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三角形的五心
三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．
三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．
1、三角形的外心
三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．
三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径．
锐角三角形的外心在三角形内；
直角三角形的外心在斜边中点；
钝角三角形的外心在三角形外．
2、三角形的内心
三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．
三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．
内切圆半径r的计算：
设三角形面积为S，并记p=(a+b+c)，则r=．
特别的，在直角三角形中,有 r=(a+b－c)．
3、三角形的重心
三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．
上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．
4、三角形的垂心
三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．
斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．
5、三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．
每个三角形都有三个旁切圆．
A类例题
例1 证明重心定理。
证法1 如图，D、E、F为三边中点，设BE、CF交于G，连接EF，显然EFBC，由三角形相似可得GB＝2GE，GC=2GF．
又设AD、BE交于G'，同理可证G'B=2G'E，G'A=2G'D，即G、G'都是BE上从B到E的三分之二处的点，故G'、G重合．即三条中线AD、BE、CF相交于一点G．
证法2 设BE、CF交于G，BG、CG中点为H、I．连EF、FH、HI、IE，
因为EFBC，HIBC，
所以 EFHI为平行四边形．
所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF．
同证法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共点．
即定理证毕．
链接 证明外心、内心定理是很容易的。
外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．
内心定理的证明：如图，设∠A、∠C的平分线相交于I、过I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点．
上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成．

例2证明垂心定理
分析 我们可以利用构造外心来进行证明。
证明 如图，AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线相交成ΔA'B'C'，显然AD为B'C'的中垂线；同理BE、CF也分别为A'C'、A'B'的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证．
链接 （1）对于三线共点问题还可以利用Ceva定理进行证明，同学们可以参考第十八讲的内容。（Ceva定理）设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是··=1．
（2）对于三角形的五心，还可以推广到n边形，例如，如果我们称n（≥3）边形某顶点同除该点以外的n-1个顶点所决定的n-1边形的重心的连线，为n边形的中线，（当n-1=2时，n-1边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：n边形的各条中线(若有重合，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（n-1）∶1的两条线段，这点叫n边形的重心．请同学们自己研究一下其他几个“心”的推广。
情景再现
1．设G为△ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形GMAN和△GBC的面积相等．

2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．
B类例题
例3 过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.
作点P关于MN的对称点P'.试证：P'点在△ABC外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析 分析点M和N的性质，即能得到解题思路。
证明 由已知可得MP'=MP=MB，NP'=NP=NC，
故点M是△P'BP的外心，点N是△P'PC的外心.于是有
∠BP'P=∠BMP=∠BAC，
∠PP'C=∠PNC=∠BAC.
∴∠BP'C=∠BP'P+∠P'PC=∠BAC.
从而，P'点与A、B、C共圆，即P'在△ABC外接圆上.

链接 本题可以引出更多结论，例如P'P平分∠BP'C、P'B:P'C=BP:PC等等．
例4 AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.
证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)
证明 设G为△ABC重心，直线PG与AB，BC相交.从A，C，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A'，C'，D'，E'，F'.
易证AA'=2DD'，CC'=2FF'，2EE'=AA'+CC'，
∴EE'=DD'+FF'.
有S△PGE=S△PGD+S△PGF.
两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.
例5 设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛)
证明 连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由△A2A3A4知
=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；
由△A1A3A4得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4.
但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.
易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1A1H2，
故得H1H2A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.
同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.
链接三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：
（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；
（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；
（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；
（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；
（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．
3．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.
证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.
(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.
C类例题
例6 H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.
求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题)
分析 只须证明AA1=BB1=CC1即可.
证明 设BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外接圆半径为R，⊙H的半径为r.
连HA1，AH交EF于M. A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2
=r2+(AM2-MH2)， ①
又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2
=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2
=cosA·bc-AH2， ②
而=2RAH2=4R2cos2A,
=2Ra2=4R2sin2A.
∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③
由①、②、③有
A=r2+·bc-(4R2-a2)
= (a2+b2+c2)-4R2+r2.
同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，
= (a2+b2+c2)-4R2+r2.
故有AA1=BB1=CC1.
例7 已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
证明 如图，显然EF中点P、圆心Q，中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ=.
∵QK·AQ=MQ·QN，
∴QK=
==.
由Rt△EPQ知PQ=.
∴PK=PQ+QK=+=.
∴PK=BK.
利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.
说明 在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例7的一种特例，但它增加了条件AB=AC.
例8 在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)
证明 设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：
p(p-c)=(p-a)(p-b).
∵p(p-c)= (a+b+c)·(a+b-c)
=[(a+b)2-c2]
=ab；
(p-a)(p-b)= (-a+b+c)·(a-b+c)
=[c2-(a-b)2]= ab.
∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ①
观察图形，可得
ra=AF-AC=p-b，
rb=BG-BC=p-a，
rc=CK=p.
而r=(a+b-c)=p-c.
∴r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p
=4p-(a+b+c)=2p.
由①及图形易证.
例9 M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明·=.(IMO-12)
证明 对任意△A'B'C'，由正弦定理可知
OD=OA'·
=A'B'··
=A'B'·，
O'E= A'B'·.
∴.
亦即有
·=
==.
例10 锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.
求证：1·d垂+2·d外=3·d重.
证明 设△ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B，
C. 易知d外=OO1+OO2+OO3
=cosA+cosB+cosC，
∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ①
∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC，
同样可得BH2·CH3.
∴3d重=△ABC三条高的和
=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ②
∴=2，
∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC.
同样可得HH2，HH3.
∴d垂=HH1+HH2+HH3
=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③
欲证结论，观察①、②、③，
须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.
说明 本题用了三角法。
情景再现
5.设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.
(1991，国家教委数学试验班招生试题)
6．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE丄CD.
(加拿大数学奥林匹克训练题)
7．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE. (1988，中国数学奥林匹克集训题)

习题17
1．在△ABC中，∠A是钝角，H是垂心，且AH=BC，则cos∠BHC=( )
A．－ B． C． D．
2．如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，则此直线一定通过三角形的( )
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心(1996年全国初中联赛)
3．(1997年安徽省初中数学竞赛)若0°<(<90°，那么，以sin(，cos(，tan(cot(为三边的三角形有内切圆、外接圆的半径之和是( )
A． B． C．2sin(cos( D．
4．ΔABC中，∠A=45(，BC=a，高BE、CF交于点H，则AH=( )
A．a B．a C．a D．a
5．下面三个命题中：
⑴ 设H为ΔABC的高AD上一点，∠BHC+∠BAC=180(，则点H是ΔABC的垂心；
⑵ 设G为ΔABC的中线AD上一点，且SΔAGB=SΔBGC，则点G是ΔABC的重心；
⑶ 设E是ΔABC的外角∠BAK的角平分线与ΔABC的外接圆⊙O的交点，ED是⊙O的直径，I在线段AD上，且DI=DB，则I是ΔABC的内心．
正确命题的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．设ΔABC的∠A=60(，求证：ΔABC的外心O、内心I、垂心H及点B、C五点在同一个圆上．
7．已知P是□ABCD内的一点，O为AC与BD的交点，M、N分别为PB、PC中点，Q为AN与DM的交点．求证：
⑴ P、Q、O三点在一条直线上；
⑵ PQ=2OQ．
8.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，
B′，C ′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克)
9.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)
10.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)
11.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.
12.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)
本节“情景再现”解答
1．证明 如图，连GA，因为M、N分别为AB、CA的中点，所以△AMG的面积=△GBM的面积，△GAN的面积=△GNC的面积,
即四边形GMAN和△GBC的面积相等．
2．证明 如图，O为ΔABC的外心，H为垂心，连CO交ΔABC外接圆于D，连DA、DB，则DA⊥AC，BD⊥BC，又AH⊥BC，BH⊥AC．所以DA∥BH，BD∥AH，从而四边形DAHB为平行四边形。又显然DB=2OM，所以AH=2OM．
同理可证 BH=2ON，CH=2OK．证毕．
3．提示：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，△CSQ的外心，作出六边形O1PO2QO3S后再由外心性质可知∠PO1S=2∠A，∠QO2P=2∠B，∠SO3Q=2∠C.
∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360°
将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，
同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K
= (∠O2O1S+∠SO1K)= (∠O2O1S+∠PO1O2)= ∠PO1S=∠A；
同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.
4．提示：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△'.G为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△'就是△HCF. (1)a2，b2，c2成等差数列△∽△'.若△ABC为正三角形，易证△∽△'.不妨设a≥b≥c，有
CF=，BE=，AD=.
将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得CF=，BE=，AD=.
∴CF:BE:AD =::=a:b:c. 故有△∽△′.
(2)△∽△′a2，b2，c2成等差数列.当△中a≥b≥c时，
△′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′，∴＝()2.
据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=.
∴=3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.
5.证明 连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC.
再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 不等式有：
BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS). 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.
∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)
≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.
I就是一点两心.
6．提示：设AM为高亦为中线，取AC中点
F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设
CD交AM于G，G必为△ABC重心.
连GE，MF，MF交DC于K.易证：
DG:GK=DC:()DC=2:1.
∴DG:GK=DE:EFGE∥MF.
∵OD丄AB，MF∥AB，
∴OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是△ODE之垂心.
易证OE丄CD.
7．提示：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K.
易证△AID≌△AIB≌△EIB，
∠AID=∠AIB=∠EIB.
利用内心张角公式，有
∠AIB=90°+∠C=105°，
∴∠DIE=360°-105°×3=45°. ∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+ (∠BAC-∠BAO)=30°+ (∠BAC-60°)=∠BAC=∠BAI=∠BEI.
∴AK∥IE. 由等腰△AOD可知DO丄AK，∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高.
同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.
习题17解答
1． B；2．A；3．A；4．C；5．选B，只有（3）是对的；
6．略；7．略；8.略；9.略；10.略；11.略；12. H的轨迹是一条线段.
补充：
第五讲 三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.
一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.
例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP
=NC，故点M是△P′BP的外心，点
N是△P′PC的外心.有
∠BP′P=∠BMP=∠BAC，
∠PP′C=∠PNC=∠BAC.
∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.
从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上.
由于P′P平分∠BP′C，显然还有
P′B:P′C=BP:PC.
例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.
(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，
△CSQ的外心，作出六边形
O1PO2QO3S后再由外
心性质可知
∠PO1S=2∠A，
∠QO2P=2∠B，
∠SO3Q=2∠C.
∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+
∠O2QO3+∠O3SO1=360°
将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.
∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K
=(∠O2O1S+∠SO1K)
=(∠O2O1S+∠PO1O2)
=∠PO1S=∠A；
同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.
二、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每
条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.
例3．AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.
(第26届莫斯科数学奥林匹克)
分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB
，BC相交.从A，C，D，E，F分别
作该直线的垂线，垂足为A′，C′，
D′，E′，F′.
易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，
∴EE′=DD′+FF′.
有S△PGE=S△PGD+S△PGF.
两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.
例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.
分析：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△HCF.
(1)a2，b2，c2成等差数列△∽△′.
若△ABC为正三角形，易证△∽△′.
不妨设a≥b≥c，有
CF=，
BE=，
AD=.
将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得
CF=，BE=，AD=.
∴CF:BE:AD =::
=a:b:c.
故有△∽△′.
(2)△∽△′a2，b2，c2成等差数列.
当△中a≥b≥c时，
△′中CF≥BE≥AD.
　　　∵△∽△′，
　　　∴＝()2.
据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=.
∴=3a2=4CF2=2a2+b2-c2
a2+c2=2b2.
三、垂心
三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.
例5．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为
△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.
(1992，全国高中联赛)
分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径
为R.由△A2A3A4知
=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；
由△A1A3A4得
A1H2=2Rcos∠A3A1A4.
但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.
易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1 A1H2，
故得H1H2 A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.
同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.
例6．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.
求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.
(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)
分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设
BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外
接圆半径为R，⊙H的半径为r.
连HA1，AH交EF于M.
A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2
=r2+(AM2-MH2)， ①
又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2
=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2
=cosA·bc-AH2， ②
而=2RAH2=4R2cos2A,
=2Ra2=4R2sin2A.
∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③
由①、②、③有
A=r2+·bc-(4R2-a2)
=(a2+b2+c2)-4R2+r2.
同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，
=(a2+b2+c2)-4R2+r2.
故有AA1=BB1=CC1.
四、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：
设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).
例7．ABCD为圆内接凸四边形，取
△DAB，△ABC，△BCD，
△CDA的内心O1， O2，O3，
O4.求证：O1O2O3O4为矩形.
(1986，中国数学奥林匹克集训题)
证明见《中等数学》1992；4
例8．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.
(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.当AB≠AC，怎样证明呢？
如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ=.
∵QK·AQ=MQ·QN，
∴QK=
==.
由Rt△EPQ知PQ=.
∴PK=PQ+QK=+=.
∴PK=BK.
利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.
五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于
一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，
旁心还与三角形的半周长关系密切.
例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.
式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：
p(p-c)=(p-a)(p-b).
∵p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c)
=[(a+b)2-c2]
=ab；
(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)
=[c2-(a-b)2]=ab.
∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ①
观察图形，可得
ra=AF-AC=p-b，
rb=BG-BC=p-a，
rc=CK=p.
而r=(a+b-c)
=p-c.
∴r+ra+rb+rc
=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p
=4p-(a+b+c)=2p.
由①及图形易证.
例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明：·=.
(IMO-12)
分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知
OD=OA′·
=A′B′··
=A′B′·，
O′E= A′B′·.
∴.
亦即有
·=
==.
六、众心共圆
这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.
例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF三条对角线交于一点；
(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.
(1991，国家教委数学试验班招生试题)
分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE，
IF=EF=FA，
IB=AB=BC.
再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 不等式有：
BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).
不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.
∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.
∴AB+BC+CD+DE+EF+FA
=2(BI+DI+FI)
≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)
=AD+BE+CF.
I就是一点两心.
例12．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE丄CD.
(加拿大数学奥林匹克训练题)
分析：设AM为高亦为中线，取AC中点
F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设
CD交AM于G，G必为△ABC重心.
连GE，MF，MF交DC于K.易证：
DG:GK=DC:()DC=2:1.
∴DG:GK=DE:EFGE∥MF.
∵OD丄AB，MF∥AB，
∴OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是△ODE之垂心.
易证OE丄CD.
例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE.
(1988，中国数学奥林匹克集训题)
分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K.
易证△AID≌△AIB≌△EIB，
∠AID=∠AIB=∠EIB.
利用内心张角公式，有
∠AIB=90°+∠C=105°，
∴∠DIE=360°-105°×3=45°.
∵∠AKB=30°+∠DAO
=30°+(∠BAC-∠BAO)
=30°+(∠BAC-60°)
=∠BAC=∠BAI=∠BEI.
∴AK∥IE.
由等腰△AOD可知DO丄AK，
∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高.
同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.
由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.
例14．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距
离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.
求证：1·d垂+2·d外=3·d重.
分析：这里用三角法.设△ABC外接圆
半径为1，三个内角记为A，B，
C. 易知d外=OO1+OO2+OO3
=cosA+cosB+cosC，
∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ①
∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC，
同样可得BH2·CH3.
∴3d重=△ABC三条高的和
=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ②
∴=2，
∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC.
同样可得HH2，HH3.
∴d垂=HH1+HH2+HH3
=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③
欲证结论，观察①、②、③，
须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.
练 习 题
1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，
B′，C ′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利
亚数学奥林匹克)
2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)
3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)
4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.
5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)
6.△ABC的边BC=(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)
7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)
8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.
9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.

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