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高中数学重难点突破
专题一 集合的概念与运算
知识归纳
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A B(或B A)
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA)
集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B
3.集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA＝{x|x∈U且x A}
知识拓展
1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.
2．A B A∩B＝A A∪B＝B.
3．(1)并集的性质：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A。
(2)交集的性质：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B。
(3)补集的性质：A∪(A)＝U；A∩(A)＝ ；(A)＝A。(A∩B)＝(A)∪(B)；
(A∪B)＝(A)∩(B)。
典例分析
题型一、　集合的概念及表示
例1、(1)已知集合，，则中所含元素的个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】∵集合中元素要求，故，于是用列举法可得符合集合的元素有：
，，，，，，，，，共10个元素．
(2)下列各式中，正确的个数是:①；②；③；④；⑤；⑥.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对①，集合与集合之间不能用符号，故①不正确；
对②，由于集合两个集合相等，任何集合都是本身的子集，故②正确；
(3)(多选题)已知集合，，，若，则满足条件的实数可能为　　
A．2 B． C． D．1
【答案】
【解析】由题意得，或，
若，即，或，
检验：当时，，与元素互异性矛盾，舍去；
当时，，与元素互异性矛盾，舍去．
若，即，或，
经验证或为满足条件的实数．
题型二　集合的基本关系
例2、(1)已知集合M＝，N＝，P＝，试分析集合M，N，P之间的关系．
【答案】M N＝P
【解析】集合M＝.
关于集合N：当n是偶数时，令n＝2m(m∈Z)，则N＝；
当n是奇数时，令n＝2m＋1(m∈Z)，则N＝＝{x|x＝m＋，m∈Z}，
从而得M N.
关于集合P：当p＝2m(m∈Z)时，P＝；
当p＝2m－1(m∈Z)时，P＝＝{x|x＝m－，m∈Z}，从而得N＝P.
综上可知M N＝P.
(2)已知集合A＝，B＝{≤2，x∈Z}，则满足条件A C B的集合C的个数为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】易得A＝＝{1，2}，B＝{x|≤2，x∈Z}＝{0，1，2，3，4}．∵A C B，∴集合C的个数为集合{0，3，4}的非空子集的个数，即23－1＝7(个)．
(3)(多选题)已知全集和集合，，，若，则下列关系一定成立的有　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：如图阴影表示集合，矩形表示集合，
，，，，
例3、(1)已知集合，，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，当时，，符合题意；
当时，，因为，所以或，解得或.
故实数的所有可能的取值组成的集合为.
(2)已知集合，集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，，，∴．
题型三 集合间的基本运算
例4、(1)(多选题)图中阴影部分用集合符号可以表示为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】图中阴影部分用集合符号可以表示为：或．
(2)(多选题)已知全集，集合，，，0，1，，则　　
A．，1， B．
C． D．的真子集个数是7
【答案】
【解析】集合，，，，0，1，，
所以，1，，故选项正确；，，故选项错误；
，，所以，故选项正确；
由，1，，则的真子集个数为，故选项正确．
(3)(多选题)已知全集，集合或，集合，下列集合运算正确的是　　
A．或或 B．或
C．或 D．或或
【答案】
【解析】全集，集合或，集合，
或或，故错误；或，故正确；
或，故正确；或或，故错误．
题型四 集合中的参数问题
例5、(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．－12
C．a≥－1 D．a>－1
【答案】D
【解析】因为A∩B≠ ，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.
(2)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______．
【答案】(－∞，－1]∪{1}
【解析】因为A＝{0，－4}，所以B A分以下三种情况：
①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，
由根与系数的关系，得解得a＝1；
②当B≠ 且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；
③当B＝ 时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.
综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．
例6、(1)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1A．[－1,2) B．[－1,3]
C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)
【答案】D
【解析】由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B A.
①当B＝ 时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2；②当B≠ 时，有解得－1≤m<2.
综上，m的取值范围为[－1，＋∞)．
(2)设集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合,
①当时，或，∵，结合数轴作图知，
即得；
②当时，显然；
③当时，或，结合数轴作图知，
此时恒成立，由①②③知.故选：B.
例7、已知集合，集合，.
（1）求集合B；
（2）记，且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围.
解：（1）因为,所以,
当,即时,； 当,即时,；
当,即时,.
（2）由得,
当,即时,M中仅有的整数为,所以,即；
当,即时,M中仅有的整数为,所以,即；
综上,满足题意的k的范围为
题型五 集合的新定义问题
例8、(1)若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集 属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.
则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{ ，{a}，{c}，{a，b，c}}；
②τ＝{ ，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ＝{ ，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ＝{ ，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是________．
【答案】②④
【解析】①τ＝{ ，{a}，{c}，{a，b，c}}，因为{a}∪{c}＝{a，c} τ，
故①不是集合X上的一个拓扑；
②满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义；
③因为{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c} τ，故③不是集合X上的一个拓扑；
④满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义，故答案为②④.
(2)定义集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A且a－b∈A，则称集合A为闭集合。给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合B＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合。其中正确结论的序号是________。
【答案】②
【解析】①中，－4＋(－2)＝－6不属于A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈B，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈B，n1－n2∈B，所以②正确；对于③，令A1＝{n|n＝5k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确。
(3)已知集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足：
ⅰ.每个集合都恰有5个元素；
ⅱ.A1∪A2∪A3＝M.
集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi(i＝1，2，3)，则 X1＋X2＋X3的值不可能为(　　)
A．37 B．39 C．48 D．57
【答案】A
【解析】②已知集合M＝{1，2，3，…，15}，且集合A1，A2，A3中，每个集合有5个元素，且A1∪A2∪A3有15个元素，可知集合A1，A2，A3中没有重复元素，已知1是集合M中数值最小的元素，15是集合M中数值最大的元素，可知在Ai的特征数组成中，必有1和15.不妨令1∈A1，15∈A1，可知若X1＋X2＋X3最大，则在集合A1中首先放置数值较小的元素，所以当A1＝{1，2，3，4，15}，A2＝{5，6，7，8，14}，A3＝{9，10，11，12，13}时，X1＋X2＋X3有最大值为57，即X1＋X2＋X3≤57；
若X1＋X2＋X3最小，则在集合A1中首先放置数值较大的元素，所以当A1＝{1，12，13，14，15}，A2＝{2，8，9，10，11}，A3＝{3，4，5，6，7}时，X1＋X2＋X3有最小值为1＋15＋2＋11＋3＋7＝39，所以39≤X1＋X2＋X3≤57，故选A.
同步训练
1．已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　)
A．M N B．N M
C．M RN D．N RM
【答案】B
【解析】(1)依题意知，M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM。故选。
2．定义集合运算：A B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则集合A B的真子集个数为(　　)
A．8 B．7 C．16 D．15
【答案】B
【解析】由A＝{，}，B＝{1，}，得A B有(＋1)×(－1)＝1，(＋)×(－)＝0，(＋1)×(－1)＝2，(＋)×(－)＝1四种运算情况，则由集合中元素的互异性可知，集合A B中有3个元素1,0,2，故集合A B的真子集为 ，{1}，{0}，{2}，{1,0}，{1,2}，{0,2}，共7个．
3．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5}，N＝{1，3，6}，则集合{2，7}＝(　　)
A．M∩N B．( U M)∩( U N) C．( U M)∪( U N) D．M∪N
【答案】B
【解析】根据集合U，M，N的关系画出Venn图，如图所示，∴{2，7}＝( UM)∩( UN)．故选B.
4．若数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1A．{1,3,4}为“权集”
B．{1,2,3,6}为“权集”
C．“权集”中元素可以有0
D．“权集”中一定有元素1
【答案】B
【解析】对于A，由于3×4与均不属于数集{1,3,4}，故A不正确；对于B，选1,2时，有1×2属于{1,2,3,6}，同理取1,3，取1,6，取2,3时也满足，取2,6时，有属于{1,2,3,6}，取3,6时，有属于{1,2,3,6}，故B正确；由“权集”定义知1≤a15．(多选题)已知集合，，，若，则实数的值可能是　　
A． B．1 C． D．2
【答案】
【解析】因为集合，，，，
若，，，符合题意，对；若，，，符合题意，对；
若，，，符合题意，对；若，，，不符合题意，错．
6．(多选题)已知集合，，，，，，，，若，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为，，，设，，，，，．
由，，
7．(多选题)已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】当、、的值同时为正数时，代数式的值为4；
当、、中只有一个负数或两个负数时，代数式的值为0；
当、、的值同时为负数时，代数式的值为．
结合选项可得，正确．
8．(多选题)设全集，集合，，则　　
A．， B．
C．， D．，
【答案】
【解析】，，，，，
对于，故错误；对于，故正确；
对于，，故错误；对于，，故正确；
9．(多选题)已知全集为，集合和集合的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由韦恩图得图中阴影部分可表示为：或，
故和正确，和错误．
10．(多选题)设是全集，非空集合，满足，若含，的一个集合运算表达式如图，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意根据对应的韦恩图，则有，，，
11．(多选题)设集合，或，则下列结论中正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】
【解析】集合，或，
对于，时，，故成立，对于，时，则成立，
对于，若，则，解得，
对于，若，则，解得不存在，故，，故错，
12．已知集合，.若，则实数a的值是______.
【答案】9
【解析】集合，，，，则a的值是9.故答案为：9
13．设全集，集合，，__________.
【答案】
【解析】由题得，所以,
所以.故答案为：
14．已知集合，，则____
【答案】
【解析】根据题意，对于集合，，，则，
对于集合，由或，则或，则．
15．对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x N}，M N＝(M－N)∪
(N－M)，设A＝，B＝{x}，则A B＝________．
【答案】∪[0，＋∞)
【解析】依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝，故A B＝∪[0，＋∞)．
16．设全集R，集合，．
（1）求B及；
（2）若集合，满足，求实数的取值范围．
解：（1）∵
∴ ∴
（2）由得，。根据数轴可得，从而
17．已知全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，满足，，求实数的取值范围.
解：（1）由题，或，或；
（2）由得，则，解得，
由得，则，解得，∴实数的取值范围为．
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高中数学重难点突破
专题一 集合的概念与运算
知识归纳
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A B(或B A)
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA)
集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B
3.集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA＝{x|x∈U且x A}
知识拓展
1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.
2．A B A∩B＝A A∪B＝B.
3．(1)并集的性质：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A。
(2)交集的性质：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B。
(3)补集的性质：A∪(A)＝U；A∩(A)＝ ；(A)＝A。(A∩B)＝(A)∪(B)；
(A∪B)＝(A)∩(B)。
典例分析
题型一、　集合的概念及表示
例1、(1)已知集合，，则中所含元素的个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
(2)下列各式中，正确的个数是:①；②；③；④；⑤；⑥.
A．1 B．2 C．3 D．4
(3)(多选题)已知集合，，，若，则满足条件的实数可能为　　
A．2 B． C． D．1
题型二　集合的基本关系
例2、(1)已知集合M＝，N＝，P＝，试分析集合M，N，P之间的关系．
(2)已知集合A＝，B＝{≤2，x∈Z}，则满足条件A C B的集合C的个数为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
(3)(多选题)已知全集和集合，，，若，则下列关系一定成立的有　　
A． B．
C． D．
例3、(1)已知集合，，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
(2)已知集合，集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三 集合间的基本运算
例4、(1)(多选题)（2021 济南三模）图中阴影部分用集合符号可以表示为　　
A． B． C． D．
(2)(多选题)已知全集，集合，，，0，1，，则　　
A．，1， B．
C． D．的真子集个数是7
(3)(多选题)已知全集，集合或，集合，下列集合运算正确的是　　
A．或或 B．或
C．或 D．或或
题型四 集合中的参数问题
例5、(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．－12
C．a≥－1 D．a>－1
(2)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______．
例6、(1)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1A．[－1,2) B．[－1,3]
C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)
(2)设集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例7、已知集合，集合，.
（1）求集合B；
（2）记，且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围.
题型五 集合的新定义问题
例8、(1)若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集 属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.
则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{ ，{a}，{c}，{a，b，c}}；
②τ＝{ ，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ＝{ ，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ＝{ ，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是________．
(2)定义集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A且a－b∈A，则称集合A为闭集合。给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合B＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合。其中正确结论的序号是________。
(3)已知集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足：
ⅰ.每个集合都恰有5个元素；
ⅱ.A1∪A2∪A3＝M.
集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi(i＝1，2，3)，则 X1＋X2＋X3的值不可能为(　　)
A．37 B．39 C．48 D．57
同步训练
1．已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　)
A．M N B．N M
C．M RN D．N RM
2．定义集合运算：A B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则集合A B的真子集个数为(　　)
A．8 B．7 C．16 D．15
3．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5}，N＝{1，3，6}，则集合{2，7}＝(　　)
A．M∩N B．( U M)∩( U N) C．( U M)∪( U N) D．M∪N
4．若数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1A．{1,3,4}为“权集”
B．{1,2,3,6}为“权集”
C．“权集”中元素可以有0
D．“权集”中一定有元素1
5．(多选题)已知集合，，，若，则实数的值可能是　　
A． B．1 C． D．2
6．(多选题)已知集合，，，，，，，，若，，，则　　
A． B． C． D．
7．(多选题)已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是　　
A． B． C． D．
8．(多选题)设全集，集合，，则　　
A．， B．
C．， D．，
9．(多选题)已知全集为，集合和集合的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为　　
A． B． C． D．
10．(多选题)（2020秋 海门市校级月考）设是全集，非空集合，满足，若含，的一个集合运算表达式如图，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是　　
A． B． C． D．
11．(多选题)设集合，或，则下列结论中正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．已知集合，.若，则实数a的值是______.
13．设全集，集合，，__________.
14．已知集合，，则____
15．对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x N}，M N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝，B＝{x}，则A B＝________．
16．设全集R，集合，．
（1）求B及；
（2）若集合，满足，求实数的取值范围．
17．已知全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，满足，，求实数的取值范围.
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