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13.3 等腰三角形
13.3.1　第2课时 等腰三角形的判定
学习目标
1.理解掌握等腰三角形的判定定理;区别等腰三角形的性质和判定定理.
2.运用等腰三角形的性质和判定定理证明线段或角的关系.探索等腰三角形的判定定理,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念.
学习策略
1.结合熟记问题总结等腰三角形的判定方法；
2.等腰三角形性质和判定的综合运用.
学习过程
一.复习回顾：
1.等腰三角形的性质有哪些？
2.等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是 ；等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是 .
二.新课学习：
阅读课本本课时的内容，解决下列问题.
知识点一：等腰三角形的判定
在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.
证明：作AD⊥BC，则∠ADB=　　=　 　.
在△ABD和△ACD中，
所以△BAD≌　　(AAS)，
所以AB=　　.
文字语言：如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也　　.(简写成“　　”)
符号语言：在△ABC中，因为∠B=∠C，所以　　.
【答案】∠ADC；90°；△CAD；AC；相等；等角对等边；AB=AC.
三.尝试应用：
例1.如图,已知在三角形ABC中,∠A=∠DBC=36°,∠C=72°,计算∠1,∠2的度数,并指出图形中的等腰三角形.
解：因为∠A＝∠DBC＝36°，∠C＝72°，
所以△BCD中，∠1＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
因为∠1是△ABD的外角，
所以∠2＝∠1﹣∠A＝72°﹣36°＝36°．
等腰△ABD，等腰△BCD，等腰△ABC.
例2如图,已知AB=AD,∠ABC=∠ADC, 则BC=CD.请说明理由.
解:连接BD.
因为AB=AD(已知)
所以∠ABD=ADB(在同一个三角形中,等边对等角)
又因为 ∠ABC=∠ADC(已知)
所以∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB.
即∠CBD=∠CDB. 所以BC=CD
四.自主总结：
等腰三角形的判定方法：1.定义法
2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角的对边也相等(简写成“等角对等边”)
五.达标测试
一、选择题
1. 如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为(　　)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB. 若OD = 3，则CD等于（ A ）
A.3cm B.4cm C.1.5cm D.2cm
3. 下面几个三角形中，不可能是等腰三角形的是(　　)
A.有两个内角分别为75°，75°的三角形
B.有两个内角分别为110°和40°的三角形
C.有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形
D.有一个外角为80°，一个内角为100°的三角形
4.如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是(　　)
A.∠B=∠C B.AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
C.AD⊥BC，∠BAD=∠ACD D.AD⊥BC，BD=CD
5.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC．求证AB＝AC．
以下是排乱的证明过程：
①又∠1＝∠2，
②所以∠B＝∠C，
③因为AD∥BC，
④所以∠1＝∠B，∠2＝∠C，
⑤所以AB＝AC．
证明步骤正确的顺序是（　　）
A．③→②→①→④→⑤ B．③→④→①→②→⑤
C．①→②→④→③→⑤ D．①→④→③→②→⑤
二、填空题
6.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为_______.
7.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，则CE的长度为_______．
8.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于E，若DE=7，AE=5，AC的长为_______．
三、解答题
9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．
10. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DC=AB．
参考答案
1. D
2. A解析：因为OC平分∠AOB，所以∠AOC=∠BOC；
又因为CD∥OB，所以∠C=BOC，所以∠C=∠AOC；所以CD=OD=3cm．故选：A．
3. B解析：A、有两个内角分别为75°，75°的三角形，另一内角为30°，可以构成等腰三角形，故本选项错误，
B、有两个内角分别为110°和40°的三角形，另一内角为30°，不能构成等腰三角形，故本选项正确，
C、有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形，与外角相邻的内角是80°，第三个角是50°，可以构成等腰三角形，故本选项错误；
D、有一个外角为80°，一个内角为100°的三角形，与外角相邻的内角是100°，当80°的外角和100°的内角构成平角时，另外两个内角可以是40°和40°，可能构成等腰三角形，故本选项错误．故选：B．
4. C解析：由∠B=∠C可得AB=AC，则△ABC为等腰三角形，故A可以；
由AD⊥BC且∠BAD=∠CAD，可得△BAD≌△CAD，则可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形，故B可以；
由AD⊥BC，∠BAD=∠ACD，无法求得AB=AC或AC=BC，故C不可以；
由AD⊥BC，BD=CD，可得AD为线段BC的垂直平分线，可得AB=AC，故D可以；故选：C．
5. B解析：因为③AD∥BC，所以④∠1＝∠B，∠2＝∠C，
因为①∠1＝∠2，所以②∠B＝∠C，所以⑤AB＝AC，
故证明步骤正确的顺序是③→④→①→②→⑤，故选：B．
6.9 解析：因为∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，所以∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，因为MN∥BC，所以∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，所以∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，所以BM=ME，EN=CN，所以MN=ME+EN，即MN=BM+CN．因为BM+CN=9所以MN=9.
7.7 解析：在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C，因为EP⊥BC，所以∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，所以∠E=∠BFP，又因为∠BFP=∠AFE，所以∠E=∠AFE，所以AF=AE，所以△AEF是等腰三角形．又因为AF=2，BF=3，所以CA=AB=5，AE=2，所以CE=7．
8.12 解析：因为由CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠BCD，又因为DE∥BC，所以∠EDC=∠BCD，即∠ECD=∠EDC，所以△ECD是等腰三角形，所以CE=DE，又因为AE=5，DE=7，所以AC=AE+EC=5+7=12.
9.证明：因为AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，所以DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HF），所以∠B=∠C，所以△ABC为等腰三角形．
10.（1）解：因为AB=AC，所以∠B=∠C=30°，因为∠C+∠BAC+∠B=180°，所以∠BAC=180°-30°-30°=120°，因为∠DAB=45°，所以∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°；（2）证明：因为∠DAB=45°，所以∠ADC=∠B+∠DAB=75°，所以∠DAC=∠ADC，所以DC=AC，所以DC=AB．

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