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(共21张PPT)
§8.6.1 直线与直线垂直
§8.6 空间直线、平面的垂直
异面直线所成角
典型例题分析
小结及随堂练习
课前引语
面面平行
判定
性质
线线平行
线面平行
判定
性质
性质
类比：
线线垂直
线面垂直
面面垂直
异面直线所成角
01
温故知新
共面直线
异面直线：
平行直线：
相交直线：
在同一平面内，有且只有一个公共点；
在同一平面内，没有公共点；
不同在任何一个平面内，没有公共点.
空间中直线与直线的位置关系
表示
判别
反证法：两条直线既不相交、也不平行
定义法：两条直线不同在任何一个平面内
判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线，和平面内不经过
该点的直线是异面直线。
探究新知
有区别
问题1：如下图，其中的直线与是什么位置关系？
(1)
(2)
(3)
追问①：它们的位置关系有区别吗？区别在哪里？
都是异面直线
“歪”的程度不一样
追问②：怎么刻画这种区别呢？
用“角”度量“歪”的程度
探究新知
追问③：“角”是平面图形，但图中的直线与不共面，如何用角度量？
使两条直线相交共面
平移
追问④：平移至共面后，直线与形成了多个夹角，选择哪个合适呢？
选择较小角来刻画
追问⑤：直线所成角的大小与点的位置有关吗？
无关，根据等角定理即可得证
范围:
特例：①当两条直线相互平行时，我们规定它们所成的角为0°.
②如果两条异面直线所成的角是直角（90°），那么这两条异面
直线互相垂直，记作。
学习新知
已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把直线与所成的锐角或直角叫做异面直线与所成的角(或夹角).
异面直线所成角
空间中两直线垂直
异面垂直：
相交垂直：
有垂足
无垂足
异面直线平移至共面——立体问题平面化
典型例题分析
02
应用新知
题型一：求异面直线所成角(数学运算)
例1. 如图，在正方体中， 求异面直线与所成角的大小。
平移至
异面直线与所成角
即为
即，∠
=
直线与所成角
直接平移法
应用新知
题型一：求异面直线所成角(数学运算)
例2.如图，在正方体中， 是点，求异面直线
与所成角的大小。
连接，
连接，
与的交点是中点
取中点 连接
异面直线与所成角
即为
直线所成角
中位线平移法
应用新知
题型一：求异面直线所成角(数学运算)
例2.如图，在正方体中， 是点，求异面直线
与所成角的大小。
在原正方体右侧补一个全等的正方体
连接，并平移至
连接
在中，利用余弦定理
异面直线与所成角
即为
直线所成角
补形平移法
应用新知
题型一：求异面直线所成角(数学运算)
步骤：找点→平移→ 证明→求解
方法：1.直接平移法：
2.中位线平移法：
3.补形平移法：
求异面直线所成角的步骤和方法
典例精析
题型二：证明两异面直线垂直(逻辑推理)
例4.如图，在正方体中，为底面的中心.
求证：.
分析：要证明应先构造直线所成的角，再证明这个角是直角
解： 连接.∵是正方体，
∴且.
∴四边形是平行四边形.
∴
∴直线与所成的角即为直线与所成的角.
连接，易证.
又为底面的中心，
∴为的中点，∴.∴.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O1
典例精析
题型二：证明两异面直线垂直(逻辑推理)
步骤：1.平移——作异面直线所成角；
2.计算——求异面直线所成角的大小（余弦值、特殊三角形）；
3.结论——异面直线所成角是否为90°，即线线垂直；
证明两异面直线垂直的步骤
典例精析
题型三：异面直线所成角的应用(数学运算)
例5. 在四面体中,,分别是,的中点.若,所成的角为,
且,则________.
解：如图,取中点,连接,.
因为∥,∥,
所以与所成的锐角(或直角)即为与所成的角.
而,所成的角为,
所以或
当时,;
当时,取的中点,连接,
则,.
小结及随堂练习
04
已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把直线与所成的锐角或直角叫做异面直线与所成的角(或夹角).
随堂练习
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 “√”，错误的画“×”．
①. 中,空间中直线∥,∥,则直线,所成的角是.（ ）
②.相互垂直的直线一定是相交直线（ ）
③.如果一条直线与平行直线中的一条垂直,那么这条直线也与另一条直线垂直.（ ）
2.如图,在长方体中,若,,
则异面直线和所成角的余弦值为 (　　)
A. B. C. D. D.
课时达标检测31（必做）
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