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高中数学重难点突破
专题八 复合函数与抽象函数
知识归纳
一、复合函数的概念
如果y是u的函数，而u又是x的函数，即：y=f(u),u=g(x)，那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量.
二、抽象函数的概念
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
抽象函数的考查常常表现在求函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等方面.
抽象函数都是依据一类具体函数的性质抽象出来的,如就是从正比例函数抽象出来的; 根据对数函数的性质抽象出来的; 根据指数函数的性质抽象出来的.因此在解决此类问题可以先类比具体函数的性质研究我们要解答的抽象函数的性质,解答抽象函数问题要注意赋值法的应用,通过赋值可以找到函数的不变性质,这个不变性质往往是解决问题的突破口.
典例分析
例1、下列函数由哪些基本初等函数复合而成？
;;;
二、复合函数的定义域
1、已知函数y=f(x)的定义域，求它的复合函数f[g(x)]的定义域.
例2、设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________.
例3、函数的定义域为_____________，则函数的定义域为_____________.
变式训练：已知f(x)的定义域是[-1,4],则g(x)=f(x+1)+f(1-x)的定义域是 .
结论: 已知函数f(x)的定义域为[a,b]，求其复合函数f[g(x)]的定义域应有不等式a≤g(x)≤b解出x即得 .
2、已知复合函数y=f[g(x)]的定义域，求原函数y=f(x)的定义域.
例4、已知的定义域为，则函数的定义域为_________________.
例5、已知，则函数的定义域为__________________.
结论: 已知复合函数y=f[g(x)]的定义域为[a,b]，求原函数y=f(x)的定义域，应求出y=g(x)的值域(x∈[a,b])，
即得y=f(x)的定义域.
3、已知的定义域，求的定义域.
例6、若函数的定义域为，则的定义域为________________________。
例7、已知函数的定义域为，则的定义域为__________________。
结论: 已知复合函数y=f[g(x)]的定义域为[a,b]，求原函数y=f(x)的定义域，应求出y=g(x)的值域(x∈[a,b])，
即得y=f(x)的定义域，y=f(x)的定义域就是h(x)值域，再由h(x)值域求出x的取值范围，即f[h(x)]的定义域.
三、复合函数的值域
例8、求下列函数的定义域、值域 .
；；；；.
四、复合函数的单调性
总结：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。即“同增异减”
例9、求下列函数的单调性.
(1); (2);
(3); (4).
六、利用复合函数求参数取值范围
例10、(1)若函数在(- ∞,1)上单调递减，则a的取值范围是 ；
(2)若函数的减区间为(- ∞,1)，则a的取值范围是 .
例11、(1)若函数的定义域为R，求a的取值范围；
(2)若若函数的值域为R，求a的取值范围.
七、复合函数的零点问题
例12、（多选题）已知函数和在的图像如下，给出下列四个命题中正确命题的是（ ）
A. 方程有且只有6个根
B. 方程有且只有3个根
C. 方程有且只有5个根
D. 方程有且只有4个根
例13、已知函数，则下列关于函数的零点个数判断正确的是（ ）
A. 当时，有4个零点；当时，有1个零点
B. 当时，有3个零点；当时，有2个零点
C. 无论为何值，均有2个零点
D. 无论为何值，均有4个零点
例14、设定义域为的函数 ，若关于的方程由3个不同的解，则______
例15、已知函数，关于的方程（）恰有6个不同实数解，则的取值范围是 ．
八、抽象函数的综合问题
例16、设函数的定义域为，且有：①， ② 对任意正实数都有，③ 为减函数，
求：的值；
求证：当时，；
求证：当时，都有；
解不等式：.
例17、已知函数在上有定义，,当且仅当时,且对任意都有,试证明：
(1) 为奇函数；(2) 在上单调递减.
例18、已知函数的定义域是，当时，，且
（1）求的值
（2）证明：在定义域上是增函数
课后作业
1．(多选题)已知定义在R上的函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则下列正确的是( )
A．f(0)＝0　 B．f(1)＝2f C．f(1)＝f(2) D．f(x)f(－x)<0
2．函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调递增区间是(　　)
A.(3，＋∞) B.(－∞，－1) C.(1，＋∞) D.(－∞，1)
3．若函数f(x)＝为奇函数，g(x)＝则不等式g(x)>1的解集是(　　)
A.(－∞，0)∪ B.∪(0，1) C. D.
4．已知f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2，则f(x)在区间上的最大值为(　　)
A.4 B.2 C.6 D.8
5．关于的方程的不相同实根的个数是(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域是 。
7．已知函数的定义域为，则函数的定义域是 。
8．已知函数的定义域为，则函数的定义域是 。
9．如果且，则
10．若函数在[0,1]上是减函数，求a的取值范围是 。
11．已知在(0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，求的单调区间。
12．函数对任意的a，b∈R，都有，并且当时，，若，解不等式.
13．定义在上的单调函数满足且对任意都有 .
(1)求证为奇函数；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
减函数
减函数
减函数
减函数
增函数
增函数
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专题八 复合函数与抽象函数
知识归纳
一、复合函数的概念
如果y是u的函数，而u又是x的函数，即：y=f(u),u=g(x)，那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量.
二、抽象函数的概念
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
抽象函数的考查常常表现在求函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等方面.
抽象函数都是依据一类具体函数的性质抽象出来的,如就是从正比例函数抽象出来的; 根据对数函数的性质抽象出来的; 根据指数函数的性质抽象出来的.因此在解决此类问题可以先类比具体函数的性质研究我们要解答的抽象函数的性质,解答抽象函数问题要注意赋值法的应用,通过赋值可以找到函数的不变性质,这个不变性质往往是解决问题的突破口.
典例分析
例1、下列函数由哪些基本初等函数复合而成？
;;;
例1、答案
二、复合函数的定义域
1、已知函数y=f(x)的定义域，求它的复合函数f[g(x)]的定义域.
例2、设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________.
例2、答案 (1，e)
例3、函数的定义域为_____________，则函数的定义域为_____________.
例3、答案 [-1,1] [-2,0]
变式1、已知f(x)的定义域是[-1,4],则g(x)=f(x+1)+f(1-x)的定义域是 .
变式1、答案 [-2,2]
结论: 已知函数f(x)的定义域为[a,b]，求其复合函数f[g(x)]的定义域应有不等式a≤g(x)≤b解出x即得 .
2、已知复合函数y=f[g(x)]的定义域，求原函数y=f(x)的定义域.
例4、已知的定义域为，则函数的定义域为_________________.
例4、答案 [-1,5]
例5、已知，则函数的定义域为__________________.
例5、答案 (4,+∞)
结论: 已知复合函数y=f[g(x)]的定义域为[a,b]，求原函数y=f(x)的定义域，应求出y=g(x)的值域(x∈[a,b])，
即得y=f(x)的定义域.
3、已知的定义域，求的定义域.
例6、若函数的定义域为，则的定义域为________________________。
例6、答案
例7、已知函数的定义域为，则的定义域为__________________。
例7、答案
结论: 已知复合函数y=f[g(x)]的定义域为[a,b]，求原函数y=f(x)的定义域，应求出y=g(x)的值域(x∈[a,b])，
即得y=f(x)的定义域，y=f(x)的定义域就是h(x)值域，再由h(x)值域求出x的取值范围，即f[h(x)]的定义域.
三、复合函数的值域
例8、求下列函数的定义域、值域 .
；；；；.
例8、答案
(1)定义域：，值域：；
(2)定义域：，值域：；
(3)定义域：，值域：；
(4)定义域：，值域：；
(5)定义域：，值域：.
四、复合函数的单调性
当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。即“同增异减”
例9、求下列函数的单调性.
(1); (2);
(3); (4).
例9、答案
(1)增区间：，减区间：；
(2)增区间：，减区间：；
(3)增区间：，减区间：；
(4)增区间：，减区间：.
六、利用复合函数求参数取值范围
例10、(1)若函数在(- ∞,1)上单调递减，则a的取值范围是 ；
(2)若函数的减区间为(- ∞,1)，则a的取值范围是 .
例10、答案
(1)； (2).
例11、(1)若函数的定义域为R，求a的取值范围；
(2)若若函数的值域为R，求a的取值范围.
例11、答案
(1)； (2).
七、复合函数的零点问题
例12、（多选题）已知函数和在的图像如下，给出下列四个命题中正确命题的是（ ）
A. 方程有且只有6个根
B. 方程有且只有3个根
C. 方程有且只有5个根
D. 方程有且只有4个根
例12、答案 ACD
思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出的总数。
（1）中可得，进而有2个对应的 ，有3个，有2个，总计6个，A正确；
（2）中可得，进而有1个对应的，有3个，总计4个，B错误；
（3）中可得，进而有1个对应的 ，有3个，有1个，总计5个，C正确；
（4）中可得：，进而有2个对应的 ，有2个，共计4个，D正确
则综上所述，正确的命题有ACD。
例13、已知函数，则下列关于函数的零点个数判断正确的是（ ）
A. 当时，有4个零点；当时，有1个零点
B. 当时，有3个零点；当时，有2个零点
C. 无论为何值，均有2个零点
D. 无论为何值，均有4个零点
例13、答案 A
思路：所求函数的零点，即方程的解的个数，先作出的图像，直线为过定点的一条直线，但需要对的符号进行分类讨论。当时，图像如图所示，先拆外层可得，而有两个对应的，也有两个对应的，共计4个；当时，的图像如图所示，先拆外层可得，且只有一个满足的，所以共一个零点。结合选项，可判断出A正确
例14、设定义域为的函数 ，若关于的方程由3个不同的解，则______
例14、答案 5
思路：先作出的图像如图：观察可发现对于任意的，满足的的个数分别为2个（）和3个（），已知有3个解，从而可得必为 的根，而另一根为或者是负数。所以，可解得：，所以
例15、已知函数，关于的方程（）恰有6个不同实数解，则的取值范围是 ．
例15、答案
思路：所解方程可视为，故考虑作出的图像：， 则的图像如图，
由图像可知，若有6个不同实数解，则必有，
所以，解得
八、抽象函数的综合问题
例16、设函数的定义域为，且有：①， ② 对任意正实数都有，③ 为减函数，
求：的值；
求证：当时，；
求证：当时，都有；
解不等式：.
例16、解：（1），
，
.
（2）因为f(1)=0且f(x)为减函数，所以当时，
（3），
所以当时，都有
（4），所以
，因为在定义域上为减函数，所以
例17、已知函数在上有定义，,当且仅当时,且对任意都有,试证明：
(1) 为奇函数；(2) 在上单调递减.
例17、证明：(1)由,令,得,令,得.∴为奇函数.
(2)先证在上单调递减.
令,则
∵ ∴ 即
∴在(0，1)上为减函数，又为奇函数且.
∴在(－1，1)上为减函数.
例18、已知函数的定义域是，当时，，且
（1）求的值
（2）证明：在定义域上是增函数
例18、解：（1）；（2）设，则
∵，∴，∴，即，∴
∴在上是增函数．
课后作业
1．(多选题)已知定义在R上的函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则下列正确的是( )
A．f(0)＝0　 B．f(1)＝2f C．f(1)＝f(2) D．f(x)f(－x)<0
1、【答案】ABC
【解析】f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0. f(1)＝f＝f＋f＝2f.
f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝f(2)．
f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故选ABC.
2、函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调递增区间是(　　)
A.(3，＋∞) B.(－∞，－1) C.(1，＋∞) D.(－∞，1)
2、解析　由x2－2x－3>0，得x>3或x<－1.
设t＝x2－2x－3，则y＝logt为减函数，∵函数t＝x2－2x－3的单调递减区间为(－∞，－1).
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).
答案　D
3、若函数f(x)＝为奇函数，g(x)＝则不等式g(x)>1的解集是(　　)
A.(－∞，0)∪ B.∪(0，1) C. D.
3、解析　因为函数f(x)＝为奇函数，∴f(0)＝0，
∴a＝－1，则g(x)＝
当x>0时，由－ln x>1，得01，即ex<1，得x<0.
故不等式g(x)>1的解集是(－∞，0)∪.
答案　A
4、已知f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2，则f(x)在区间上的最大值为(　　)
A.4 B.2 C.6 D.8
4、解析　由f(1)＝loga2＋loga2＝2，得a＝2，
∴f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[4－(x－1)2].
当x∈[0，1]时，f(x)是增函数；当x∈时，f(x)是减函数，
∴当x＝1时，f(x)在上有最大值f(1)＝2.
答案　B
5、关于的方程的不相同实根的个数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
5、答案 C
思路：可将视为一个整体，即，则方程变为可解得：或，则只需作出的图像，然后统计与与的交点总数即可，共有5个
6、 已知函数的定义域为，则函数的定义域是 。
6、解析　由的定义域为可得，解得
答案　
7、 已知函数的定义域为，则函数的定义域是 。
7、解析　由的定义域为可得
答案　
8、 已知函数的定义域为，则函数的定义域是 。
8、解析　由的定义域为可得，所以
解得
答案　
9．如果且，则 .
9、【答案】2006
【解析】所求的是函数值分式的和，从已知式变形知函数值商等于自变量值差的函数.
10、若函数在[0,1]上是减函数，求a的取值范围是
10、
11、已知在(0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，求的单调区间。
11、，
12．函数对任意的a，b∈R，都有，并且当时，，若，解不等式.
12、解：设且 ∵
∴即
因为 ∴∴
∴在上单调递增
∵ ∴ ∴
∴ 解得：.
所以原不等式的解为.
13．定义在上的单调函数满足且对任意都有 .
(1)求证为奇函数；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
13、解：（1）证明：令，得
令，得， ∴为奇函数
（2）由（1）知
又∵且是定义在上的单调函数
∴在上单调递增
由得即
∴对任意恒成立，得
因为当且仅当即时等号成立，所以.
所以实数的取值范围为
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