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3.4力的合成和分解
【学习目标】
1.阐述分力的概念及力的分解的含义。
2.掌握根据力的效果进行分解的方法，会用三角形知识求分力。
3.能区别矢量和标量，知道三角形定则。
4.能用平行四边形定则和三角形定则进行矢量运算
【学习重难点】
重点
1.通过生活实例，体会等效替代的物理思想.
2.通过实验探究，得出求合力的方法——平行四边形定则，知道力的分解是力的合成的逆运算.
难点
1.会用作图法和直角三角形的知识求共点力的合力.
2.会应用平行四边形定则或三角形定则进行矢量运算.
【预习新知】
（一）合力和分力
[情境导学]
如图所示，一个成年人或两个孩子均能提起相同质量的一桶水，那么该成年人用的力与两个孩子用的力作用效果是否相同？二者能否等效替换？
提示：效果相同；能等效替换。
[知识梳理]
1．合力：假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力。
2．分力：假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这几个力叫作那个力的分力。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)合力与其分力同时作用在物体上。(×)
(2)合力一定与分力共同作用产生的效果相同。(√)
(3)合力一定大于分力。(×)
(4)合力有可能小于任何一个分力。(√)
2．[多选]下列关于几个力与其合力的说法中，正确的是(　　)
A．合力的作用效果跟原来几个力共同作用产生的效果相同
B．合力与原来那几个力同时作用在物体上
C．合力的作用可以替代原来那几个力的作用
D．不同性质的力不可以合成
解析：选AC　由合力和分力的关系可知，选项A正确；合力和分力是等效替代关系，它们不能同时存在，选项B错误，选项C正确；力能否合成与力的性质无关，选项D错误。
（二）力的合成和分解
力的合成和分解(科学思维——科学推理)
泰山索道包括泰山中天门索道、后石坞索道、桃花源索道。三条索道以岱顶为中心，构成了连接中天门景区、后石坞景区和桃花峪景区的泰山空中交通网，如图为正在运行的泰山索道。索道为什么松一些好？
提示：如图，当合力一定时，两分力间的夹角越小，分力也就越小，所以索道松一些好。
1．遵循原则：都遵循平行四边形定则。
2．合力的求解方法：
(1)作图法(如图所示)
根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
(2)计算法
①两分力共线时：
a．若F1与F2方向相同，则合力大小F＝F1＋F2，方向与F1和F2的方向相同。
b．若F1与F2方向相反，则合力大小F＝|F1－F2|，方向与F1和F2中较大的方向相同。
②两分力不共线时：可以先根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力。
3．以下为求合力的两种常见特殊情况：
类型 作图 合力的计算
两分力相 互垂直 大小：F＝ 方向：tan θ＝
两分力等大， 夹角为θ 大小：F＝2F1cos 方向：F与F1夹角为
【典例】假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N，通过作图法和计算法求出它们对塔柱形成的合力的大小。
【解析】作图法：自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°。取单位长度为1×104 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度。量得对角线OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小为F＝5.2×1×104 N＝5.2×104 N。
计算法：
根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图所示，连接AB，交OC于点D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝OC。对于直角三角形AOD，∠AOD＝30°，而OD＝OC，则有F＝2F1cos30°＝2×3×104× N≈5.2×104 N。
答案：5.2×104 N
【拓展要点】多力的合成
1．合成方法：多个力的合成的基本方法仍是平行四边形定则。具体做法是先任选两个分力求出它们的合力，用求得的结果再与第三个分力求合力，直到将所有分力的合力求完。
2．三个力合力范围的确定：
最大值 三个力方向均相同时，三力合力最大，Fm＝F1＋F2＋F3
最小值 若一个力在另外两个力的和与差之间，则它们的合力的最小值为零
若一个力不在另外两个力的和与差之间，则它们的合力的最小值等于三个力中最大的力减去另外两个力
（三）矢量和标量
[知识梳理]
1．矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量。
2．标量：只有大小，没有方向，相加时遵从算术法则的物理量。
3．三角形定则：把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端的有向线段就表示合矢量的大小和方向，表示三个矢量的有向线段正好组成闭合的三角形。
力合成的三角形如图甲所示。位移合成的三角形如图乙所示。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)只要有方向的物理量就是矢量。(×)
(2)电流的方向规定为正电荷定向移动的方向，故电流是矢量。(×)
(3)三角形定则和平行四边形定则的实质是一样的，都是矢量运算的法则。(√)
(4)有的标量也有方向，所以运算时也遵循平行四边形定则。(×)
2．对于矢量和标量的说法正确的是(　　)
A．有大小和方向的物理量就是矢量
B．力、位移和路程都是矢量
C．矢量合成必须遵循平行四边形定则
D．矢量和标量的运算法则相同
解析：选C　有些标量也有方向，故A错误；路程是标量，故B错误；矢量与标量的根本区别是运算法则不同，故C正确，D错误。
【重难探究】
一、合力与分力的关系
(1)一个成年人或两个孩子均能提起同一桶水，那么该成年人用的力与两个孩子用的力的作用效果是否相同？二者能否等效替代？
(2)两个孩子共提一桶水时，要想省力，两个人拉力间的夹角应大些还是小些？为什么？
答案　(1)作用效果相同；两种情况下的作用效果均是把同一桶水提起来，能够等效替代．
(2)夹角应小些．提水时两个孩子对水桶拉力的合力的大小等于一桶水所受的重力，合力不变时，两分力的大小随着两个力之间夹角的减小而减小，因此夹角越小越省力．
两分力大小不变时，合力F随两分力夹角θ的增大而减小，随θ的减小而增大．
(1)两分力同向(θ＝0°)时，合力最大，F＝F1＋F2，合力与分力同向．
(2)两分力反向(θ＝180°)时，合力最小，F＝|F1－F2|，合力的方向与较大的一个分力的方向相同．
(3)合力的取值范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
合力可以大于某一分力，也可以小于某一分力，还可以等于某一分力．
例1　关于两个大小不变的分力与其合力的关系，下列说法正确的是(　　)
A．合力的大小随两力夹角增大而增大
B．合力的大小不能小于分力中最小者
C．合力的大小一定大于分力中最大者
D．两个分力夹角小于180°时，合力大小随着夹角的减小而增大
答案　D
解析　在夹角小于180°范围内，合力的大小随两力夹角的增大而减小，随夹角的减小而增大，选项A错误，D正确；合力的大小可能比分力大，也可能比分力小，还有可能等于分力，选项B、C错误．
例2　力是矢量，它的合成与分解遵循平行四边形定则，则下列关于大小分别为7 N和9 N的两个力的合力的说法正确的是(　　)
A．合力可能为3 N　　　 B．合力不可能为9 N
C．合力一定为16 N D．合力可能为1 N
答案　A
解析　两力合成时，有|F1－F2|≤F≤F1＋F2.当两力夹角为零时合力最大，最大值为9 N＋7 N＝16 N；当夹角为180°时合力最小，最小值为9 N－7 N＝2 N；故合力介于2 N至16 N之间，A正确，B、C、D错误．
二、合力的求解
1．作图法(如图2所示)
图2
2．计算法
(1)两分力共线时：
①若F1、F2两力同向，则合力F＝F1＋F2，方向与两力同向．
②若F1、F2两力反向，则合力F＝|F1－F2|，方向与两力中较大的同向．
(2)两分力不共线时：
可以根据平行四边形定则作出力的示意图，然后由几何关系求解对角线，其长度即为合力大小．以下为两种特殊情况：
图3
①相互垂直的两个力的合成(即α＝90°)：F＝，F与F1的夹角的正切值tan β＝，如图3所示．
②两个等大的力的合成：平行四边形为菱形，利用其对角线互相垂直平分的特点可解得F合＝2Fcos，如图4所示．
　
图4　　　　　　　图5
若α＝120°，则合力大小等于分力大小(如图5所示)．
例3　物体只受两个力F1和F2的作用，F1＝30 N，方向水平向左，F2＝40 N，方向竖直向下．求这两个力的合力F.
答案　50 N，与F1的夹角为53°斜向左下
解析　解法一　图解法
取单位长度为10 N的力，则分别取3个单位长度、4个单位长度，自O点引两条有向线段OF1和OF2分别表示力F1、F2.以OF1和OF2为两个邻边，作平行四边形如图所示，则对角线的长度为5个单位长度，则合力的大小F＝5×10 N＝50 N．用量角器量出合力F与分力F1的夹角θ为53°，方向斜向左下．
解法二　计算法
实际上是先运用数学知识，再回到物理情景中．在如图所示的平行四边形中，△OFF1为直角三角形，根据直角三角形的几何关系，可以求得斜边OF的长度和OF与OF1间的夹角，将其转化为物理问题，就可以求出合力F的大小和方向，则F＝＝50 N，tan θ＝＝，θ为53°，合力F与F1的夹角为53°，方向斜向左下．
三、力的正交分解
如图所示，重为G的物体静止在倾角为θ的斜面上，
以物体(可以看成质点)为原点，沿斜面向下为x轴，垂直斜面向下为y轴，作图并求物体重力在x轴和y轴方向的分力．
答案　如图所示
G1＝Gsin θ，G2＝Gcos θ
正交分解法
1．定义：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法．
2．正交分解法求合力的步骤：
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
图8
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图8所示．
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：Fx＝F1x＋F2x＋…，Fy＝F1y＋F2y＋….
(4)求共点力的合力：合力大小F＝，设合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝.
例4　在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图9所示，求它们的合力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
图9
答案　38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上
解析　本题若直接运用平行四边形定则求解，需解多个斜三角形，需多次确定各个力的合力的大小和方向，计算过程十分复杂．为此，可采用力的正交分解法求解此题．
如图甲，建立直角坐标系，
把各个力分解到这两个坐标轴上，
并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N，
Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N.
因此，如图乙所示，合力：
F＝≈38.2 N，tan φ＝＝1.
即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上．
1．作图法求合力时，各个力的图示必须采用同一标度，并且所选力的标度的比例要适当．
2．平行四边形定则是矢量运算的通用法则，适用于任何矢量的运算．
3．坐标轴的选取原则：坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，建立坐标系时坐标轴的选取一般有以下两个原则：
(1)使尽量多的力处在坐标轴上．
(2)尽量使某一轴上各分力的合力为零．
4．正交分解法的适用情况：适用于计算物体受三个或三个以上共点力的合力情况．
针对训练　两个大小相等的共点力F1、F2，当它们之间的夹角为90°时合力的大小为20 N，则当它们之间夹角为120°时，合力的大小为(　　)
A．40 N B．10 N
C．20 N D．10 N
答案　B
解析　设F1＝F2＝F，当它们之间的夹角α＝90°时，如图甲所示，由画出的平行四边形(为正方形)得合力为F合＝＝＝F.
所以F＝F合＝×20 N＝10 N.
当两分力F1和F2之间夹角变为β＝120°时，同理画出平行四边形，如图乙所示．由于平行四边形的一半为一等边三角形，因此其合力F′＝F1＝F2＝10 N.
针对训练　
如图10所示，将大拇指倾斜按在水平桌面上向前推(仍静止不动)，此推力大小为80 N，方向斜向下，与水平方向成37°角，则大拇指对桌面的压力和摩擦力分别多大(　　)
图10
A．64 N,48 N　　　　　　 B．48 N,64 N
C．40 N,80 N D．80 N,80 N
答案　B
解析　将推力F沿两个效果方向分解，即水平向右和竖直向下，分解如图，
则：F1＝Fcos 37°＝80×0.8 N＝64 N，F2＝Fsin 37°＝80×0.6 N＝48 N，即大拇指对桌面的压力FN＝F2＝48 N，对桌面的摩擦力为Ff＝F1＝64 N.
【巩固训练】
1.如图所示，轻质网兜兜住重力为G的足球，用轻绳挂于光滑竖直墙壁上的A点，轻绳的拉力为，墙壁对足球的支持力为，则( )
A. B. C. D.
2.如图所示，质量均为m的小球A、B用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O点，在外力F的作用下，小球A、B处于静止状态.若要使两小球处于静止状态，且悬线OA与竖直方向的夹角θ保持30°不变，则外力F的大小不可能为( )
A.0.5mg B.mg C.2mg D.5mg
3.唐代《耒耜经》记载了曲辕犁相对直辕犁的优势之一是起土省力，设牛用大小相等的拉力F通过耕索分别拉两种犁，F与竖直方向的夹角分别为α和β，，如图所示，忽略耕索质量，耕地过程中，下列说法正确的是( )
A.耕索对曲辕犁拉力的水平分力比对直辕犁的大
B.耕索对曲辕犁拉力的竖直分力比对直辕犁的大
C.曲辕犁匀速前进时，耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力
D.直辕犁加速前进时，耕索对犁的拉力大于犁对耕索的拉力
某同学利用如图所示的实验装置完成了“探究合力与分力的关系”的实验，其中间为橡皮筋，为分别挂有弹簧测力计的细绳套，本实验采用了“等效替代法”的思想，分析下列问题：

（1）下列对“等效替代法”的理解正确的是______。
A. 间的橡皮筋可以用细绳代替
B. 与 间的细绳可以用橡皮筋代替
C.两个弹簧测力计共同作用的效果可以用一个弹簧测力计的作用代替
（2）下列操作错误或不必要的是______。
A.实验时两细绳 必须垂直
B.应在细绳上用笔尖记录间距较近的两点来确定细绳的方向
C.橡皮筋的反向延长线必须在 的角平分线上
D.在读取弹簧测力计的示数时必须正视弹簧测力计
（3）如果开始时 两细绳的夹角小于90°,现保持 O点的位置以及 BO的方向不变,在将CO沿逆时针方向缓慢转动到水平的过程中,下列说法正确的是______。
A.左侧弹簧测力计的示数一直减小 B.左侧弹簧测力计的示数先减小后增大
C.右侧弹簧测力计的示数一直增大 D.右侧弹簧测力计的示数先减小后增大
参考答案
1.答案：C
解析：足球受重力、拉力和支持力平衡，受力如图：
运用合成法，根据几何知识得：
绳子对球的拉力为：
墙壁的支持力为：，
可知：，故C正确，ABD错误。
故选：C。
2.答案：A
解析：对AB两球整体受力分析，受重力，OA绳子的拉力T以及拉力F，三力平衡，将绳子的拉力T和拉力F合成，其合力与重力平衡，如图：
当拉力F与绳子的拉力T垂直时，拉力F最小，最小值为，即；由于拉力F的方向具有不确定性，因而从理论上讲，拉力F最大值可以取到任意值，故A错误，BCD正确。
本题选择错误的，故选：A。
3.答案：B
解析：A、耕索对曲辕犁拉力的水平分力大小为，耕索对直辕犁拉力的水平分力大小为，由于，则耕索对曲辕犁拉力的水平分力比对直辕犁拉力的水平分力小，故A错误；B、耕索对曲辕犁拉力的在竖直方向的分力大小为，耕索对直辕犁拉力的竖直方向分力大小为，由于，则耕索对曲辕犁拉力的竖直方向的分力比对直辕犁拉力在竖直方向的分力大，故B正确；CD、无论曲辕犁匀速前进或直辕犁加速前进，耕索对犁的拉力与犁对耕索的拉力属于物体间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，故CD错误。故选：B。

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