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2022-2023学年内蒙古呼和浩特市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 小颖同学将一根铁丝剪成九段，分成三个组：，，；，，；，，分别以每组铁丝围成三角形，能构成直角三角形的有( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 下列描述一次函数的图象及性质错误的是( )
A. 随的增大而减小
B. 直线经过第一、二、四象限
C. 当时，
D. 直线与轴的交点坐标是
5. 如图，在菱形中，点是对角线上一点，连接若，且，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
6. 甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程千米与所用的时间分钟之间的函数关系如图所示根据图中信息，下列说法错误的是( )
A. 前分钟，甲比乙的速度慢
B. 从甲，乙两位同学放学后走路回家开始，经过分钟，甲、乙都走了千米
C. 甲的平均速度为千米分钟
D. 从甲、乙两位同学放学后走路回家开始，经过分钟，甲比乙走过的路程少
7. 下列命题的逆命题是真命题的个数有( )
如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
全等三角形的对应角相等；
如果两个角是直角，那么它们相等；
平行四边形的对角线互相平分；
对顶角相等．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点则的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 如果代数式有意义，那么字母的取值范围是______．
10. 直线过点，则的值为______ ．
11. 下面的三个问题中都有两个变量：
汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程与行驶时间；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间；
用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是 填序号．
12. 已知一次函数经过，两点，则其函数图象不经过第______ 象限．
13. 如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，点是的中点，则______．
14. 某食用油的沸点远高于水的沸点小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油的沸点在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
时间
油温
小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点经探究发现，在这种食用油达到沸点前，锅中油温单位：与加热的时间单位：符合______ 函数关系；当加热到时，该食用油恰好沸腾，请推算其沸点为______
15. 我国古代数学名著九章算术中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有尺，牵着绳索头绳索头与地面接触退行，在离木杆底部尺处时，绳索用尽问绳索长为多少绳索长为______ 尺
16. 如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，连接，，则 ______ 若为线段上一动点，是的中点，则的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：；
已知，求的值；
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
如图，在 中，，是对角线上的两点，，点、分别在和的延长线上，且，连接、、、．
求证：≌；
四边形是平行四边形．
19. 本小题分
如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉的距离的长为现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．
求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长；
直接写出喷泉到小路的最短距离．
20. 本小题分
某服装店的某类衣服最近销售火爆现有、两家供应商到服装店推销此类服装，价格相同，品质相近服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家的服装检查人员从两家提供的材料样品中分别随机抽取块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度单位：，并对数据进行整理、描述和分析部分信息如下：
I.供应商供应材料的纯度单位：如下：
频数
供应商供应材料的纯度单位：如下：
、两供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
根据以上信息，回答下列问题：
上表中的 ______ ， ______ ， ______ ；
你认为服装店应选择哪个供应商供应服装？请说明理由．
21. 本小题分
如图，一次函数的图象分别与轴和轴相交于、两点，且与正比例函数的图象交于点．
求一次函数的解析式
当时，直接写出自变量的取值范围
点是一次函数图象上一点，若，求点的坐标．
22. 本小题分
如图，已知正方形，连接、交于点，平分交于点．
求证：为等腰三角形；
过点作，交于点，若，求线段的长．
23. 本小题分
荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售已知元采购种的件数是元采购种件数的倍，种的进价比种的进价每件多元，两种饰品的售价均为每件元；计划采购这两种饰品共件，采购种的件数不低于件，不超过种件数的倍．
求，饰品每件的进价分别为多少元？
若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过件时，种超过的部分按进价打折设购进种饰品件，
求的取值范围；
设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
不能构成直角三角形，故不符合要求；
，
能构成直角三角形，故符合要求；
，
，
能构成直角三角形，故符合要求；
故选：．
根据勾股定理逆定理计算判断即可．
本题考查了勾股定理逆定理．解题的关键在于正确的运算．
3.【答案】
【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法，乘法，除法法则，二次根式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：一次函数中，，
随的增大而减小．A正确．
，
直线与轴的交点在轴的上方．
直线经过第一、二、四象限．
B正确．
当时，，且随的增大而减小，
当时，．
C正确．
在中，令，得．
直线与轴的交点坐标为．
D错误．
故选：．
由的系数可判断、；利用不等式可判断；令可求得与轴的交点坐标，可判断，可得出答案．
本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性、与坐标轴的交点坐标是解题的关键，注意与不等式相结合．
5.【答案】
【解析】解：连接交于，
，
，
，，
，
四边形是菱形，
，，
的面积，
，
，
，
．
故选：．
连接交于，由勾股定理求出的长，由三角形面积公式求出的长，由勾股定理求出的长，由菱形的性质即可求出的长．
本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，关键是连接，由菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式，求出的长．
6.【答案】
【解析】解：前分钟，甲的速度：千米分钟，
乙的速度：千米分钟，
，
前分钟，甲比乙的速度慢，
故选项A说法正确，不符合题意；
观察函数关系图得，从甲，乙两位同学放学后走路回家开始，经过分钟，甲、乙都走了千米，
故选项B说法正确，不符合题意；
甲的平均速度为：千米分钟，
故选项C说法正确，不符合题意；
观察函数关系图得，从甲、乙两位同学放学后走路回家开始，经过分钟，甲走过的路程为千米，乙走过的路程为千米，
则从甲、乙两位同学放学后走路回家开始，经过分钟，甲比乙走过的路程多，
故选项D说法错误，符合题意；
故选：．
根据函数关系图算出前分钟，甲的速度，乙的速度即可判断选项A，观察函数关系图即可得从甲，乙两位同学放学后走路回家开始，经过分钟，甲、乙走的路程，即可判断选项B，根据函数关系图即可得算出甲的平均速度，即可判断选项B，观察函数关系图即可得从甲，乙两位同学放学后走路回家开始，经过分钟，甲、乙走的路程，即可判断选项D，综上，即可得．
本题考查了从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获得信息并正确计算．
7.【答案】
【解析】解：如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数们的绝对值相等，那么这两个实数相等，是假命题；
全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题；
如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题；
平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；
故选：．
分别写出各个命题的逆命题，根据绝对值的性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定、对顶角的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8.【答案】
【解析】解：作于，根据基本作图得平分，
，
，
在中，，，
，，
，
在中，，
，
，
，
．
故选：．
作于，根据角平分线的性质得到，利用勾股定理和角的直角三角形的性质求出，的长，再根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理、基本作图，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
9.【答案】且
【解析】解：代数式有意义，
，解得且．
故答案为：且．
先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：直线过点，
，
，
故答案为：．
把代入即可得到．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题过程即可解决问题．
根据汽车的剩余路程随行驶时间的增加而减小，并且减小的变化量相等，判断即可；
根据水箱中的剩余水量随放水时间的增大而减小，并且减小的变化量相等，判断即可；
根据矩形的面积公式判断即可得到答案．
【解答】
解：汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程与行驶时间，随增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间，随增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长，矩形的长宽之间存在关系，可以用表示另一边长，根据面积公式得到的是二次函数，故不符合题意；
故答案为．
12.【答案】一
【解析】解：一次函数经过，两点，
，
解得：，
一次函数的解析式为．
又，，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，
即一次函数的图象不经过第一象限．
故答案为：一．
由给定点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数的图象经过第二、三、四象限，即一次函数的图象不经过第一象限．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在二、三、四象限”是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：在中，，
，
，
，
，，
，
，，
是的中位线，
，
故答案为：．
根据勾股定理求出，得到的长，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14.【答案】一次
【解析】解：由表格可以看出：时间每增加，油温增加，
食用油达到沸点前，锅中油温与加热的时间的函数关系式为：，是一次函数，
当加热到时，即，
食用油的沸点为，
故答案为：一次，．
观察表格可知：时间每增加，油温增加，即每增加，油温增加，由此可得油温与加热的时间的函数关系式，再把代入函数解析式，从而求出答案．
本题主要考查了函数的应用，解题关键是理解题意，找出变量与常量之间的关系，列出函数式．
15.【答案】
【解析】解：设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
答：绳索长为尺．
故答案为：．
设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程解答即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：对折矩形纸片，使与重合，折痕为，
，，
过点折叠矩形纸片，使点落在上的点处，折痕为，
，
在中，，
，
，即，
如图，连接、、，
，是的中点，
点与点关于对称，
，
，
当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，
在中，，
．
故答案为：，．
由折叠可知，，，进而易得，于是可知，再利用三角形内角和定理求得，连接、、，易知点与点关于对称，则，，因此，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，利用含度直角三角形的性质可得，代入计算即可．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、含度角的直角三角形性质、轴对称最短路线问题，利用折叠的性质和含度直角三角形的性质得出是解题关键．
17.【答案】解：原式
；
，
，
则原式
；
原式
，
当时，
原式．
【解析】先化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可；
先计算出的值，再代入计算即可；
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查二次根式和分式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式和分式混合运算顺序和运算法则．
18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌；
由知：≌，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【解析】根据平行四边形的性质得，，则，，再利用可证明结论成立；
由全等知，，则，再利用平行线的判定可得，则四边形是平行四边形．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：在中，，
，
在中，，
供水点到喷泉，需要铺设的管道总长；
，，，
，
是直角三角形，
，
喷泉到小路的最短距离是．
【解析】根据勾股定理解答即可；
根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可．
此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理、逆定理和垂线段解答．
20.【答案】
【解析】解：供应商供应材料纯度的平均数为，
供应商供应材料的纯度单位：从小到大排序如下：
，，，，，，，，，，，，，，，
中位数，
方差；
故答案为：；；；
选A供应商供应服装，理由如下：
、平均值一样，的方差比的大，更稳定，
选A供应商供应服装．
根据平均数，众数和方差的计算公式分别进行解答即可；
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
本题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟悉相关统计量的计算公式和意义是解题的关键．
21.【答案】解：把代入中得，
，
把、代入，
得，解得，
一次函数的解析式；
观察图象可知，当时，；
由，，
，
，
，
代入得到点的坐标为或．
【解析】因一次函数与正比例函数交于点，可以将代入，求出为，再将点、代入，求出，的值即可．
当时，直线在直线的上方；
利用若根据三角形面积公式即可求出，得出的纵坐标，代入即可求得横坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
22.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
为等腰三角形；
解：在正方形中，，，
在直角三角形中，，
，
，
，
在和在中，
，
≌，
，
．
【解析】依据角的关系推导出，进而得到，为等腰三角形；
求出≌，根据全等三角形的性质得出，进而利用解答即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．
23.【答案】解：设种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元；
由题意得：，
解得：，
购进种饰品件数的取值范围为：，且为整数；
设采购种饰品件时的总利润为元，
当时，，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值是：，
当时，，
，
随的增大而增大，
当时，有最大值是：，
，
的最大值是，此时，
即当采购种饰品件，种饰品件，商铺获利最大，最大利润为元．
【解析】设种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元，利用数量总价单价，结合用元采购种的件数是元采购种件数的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出每台种电器的进价，再将其代入中即可求出每台种电器的进价；
利用“计划采购这两种饰品共件，采购种的件数不低于件，不超过种件数的倍“列不等式组可得结论；
设采购种饰品件时的总利润为元，分两种情况：当时，当时，分别表示与的关系式根据增减性可解答．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
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