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高中数学重难点突破
专题十三 三角函数恒等变换
知识归纳
一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．两角和的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ (2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ (3)tan(α＋β)＝
2．两角差的正弦、余弦、正切公式
(1)sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β) (2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β) (3)＝tan(α－β)
二、二倍角公式及其变形公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝2sinαcosα (2)cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2α (3)tan2α＝
2．降幂公式
(1)sin2α＝； (2)cos2α＝； (3)sin αcos α＝sin 2α.
3．升幂公式
(1)1＋cos α＝2cos2； (2)1－cos α＝2sin2；
(3)1＋sin α＝； (4)1－sin α＝.
三、辅助角公式
asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝
或asinx＋bcosx＝cos(x－θ)，其中cosθ＝，sinθ＝。
典例分析
题型一　给角求值
例1-1、求值：＝(　　)
A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
例1-2、 ＝________．
例1-3、化简：·＝ ．
例1-4、(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)……(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)＝ ．
例1-5、求值：(3＋tan30°tan40°＋tan40°tan50°＋tan50°tan60°)·tan10°．
题型二　给值求值
例2-1、已知cos＝，则sin＝ ，sin 2α＝ ．
例2-2、若sin＝，则cos 等于(　　)
A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
例2-3、已知cos＝，<α<，则的值为 ．
例2-4、化简sin2＋sin2－sin2α的结果是________．
例2-5、若tan α＋＝，α∈，则sin＋cos2α的值为 ．
题型三　给值求角
例3-1、已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，则β＝________．
例3-2、已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，则β＝ ．
例3-3、在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6，3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为(　　)
A．　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．或π　　　　　　　　D．或π
例3-4、已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．
例3-5、已知A，B均为钝角，sin2＋cos(A＋)＝，且sinB＝，则A＋B＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
题型四　三角恒等变换
例4-1、化简：＝ ．
例4-2、已知0＜θ＜π，化简：＝__________．
例4-3、化简：··＝________．
例4-4、(多选题)以下式子均有意义，则下列等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五　三角恒等变换的应用
例5-1、当函数取得最大值时，的值是______
例5-2、若则的取值范围是 .
例5-3、如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地， 外的地方种草， 的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若， ，设的面积为，正方形的面积为，当固定， 变化时，则的最小值是__________．
例5-4、已知，为锐角，且，则的最大值是___________.
例5-5、已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－．
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
例5-6、已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
同步练习
1．cos15°－4sin215°cos15°＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．
2．tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)等于(　　)
A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．－1　　　　　　　　D．－2
3．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
4．若α为锐角，3sinα＝tanα＝tanβ，则tan2β＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－
5．设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c　　　　　　B．b>a>c　　　　　　C．c>a>b　　　　　　D．a>c>b
6．已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．1
7．已知tan θ＋＝4，则cos2＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
8．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos Bcos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
9．已知函数f(x)＝sin＋cos2x，则f(x)的一个单调递减区间是(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
10．(多选题)已知f(x)＝4cos xcos，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)在上单调递减
C．函数f(x)的图象可以由函数y＝cos＋1图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到
D．是函数f(x)图象的一个对称中心
11．化简：·＝ ．
12．＝ ．
13．已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为 ．
14．计算：－sin 10°·＝________．
15．已知函数，，则的最大值是______.
16．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________．
17．若cos(α－β)＝，cos2α＝，且α，β均为锐角，α<β，则α＋β＝ ．
18．若sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，则角α＋β的值为________．
19．化简：·＝__________．
20．化简：＝__________．
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高中数学重难点突破
专题十三 三角函数恒等变换
知识归纳
一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．两角和的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ (2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ (3)tan(α＋β)＝
2．两角差的正弦、余弦、正切公式
(1)sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β) (2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β) (3)＝tan(α－β)
二、二倍角公式及其变形公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝2sinαcosα (2)cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2α (3)tan2α＝
2．降幂公式
(1)sin2α＝； (2)cos2α＝； (3)sin αcos α＝sin 2α.
3．升幂公式
(1)1＋cos α＝2cos2； (2)1－cos α＝2sin2；
(3)1＋sin α＝； (4)1－sin α＝.
三、辅助角公式
asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝
或asinx＋bcosx＝cos(x－θ)，其中cosθ＝，sinθ＝。
典例分析
题型一　给角求值
例1-1、求值：＝(　　)
A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　C 　解析　原式＝＝＝
＝＝＝＝．
例1-2、 ＝________．
答案　－4　解析　原式＝＝＝＝－4．
例1-3、化简：·＝ ．
答案　－4　解析　原式＝·＝·＝－
4·tan(45°＋15°)＝－4．
例1-4、(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)……(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)＝ ．
答案 　
例1-5、求值：(3＋tan30°tan40°＋tan40°tan50°＋tan50°tan60°)·tan10°．
解：原式＝(1＋tan30°tan40°＋1＋tan40°tan50°＋1＋tan50°tan60°)·tan10°，因为tan10°＝tan(40°－30°)
＝，所以1＋tan40°tan30°＝．同理，1＋tan40°tan50°＝，
1＋tan50°tan60°＝．所以原式＝(＋＋)
·tan10°＝tan40°－tan30°＋tan50°－tan40°＋tan60°－tan50°＝－tan30°＋tan60°＝．
题型二　给值求值
例2-1、已知cos＝，则sin＝ ，sin 2α＝ ．
答案　　－　解析　∵α＋＝α－＋，∴sin＝sin＝cos＝，2α＝2＋
．∴sin 2α＝sin＝cos 2＝2cos2－1＝2×2－1＝－．
例2-2、若sin＝，则cos 等于(　　)
A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　A　解析　cos＝cos＝－cos＝－＝－
＝－．
例2-3、已知cos＝，<α<，则的值为 ．
答案　－　解析　＝＝＝sin 2α·
＝sin 2α·tan．由<α<，得<α＋<2π，又cos＝，所以sin＝－，tan＝－．cos α＝cos＝－，sin α＝－，sin 2α＝．所以＝×＝－．
例2-4、化简sin2＋sin2－sin2α的结果是________．
答案　tan α　解析　原式＝＋－sin2α＝1－－
sin2α＝1－cos 2α·cos －sin2α＝1－－＝．
例2-5、若tan α＋＝，α∈，则sin＋cos2α的值为 ．
答案　0 解析　∵tan α＋＝，α∈，∴tan α＝3或tan α＝(舍)，
则sin＋cos2α＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＋·＝sin 2α＋cos 2α＋
＝(2sin αcos α)＋(cos2α－sin2α)＋＝·＋·＋
＝·＋·＋＝×＋×＋＝0.
题型三　给值求角
例3-1、已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，则β＝________．
答案　　解析　解　因为0<α<，cos α＝，所以sin α＝．又因为0<β<，所以0<α＋β<π．因为sin(α＋β)＝例3-2、已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，则β＝ ．
答案　　解析　由α－β∈，且cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝．由α＋β∈，且
cos(α＋β)＝，得sin(α＋β)＝－．∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1．又∵α＋β∈，α－β∈，∴2β∈．∴2β＝π，则β＝．
例3-3、在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6，3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为(　　)
A．　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．或π　　　　　　　　D．或π
答案　A　解析　由题意知①2＋②2得9＋16＋24sin(A＋B)＝37．则sin(A
＋B)＝．∴在△ABC中，sin C＝，∴C＝或C＝．若C＝，则A＋B＝，∴1－3cos A＝4sin B>0．∴cos A<．又<，∴A>．此时A＋C>π，不符合题意，∴C≠，∴C＝．
例3-4、已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．
答案　－π　解析　∵tanβ＝－，tan(α－β)＝，∴tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝
＝，tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝＝1．∵tan α＝>0，tan β＝－<0，∴α∈，β∈，∴α－β∈(－π，0)．又∵tan(α－β)＝>0，∴α－β∈，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－π．
例3-5、已知A，B均为钝角，sin2＋cos(A＋)＝，且sinB＝，则A＋B＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　C　解析　因为sin2＋cos(A＋)＝，所以＋cosA－sinA＝，即－
sinA＝，解得sinA＝．因为A为钝角，所以cosA＝－＝－＝－．由sinB＝，且B为钝角，可得cosB＝－＝－＝－．所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝(－)×(－)－×＝．又A，B都为钝角，即A，B∈(，π)，所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝．选C．
题型四　三角恒等变换
例4-1、化简：＝ ．
答案　cos 2x　解析　原式＝＝＝＝cos 2x．
例4-2、已知0＜θ＜π，化简：＝__________．
答案　－cos θ　解析　由θ∈(0，π)得0<<，所以cos>0，所以＝＝2cos．又(1＋sin θ＋cos θ)＝·＝2cos＝－2coscos θ．故原式＝＝－cos θ．
例4-3、化简：··＝________．
31．答案　tan 　解析　原式＝··＝·＝·
＝＝tan ．
例4-4、(多选题)以下式子均有意义，则下列等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】对于A，因为，，
所以，故选项A错误；
对于，因为，
所以，故选项B正确；
对于C，，
所以，故选项C正确；
对于D，
，
所以，故选项D正确.
故选：BCD.
题型五　三角恒等变换的应用
例5-1、当函数取得最大值时，的值是______
【解析】，，
这时，即，所以
例5-2、若则的取值范围是 .
【答案】.
【解析】第一步，运用换元法将未知向已知转化：
令，则
第二步，利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换：
即，所以
所以，即
第三步，得出结论：
所以
例5-3、如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地， 外的地方种草， 的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若， ，设的面积为，正方形的面积为，当固定， 变化时，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】，令
，则，
， 函数在上递减，因此当时， 有最小值， ，此时， 当时，“规划合理度”最小，最小值为，故答案为.
例5-4、已知，为锐角，且，则的最大值是___________.
【答案】
【详解】因为，
所以，
所以，
两边同除以，得
，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，
故答案为：
例5-5、已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－．
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解　(1)f(x)的定义域为．
f(x)＝4tan xcos xcos－＝4sin xcos－＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－＝sin 2x＋(1－cos 2x)－＝sin 2x－cos 2x＝2sin．[5分]
所以f(x)的最小正周期T＝＝π．[6分]
(2)因为x∈，所以2x－∈，[8分]
由y＝sin x的图象可知，当2x－∈，即x∈时，f(x)单调递减；
当2x－∈，即x∈时，f(x)单调递增．[10分]
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．[12分]
例5-6、已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
9．解　(1)由已知，有f(x)＝－＝－cos 2x
＝sin 2x－cos2x＝sin．所以f(x)的最小正周期T＝＝π．
(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，
且f＝－，f＝－，f＝，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－．
同步练习
1．cos15°－4sin215°cos15°＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．
1、答案　D　解析　cos15°－4sin215°cos15°＝cos15°－2sin15°·2sin15°cos15°＝cos15°－2sin15°·sin30°＝cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos45°＝．故选D．
2．tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)等于(　　)
A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．－1　　　　　　　　D．－2
2、答案　C　解析　tan70°·cos10°(tan20°－1)＝cos10°＝
·＝＝＝－1
3．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
3、答案　B　解析　由2sin2α＝cos2α＋1，得4sin αcos α＝2cos2α，即2sin αcos α＝cos2α．因为α∈，
所以tanα＝，所以 sin α＝，故选B．
4．若α为锐角，3sinα＝tanα＝tanβ，则tan2β＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－
4、答案　D　解析　因为3sinα＝tanα＝，α为锐角，所以cosα＝，sinα＝，所以tanα＝＝
2＝tanβ，所以tanβ＝2，tan2β＝＝－．故选D．
5．设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c　　　　　　B．b>a>c　　　　　　C．c>a>b　　　　　　D．a>c>b
5、答案　D　解析　　由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°．因为函数y＝sin x，x∈为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a>c>b．
6．已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．1
6、答案　B　解析　因为sin α－sin β＝1－，所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝－．①，又因为cos α
－cos β＝，所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝．②，所以①＋②得2cos(α－β)＝，所以cos(α－β)＝，故选B．
7．已知tan θ＋＝4，则cos2＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
7、答案　C　解析　由tan θ＋＝4，得＋＝4，即＝4，∴sin θcos θ＝，∴cos2＝＝＝＝＝．
8．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos Bcos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
8、答案　A　解析　由题意知，sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝－cosBcosC，在等式－cosBcosC＝sinBcosC＋cosBsinC两边同除以cos Bcos C，得tanB＋tanC＝－，又tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，即tan A＝1，因为09．已知函数f(x)＝sin＋cos2x，则f(x)的一个单调递减区间是(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
9、答案　A　解析　f(x)＝sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin2x
＋．由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的一个单调递减区间为．
10．(多选题)已知f(x)＝4cos xcos，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)在上单调递减
C．函数f(x)的图象可以由函数y＝cos＋1图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到
D．是函数f(x)图象的一个对称中心
10、答案　ABD　解析　f(x)＝4cos xcos＝2cos2x－sin 2x＝2cos＋1，所以T＝＝π，故A正确；当x∈时，2x＋∈，因t＝2x＋在为增函数，y＝2cos t＋1在上为减函数，故f(x)在上为减函数，故B正确；函数f(x)的图象可以由函数y＝cos＋图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到，而函数y＝cos＋1图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到的是y＝2cos＋2的图象，故C错误；令2x＋＝kπ＋，k∈Z，当k＝1时，x＝，故为f(x)图象的一个对称中心，故D正确；
11．化简：·＝ ．
11、答案　　解析　原式＝tan(90°－2α)·＝··＝··＝．
12．＝ ．
12、答案　2　解析　原式＝＝＝2．
13．已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为 ．
13、答案　－　解析　∵tan α－tan β＝－＝＝3，且α－β＝，∴cos αcos β＝，又cos(α
－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，∴sin αsin β＝－，那么cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－．
14．计算：－sin 10°·＝________．
14、答案　　解析　原式＝－sin10°·＝－＝＝＝＝.
15．已知函数，，则的最大值是______.
15、答案 详解
.
所以，当时，取最大值.
16．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________．
16、答案　5　解析　因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin
β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝＝5．
17．若cos(α－β)＝，cos2α＝，且α，β均为锐角，α<β，则α＋β＝ ．
17、答案　　解析　因为0<α<，0<β<，α<β．所以－<α－β<0．又cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝－＝－．又因为0<2α<π，cos 2α＝，所以sin 2α＝＝，所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝×＋×＝－．又0<α＋β<π，故α＋β＝．
18．若sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，则角α＋β的值为________．
18、答案　　解析　∵<α<，<β<，∴－<－α<0，<＋β<．∴cos＝＝，
cos＝－＝－，∴cos(α＋β)＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝－，又<α＋β<π，∴α＋β＝．
19．化简：·＝__________．
19、答案　　解析　原式＝·＝·
＝·＝．
20．化简：＝__________．
20、答案　tan α　解析　＝
＝＝＝＝＝＝tan α．
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