= sinA sin(C+B)= sin A，===2R，cosA=，2bc. =，
+-=，2=+；（2） a=5，cosA=，2=+，=+
-2bccosA=2-2bc. ，bc=25=，=++2bc=2+2bc=225
+31=81，b+c=9，ABC的周长=a+b+c=5+9=14。（文）（1） A=2B, sinCsin(A-B)
=sinBsin(C-A)， sinCsin(2B-B)=sinBsin(C-A)， sinCsinB= sinBsin(C-A)， sinB
[sinC-sin(C-A)]=0， sinB>0， sinC-sin(C-A)=0C=-(C-A)，2C-A=①，
A+B+C=，A=2B②,联立①②解得：C=， C=；（2）证明： sinCsin(A-B)
=sinBsin(C-A)， sinC（sinAcosB-cosAsinB）=sinB(sinCcosA-cosCsinA)，2sinBsinCcosA
=sinA（sinCcosB+ cosCsinB）= sinA sin(C+B)= sin A，===2R，cosA=，2bc. =，+-=，2=+。
8、记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知-+=，sinB=。
（1）求ABC的面积；
（2）若sinA sinC= ，求b（2022全国高考新高考II卷）
【解析】
【考点】①正三角形定义与性质；②三角形面积公式及运用；③正弦定理及运用；④余弦定理及运用。
【解题思路】（1）根据正三角形的性质和三角形面积公式，结合问题条件得到关于，，的等式，从而求出-+的值，运用余弦定理得到关于ac的等式，从而求出ac的值，利用三角形的面积公式就可求出ABC的面积；（2）根据正弦定理，结合问题条件和（1）的结果得到关于R的等式，从而求出R的值，就可求出b的值。
【详细解答】（1）分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，
==，==，==，
-+==（-+）=，-+=2，cosB==>0，
sinB=， cosB= = ，ac=，==；（2）
==2R，sinA sinC= ，=，由（1）知ac=，=，
=，R=，=2R，sinB=，b=2=。
9、已知ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B为钝角，且2asin(-B)
= （成都市2019级高三三珍）
（1）求角B的大小；
（2）若点D在边AC上，满足AC=4AD，且AB=4，BD=3，求BC边的长。
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式及运用；②三角形正弦定理及运用；③平面向量定义与性质；④平面向量数量积定义与性质；⑤平面向量几何运算法则和基本方法。
【解题思路】（1）根据三角函数二倍角公式和三角形正弦定理，结合问题条件得到关于B的三角函数式，从而求出tan2B的值，运用钝角的性质就可求出角B的大小；（2）如图，根据（1）求出关于n的式子，从而得到=+，运用对数的性质得到数列｛｝的通项公式，运用等差数列的前n项和公式就可求出的值。
【详细解答】（1）=，2asin(-B)= ， 2sinA（cosB-sinB）=，2cosB-2 sinB cosB-=（cos2B+1）- sin2B -=cos2B- sin2B =0 tan2B =，=+，点D在边AC上，满足AC=4AD， A D
=，=-，=+，
EMBED Equation.DSMT4 =-（+）=+，AB=4， B C
BD=3，=||=9=（+）=||+||.||cosB+||，
||-.||=.||（.||-3）=0，||=12，即BC边的长为12。
10、记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知=ac，点D在边AC上，Bdsin
ABC=asinC。
（1）证明：BD=b；
（2）若AD=2DC，求cosABC（2021全国高考新高考I卷）。
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③平面向量的定义与性质；④平面向量几何运算的法则和基本方法。
【解题思路】（1）根据正弦定理，结合问题条件得到关于BD，b的方程组，求解方程组就可证明BD=b；（2）根据平面向量的性质和平面向量几何运算法则与基本方法，结合问题条件求出，从而得到|| 关于a，c的式子，得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，c关于b的表示式，运用余弦定理就可求出cosABC的值。
【详细解答】（1）证明：=，sinABC=， BDsinABC
=asinC，sinABC=，bBD=ac①， A
=ac②，联立①②得：BD=b， BD=b； D
（2）如图，+=，AD=2DC， B C
=-，==-，=-=-+
=+，|| =+.+=+accosABC+③，=ac，cosABC=，BD=b④，联立③④解得：=，=，或=，=3 cosABC===，或cosABC=
==>1与余弦三角函数不符， cosABC=。
11、在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，b=a+1，c=a+2。
（1）若2sinC=3sinA，求ABC的面积；
（2）是否存在正整数a，使得ABC为锐角三角形？若存在，求a；若不存在，请说明理由（2021全国高考新高考II卷）
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③三角形面积公式及运用；④解答探索性问题的基本方法。
【解题思路】（1）根据正弦定理，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值，从而求出b，c的值，运用三角形面积公式就可求出ABC的面积；（2）设存在正整数a，使得ABC为锐角三角形，根据余弦定理得到cosC关于a的不等式，求解不等式求出a的取值范围，确定是否包含正整数就可得出结论。
【详细解答】（1） c=a+2，2sinC=3sinA，=，===，
2a+4=3a，a=4，b=5，c=6，cosC==，sinC==，
=45=，ABC的面积为；（2）设存在正整数a，使得ABC为锐角三角形， cosC= = >0，>0，a<
-1或a>3，a>0， a>3，即存在大于3的正整数，使得ABC为锐角三角形。
12、在ABC中，点M在边AC上，CM=3MA，tanABM=，tanBMC=-。
（1）求角A的大小；
（2）若BM=，求ABC的面积（2021成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①三角函数和角公式及运用；②三角函数诱导公式及运用；③正切三角函数的定义与性质；④同角三角函数基本关系及运用；⑤正弦定理及运用；⑥三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）根据三角函数诱导公式与和角公式，结合问题条件求出tanA的值，运用正切三角函数的性质就可求出角A的大小；（2）根据同角三角函数的基本关系求出sinABM ，sinBMC 的值，运用正弦定理求出AB的值，利用三角形面积公式就可求出ABC的面积。 A
【详细解答】（1）如图，A+ABM+BMA=， M
tanABM=，tanBMC=-，tanBMA = B C
tan（-BMC）=- tanBMC，tanA=tan(-ABM-BMA）=-tan（ABM +BMA）
=-=-=-，0=，sinBMA==，
=，AB===2，=2
=，点M在边AC上，CM=3MA， =4=4=6。
13、ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知（b-a）cosC=ccosA。
（1）求角C的大小；
（2）若a=，c(acosB-bcosA)=，求ABC的面积（2021成都市高三二诊）。
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）根据正弦定理，结合问题条件得到关于sinB，cosC的等式，从而求出cosC的值，运用余弦三角函数的性质就可求出角C的大小；（2）根据余弦定理，结合问题条件得到关于b，c的方程组，求解方程组得出b，C的值，运用三角形面积公式就可求出ABC的面积。
【详细解答】（1）===2R，（b-a）cosC=ccosA，sinB cosC-sinA cosC=sinC cosA，sinB cosC= sinA cosC+ sinC cosA= sinB， sinB(cosC-1)=0，
cosC=， 0=2b①，c(acosB-bcosA)=，+=，=②，联立①②解得：b=c=1，=1=。
14、在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且+-=bc。
（1）求sinA的值；
（2）若ABC的面积为，且sinB=3sinC，求ABC的周长（2020成都市高三一珍）
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③三角形面积公式及运用；④三角形周长的定义与求法。
【解题思路】（1）运用余弦定理，结合问题条件求出cosA的值，从而求出sinA的值；（2）根据三角形面积公式和正弦定理，结合问题条件得到关于b，c的方程组，求解方程组得出b，c的值，从而求出a的值，利用计算三角形周长的基本方法就可求出ABC的周长。
【详细解答】（1）+-=bc，cosA===，
sinA==；（2）=bcsinA=bc=，bc=6①，sinB
=3sinC，==②，联立①②解得c=2，b=3，=+-bc=18+4-16
=6，a=，ABC的周长为：a+b+c=+3+2。
15、ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知B=。
（1）若a=c，b=2，求ABC的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C（2020全国高考新课标I文）。
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）运用余弦定理，结合问题条件得到关于c的一元二次方程，求解方程求出c的值，从而求出a的值，利用三角形的面积公式就可求出ABC的面积；（2）根据正弦定理，结合问题条件得到关于sinC的方程，求解方程组得出sinC的值，从而求出C的值。
【详细解答】（1） a=c，b=2，B=，=+-2accosB，28=3+-2
（-），c=2，a=2=2，=acsinB=22=；（2）sinA+sinC=，sinA = sin（B+C）=cosC-sinC，cosC-sinC sinC=sinC +cosC = sin（C + ）=，0C + = ，C=-=。
16、在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知A=，+-abc=。
（1）求a的值；
（2）若b=1，求ABC的面积（2019成都市高三一珍）
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）运用余弦定理，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）根据正弦定理，结合问题条件求出sinB的值，从而求出B，C的值，利用三角形的面积公式通过技术就可得出ABC的面积。
【详细解答】（1） A=，+-abc=，=+-2bccos=+-bc，a=1，a=；（2）b=1，= ，sinB===，
0＜B＜，B=，C=--=，=ab=1=。
17、已知ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且acosB=b+c。
（理）（1）求角A的大小；
（2）求sinB+sinC+sinBsinC的值。
（文）（1）求角A的大小；
（2）记ABC的外接圆半径为R，求的值（2019成都市高三三珍）
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③三角函数诱导公式及运用。
【解题思路】（理）（1）运用正弦定理，三角函数诱导公式，结合问题条件得到关于cosA，sinB的等式，求出cosA的值，从而得出A的大小；（2）根据正弦定理，余弦定理，结合问题条件得到关于sinA的式子，利用（1）的结果就可求出sinB+sinC+sinBsinC的值；（文）同（理）（1），（2）运用余弦定理，结合问题条件得到关于sinA的式子，利用（1）的结果就可求出的值。
【详细解答】（理）（1）= = =2R，sinC=sin［-（A+B）］=sin（A+B），
acosB=b+c，sinAcosB=sinB+sin（A+B），sinB（cosA+）=0， sinB＞0，
cosA=-，0＜A＜,A=;(2) =+-2bccosA=++bc，= = =2R，sinB+sinC+sinBsinC===sinA=；（文）（1）= = =2R，sinC=sin［-（A+B）］=sin（A+B），acosB=b+c，sinAcosB=sinB+sin（A+B），sinB（cosA+）=0， sinB＞0，cosA=-，0＜A＜,A=;(2)
=+-2bccosA=++bc，==sinA=。
『思考问题1』
（1）【典例1】是正弦定理，余弦定理的综合运用问题，解答这类问题需要理解和掌握正弦定理，余弦定理并能够灵活运用两个定理解答相关的数学问题；
（2）运用正弦定理，余弦定理解答数学问题时，还需要注意三角形内角和定理，三角函数诱导公式，三角形面积公式等基本知识点的运用。
【典例2】解答下列问题：
1、记ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=。
（1）若C=，求B；
（2）求的最小值（2022全国高考新高考I卷）
【解析】
【考点】①三角形内角和定理及运用；②三角函数二倍角公式及运用；③三角函数和角公式及运用；④三角函数差角公式及运用；⑤三角函数诱导公式及运用；⑥正弦定理及运用；⑦基本不等式及运用。
【解题思路】（1）根据三角形内角和定理，得到A+B=，从而得到A=-B，运用三角函数二倍角公式，和角公式与差角公式，结合问题条件得到关于cosB，sinB的等式，从而求出sinB的值，就可求出B的值；（2）根据三角形内角和定理，三角函数二倍角公式，和角公式与差角公式，结合问题条件得到sinA，sinB关于C的三角函数表示式，运用正弦定理，得到关于C的三角函数式，利用基本不等式，就可求出的最小值。
【详细解答】（1） C=，A+B+C=， A+B =， A=-B，
=，sin2B+sinA sin2B =cosA+cosA cos2B， cosA - sin2B +cos(A+2B)=cos(
-B)-2sinBcosB+ cos(+B)=cosB+sinB-2sinBcosB+cosB-sinB= cosB-2sinBcosB
=cosB(1-2sinB)=0，00，1-2sinB=0， sinB=，0（2） A+B+C=，=，sin2B+sinA sin2B =cosA+cosA cos2B， cosA - sin2B +cos(A+2B)= - cosCcosB-+sinCsinB-2sinBcosB- cosCcosB- sinCsinB=-2cosCcosB
--2sinBcosB=-2cosB(cosC+sinB)=0，1+cos2B=1+2 cosB-1=2 cosB0，cosB0，
cosC+sinB=0， sinB=- cosC，C=+B， sinA=sin(B+C)=sin(2C-)=-cos2C，
= = =2R，==
===+4 sinC-5 2 -54-5，当且仅当=4 sinC，即sinC=时，等号成立，的最小值为4-5。
2、在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且（a-c）sin（A+B）=（a-b）(sinA
+sinB)。
（1）求角B的大小；
（2）若b=4，求a+c的最大值（2020成都市高三三珍）
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③三角形面积公式及运用；④基本不等式及运用。
【解题思路】（1）运用正弦定理，结合问题条件得到关于a，b，c的等式，根据余弦定理求出cosB的值，从而求出B的值；（2）根据余弦定理，结合问题条件得到关于a，c的等式，利用基本不等式得到关于a+c的不等式，求解不等式就可得出a+c的最大值。
【详细解答】（1） A+B+C=，= = =2R，（a-c）sin（A+B）=（a-b）(sinA+sinB)，（a-c）c=（a-b）（a+b），+-=ac，cosB===
，00，c>0， a+c2，ac，16=+-2ac=-3ac-，
a+c8，当且仅当a=c=4时，a+c取得最大值为8，a+c的最大值为8。
3、（理）ABC中，sinA-sinB-sinC=sinBsinC。
（1）求A；
（2）若BC=3，求ABC周长的最大值。
（文）ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知cos（+A）+cosA=。
（1）求A；
（2）若b-c=a，证明：ABC是直角三角形（2020全国高考新课标II）。
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③同角三角函数的基本关系及运用；④三角函数诱导公式及运用；⑤基本不等式及运用；⑥直角三角形的定义与性质。
【解题思路】（理）（1）运用正弦定理得到关于a，b，c的等式，根据余弦定理，结合问题条件求出求出cosA的值，从而求出A的值；（2）根据余弦定理，结合问题条件得到关于a，c的等式，利用基本不等式得到关于a+c的不等式，求解不等式就可得出a+c的最大值从而求出ABC周长的最大值；（文）（1）运用三角函数诱导公式，结合问题条件得到关于cosA的一元二次方程，求解方程求出cosA的值，从而求出A的值；（2）根据正弦定理，结合问题条件得到关于sinB，cosB，的等式，从而求出sin（B-）的值，证明B=就可证明结论。
【详细解答】（理）（1） sinA-sinB-sinC=sinBsinC，= = =2R，
--=bc，+-=-ac， cosA= = =-，00，c>0，b+c2，bc，9=++2bc=-bc-，b+c2，当且仅当b=c=时，a+c取得最大值为2，ABC周长的最大值为3+2；（文）
（1）cos（+A）=-sinA，cos（+A）+cosA=， sinA+cosA=，cosA-cosA
+=0， cosA=，04、（理）在ABC中， +=-ac。
（1）求B的大小； （2）求cosA+cosC的最大值。
（文）已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x(＞0)的最小正周期为。
（1）求的值； （2）求f(x)的单调递增区间（2016全国高考北京卷）
【解析】
【考点】①余弦定理及运用；②三角形内角和定理及运用；③差角公式，辅助角公式及运用；④三角函数诱导公式及运用；⑤二倍角公式及运用；⑥正弦函数的定义，图像与性质。
【解题思路】（理）（1）运用余弦定理，结合问题条件求出cosB的值，从而得出B的大小；（2）根据三角形内角和定理，差角公式，辅助角公式，结合问题条件得到关于A的正弦型函数式，利用正弦函数的图像和性质就可求出cosA+cosC的最大值；（文）（1）运用二倍角公式，辅助角公式，结合问题条件得到函数f(x)的正弦型函数式，根据正弦型函数最小正周期公式求出的值；（2）利用正弦函数的腾讯和性质，结合问题条件得到关于x的不等式，求解不等式就可求出函数f(x)的单调递增区间。
【详细解答】（理）（1）+=-ac，+-=ac，cosB=
==，0＜B＜，B=；（2）A+B+C=，A+C=-B=-=，
C=-A，cosA+cosC=cosA+cos（-A）=cosA-cosA+sinA
=sinA+cosA=sin(A+)，0＜A＜， ＜A+＜，0 sin(A+)
1，cosA+cosC的最大值为1；（文）（1）f(x)=2sinxcosx+cos2x=sin2x+
cos2x=sin（2x+）的最小正周期为，2｜｜==2，＞0，
=1；（2）由（1）得f(x)= sin（2x+），2k-2x+2k+，
2k-2x2k+，k-xk+，函数f(x)的单调递增区间是：
［k-，k+］（kZ）。
5、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin=bsinA。
（1）求B；
（2）若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围（2019全国高考新课标III）
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③三角形面积公式及运用；④三角函数诱导公式及运用。
【解题思路】（1）运用正弦定理，三角函数诱导公式，结合问题条件得到关于sinA，sinB，cosB的等式，求出sin的值，从而求出B的值；（2）根据正弦定理，锐角三角形的性质，结合问题条件求出a的取值范围，利用三角形的面积公式，得出ABC面积的取值范围。
【详细解答】（1）= =2R，sin=sin（-）=cos，asin=bsinA，
sinAcos=sinBsinA，sinA(sinB-cos)=0， sin=，0＜＜，=，
B=；（2）ABC为锐角三角形，A+C=，＜A＜，= ，c=1，
a====＞， =ac
sinB=1a=a＞。ABC面积的取值范围是（，+）。
『思考问题2』
（1）【典例2】是正弦定理，余弦定理与基本不等式，三角函数的最值等知识综合问题，解答这类问题需要理解和掌握正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角函数最值的求法等基本知识点，并能够灵活运用这些知识点解答相关的数学问题；
（2）运用正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角函数最值等基本知识点解答数学问题时，需要注意三角形内角和定理，三角函数诱导公式，三角形面积公式等基本知识点的综合运用。
【典例3】解答心里问题：
1、知函数f(x)= sinxcosx+sinx，其中0<<6，且f（）=。
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）若（，），且f()=，求sin2的值（成都市2019级高三二诊）
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式及运用；②三角函数辅助角公式及运用；③正弦三角函数定义与性质；④正弦型三角函数定义与性质；⑤处理正弦型三角函数的基本方法；⑥同角三角函数基本关系及运用；⑦三角函数和角公式及运用。
【解题思路】（1）根据三角函数二倍角公式和三角函数辅助角公式，结合问题条件得到函数f(x)的正弦型三角函数式，运用处理正弦型三角函数的基本方法就可求出函数f(x)的单调递增区间；（2）根据同角三角函数基本关系，结合问题条件求出cos（2 -）的值，运用三角函数和角公式就可求出sin2的值。
【详细解答】（1） f(x)= sinxcosx+sinx= sin2x-cos2x+
= sin（2x -）+，f（）= sin（ -）+=， sin（ -）=0， -=k， =6k+1(kZ)，0<<6，=1， f(x)= sin（2x -）+，由2 k- 2x -2 k+解得： k- x k+(kZ)， 函数f(x)的单调递增区间为[k-，k+](kZ)；（2） f()=sin（2 -）+=，（，）， sin（2 -）=，2 -（0，），cos（2 -）==,2=（2 -）+， sin2= sin[（2-）+]= sin（2 -）cos+ cos（2 -）sin=+=。
2、已知函数f(x)=sinx+sinxcosx。
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）若f(x)在区间［-，m］上的最大值为，求m的最小值（2018全国高考北京卷（文））
【解析】
【考点】①二倍角公式及运用；②辅助角公式及运用；③正弦型三角函数最小正周期的定义与求法；④正弦函数的定义，图像与性质。
【解题思路】（1）运用二倍角公式，辅助角公式，结合问题条件得到函数f(x)的正弦型三角函数式，根据正弦型三角函数最小正周期的求法就可求出函数f(x)的最小正周期；（2）运用正弦函数的图像和性质，结合问题条件就可求出m的最小值。
【详细解答】（1） f(x)=sinx+sinxcosx= + sin2x= sin2x-cos2x
+=sin(2x+)+，T==，函数f(x)的最小正周期是；（2）x［-，m］，2x+［-，2m+］，当且仅当2x+=2k+（kZ）时，函数f(x)=1+=，
2m+=，即m=为最小，函数f(x)在区间［-，m］上的最大值为，m的最小值为。
3、已知函数f(x)= sincos-cos+。
（1）求函数f(x)的单调递减区间；
（2）若ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，f(A)= ，a=，sinB=2sinC，求c（2018成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①二倍角公式及运用；②辅助角公式及运用；③正弦函数的定义，图像与性质；④正弦定理及运用；⑤余弦定理及运用。
【解题思路】（1）运用二倍角公式，辅助角公式，结合问题条件得到函数f(x)的正弦型三角函数式，根据正弦函数的图像与性质就可求出函数f(x)的单调递减区间；（2）运用正弦定理，结合问题条件得到b，c的关系式，利用余弦定理，结合问题条件就可求出c的值。
【详细解答】（1） f(x)= sincos-cos+=sinx-+=sinx-
cosx=sin(x-)，2k+ x-2k+，2k+ x2k+，
函数f(x)的单调递减区间是：［2k+，2k+］（kZ）；（2） = ，
sinB=2sinC，==2，b=2c，f(A)= sin(A-)=，0＜A＜，-＜A-＜， A-=，A=， a=，3=+-2bccos=4+-2=3，
=1，c=1。
『思考问题3』
（1）【典例3】是正弦函数（或正弦型函数）的图像和性质的综合运用问题，解答这类问题需要理解和掌握正弦函数（或正弦型函数）的图像和性质，同时还需要掌握正弦型函数处理的基本方法 ；
（2）解答该类问题时，经常与二倍角公式，辅助角公式等基本知识点融合在一起，因此理解和掌握二倍角公式，辅助角公式也显得尤为重要。
【典例4】解答心里问题：
1、已知向量=（cosx，sinx），=（3，-），x［0，］。
（1）若//，求x的值；
（2）记f(x)= .，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值（2017全国高考江苏卷）
【解析】
【考点】①辅助角公式及运用；②平面向量坐标的定义与性质；③平面向量坐标运算的法则和基本方法；④正弦函数的定义，图像与性质。
【解题思路】（1）运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到关于sinx，cosx的等式，根据等式求出tanx的值，从而求出x的值；（2）运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，辅助角公式，结合问题条件得到函数f(x)的正弦型三角函数式；利用正弦函数的图像和性质，就可求出函数f(x)的最大值和最小值以及对应x的值。
【详细解答】（1）向量=（cosx，sinx），=（3，-），//，=-，
tanx=-， x［0，］，x=；（2） f(x)= .=3cosx-sinx=-2sin(x-)，
当且仅当x-=2k+，即x=2k+时，函数f(x)取得最大值为2；当且仅当x-=2k+，即x=2k+时，函数f(x)取得最小值为-2，函数f(x)取得最大值为2，其对应x的值为x=2k+（kZ），函数f(x)取得最小值为-2，其对应x的值为x=2k+（kZ）。
2、（理）已知向量=(cos,sin)，=（cos,sin），=(-1,0)。
（1）求向量+的长度的最大值；
（2）设=，且⊥（+），求cos的值；
（文）已知向量=(sin ,cos -2sin )，=（1,2），
(1)若∥，求tan的值；
（2）若||=||，0＜＜，求的值。
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②辅助角公式及运用；③平面向量坐标的定义
与性质；④平面向量坐标运算的法则和基本方法；⑤求三角函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）（1）运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到关于sin，cos的等式，根据向量模长的定义得到关于sin，cos的三角函数式，利用求三角函数最值的基本方法就可求出向量+的长度的最大值；（2）运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到关于sin，cos的三角函数式，利用同角三角函数
的基本关系就可求出cos的值；（文）（1）运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结
合问题条件得到关于sin ,cos 的三角函数式，利用同角三角函数的基本关系就可求出tan的值；（2）运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到关于sin ,cos 的三角函数式，求出cos ，tan的值，从而求出的值。
【详细解答】（理）（1）=（cos,sin），=(-1,0)，+=（cos-1,sin），
｜+｜==，当且仅当cos=-1时，｜+｜取得最大值为2，向量+的长度的最大值是2；（2）=，且⊥（+），.（+）
= cos（cos-1）+ sinsin= （cos+ sin-1）=0， cos+ sin=1， cos=0或cos=1；（文）（1）向量=(sin ,cos -2sin )，=（1,2），∥，=
，4 sin =cos ， tan= ；（2）向量=(sin ,cos -2sin )，=（1,2），||=||，==
=，4-4-4=0， cos =0，或tan=1，0＜＜，=，或=。
『思考问题4』
（1）【典例4】是正弦函数（或正弦型函数）的图像和性质，平面向量坐标运算的法则和基本方法综合运用的问题，解答这类问题需要理解和掌握正弦函数（或正弦型函数）的图像和性质，平面向量坐标运算的法则和基本方法，还需要掌握正弦型函数处理的基本方法 ；
（2）解答该类问题时，经常与平面向量平行与垂直等基本知识点融合在一起，因此理解和掌握平面向量平行与垂直的充分必要条件也显得尤为重要。
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