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巴中市普通高中2021级“零诊”考试
数学（文科）
（满分150分 120分钟完卷）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置．
2．答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效．
3．考试结束后，考生将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列的前项和为，则数列的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
5．双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）
A． B． C． D．
6．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．第31届世界大学生夏季运动会以“绿色、智慧、活力、共享”为理念，向全世界送出来自中国的美好祝愿．某高校田径组拟从甲，乙两名女同学中选一人参加本届大运会，已知甲、乙两名同学近五次800米训练成绩（单位：秒）如下面的茎叶图所示．根据两人训练成绩的平均值及方差，现有下列4种推荐意见．
①甲成绩的平均值低于乙成绩的平均值，推荐甲参加大运会．
②甲成绩的平均值高于乙成绩的平均值，推荐乙参加大运会．
③甲成绩的方差大于乙成绩的方差，推荐乙参加大运会．
④甲成绩的方差小于乙成绩的方差，推荐甲参加大运会．
其中合理推荐意见的编号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
8．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C．1 D．
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段恰被轴平分，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
10．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．5 B． C．4 D．
11．已知正数满足（为自然对数的底数），则下列关系式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则曲线在点处的切线方程是__________．
14．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则__________．
15．已知正项等比数列的前项和为，若，且，则__________．
16．在三棱锥中，，分别为棱的中点．现有以下3个结论：①三棱锥的外接球表面积为；②；③平面．则其中正确结论的序号为__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介，利用网络平台对年龄（单位：岁）在[20，60内的人群进行了调查，并从参与调查者中随机选出600人，把这600人分为对新能源汽车比较关注和不太关注两类，制成如下表格：
年龄
男性 人数 40 120 160 80
比较关注人数 8 72 112 48
女性 人数 10 70 100 20
比较关注人数 5 49 80 16
（1）完成下面的列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关；
比较关注 不太关注 总计
男性
女性
总计
（2）为了进一步了解年龄在内不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况，采用分层抽样的方法选出5人进行访谈，最后从这5人中随机选出2人参与电视直播节目，求其中恰有一位男性参与电视直播节目的概率．
附：，其中．
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
18．（12分）
在中，角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求的面积．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，底面，分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
20．（12分）
已知．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设，若函数有两个零点，求的取值范围．
21．（12分）
已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求：
①直线的方程；②的面积．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．【选修44：坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系中，圆的圆心为点，且半径长为2，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，且，求．
23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
巴中市普通高中2021级“零诊”考试
数学（文科）参考答案
一、选择题（每题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C D A B A C B C B C D
二、填空题（每题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．①③．
三、解答题（17-21每题12分，22-23题10分）
17．（12分）
解：（1）列联如下表：
比较关注 不太关注 总计
男性 240 160 400
女性 150 50 200
总计 390 210 600
则
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关．
（2）由题意知，年龄在内的50人中男性与女性的比为
所抽男性人数为人，所抽女性人数为人
记“选出的5人中恰有一位男性”为事件
设4位男性分别为，一位女性为
则所有结果为：，共10种．
事件A包含的基本事件为，共4种
由古典概型的概率公式得：．
18．（12分）
解：（1）由及正弦定理得：
由得：
由知
．
（2）方法一
当时，代入得：
由余弦定理得：
整理得：，解得：
由（1）知：
．
方法二
当时，代入得：
由（1）得：
由得
．
方法三
当时，代入得：
由（1）得：
由余弦定理得：
整理得：，解得：或
若，则为等腰三角形，此时
由及内角和定理得：，与矛盾，不合题意
．
19．（12分）
解：（1）证明：
方法一：综合法——平行平面的性质
取的中点，连结（如图）
由分别为的中点及中位线定理得
平面平面
平面平面．
又平面
平面平面．
平面
平面．
方法二：综合法——平行平面的性质
取的中点，连结（如图）
由分别为的中点及中位线定理得
平面平面
平面．
平面平面
平面．
又平面
平面平面．
平面
平面
方法三：综合法——直线与平面平行的判定
连结延长交的延长线于，连结
又
平面平面
平面
（2）方法一
底面
又平面
平面
点到平面的距离为
平面
平面
到平面等距，故三棱锥的高为2
又
方法二
由为的中点及体积的性质知：
由底面及知：
．
方法三
连结，由得：
在中，，由余弦定理得：
底面平面
平面平面
平面平面平面
平面
．
方法四
取的中点，连结
由知：
又
四边形为正方形
底面平面
平面
三棱锥的高为
20．（12分）
解：（1）
令得或，令得
的增区间为，减区间为
（2）方法一
由已知得，故
①当时，在上单调递增，不存在两个零点．
②当时，令得，令得
故在上为减函数，在上为增函数
由有两个零点得：即
又，故，解得
又，且当时，
当时，函数有两个零点
综上可知：的取值范围为
方法二
有两个零点等价于：
关于的方程有两个实根
即（*）有两个实根．
由（1）知，由方程（*）得有两个实根．
令，则
由得，解得
由得解得
在上为增函数，在上为减函数．
又当时，
当时且当时，（如图）
当，即时，有两个零点
的取值范围为．
21．（12分）
解：（1）由题意知，又，则
，解得
由在椭圆上及得，解得
椭圆的方程为
（2）由（1）知，右焦点为
据题意设直线的方程为
则
于是由得，化简得
①由消去整理得
由根与系数的关系得：．
代入（*）式得：，解得
直线l的方程为
②方法一
由①可知：
由求根公式与弦长公式得：．
设点到直线l的距离为，则．
．
方法二
由题意可知
由①知，直线l的方程为
代入消去得
∴
．
22．（10分）
解：（1）方法一
由已知，圆的标准方程为：
化为一般式得：
将代入圆的一般方程得：
圆的极坐标方程为
方法二
点的极坐标为
在圆上任取点的极坐标为，当不共线时，由余弦定理得：
化简得：
当共线时，点的坐标也适合上面的方程．
即圆的极坐标方程为
（2）方法一
由已知，直线l的极坐标方程为，则：
整理得
由得
设，则
则
，化简得：
由知得：，或
，或．
方法二
将代入得：
由得
设对应的参数分别为，则
，化简得：
由知得：，或
，或．
23．（10分）
解：（1）方法一
当时，
①无解
②解得
③解得
综上：原不等式的解集为
方法二
原不等式等价于：
由绝对值的几何意义知的几何意义为：
数轴上实数对应的点到所对点的距离与其到原点的距离之差大于1
又的解为
原不等式的解集为
（2）当时，
原不等式等价于：
即，则
故解得
的取值范围为．

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