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高中数学重难点突破
专题十一 函数与方程
知识归纳
1．函数零点的定义
一般地，对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把方程f(x)＝0的实数根x称为函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
注：函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．
2．函数零点存在性定理
设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a) f(b)＜0，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．
注：(1)f(x)在[a，b]上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提．
(2)零点存在性定理中的几个“不一定”与“一定”(假设f(x)连续)．
①若f(a) f(b)＜0，则f(x)“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点，可以有多个．要分析f(x)的性质与图象，如果f(x)单调，则“一定”只有一个零点．因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调．
②若f(a) f(b)＞0，则f(x)在[a，b]“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点．如果f(x)单调，那么“一定”没有零点．
③若f(x)在(a，b)有零点，则f(a) f(b)的符号是不确定的，“不一定”必须异号．受函数性质与图象影响．如果f(x)单调，则f(a) f(b)一定小于0．
3．函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系
设函数为y＝f(x)，则f(x)的零点即为满足方程f(x)＝0的根，若f(x)＝g(x)－h(x)，则方程可转变为g(x)＝h(x)，即方程的根在坐标系中为g(x)，h(x)交点的横坐标，其范围和个数可从图象中得到．
由此看来，函数的零点，方程的根，两图象的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化．
注：函数零点，方程的根，两图象交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：
(1)函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点．
(2)方程的根：当所给函数不易于分析性质和图象时，可将函数转化为方程，方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫．
(3)两图象的交点：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现．通过图象可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围．数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含x的函数可作出图象，那么因为另外一个只含参数的图象为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡．
4．常用结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
典例分析
题型一、函数零点所在区间的判定问题
【例1-1】已知实数a，b满足2a＝3，3b＝2，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　)
A．(－2，－1)　　　　　B．(－1，0)　　　　　C．(0，1)　　　　　D．(1，2)
【例1-2】设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
【例1-3】若x0是方程的解，则x0属于区间(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
题型二、函数(方程)零点(解)的个数判断
【例2-1】f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2 020x＋log2 020x，则函数f(x)的零点个数是__________．
【例2-2】已知函数f(x)是偶函数，f(0)＝0，且x>0时，f(x)是增函数，f(3)＝0，则函数g(x)＝f(x)＋lg|x＋1|的零点个数为________．
【例2-3】函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点个数为(　　)
A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4
【例2-4】已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为(　　)
A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4
【例2-5】已知0【例2-6】已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a．若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，0) 　　　　　B．[0，＋∞)　　　　　C．[－1，＋∞)　　　　　D．[1，＋∞)
题型三、已知简单函数的零点情况求参数的取值范围
【例3-1】函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，3) 　　　　　　　B．(1，2) 　　　　　　　C．(0，3) 　　　　　　　D．(0，2)
【例3-2】若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为 ．
【例3-3】若关于x的方程(lg a＋lg x)·(lg a＋2lg x)＝4的所有解都大于1，则实数a的取值范围为________．
【例3-4】方程(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为 ．
【例3-5】设函数f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于x的函数F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1，2]上有零点，则m的取值范围为________．
题型四　与零点相关的等式问题
【例4-1】已知函数f(x)＝ex－e－x＋4，若方程f(x)＝kx＋4(k>0)有三个不同的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________．
【例4-2】已知函数f(x)＝x，g(x)＝x，记函数h(x)＝则函数F(x)＝h(x)＋x－5的所有零点的和为________．
题型五、与零点相关的不等式问题
【例5-1】设方程10x＝|lg(－x)|的两根分别为x1，x2，则(　　)
A．x1x2<0　　　　　B．x1x2＝1　　　　　C．x1x2>1　　　　　D．0【例5-2】已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　　)
A．a＜b＜c　　　　　B．c＜b＜a　　　　　C．c＜a＜b　　　　　D．b＜a＜c
【例5-3】已知函数f(x)＝|lnx|，若0A．(2，＋∞)　　　　　B．[2，＋∞)　　　　　C．(3，＋∞)　　　　　D．[3，＋∞)
【例5-4】已知函数f(x)＝若f(x)＝m有四个零点a，b，c，d，则abcd的取值范围是________．
【例5-5】已知f(x)＝若方程f(x)＝a有四个不同的解x1A．[0，)　　　　　　B．(0，]　　　　　　C．[0，]　　　　　　D．[0，1)
题型六、确定复合函数零点的个数或方程解的个数
【例6-1】设定义域为R的函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(，x≠1，,1，x＝1，))若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3个不同的解x1，x2，x3，则x12＋x22＋x32＝________．
【例6-2】已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|，若方程[f(x)]2＋bf(x)＋c＝0恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是(　　)
A．(－2，0)　　　　　　B．(－2，－1)　　　　　　C．(0，1)　　　　　　D．(0，2)
【例6-3】已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．
【例6-4】已知函数f(x)＝|x＋|－|x－|，关于的方程f2(x)＋a|f(x)|＋b＝0(a，b∈R)恰有6个不同实数解，则a的取值范围是__________．
课后作业
1、函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1，2)　　　　　　B．(2，3)　　　　　　C．(3，4)　　　　　　D．(1，2)与(2，3)
2、已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)
A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3
3、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)
A．{1，3}　　　　B．{－3，－1，1，3}　　　　C．{2－，1，3}　　　　D．{－2－，1，3}
4、已知函数f(x)＝log3－a在区间(1，2)内有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，－log32)　　　　B．(0，log52)　　　　C．(log32，1)　　　　D．(1，log34)
5、已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1]　　　　　B．[1，＋∞)　　　　　C．(0，1)　　　　　D．(－∞，1]
6、已知a>－1，函数f(x)＝若存在t使得g(x)＝f(x)－t有三个零点，则a的取值范围是(　　)
A．(－1，0)　　　　　B．(0，1)　　　　　C．(1，＋∞)　　　　　D．(0，＋∞)
7、已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m(m∈R)有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，且满足x1A．(0，4]　　　　　　B．(0，3)　　　　　　C．(3，4]　　　　　　D．(1，3)
8、若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则(　　)
A．mn＝1　　　　　B．mn>1　　　　　C．09、已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－logx，h(x)＝log2x－的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大
小关系是(　　)
A．x1＞x2＞x3　　　　　B．x2＞x1＞x3　　　　　C．x1＞x3＞x2　　　　　D．x3＞x2＞x1
10、已知f(x)＝|ln(x＋1)|，若f(a)＝f(b)(aA．a＋b>0　　　　　B．a＋b>1　　　　　C．2a＋b>0　　　　　D．2a＋b>1
11、已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3个不同的根，则实数a的
值为(　　)
A．－2　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3
12、已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2则n＝________．
13、已知函数f(x)＝若f(x)在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是________．
14、若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是__________．
15、已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
16已知函数y＝f(x＋1)－2是奇函数，g(x)＝，且f(x)与g(x)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，
(xn，yn)，则x1＋x2＋…＋x6＋y1＋y2＋…＋y6＝________．
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高中数学重难点突破
专题十一 函数与方程
知识归纳
1．函数零点的定义
一般地，对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把方程f(x)＝0的实数根x称为函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
注：函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．
2．函数零点存在性定理
设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a) f(b)＜0，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．
注：(1)f(x)在[a，b]上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提．
(2)零点存在性定理中的几个“不一定”与“一定”(假设f(x)连续)．
①若f(a) f(b)＜0，则f(x)“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点，可以有多个．要分析f(x)的性质与图象，如果f(x)单调，则“一定”只有一个零点．因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调．
②若f(a) f(b)＞0，则f(x)在[a，b]“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点．如果f(x)单调，那么“一定”没有零点．
③若f(x)在(a，b)有零点，则f(a) f(b)的符号是不确定的，“不一定”必须异号．受函数性质与图象影响．如果f(x)单调，则f(a) f(b)一定小于0．
3．函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系
设函数为y＝f(x)，则f(x)的零点即为满足方程f(x)＝0的根，若f(x)＝g(x)－h(x)，则方程可转变为g(x)＝h(x)，即方程的根在坐标系中为g(x)，h(x)交点的横坐标，其范围和个数可从图象中得到．
由此看来，函数的零点，方程的根，两图象的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化．
注：函数零点，方程的根，两图象交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：
(1)函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点．
(2)方程的根：当所给函数不易于分析性质和图象时，可将函数转化为方程，方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫．
(3)两图象的交点：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现．通过图象可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围．数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含x的函数可作出图象，那么因为另外一个只含参数的图象为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡．
4．常用结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
典例分析
题型一、函数零点所在区间的判定问题
【例1-1】已知实数a，b满足2a＝3，3b＝2，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　)
A．(－2，－1)　　　　　B．(－1，0)　　　　　C．(0，1)　　　　　D．(1，2)
【例1-1】答案　B　解析　∵实数a，b满足2a＝3，3b＝2，∴a＝log23>1，0∵函数f(x)＝ax＋x－b，∴f(x)＝(log23)x＋x－log32单调递增，
∵f(0)＝1－log32>0，f(－1)＝log32－1－log32＝－1<0，
∴根据函数的零点判定定理得出函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间为(－1，0)．故选B．
【例1-2】设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
【例1-2】答案　D　解析　由f(x)＝x－ln x(x>0)得f′(x)＝，令f′(x)>0得x>3，令f′(x)<0得00，f(e)＝－1<0，＝＋1>0，所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．故选D．
【例1-3】若x0是方程的解，则x0属于区间(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
【例1-3】答案　C　解析　　令g(x)＝，f(x)＝，则g(0)＝1>f(0)＝0，，，所以由图象关系可得题型二、函数(方程)零点(解)的个数判断
【例2-1】f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2 020x＋log2 020x，则函数f(x)的零点个数是
__________．
【例2-1】答案　3　解析　结合函数的图象，可知函数y＝2 020x和函数y＝－log2 020x的图象在第一象限有一个交点，所以函数f(x)有一个正的零点，根据奇函数图象的对称性，有一个负的零点，还有零，所以函数有三个零点．
【例2-2】已知函数f(x)是偶函数，f(0)＝0，且x>0时，f(x)是增函数，f(3)＝0，则函数g(x)＝f(x)＋lg|x＋1|的零点个数为________．
【例2-2】答案　3　解析　画出函数y＝f(x)和y＝－lg|x＋1|的大致图象，如图所示．∴由图象知，函数g(x)＝f(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为3．
【例2-3】函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点个数为(　　)
A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4
【例2-3】答案　B　解析　函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点数的个数即函数g(x)＝|ln x|与函数h(x)＝图象的交点个数．作出函数g(x)＝|ln x|和函数h(x)＝的图象，由图象可知，两函数图象有两个交点，故函数f(x)＝3x|ln x|－1有2个零点．
【例2-4】已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为(　　)
A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4
【例2-4】答案　C　解析　g(x)＝f(1－x)－1＝
＝易知当x≥1时，函数g(x)有1个零点；当x<1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，故选C．
【例2-5】已知0【例2-5】答案　(0，1)　解析　函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)－k＝0有两个解，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点．分k>0和k<0作出函数f(x)的图象．当01或k<0时，没有交点，故当0【例2-6】已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a．若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，0) 　　　　　B．[0，＋∞)　　　　　C．[－1，＋∞)　　　　　D．[1，＋∞)
【例2-6】答案　C　解析　函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点．作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C．
题型三、已知简单函数的零点情况求参数的取值范围
【例3-1】函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，3) 　　　　　　　B．(1，2) 　　　　　　　C．(0，3) 　　　　　　　D．(0，2)
【例3-1】答案　C　解析　因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0【例3-2】若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为 ．
【例3-2】答案　(－∞，2－2]　解析　由方程，解得a＝－，设t＝2x(t>0)，则a＝－＝－＝2－，其中t＋1>1，由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2．
【例3-3】若关于x的方程(lg a＋lg x)·(lg a＋2lg x)＝4的所有解都大于1，则实数a的取值范围为________．
【例3-3】答案　　解析　由题意可得2(lg x)2＋3(lg a)·(lg x)＋(lg a)2－4＝0，令lg x＝t>0，则有2t2＋3(lga)·t＋(lga)2－4＝0的解都是正数，设f(t)＝2t2＋3(lga)·t＋(lga)2－4，则解得lg a<－2，所以0【例3-4】方程(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为 ．
【例3-4】答案　1　解析　若方程(a－2x)＝2＋x有解，则＝a－2x有解，即＋2x＝a有解，因为＋2x≥1，故a的最小值为1．
【例3-5】设函数f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于x的函数F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1，2]上有零点，则m的取值范围为________．
【例3-5】答案　　解析　令F(x)＝0，即g(x)－f(x)－m＝0．所以m＝g(x)－f(x)＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)＝log2＝log2．因为1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5．所以≤≤，≤1－≤．所以log2≤log2≤log2，即log2≤m≤log2．所以m的取值范围是．
题型四　与零点相关的等式问题
【例4-1】已知函数f(x)＝ex－e－x＋4，若方程f(x)＝kx＋4(k>0)有三个不同的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________．
【例4-1】答案　0　解析　方程f(x)＝kx＋4(k>0)有三个不同的实根，即方程ex－e－x＝kx有三个不同的实根，易知y＝ex－e－x为奇函数且递增，得y＝f(x)的图象．所以y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，又y＝kx过点(0，0)且关于(0，0)对称．∴方程ex－e－x＝kx的三个根中有一个为0，且另两根之和为0．因此x1＋x2＋x3＝0．
【例4-2】已知函数f(x)＝x，g(x)＝x，记函数h(x)＝则函数F(x)＝h(x)＋x－5的所有零点的和为________．
【例4-2】答案　5　解析　由题意知函数h(x)的图象如图所示，易知函数h(x)的图象关于直线y＝x对称，函数F(x)所有零点的和就是函数y＝h(x)与函数y＝5－x图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线y＝x对称，所以＝5－，所以x1＋x2＝5．
题型五、与零点相关的不等式问题
【例5-1】设方程10x＝|lg(－x)|的两根分别为x1，x2，则(　　)
A．x1x2<0　　　　　B．x1x2＝1　　　　　C．x1x2>1　　　　　D．0【例5-1】答案　D　解析　作出函数y＝10x，y＝|lg(－x)|的图象，由图象可知，两个根一个小于－1，一个在(－1，0)之间，不妨设x1<－1，－1【例5-2】已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　　)
A．a＜b＜c　　　　　B．c＜b＜a　　　　　C．c＜a＜b　　　　　D．b＜a＜c
【例5-2】答案　A　解析　在同一坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a＜b＜c．
【例5-3】已知函数f(x)＝|lnx|，若0A．(2，＋∞)　　　　　B．[2，＋∞)　　　　　C．(3，＋∞)　　　　　D．[3，＋∞)
【例5-3】答案　D　解析　先做出f(x)的图像，通过图像可知，如果f(a)＝f(b)，则00，即|lna|＝|lnb|＝t>0，由a，b范围可得，lna<0，lnb>0，从而a＝e－t，b＝et，所以a＋2b＝e－t＋2 et，而et>0，所以e－t＋2 et∈(3，＋∞)．
注：此类问题如果f(x)图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点．
本题有两个关键点，一个是引入辅助变量t，从而用t表示出a，b达到消元效果，但是要注意t是有范围的（通过数形结合y＝t需与y＝f(x)有两交点）；一个是通过图像判断出a，b的范围，从而去掉绝对值．
【例5-4】已知函数f(x)＝若f(x)＝m有四个零点a，b，c，d，则abcd的取值范围是________．
【例5-4】答案　(10，12)　解析　作出函数f(x)的图象，不妨设a【例5-5】已知f(x)＝若方程f(x)＝a有四个不同的解x1A．[0，)　　　　　　B．(0，]　　　　　　C．[0，]　　　　　　D．[0，1)
【例5-5】答案　B　解析　作出f(x)的图像可知若f(x)＝a有四个不同的解，则a∈(0，1]，且在这四个根中，x1，x2，关于直线x＝－1对称，所以x1＋x2＝－2，x3<1题型六、确定复合函数零点的个数或方程解的个数
【例6-1】设定义域为R的函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(，x≠1，,1，x＝1，))若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3个不同的解x1，x2，x3，则x12＋x22＋x32＝________．
【例6-1】答案　5　解析　先作出f(x)的图像如图，观察可发现对于任意的t，满足t＝f(x)的x的个数分别为2个(t＞0，t≠1)和3个(t＝1)，已知有3个解，从而可得f(x)＝1必为f2(x)＋bf(x)＋c＝0的根，而另一根为1或者是负数．所以f(xi)＝1，可解得，x1＝0，x2＝1，x3＝2．所以x12＋x22＋x32＝5．
【例6-2】已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|，若方程[f(x)]2＋bf(x)＋c＝0恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是(　　)
A．(－2，0)　　　　　　B．(－2，－1)　　　　　　C．(0，1)　　　　　　D．(0，2)
【例6-2】答案　B　解析　考虑通过图像变换作出t＝f(x)的图像（如图），因为[f(x)]2＋bf(x)＋c＝0最多只能解出2个f(x)，若要出七个根，则t1＝1，t2∈(0，1)，所以－b＝t1＋t2∈(1，2)，解得b∈(－2，－1)．
【例6-3】已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．
【例6-3】答案　　解析　令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图，由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是．
【例6-4】已知函数f(x)＝|x＋|－|x－|，关于的方程f2(x)＋a|f(x)|＋b＝0(a，b∈R)恰有6个不同实数解，则a的取值范围是__________．
【例6-4】答案　－41,,2x，0课后作业
1、函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1，2)　　　　　　B．(2，3)　　　　　　C．(3，4)　　　　　　D．(1，2)与(2，3)
1、答案　B　解析　f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)，当1＜x＜2时，ln(x－1)＜0，＞0，所以f(x)＞0，故函数f(x)在(1，2)上没有零点．f(2)＝1－ln1＝1，f(3)＝－ln2＝＝．因为＝2≈2.828＞e，所以8＞e2，即ln8＞2，即f(3)＜0.又f(4)＝－ln3＜0，所以f(x)在(2，3)内存在一个零点．
2、已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)
A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3
2、答案　C　解析　解法1　令f(x)＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝
－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2．故选C．
解法2　函数y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2．
3、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)
A．{1，3}　　　　B．{－3，－1，1，3}　　　　C．{2－，1，3}　　　　D．{－2－，1，3}
3、答案　D　解析　求出当x＜0时f(x)的解析式，分类讨论解方程即可．令x＜0，则－x＞0，所以f(－
x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x．因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x．所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3．令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3．当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3．令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋＞0(舍去)或x＝－2－．所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－，1，3}．
4、已知函数f(x)＝log3－a在区间(1，2)内有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，－log32)　　　　B．(0，log52)　　　　C．(log32，1)　　　　D．(1，log34)
4、答案　C　解析　∵函数f(x)＝log3－a在区间(1，2)内有零点，且f(x)在(1，2)内单调，∴f(1)·f(2)
<0，即(1－a)·(log32－a)<0，解得log325、已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1]　　　　　B．[1，＋∞)　　　　　C．(0，1)　　　　　D．(－∞，1]
5、答案　A　解析　由于x≤0时，f(x)＝ex－a在(－∞，0]上单调递增，x>0时，f(x)＝2x－a在(0，＋∞)
上也单调递增，而函数f(x)在R上有两个零点，所以当x≤0时，f(x)＝ex－a在(－∞，0]上有一个零点，即ex＝a有一个根．因为x≤0，00时，f(x)＝2x－a在(0，＋∞)上有一个零点，即2x＝a有一个根．因为x>0，2x>0，所以a>0．所以函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(0，1]，故选A．
6、已知a>－1，函数f(x)＝若存在t使得g(x)＝f(x)－t有三个零点，则a的取值范围是(　　)
A．(－1，0)　　　　　B．(0，1)　　　　　C．(1，＋∞)　　　　　D．(0，＋∞)
6、答案　C　解析　如图，作出函数y＝x2和y＝log2(x＋1)的图象，从图中可以看出，在点O(0，0)和点A(1，1)处两函数图象有交点，显然，要使g(x)＝f(x)－t有三个零点，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝t有三个交点，显然，只有当a>1时，才可能有三个交点，故选C．
7、已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m(m∈R)有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，且满足x1A．(0，4]　　　　　　B．(0，3)　　　　　　C．(3，4]　　　　　　D．(1，3)
7、答案　B　解析　如图，作出函数f(x)的图象，显然，A(3，1)，又当0故由f(x3)＝f(x4)可得x3＋x4＝10．故＝(x3－3)(x4－3)＝(x3－3)(7－x3)＝－x＋10x3－21＝－(x3－5)2＋4．记g(t)＝－(t－5)2＋4，由08、若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则(　　)
A．mn＝1　　　　　B．mn>1　　　　　C．08、答案　C　解析　由题设可得|logax|＝x，不妨设a>1，m图所示，结合图象可知01，且－logam＝m，logan＝n，以上两式两边相减可得loga(mn)＝n－m<0，所以09、已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－logx，h(x)＝log2x－的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大
小关系是(　　)
A．x1＞x2＞x3　　　　　B．x2＞x1＞x3　　　　　C．x1＞x3＞x2　　　　　D．x3＞x2＞x1
9、答案　D　解析　由f(x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－logx＝0，h(x)＝log2x－＝0得2x＝－x，x＝logx，
log2x＝．在坐标系中分别作出y＝2x，y＝－x；y＝x，y＝logx；y＝log2x，y＝的图象，由图象可知－1＜x1＜0，0＜x2＜1，x3＞1，所以x3＞x2＞x1．
10、已知f(x)＝|ln(x＋1)|，若f(a)＝f(b)(aA．a＋b>0　　　　　B．a＋b>1　　　　　C．2a＋b>0　　　　　D．2a＋b>1
10、答案　A　解析　作出函数f(x)＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由f(a)＝f(b)(a1)，即ab＋a＋b＝0，所以0＝ab＋a＋b<＋a＋b，即(a＋b)(a＋b＋4)>0，又易知－10.所以a＋b＋4>0，所以a＋b>0．故选A．
11、已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3个不同的根，则实数a的
值为(　　)
A．－2　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3
11、答案　C　解析　作出函数f(x)＝的图象(图略)，令f(x)＝t，关于x的方程f2(x)－af(x)＋1
＝0等价于t2－at＋1＝0，因为t1·t2＝1，所以t1，t2同号，只有t1，t2同正时，方程才有根，假设t1＜t2，则0＜t1＜1，t2＞1，此时关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有5个不同的根，只有t1＝t2＝1，关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3个不同的根，此时a＝2，故选C．
12、已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2则n＝________．
12、答案　2　解析　对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中
画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2．
13、已知函数f(x)＝若f(x)在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是________．
13、答案　－≤m<0　解析　当0≤x≤1时，2x2＋2mx－1＝0，易知x＝0不是方程2x2＋2mx－1＝0的解，故m＝－x在(0，1]上是减函数，故m≥－1＝－；即m≥－时，方程f(x)＝0在[0，1]上有且只有一个解，当x>1时，令mx＋2＝0得，m＝－，故－214、若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是__________．
14、答案　　解析　因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，所以方程4x－2x－a＝0在[－
1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝2－，因为x∈[－1，1]，所以2x∈，所以2－∈．所以实数a的取值范围是．
15、已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
15、答案　(－1，0)　解析　关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1，0)．
16已知函数y＝f(x＋1)－2是奇函数，g(x)＝，且f(x)与g(x)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，
(xn，yn)，则x1＋x2＋…＋x6＋y1＋y2＋…＋y6＝________．
16、答案　18　解析　因为函数y＝f(x＋1)－2为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，2)对称，g(x)＝
＝＋2关于点(1，2)对称，所以两个函数图象的交点也关于点(1，2)对称，则(x1＋x2＋…＋x6)＋(y1＋y2＋…＋y6)＝2×3＋4×3＝18．
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