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波长、频率和波速
一、知识点梳理
1.波长
(1)定义：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离叫做波长，用表示，如图所示.
【注意】①“相邻的”和“振动相位总是相等”是波长定义的关键，二者缺一不可.②根据波长的定义可知，在波的传播方向上，相距为波长整数倍的质点，振动情况完全相同，即振动位移及速度总是相同的这些点叫做同相点，相距半波长奇数倍的质点振动情况完全相反，这些点称为反相点.如图所示，、、等质点的振动情况完全相同为同相点，而与、与、与等振动情况完全相反，为反相点
(2)特征
①两个相邻的运动状态总是相同的质点间的距离，或者说在振动过程中，对平衡位置的位移总是相等的两个相邻质点间的距离叫做波长.
②在横波中，两个相邻的波峰（或波谷）间的距离等于波长.在纵波中，两个相邻的密部（或疏部）间的距离等于波长.
③经过一个周期，振动在介质中传播的距离等于波长.
(3)意义
波长是描述波的“空间重复性”的物理量.观察波的图象会发现，在某一时刻的波的图象中.每隔一定距离，波就重复出现，这就是波的“空间周期性”.
(4)决定因素:波源和介质
例1.（多选）关于波长的下列说法中正确的是（ ）
A．机械振动在一个周期内传播的距离就是一个波长
B．在波形图上位移相同的相邻两质点之间的距离等于一个波长
C．在波形图上速度最大且相同的相邻两质点间的距离等于一个波长
D．在波形图上振动情况总是相同的两点间的距离等于一个波长
例2.（多选）图所示的是一列简谐波在某一时刻的波形图象，下列说法中正确的是（　 　）
A．质点A、C、E、G、I在振动过程中位移总是相同
B．质点B、F在振动过程中位移总是相等
C．质点D、H的平衡位置间的距离是一个波长
D．质点A、I在振动过程中位移总是相同，它们的平衡位置间的距离是一个波长
2.波的周期（或频率）
(1)定义：在波动中，各个质点的振动周期（或频率)是相同的，它们都等于波源的振动周期（或频率)，这个周期（或频率）也叫做波的周期（或频率）
(2)对周期和频率的理解
①由于波是机械振动在介质中的传播，因此波的周期（频率）与波源的周期（频率）相同.
②波的周期（频率）与波源的相同，因此波由一种介质进入另一种介质时，周期（频率）不变.波的周期(频率)由波源决定，与介质无关.
③在同一种介质中，在一个周期内波向前传播的距离等于一个波长.
周期与频率的关系为
⑤每隔个波长的距离，波形就重复出现；每隔个周期的空间，波形恢复原来的形状，这就是波的“空间周期性”和“时间周期性”.
例3.一列简谐横波某时刻的波形如图所示，该时刻、两质点均到达波峰位置，质点的加速度正在增大，下列判断正确的是( )
A．、b两质点之间的距离为半个波长
B．、b两质点振动开始时刻相差半个周期
C．质点完成全振动的次数比b质点多一次
D．质点完成全振动的次数比b质点少一次
例4.（多选）关于波的周期下列说法正确的是（ ）
A．质点的振动周期就是波源的周期
B．波的周期是由波源驱动力的频率决定的
C．波的周期与形成波的介质的密度有关
D．经历整数个周期波形图重复出现，波峰向前移动了一段距离
3.波速
(1)定义：机械波在介质中传播的距离跟所用时等间的比值，叫做波速
(2)公式：
(3)对波速的理解：①波速描述的是振动这种运动形式向外传播的快慢程度，而不是质点向外迁移的速度，质点是不随波迁移的.
②波速也不是质点振动的速度.质点的振动是一种变加速运动，符合正弦规律，而波在同一种介质中的传播速度是相同的.
③波速的大小只与介质有关，与频率无关.
4.波长、频率和波速之间的关系
由波的形成过程可知，在一个周期的时间内，振动在介质中传播的距离等于一个波长，因而可以得到波长、频率(或周期)和波速三者的关系为：，
例5.介质中有一列简谐机械波传播，对于其中某个振动质点（ ）
A．它的振动速度等于波的传播速度 B．它的振动方向一定垂直于波的传播方向
C．它在一个周期内走过的路程等于一个波长 D．它的振动频率等于波源的振动频率
例6.一列简谐横波沿轴传播，t=0时刻的波形如图甲所示，此时质点P正沿y轴负方向运动，其振动图象如图乙所示，则该波的传播方向和波速分别是（ ）
A．沿轴负方向，60m/s B．沿轴正方向，60m/s
C．沿轴负方向，30m/s D．沿轴正方向，30m/s
二、技巧总结
1.波长、波速、频率的决定因素
波的传播速度，，其中、、（）三个量相互关联，从公式上看，似乎任意一个改变都会影响其他两个量，不少初学者易产生这样的认识，其实不然，那么它们都是由谁决定的呢？
(1)周期和频率，只取决于波源，而与、无直接关系.
(2)速度决定于介质的物理性质，它与、无直接关系.只要介质不变，就不变，而不决定于、，反之，如果介质变，也一定变.
(3)则决定于和,只要、其中一个发生变化，其值必然发生变化，而保持的关系. 总之，尽管波速与频率或周期可以由公式或进行计算，但不能认为波速与波长、周期或频率有关，也不能认为频率或周期会因波速、波长的改变而改变，因为它们都是确定的，分别决定于介质与波源.
例7.男女生二重唱中，女高音和男中音的频率、波长和波速分别为、、和、、，它们之间的关系是（ ）
A．,, B．,,
C．,, D．以上说法都不正确
2.求波长的方法
(1)根据波长的定义求解
①在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点之间的距离等于一个波长.
②在振动中，质点完成一次全振动波向前传播的距离等于一个波长.
(2)根据波动图象求解
①在波动图象上，振动位移总是相同的两个相邻质点间的距离为一个波长.
②在波动图象上，运动状态（速度）总是相同的两个相邻质点间的距离为一个波长.
③在波动图象上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离为一个波长，
④在波动图象上，两个相邻波峰（或波谷）间的距离为一个波长，凡是平衡位置相隔波长整数倍，质点的位移、速度、加速度等物理量总是相同，振动同相.凡是平衡位置相隔半个波长的奇数倍，质点的位移、速度、加速度等物理量总是等大反向，振动反相.
(3)根据公式来确定
波在传播过程中，在一个周期内传播的距离等于一个波长，即.
【注意说明】在波动图象中，无论从什么位置开始，一个完整的正（余）弦曲线对应的水平距离为一个波长.
如图所示,一列简谐横波向右传播，P、Q两质点的平衡位置相距0.15 m. 当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到下方最大位移处,则这列波的波长可能是( )
A．0.60 m B．0.20 m
C．0.15 m D．0.10 m
例 9. 一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6m，且这两质点之间的波峰只有一个，则该简谐波可能的波长为（ ）
A．4m、6m和8m B．6m、8m和12m C．4m、6m和12m D．4m、8m和12m
3.已知波速和波形，画出再经时间波形图的方法
(1)特殊点法
在波形图上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方向，再看.由于经时间波形不变，所以采取去整留零的方法，分别作出两特殊点经时间后的位置，然后按正弦规律画出新波形图.
(2)平移法一 -----移波形
先算出经时间波传播的距离,再把波形沿波的传播方向平移即可.因为波动图象的重复性，若已知波长，则波形平移个时波形不变.当时，可采取去整留零的方法，只需平移即可.
(3)平移法二-----移坐标轴
计算方法同上，将坐标轴逆着波的传播方向平移即可.
例10. 一列简谐波在轴上传播，波速为50m/s, 已知t=0时刻的波形图象如左图所示，图中M处的质点此时正经过平衡位置沿轴的正方向运动.，请画出t=0.5s时的波形图象（至少要画出一个波长）.
4.已知两不同时刻波动图象类问题的解法
如图所示，已知某简谐波在与时刻的波形图，从图上可以确定该波的波长，振幅.在求解波的周期、波速时有两种方法：
(1)传播的观点
由波形图可知，波在时间内传播的距离为(波沿轴正向传播时)或(波沿轴负向传播)时，则波速，周期.
(2)振动观点
在波形图中取某一质点，比较该质点（如图中)在两时刻的位置和状态，确定与周期的关系，如在图中，波向右传播时，,波向左传播时，，可求得周期的表达式，再由可求得波速. 在这类题目中，同时应注意对时间的限制，当时，.
例11. 如图，简谐横波在时刻的波形如实线所示，经过，其波形如虚线所示. 已知图中与相距1m，波的周期为，且. 则可能的最小波速为_________,最小周期为_______.
5.关于波动和振动关系的几个推论
(1)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为时(),这两个质点的速度和对平衡位置的位移总是相同的，即它们的振动步调总相同.反之，当两质点的振动步调总是相同时，它们的平衡位置之间的距离一定是().
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为()时，这两个质点的速度总是大小相等、方向相反，对平衡位置的位移也总是大小相等、方向相反，也就是说，它们的振动步调总相反.反之，当两质点的振动步调总是相反时，它们的平衡位置之间的距离一定是().
(3)在波的传播方向上，波峰（或波谷）一侧范围内，各质点的振动方向相同，如图所示；在波的传播方向上，波峰（或波谷）两侧范围内，各质点的振动方向相反.如图所示.
(4)介质中任一质点起振的方向必与波源起振方向相同，故任一时刻，波最前沿质点的振动方向即波源的起振方向.
三、针对练习
1.一列简谐横波在均匀介质中沿轴正方向传播,波速为1 m/s，t=0时刻,该波的波形如图所示,P、Q分别为、处的质点,此时P质点恰好开始振动，则t=5 s时刻，Q点( )
A．经过平衡位置，向上运动 B．经过平衡位置，向下运动
C．位于波峰位置 D．位于波谷位置
2.如图所示是一列简谐横波在t=0时刻的波形图，已知这列波沿轴正方向传播，波速为20 m/s. P是离原点为2 m的一个质点，则在t=0.17 s时刻，质点P的：①速度和加速度都沿方向；②速度沿方向，加速度沿方向；③速度和加速度都正在增大；④速度正在增大，加速度正在减小.以上四种判断中正确的是( )
A．只有① B．只有④ C．只有①④ D．只有②③
3.如图甲为一列简谐横波在t＝0时的波的图象，图乙为该波中处质点P的振动图象，下列说法正确的是( )
A．波速为8 m/s
B．波沿轴负方向传播
C．t＝0.5 s，P点的动能最大
D．t＝0到t＝2．5 s，P点振动路程为1．8 cm
4.一简谐横波沿轴正方向传播，周期为T，波长为，若在处质点的振动图像如图所示，则该波在时刻的波形为 (　　)
5.（多选）某次地震中,纵波波速为7 km/s，横波波速为3.2 km/s，地震波频率为10 Hz，M点的观察者在接收到纵波15.3 s后才接收到横波，从横波传到M点的时刻开始计时，图甲为横波引起的M点的振动图像，图乙为t=2T时刻的横波波动图像，则(　 　)
A．震源距离M点约为90 km
B．图甲中时刻，M点速度大小为0
C．该横波沿轴负方向传播
D．沿横波传播方向距离M点16 km处的N点在5.275 s后将处于波谷
6.（多选）一列波的波源S在点做竖直方向、频率为10 Hz的简谐运动，时刻，向右传播的波形如图所示，向左传播的波形未画出. 下列说法正确的是( )
A．时刻，处的质点运动方向向上
B．时刻，处的质点运动方向向上
C．时刻，处的质点处在波谷位置
D．时刻，处的质点处在波峰位置
7.（多选）如图甲是一列简谐横波在t=0.2 s时刻的波形图，P是平衡位置距离原点1.5 m的一个质点，Q是平衡位置距离原点2 m的一个质点,图乙是质点Q的振动图像. 则( )
A．这列简谐波的波速为10 m/s
B．这列简谐波的传播方向为方向
C．0.3 s时P的速度正在增大，加速度正在减小
D．t=0.4 s到t=0.6 s质点P通过的路程为4 cm
8.（多选）图甲为一列简谐横波在t=0.10 s时刻的波形图，是平衡位置在处的质点，Q是平衡位置在处的质点，图乙为质点Q的振动图像，则 (　　 )
A．质点Q做简谐运动的表达式为
B．在t=0.25 s时,质点的加速度方向与轴正方向相同
C．从t=0.10 s到t=0.20 s，该波沿轴负方向传播了4 m
D．从t=0.10 s到t=0.25 s，质点通过的路程为30 cm
9.（多选）取一条较长的轻软绳，用手握住一端,在竖直平面内连续上下抖动长绳，手上下振动的周期是T，可以看到一列波产生和传播的情形，如图所示，在绳上做个标记P(图中未标出)，、P的平衡位置间距为L，t=0时，位于最高点，P离开平衡位置的位移恰好为零，速度方向竖直向上，若该波可以看作是简谐波，则(　 　 )
A．时，P在平衡位置下方
B．时，P的速度方向竖直向上
C．时，P的加速度方向竖直向下
D．该简谐波传播的最大速度为
10.一列沿轴正方向传播的简谐横波，t＝0时刻的波形如图中实线所示，t＝0．2 s时刻的波形如图中虚线所示，则(　 　)
A．质点P的运动方向向右
B．波的周期可能为0.27 s
C．波的频率可能为1.25 Hz
D．波的传播速度可能为20 m/s
11.如图所示，实线是某时刻的波形图，虚线是0.2 s后的波形图线，求：
(1)若波向左传播，求它传播的最小距离；
(2)若波向右传播，求它的最大周期；
(3)若波速是35 m/s，求它的传播方向.
12.一列向右传播的简谐横波传到R点时的波形如图所示，波速为，质点P、Q的坐标分别为，，求：
(1)质点P开始振动时，振动方向如何；
(2)从图示时刻经多长时间，质点P第一次到达波谷；
(3)质点P到达波峰时，质点Q在何处.
13.图甲中的B超成像的基本原理是探头向人体发射一组超声波，遇到人体组织时会产生不同程度的反射,探头接收到的超声波信号由计算机处理，从而形成B超图像，图乙为血管探头沿轴正方向发射的简谐超声波的图像，t=0时刻波恰好传到质点M. 已知此超声波的频率为。求:
(1)血管探头发出的超声波在血管中的传播速度；
(2)~内质点M的路程；
(3)从t=0时刻到质点N第一次到达波峰所经历的时间.
14.如图处是两种介质的分界线， 左侧是甲介质，右侧为乙介质. 某波源开始不断地上下简谐振动形成向轴正向传播的横波，经过0.5s，其波前沿正好到达M位置. 已知该波在乙介质中传播速度是在甲介质中的2倍，问：
（1）波源起振方向如何；
（2）该波在乙介质中的波长；
（3）在图中画出再经过1s时的波形图.
答案
例题
例1.AC 例2.BC 例3.D 例4.ABD 例5.D 例6.A 例7.C 例8.D 例9.C
例10.略
例11.由题图知,若波沿轴正方向传播，(),若波沿轴负方向传播，(),可能的最小波速；最大波速 ,由知最小周期
针对练习
1.A 2.C 3.C 4.A 5.AD 6.AC 7.AD 8.ABC 9.CD 10.C
11.答案：(1)3 m (2)0．8 s (3)向左传播
解析：(1)由图可知＝4 m，若波向左传播，传播距离 Δx＝n＋(n＝0,1,2，…)，
则最小值为＝3 m
(2)若波向右传播Δx＝n＋(n＝0,1,2，…)，所用时间Δt＝nT＋＝0.2 s
T＝ s(n＝0,1,2，…)，所以当n＝0时，有最大周期＝0.8s
(3)Δx＝vΔt＝0.2×35 m＝7m＝（+）m，所以波向左传播
12.答案：(1)沿y轴负方向 (2)12 s (3)波谷
解析：(1)在波的传播方向上，各质点起振方向都相同，与此时刻x＝0.30 m处质点R的振动方向相同，沿y轴负方向
(2)解法一：由波的图象可得波长λ＝0.24 m，P点第一次到达波谷的时间即为P点前方距P点最近的波谷传播到P点所用时间Δt＝＝ s＝12 s
解法二：从“振动形式传播”的角度分析，由图象知，波长＝0.24 m
故波的周期T＝ ＝ s＝4 s， R的振动形式传到P点所用的时间
Δt1＝＝ s＝11 s， P开始振动后只需即可到达波谷，即， Δt2＝ ＝1 s
故再经过Δt1＋Δt2＝12 s，质点P第一次到达波谷
(3)因为， 所以P、Q两质点振动情况相反，当P质点达到波峰时，Q质点在波谷
13.答案：1)1.4× m/s (2)2 mm (3)2× s
解析：(1)由题图乙知波长=14×mm=1.4×m
则波速v==1.4××1×m/s=1.4×m/s
(2)质点M振动的周期T== s=1×s，由于1.25×s=T
所以质点M在0~1.25×s内运动的路程s=×4A=×4×0.4 mm=2 mm
(3)从t=0时刻到质点N第一次到达波峰所经历的时间t== s=2×s
14.（1）向下振动；（2） 4m；（3）

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