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21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 同步练习
一、单选题
1．方程的根的情况是（　　）
A．有两个不等实根 B．有两个相等实根
C．无实根 D．以上三种情况都有可能
2．方程的两个实数根的和与积分别是（ ）
A．，6 B．，6 C．4， D．，6
3．已知，且，则（　　）
A．9 B．3 C．2 D．
4．若是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的方程（a为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根一个负根 D．无实数根
6．一元二次方程根与系数之间的关系最早由一位法国数学家发现，并以他的名字命名了这个定理．这位数学家是16世纪最有影响的数学家之一，被尊称为“代数学之父”，他是第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进，他就是（　　）
A．祖冲之 B．韦达 C．笛卡尔 D．欧几里得
7．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且 C．且 D．
8．若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　）
①；②，；③；
④关于的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知实数a、b是一个一元二次方程的两根，且a+b＝﹣1，ab＝﹣2，写出一个满足以上所有条件的一元二次方程 ．
10．点A，B在数轴上的位置如图所示，点A对应的数是，点B对应的数是，，且，是方程的两根，则k的值为 ．
11．已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
12．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
13．已知关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2+4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．
14．已知关于x的方程x2+2x+a–2=0的一个根为1.
（1）求a的值;
（2）求此方程的另一个根．
15．关于x的方程为一元二次方程（a，b，c均为整数），
（1）当a，b，c满足时，
①证明方程必有两个不相等的实数根；
②若方程的两根均为负整数，求整数b的值；
（2）当时，方程有两个实数根、，且满足，试证明：．
参考答案
1．A
2．C
3．D
4．D
5．C
6．B
7．B
8．C
9．
10．/ /3.75
11．①③
12．（1）；（2）；（3）；（4）．
13．m＝﹣1．
14．（1）a=-1；（2）-3.
15（1）解：①∵a﹣b＝2，2a﹣c＝6，
∴b＝a﹣2，c＝2a﹣6，
将b＝a﹣2，c＝2a-6代入（a﹣1）x2+2bx+（c﹣a+3）＝0得（a﹣1）x2+2（a﹣2）x+（a﹣3）＝0，
∵Δ＝[2（a﹣2）]2﹣4（a﹣1）（a﹣3）＝4＞0，
∴方程（a﹣1）x2+2bx+（c﹣a+3）＝0必有两个不相等的实数根．
②由①Δ＝4，（a﹣1）x2+2bx+（c﹣a+3）＝（a﹣1）x2+2（a﹣2）x+（a﹣3）＝0，
∵方程两根为负整数，
∴x1+x2＝﹣＝﹣2+为负整数，
∵a为整数，
∴a＝0或a＝﹣1，
∵方程两根为负整数，
∵x1 x2＝为正整数，
∴a＝0时x1 x2＝3满足题意，a＝﹣1时x1 x2＝2满足题意．
∴b＝a﹣2＝﹣2或﹣3．
（2）证明：∵0＜a＜3且a为整数，
∴a＝1或a＝2．
∵方程有两个实数根、，
∴a﹣1≠0，
∴a≠1，即a＝2，
∴（a﹣1）x2+2bx+（c﹣a+3）＝0可整理为x2+2bx+（c+1）＝0，
∴x1+x2＝﹣2b
∵x12﹣x22+2b（x1﹣x2+b）﹣c＝5，
∴（x1+x2）（x1﹣x2）+2b（x1﹣x2）+2b2﹣c＝5，
∴（x1﹣x2）（x1+x2+2b）＝5+c﹣2b2，即5+c﹣2b2＝0，
∴c＝2b2﹣5，
在方程x2+2bx+（c+1）＝0中，Δ＝（2b）2﹣4（c+1）＝（2b）2﹣4（2b2﹣5+1）≥0，
解得b2≤4，
∴|b|≤2．

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