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精编人教版第一章有理数重难点题型汇总及答案解析
第二部分（第一章共二个部分）
小专题7 绝对值与分类讨论思想
小专题8 绝对值与最值问题
小专题9 数轴与点的距离问题
小专题10 数轴与动点问题（一）行程问题
小专题11 数轴与动点问题（二）和差倍分问题
小专题12 数轴与动点问题（三）动点定值问题
第一章有理数
小专题7 绝对值与分类讨论思想
[方法技巧]运用零点分段法分类讨论解决多绝对值问题.
[例]阅读下列材料并解决有关问题.
我们知道|x|＝ 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式.例如:化简代数式|x+1|+|x-2|时，可令x+1＝0和x-2＝0，分别求得x＝-1和x＝2（称-1，2分别为|x+1|与|x-2|的零点值）.在有理数范围内，零点值x＝-1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:① x＜-1;② -1≤x＜2;③ x≥2.
从而在化简代数式|x+1|+|x-2|时，可分以下三种情况:
① 当x＜-1时，原式＝-（x+1）-（x-2）＝-2x+1;
② 当-1≤x＜2时，原式＝（x+1）-（x-2）＝3;
③ x≥2时，原式＝（x+1）+（x-2）＝2x-1.
通过以上阅读，请你解决问题:
（1）|x+2|和|x-4|的零点值是____________;
（2）化简代数式|x+2|+|x-4|;
（3）解方程|x+2|+|x-4|＝10.
归纳总结:
1.在解决有关绝对值问题时，去绝对值是关键，一般需分类讨论;
2.对于多绝对值问题，则采取零点分段法，分类讨论去绝对值.
1.（1）|x-12|和|x+4|的零点值是____________;
（2）化简代数式|x-12|+|x+4|;
（3）解方程|x-12|+|x+4|＝20;
（4）若|x-12|＝2|x+1|+4，直接写出x的值为____________.
小专题8 绝对值与最值问题
[方法技巧]利用数形结合及分类讨论思想解决绝对值最值问题.
[例]认真阅读下面的材料，完成有关问题.
材料:在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如|5-3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离;15+3|＝|5-（-3）|，所以|5+3|表示5，-3在数轴上对应的两点之间的距离;|5|＝|5-0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|.
（1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，-2，1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_____________（用含绝对值的式子表示）;
（2）利用数轴探究:
① |x-3|+|x-2|的最小值是________;
② 求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值以及此时x的值.
归纳总结:
对于几个绝对值之和的最值问题，一般可借助数轴，将绝对值之和转化为数轴两点之间的距离之和，运用数形结合的思想以及分类讨论思想来解决.
1.利用数轴探究:
（1）|x-1|+|x-2|的最小值为______;
（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为_________;
（3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2020|的最小值为________，此时x的取值范围为______
________
小专题9 数轴与点的距离问题
[方法技巧]熟练掌握数轴上两点间的距离的表示方法，运用分类讨论思想及方程思想解题.
[例]如图，A，B，C是数轴上的三点（点B在点A的右边），点A表示的数为-8，A，B两点的距离AB是点A到原点O的距离OA的3倍，即AB＝3OA.
（1）求点B表示的数;
（2）若AC+BC＝32，求点C表示的数;
（3）若AC＝3BC，求点C表示的数.
归纳总结：
数轴上点的距离问题的处理方法:
通常可将要求的点表示的数设为x，用含x的式子表示出两点之间的距离，根据距离关系建立绝对值方程，或运用分类讨论思想列方程求解。
1.如图，点A，B在数轴上表示的数分别为-4和+16，A，B两点间的距离可记为AB.
（1）点C在数轴上A，B两点之间，且AC＝BC，则点C对应的数是 ;
（2）点C在数轴上A，B两点之间，且BC＝3AC，求点C对应的数;
（3）点C在数轴上，且AC+BC＝30，求点C对应的数？
小专题10 数轴与动点问题（一）行程问题
[方法技巧]数轴上的行程问题一般设运动时间为t，用含t的式子表示出点与点之间的距离，运用方程思想及分类讨论思想计算即可得结果.
[例]如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B是数轴上点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为11，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒.
（1）数轴上点B表示的数是_____，当点P运动到AB中点时，它所表示的数是_____;
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P，Q两点同时出发，求:
① 当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
② 当点P与点Q之间的距离为8个单位长度时，求此时点P在数轴上所表示的数.
归纳总结：
数轴与动点问题 (一)行程问题解题技巧:
通常设运动时间为t，用含t的式子表示出点与点之间的距离，根据题目中给出的距离关系，建立方程，运用方程思想及分类讨论思想计算即可解决问题。
小专题11 数轴与动点问题（二）和差倍分问题
[方法技巧]数轴上的动点问题，若是告诉了运动速度，一般设运动时间为t，用含t的式子表示出动点及点与点之间的距离，通过题目中的和差倍分关系建立方程求解即可，若是求定值，含参数计算也可得结果.
[例]如图，在数轴上，点A表示-10，点B表示11，点C表示18.动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动;同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动.设运动时间为t秒.
（1）当t为何值时，P，Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？
（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时OP＝BQ.
备用图
归纳总结：
数轴与动点问题 (二 )和差倍分问题解题技巧:
此类问题一般会告诉运动速度，则可设运动时间为t，用含t的式子表示出动点，以及点与点之间的距离，根据题目中给出的距离间的和差倍分关系，建立方程，运用方程思想及分类讨论思想计算.
小专题12 数轴与动点问题（三）动点定值问题
[方法技巧]设参计算法解决动点定值问题.设动点表示的数，若是行程问题一般设运动时间，从而表示出两点间的距离，计算即可得结果.
[例]如图，数轴上有三点A，B，C，点B，C对应的数分别为-800，200，AB:AC＝2:3.
（1）求点A对应的数;
（2）动点P，Q分别从点B和原点O同时出发向左运动，点P，Q的速度为10个单位长度/ s和5个单位长度/s，点M到P，Q两点的距离相等，点Q在从点O运动到点A的过程中， QC-AM的值是否发生变化？若不变，求其值;若变化，说明理由.
归纳总结：
数轴与动点问题 (三 )动点定值问题解题技巧:
此类问题一般采取设参数计算法解决。具体方法是: 设动点表示的数，若是行程问题，则设运动时间，表示出两点之间的距离，通过合参数计算，即可得出结果。
参考答案及解析：
第一章有理数
小专题7 绝对值与分类讨论思想
[方法技巧]运用零点分段法分类讨论解决多绝对值问题.
[例]阅读下列材料并解决有关问题.
我们知道|x|＝ 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式.例如:化简代数式|x+1|+|x-2|时，可令x+1＝0和x-2＝0，分别求得x＝-1和x＝2（称-1，2分别为|x+1|与|x-2|的零点值）.在有理数范围内，零点值x＝-1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:① x＜-1;② -1≤x＜2;③ x≥2.
从而在化简代数式|x+1|+|x-2|时，可分以下三种情况:
① 当x＜-1时，原式＝-（x+1）-（x-2）＝-2x+1;
② 当-1≤x＜2时，原式＝（x+1）-（x-2）＝3;
③ x≥2时，原式＝（x+1）+（x-2）＝2x-1.
通过以上阅读，请你解决问题:
（1）|x+2|和|x-4|的零点值是____________;
（2）化简代数式|x+2|+|x-4|;
（3）解方程|x+2|+|x-4|＝10.
分析:（1）令x+2＝0，得x＝-2;令x-4＝0，得x＝4，故零点值为-2和4;
（2）（3）根据零点值-2，4分三种情况:① x＜-2;② -2≤x＜4;③ x≥4，去绝对值化简和解方程.
解答：
解:（1）-2和4;
（2）① 当x＜-2时，原式＝-（x+2）-（x-4）＝-2x+2;
② 当-2≤x＜4时，原式＝（x+2）-（x-4）＝6;
③ x≥4时，原式＝（x+2）+（x-4）＝2x-2;
（3）① 当x＜-2时，-2x+2＝10，x＝-4;
② 当-2≤x＜4时，（x+2）-（x-4）＝6≠10，此情况不成立;
③ x≥4时，2x-2＝10，x＝6.
综上所述，x＝-4或6.
归纳总结:
1.在解决有关绝对值问题时，去绝对值是关键，一般需分类讨论;
2.对于多绝对值问题，则采取零点分段法，分类讨论去绝对值.
1.（1）|x-12|和|x+4|的零点值是____________;
（2）化简代数式|x-12|+|x+4|;
（3）解方程|x-12|+|x+4|＝20;
（4）若|x-12|＝2|x+1|+4，直接写出x的值为____________.
解:（1）12和-4;
（2）① 当x＜-4时，原式＝-（x-12）-（x+4）＝-2x+8;
② 当-4≤x＜12时，原式＝（x+4）-（x-12）＝16;
③ x≥12时，原式＝（x-12）+（x+4）＝2x-8;
（3）① 当x＜-4时，-2x+8＝20，x＝-6;
② 当-2≤x＜4时，（x+4）-（x-12）＝16≠20，此情况不成立;
③ x≥12时，2x-8＝20，x＝14.综上所述，x＝-6或14;
（4）分三种情况讨论:① 当x＜-1时，-（x-12）＝-2（x+1）+4，解得x＝-10;
② 当-1 ≤x＜12时，-（x-12）＝2（x+1）+4，解得x＝2;
③ x≥12时，x-12＝2（x+1）+4，解得x＝- 18＜12不成立.综上所述，x＝-10或2.
小专题8 绝对值与最值问题
[方法技巧]利用数形结合及分类讨论思想解决绝对值最值问题.
[例]认真阅读下面的材料，完成有关问题.
材料:在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如|5-3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离;15+3|＝|5-（-3）|，所以|5+3|表示5，-3在数轴上对应的两点之间的距离;|5|＝|5-0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|.
（1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，-2，1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_____________（用含绝对值的式子表示）;
（2）利用数轴探究:
① |x-3|+|x-2|的最小值是________;
② 求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值以及此时x的值.
解析：
（1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，-2，1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x-1|（用含绝对值的式子表示）;
（2）利用数轴探究:
① |x-3|+|x-2|的最小值是 1 ;
分析:可将绝对值的和转化为数轴上两点间的距离之和的最小值问题来解决.
设数轴上表示数2，3，x的点分别为A，B，P.
则|x-2|＝PA，|x-3|＝PB，|x-2|+|x-3|＝PA+PB.
如图1，当点P位于A，B两点之间，即2≤x≤3时，
|x-2|+|x-3|＝PA+PB＝AB＝1;
如图2，当点P位于点A的左边，即x＜2时，|x-2|+|x-3|＝PA+PB＞AB＝1;
如图3，当点P位于点B的右边，即x＞3时，|x-2|+|x-3|＝PA+PB＞AB＝1.
综上所述，|x-2|+|x-3|的最小值为1.
② 求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值以及此时x的值.
分析:方法同① ，设数轴上表示数3，2，-1，x的点分别为A，B，C，P
则|x-3|＝PA，|x-2|＝PB，|x+1|＝PC，
|x-3|+|x-2|+|x+1|＝PA+PB+PC.
如图1，当点P位于点C的左边，即x＜-1时，
|x-3|+|x-2|+|x+1|＝PA+PB+PC＞AC＝4;
如图2，当点P位于B，C两点之间时，
|x-3|+|x-2|+|x+1|＝PA+PB+PC＞AC＝4;
如图3，当点P与点B重合，即x＝2时，
|x-3|+|x-2|+|x+1|＝PA+PB+PC＝AC＝4;
当点P位于A，B两点之间时，以及位于点A右边时，同理可得
|x-3|+|x-2|+|x+1|＝PA+PB+PC＞AC＝4;
综上所述， |x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值为4.
解答：
解:设数轴上的数3，2，-1，x对应的点分别为A，B，C，P.
① 如图1，|x-3|+|x-2|＝PA+PB＞AB＝1，当点P位于A，B两点之间时值最小为1，此时2≤x≤3;
② 如图2，|x-3|+|x-2|+|x+1|＝PA+PB+PC≥AC＝4，当点P与点B重合时值最
小为4，此时x＝2.
归纳总结:
对于几个绝对值之和的最值问题，一般可借助数轴，将绝对值之和转化为数轴两点之间的距离之和，运用数形结合的思想以及分类讨论思想来解决.
1.利用数轴探究:
（1）|x-1|+|x-2|的最小值为______;
（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为_________;
（3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2020|的最小值为________，此时x的取值范围为______
________
解答：
（1）|x-1|+|x-2|的最小值为 1 ;
（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为 2 ;
（3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2020|的最小值为 2020 ，此时x的取值范围为 2≤x≤3.
解:设数轴上的数1，2，3，2020，x对应的点分别A，B，C，D，P.
（1）如图1，|x-1|+|x-2|＝PA+PB＞AB＝1，当点P位于A，B两点之间时值最小为1，此时1≤x≤2;
（2）如图2，|x-1|+|x-2|+|x-3|＝PA+PB+PC≥AC＝2，当点P与点B重合时值最小为2，此时x＝2.
（3）如图3，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2020|＝PA+PB+PC+PD≥BC+AD＝1+ 2019＝2020，当点P位于B，C两点之间时其和最小为2020，此时2≤x≤3.
小专题9 数轴与点的距离问题
[方法技巧]熟练掌握数轴上两点间的距离的表示方法，运用分类讨论思想及方程思想解题.
[例]如图，A，B，C是数轴上的三点（点B在点A的右边），点A表示的数为-8，A，B两点的距离AB是点A到原点O的距离OA的3倍，即AB＝3OA.
（1）求点B表示的数;
（2）若AC+BC＝32，求点C表示的数;
（3）若AC＝3BC，求点C表示的数.
解答：
（1）求点B表示的数;分析:
解:由已知可得OA＝8，∴AB＝3 OA＝24，
∴点B表示的数为16;
（2）若AC+BC＝32，求点C表示的数;
A，B两点表示的数已知，若设点C表示的数为x，
则可利用AC+BC＝32建立方程求x，从而解决问题.
由于点C的位置不确定，可在A，B之间，或点A左边或在点B右边，因此需要分三种情况讨论.
解:设点C表示的数为x.
① 当点C在A，B两点之间时，AC+BC＝AB＝24＜32，不成立;
② 当点C在点A的左侧即x＜-8时，AC＝-8-x，BC＝16-x，
∵AC+BC＝32， ∴-8-x+16-x＝32，解得x＝-12:
③ 当点C在点B的右侧即x＞16时，AC＝x+8，BC＝x-16，∵AC+BC＝32，
∴x+8+x-16＝32，解得x＝20;
综上所述，点C表示的数为-12或20;
（3）
解:设点C表示的数为x.则AC＝|x+8|，BC＝|x-16|，
∵AC＝3BC，
∴|x+8|＝3|x-16|，解得x＝10或28，
∴点C表示的数为10或28.
归纳总结：
数轴上点的距离问题的处理方法:
通常可将要求的点表示的数设为x，用含x的式子表示出两点之间的距离，根据距离关系建立绝对值方程，或运用分类讨论思想列方程求解。
1.如图，点A，B在数轴上表示的数分别为-4和+16，A，B两点间的距离可记为AB.
（1）点C在数轴上A，B两点之间，且AC＝BC，则点C对应的数是 ;
（2）点C在数轴上A，B两点之间，且BC＝3AC，求点C对应的数;
（3）点C在数轴上，且AC+BC＝30，求点C对应的数？
解:设点C对应的数为x.
（1）根据题意，得x-（-4）＝16-x，解得x ＝6.
∴点C对应的数是6;
（2）根据题意，得16-x＝3[x-（-4）]，解得x＝1，∴点C对应的数是1.
（3）① 当点C在A，B之间时，AC+BC＝20≠30，此情况不成立;
② 当点C在点A左侧时AC+BC＝30，则-4-x+16-x＝30，x＝-9;
③ 当点C在点B右侧时，x-16+x-（-4）＝30，x＝21;
综上所述，点C对应的数为21或-9.
小专题10 数轴与动点问题（一）行程问题
[方法技巧]数轴上的行程问题一般设运动时间为t，用含t的式子表示出点与点之间的距离，运用方程思想及分类讨论思想计算即可得结果.
[例]如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B是数轴上点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为11，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒.
（1）数轴上点B表示的数是_____，当点P运动到AB中点时，它所表示的数是_____;
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P，Q两点同时出发，求:
① 当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
② 当点P与点Q之间的距离为8个单位长度时，求此时点P在数轴上所表示的数.
解答：
（1）数轴上点B表示的数是 -5 ，当点P运动到AB中点时，它所表示的数是0.5 ;
B:6-11＝-5，
AB中点:6-11÷2＝0.5.
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P，Q两点同时出发，求:
① 当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
当点P与点Q之间的距离为8个单位长度时，求此时点P在数轴上所表示的数.
分析:第一步：认准动点出发点、方向、速度;
第二步：P，Q表示的数相同→-5-2t＝6-3t→t＝11;
设t，表示P， Q
PQ＝8→|（6-3t）-（-5-2t）|＝8→t＝3或19→P:-3或-51
解答：
解:① 运动t秒时，点P对应的数为:6-3t，点Q对应的数为:-5-2t，
∵点P追上点Q，
∴6-3t＝-5-2t，解得t＝11，
∴当点P运动11秒时，点P追上点Q;
② ∵点P与点Q之间的距离为8个单位长度，
∴|6-3t-（-5-2t）|＝8，解得t＝3或t＝19，
当t＝3时，点P对应的数为:6-3t＝6-9＝-3;
当t＝19时，点P对应的数为:6-3t＝6-57＝-51.
∴当点P与点Q之间的距离为8个单位长度时，点P表示的数为-3或-51
归纳总结：
数轴与动点问题 (一)行程问题解题技巧:
通常设运动时间为t，用含t的式子表示出点与点之间的距离，根据题目中给出的距离关系，建立方程，运用方程思想及分类讨论思想计算即可解决问题。
小专题11 数轴与动点问题（二）和差倍分问题
[方法技巧]数轴上的动点问题，若是告诉了运动速度，一般设运动时间为t，用含t的式子表示出动点及点与点之间的距离，通过题目中的和差倍分关系建立方程求解即可，若是求定值，含参数计算也可得结果.
[例]如图，在数轴上，点A表示-10，点B表示11，点C表示18.动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动;同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动.设运动时间为t秒.
（1）当t为何值时，P，Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？
（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时OP＝BQ.
备用图
分析:
首先用t表示出动点P，Q表示的数，再根据P，Q相遇，即表示的数相同，得
-10+2t＝18-t，解得:
由在点Q出发后到达点B之前， 说明什么呢 点Q在B，C两点之间， 11＜18-t＜18，∴0＜t＜7.则点P在点0的左边或右边.OP=|10-2t|，BQ= 18-t-11=7-t,
|10-2t|=7-t,解得t＝3或.
解答：
解:（1）P:-10+2t，Q:18-t.
依题意，得-10+2t＝18-t，
解得，则M:
所以相遇点M表示的数为;
（2）依题意，得OP＝|10-2t|，BQ＝18-t-11＝7- t，
因为OP＝BQ，所以|10-2t|＝7-t，
解得x＝3或，所以t＝3或时OP＝BQ.
归纳总结：
数轴与动点问题 (二 )和差倍分问题解题技巧:
此类问题一般会告诉运动速度，则可设运动时间为t，用含t的式子表示出动点，以及点与点之间的距离，根据题目中给出的距离间的和差倍分关系，建立方程，运用方程思想及分类讨论思想计算.
小专题12 数轴与动点问题（三）动点定值问题
[方法技巧]设参计算法解决动点定值问题.设动点表示的数，若是行程问题一般设运动时间，从而表示出两点间的距离，计算即可得结果.
[例]如图，数轴上有三点A，B，C，点B，C对应的数分别为-800，200，AB:AC＝2:3.
（1）求点A对应的数;
（2）动点P，Q分别从点B和原点O同时出发向左运动，点P，Q的速度为10个单位长度/ s和5个单位长度/s，点M到P，Q两点的距离相等，点Q在从点O运动到点A的过程中， QC-AM的值是否发生变化？若不变，求其值;若变化，说明理由.
分析:点A表示的数为-800+400＝-400.
P:-800-10t， Q:-5t，
M:=-400-7.5t
QC＝200-（-5t）＝200+5t，
AM＝-400-（-400-7.5t）＝7.5t，
解答：
解:（1）由已知得BC＝200+800＝1000.
∵AB:AC＝2:3，
∴
-800+400＝-400，
∴点A对应的数为-400;
（2）设运动时间为 ts，则 P:-800-10t，Q:-5t，
M:（-800-10t-5t）＝-400-7.5t，
∴QC＝200-（-5t）＝200+5t，
AM＝-400-（-400-7.5t）＝7.5t.
∴（200+5t）-7.5t＝300.
归纳总结：
数轴与动点问题 (三 )动点定值问题解题技巧:
此类问题一般采取设参数计算法解决。具体方法是: 设动点表示的数，若是行程问题，则设运动时间，表示出两点之间的距离，通过合参数计算，即可得出结果。

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