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第 40届全国中学生物理竞赛预赛试题
（2023年 9月 2日 9:00-12:00）
考生必读
1、考生考试前务必认真阅读本须知。
2、本试题共 5页，总分为 400分。
3、 需要阅卷老师评阅的内容一定要写在答题纸相应题号后面的空白处；阅卷老师只评阅答
题纸上的内容；选择题和填空题也必须在答题纸上作答；写在试题纸和草稿纸上的解答
一律无效。
一、选择题（本题 60分，含 5小题，每小题 12 分。在每小题给出的 4个选项中，有的小题只有一项符合
题意，有的小题有多项符合题意。将符合题意的选项前面的英文字母写在答题纸对应小题后面的括号
内。全部选对的得 12分，选对但不全的得 6分，有选错或不答的得 0分。）
1. 氢原子中基态电子的结合能 EH 与氦离子( He
)中基态电子的结合能 E 的比值最接近于（ ）He
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
2 3 4
2. 一电路如图 2a 所示，其中三个电池的电动势之比 1 : 2 : 3 1: 2 : 3 ，三个电阻
的阻值之比 R1 : R2 : R3 1: 2 : 3 。导线电阻均忽略不计。流过 R1、R2、R3的电流大
小之比为（ ）
A. 1:1: 2 B. 1: 2 :1 C. 2 :1:1 D. 1: 2 : 3 图 2a.
3. 如图 3a，一定量的理想气体经历的三个过程分别如 P-V 图象中 bca、bda、bea P
a
所示。已知 bca 是绝热过程。下列说法正确的是：（ ） e
A. bda 是系统从外界吸热的过程； c
B. bda 是系统对外界做负功的过程； d b
C. bea 是系统从外界吸热的过程；
D. bea 是系统对外界做负功的过程。 O V
图 3a
4. 如图 4a，边长为 a的正方形的四个顶点上固定着两个质子 p 和两个正电子 e 。
某时刻由静止释放这四个粒子，仅考虑它们在彼此间电场力的作用下运动，不考虑电
磁辐射。已知电子电量为 e，真空介电常量为 0 。经过足够长的时间后，单个质子、
单个正电子的动能最接近的结果分别是：（ ）
e2 e2 3 2 e2 e2 2
A. 、 B. 、8π a 4π a 2 2 4π a 4π a
1
0 0 0 0 2
e2 2 2 2
C.
4π 2 2
e
、 2 2 e eD. 、
0a 4π 0a 4π 0a 4π 0a
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5. 对于一个导体空腔内部电场的场强和电势，下列说法正确的是：（ ）
A. 电势的值和场强都不受腔外电荷的影响；
B. 电势的值和场强都会受到腔外电荷的影响；
C. 场强不受腔外电荷的影响，但电势的值会受到腔外电荷的影响；
D. 电势的值不受腔外电荷的影响，但场强会受到腔外电荷的影响。
二、填空题（本题 100 分，每小题 20分，每空 10分。请把答案填在答题纸对应题号后面的横线上。只需
给出结果，不需写出求得结果的过程。）
6. 国际标准音 A-la 的频率为 f 440 Hz 。当发音频率为这个频率的音叉振动时，产生的声波的波长为
cm 34；一个观测者站在两个这样的音叉之间以 m/s 的速度沿着这两音叉的连线跑向其中某个音叉，
11
同时这两个音叉均振动发声，则该观测者听到的拍频是 Hz 。已知声速为 340 m/s。
7. 如图 7a，一质量为 2M的小球，以 20.0 m/s 的速率从水平地面上坐标原点
O π出射，初速度方向斜向上，与 x轴（水平）正方向的夹角为 。当小球到
3
达最高点时，瞬间炸裂为质量均为 M的两小块 A、B；在小球爆炸后的瞬间，
A 3的速度与 x轴正方向的夹角为 π ，此后，它恰好落到坐标原点 O，整个
4
运动过程均在 xy平面内。由此可知，A 在爆炸后的瞬间的速率为 m/s，
B 落到地面时的 x坐标为 m。保留三位有效数字，不计空气阻力，重
力加速度大小为 9.80 m/s2。
8. 如图 8a，初始时在水平地面上静止的密闭车厢内的空气中悬浮一个充满氦气
的气球 A，它通过柔软长轻绳固定在车厢底板上，绳长远大于气球半径。若车厢
g
沿水平方向从静止开始以大小为 （g为重力加速度大小）的加速度做匀加速直
2
线运动，则气球的位置相对于车厢稳定后，拉气球的轻绳将沿车厢运动方向 (填“前倾”、“后仰”
或“保持竖直向上”)，且轻绳相对于竖直向上方向的夹角大小为 。
9. 如图 9a，在凸透镜右侧距离 L 4 cm （L大于凸透镜的焦距）处放置一块垂直
于光轴的平面镜。某同学在凸透镜左侧光轴上放置一点光源 S，当将 S 沿着光轴左
右移动有限距离时，发现存在两个特殊的位置，可使得每个位置上的点光源 S 与它
的像点重合。测得这两个特殊位置之间的间距为 9 cm 。该凸透镜的焦距为
cm，两个特殊位置中离透镜较远的那一点与透镜光心相距 cm。 图 9a
10. 3气体分子的平均热运动动能约为 kBT ，其中T 是气体的绝对温度， k 1.38 10
23
B J/K 为玻尔兹曼常2
量。一般而言，如果气体中粒子的物质波波长接近于粒子平均间距，则粒子的量子效应就会变得显著。考
虑粒子数密度 n 8 1022 cm 3 的气体。若该气体为金属中的自由电子气，则其温度在 K 以下时量
子效应显著；若假想该气体由氢原子组成，则其温度在 K 以下时量子效应显著。已知电子质量约
为 9.11 10 31 kg ，质子质量约为1.67 10 27 kg ，普朗克常量约为 6.626 10 34 J s。（结果保留一位有效数字）
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三、计算题（本题 240分，共 6小题，每小题 40 分。计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重
要的演算步骤, 只写出最后结果的不能得分。有数值计算的, 答案中必须明确写出数值，有单位的必须
写出单位。）
y A (初始) A
11.（40分）如图11a和图11b，在光滑的水平面上建立xOy直角坐标系。A、
B、C x三个小球（视为质点）质量均为m。初始时小球均静止，C、B连线 O L
L
沿x方向，间距为L；A、B用长为L、不可伸长、完全没有弹性的柔软轻绳
连接，B、A连线方向与C、B连线方向垂直，A与B、C连线的距离为0.6L。 C B
图 11a
现使A以大小为 v0 的速率沿x轴正方向运动。试在下述两种情形下，求在A、 y A
B间软绳刚刚被拉紧后的瞬间A B C (初始) A、 、 三球各自的速度：
（1）B、C间由原长为L、劲度系数为 k 的轻质弹簧连接（见图11a）； xO L
（2）B、C间由长度为L的柔软轻绳（材质跟A、B间的软绳相同）连接（见 L
图11b）。 C B
图 11b
12.（40 分）已知重力加速度大小为 g。假设空气阻力可忽略。
（1）将一个质量为m2 的小球 B 放在一个质量为m1 的大球 A 的上表面上，
初始时 A 的下底离地面高度为 h0 ，如图 12a 所示；现让它们同时从静止开
始自由下落，当 A 的下端落到水平硬地（硬地质量m0 m1 ）上之后，可
发现 B 反弹上升的最大高度 h比 h0大许多倍。不考虑运动相对于竖直方向
的偏离，忽略大、小球的线度。假设地面与 A、A 与 B 之间的碰撞依次发
生，且两两间碰撞的恢复系数都相等，求此恢复系数 e。
（2）如图 12b，一个儿童玩具由一组大小和质量各不相同的小球 A、B、C
和 D 组成，其中 A 上面固定有一根圆柱形光滑细轻杆，其余 3 个小球都有
过其中心的一个圆柱形孔道，孔道的直径略大于细杆的直径。将 B、C 和 D
依次穿在细杆上，将个小球构成的体系移至一定高度后，使之由静止开始下
落，已知下落过程中杆始终处于竖直状态。A、B、C 和 D 的质量分别为 m1、
m2、m3 和 m4，设地面与 A、A 与 B、B 与 C、C 与 D 之间的碰撞依次发生，
相碰的两两物体间的恢复系数均相等，h0 为系统初始下落高度，h为 D 弹起
后上升的最大高度，忽略各球的线度。
求恢复系数 e的表达式；并根据表 12a 给出的数据，求恢复系数 e的数
值。
m1(g) m2(g) m3(g) m4(g) h / h0
76.7 32.5 11.3 5.80 11.2
表 12a
（3）若恢复系数 e取第（2）问求得的数值，m1、m4取表 12a 中的数值。当 m
h
2 与 m3取何值时，可使 达
h0
到最大值？该最大值是多少？
13.（40 分）一厚度可忽略的球形肥皂泡，其外表面上均匀带电，当半径为 1.0 mm 时，其电势为 100 V（取
无穷远处的电势为零）；此时，肥皂泡并未处于力学平衡状态。当其半径增大至 1.0 cm 时，肥皂泡达到力学
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1
平衡状态，且此时肥皂泡内外气压恰好相等。静电力常量 k 9.0 109e Nm2 / C2 ，不考虑重力作用。4πε0
求（结果保留两位有效数字）：
（1）肥皂泡所带电荷的种类及电荷量；
2
（2）肥皂泡膨胀前后的静电能的变化（已知半径为 r、带电量为 Q的均匀带电球面的静电能为 1 Q ）；
8π 0 r
（3）肥皂泡表面张力系数的大小。
14.（40 分）一厚度为 h的均质金属圆盘在
a
半径为 r 的两圆环面之间的部分，被镂
2
空成均匀分布的薄金属片，薄金属片长为
a（沿径向），宽为 h（垂直于盘面），厚
为 d（沿圆环切向），在离盘心 r处相邻的
两薄金属片间距为 b，其俯视示意图如图
14a 所 示 。 金 属 电 阻 率 为 ， 且
r a b d （金属圆盘在半径为
r a 的两圆环面之外的两部分完全看作为理想导体）。在圆盘中
2
心垂直圆盘方向上设置转轴，盘面上离转轴 r处，面积为 a2 的小
方块（其相对的两弧或对边中点连线长均为 a，且相对的两弧中
点的连线通过盘心）内施加垂直于盘面的匀强磁场 B，如图 14b
a
所示，小方块外面的磁场可忽略。假设 恰好为整数。当圆盘
b d
以角速度 转动时，求
（1）小方块上产生的电动势；
图 14b
（2）小方块内金属片的总电阻的严格表达式（用 h、b、d、 表出）
（3）小方块外金属片的总电阻的严格表达式（用 r、a、h、b、d、 表出）；
（4）通过小方块的电流的表达式（用 r、a、h、b、d、 、B、 表出）；
（5）相对于圆盘转轴，阻碍圆盘转动的电磁力矩（用 r、a、h、b、d、 、B、 表出）。
15.（40 分）真空中有一个锌质小球，半径 R 1.0 cm ，远离其它物体。使锌球初始时带一定量的负电荷，
其电势 0 0.50 V （取无穷远处的电势为零）。某时刻开始，用波长 290 nm 的紫外线照射锌球；假设
光强足够弱，以至于单位时间逸出的光电子很少。
（1）求光电子从锌球逸出时的最大运动速度？
（2）开始时以最大速率从锌球逸出的电子，运动到离锌球无穷远处时的速度大小为多少？
（3）计算用紫外线连续照射锌球足够长的时间之后，锌球的电势 1 是多少？
（4）从开始照射到足够长的时间后，整个照射过程中从锌球跑出的光电子的数目大约是多少？
已知：锌的截止波长 c 332 nm ，真空中的光速 c 3.0 10
8 m/s ，普朗克常量 h 6.63 10 34 J s ，真
空 介 电 常 量 8.85 10 120 C
2 / (N m2 ) ， 电 子 电 量 e 1.60 10 19 C ， 电 子 质 量
me 9.11 10
31 kg 0.511 MeV/c2 。
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16.（40 分）如图 16a，将焦距为 f 10.00 cm 、半径为 r3 2.001 cm 的
薄透镜从正中间切割出一个半径为 r2 1.497 cm 的圆形小透镜；切割出
的小透镜通过打磨其边缘将其半径缩小为 r1 1.390 cm 。如图 16b（剖 光轴.
面示意图）所示，将切割出来的小透镜沿着光轴向右平移一小段距离
d 2.000 cm；光轴上一个点光源 S 位于大透镜左侧，与大透镜距离为
s 15.00 cm，S 发出波长为 500.0 nm 的单色光，在透镜右侧出现 S 图 16a
的两个像点S1 和S 2 ；在大透镜右侧距离为 B 50.00 cm 处有一垂直于光
轴的屏幕，光轴与屏幕交点为O；点光源 S 发出的光在屏幕上形成干涉条纹。
D
r d3
S r2 r1
光轴 S
s 2
S1 O
L
B
图 16b.
（1）求 S 的两个像点S1 和S 2 之间的距离D，以及像点S1 到屏幕的距离 L。
（2）描述屏幕上能够观测到干涉条纹的区域的形状，并计算该区域的范围。
（3）描述上述区域范围内干涉条纹的形状，导出第 k级亮纹在屏幕上的位置公式；总共能看到多少条亮纹？
提示：由于透镜尺寸很小，使得屏幕上干涉区域内的点到O点距离远小于两个像点S1 和S 2 到O点的距离。
x
计算中可利用近似展开式，即当 x 1时，有 1 x 1 。
2
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第 40 届全国中学生物理竞赛预赛试题解答及评分标准
（2023 年 9 月 2 日 9:00-12:00）
一、 选择题（本题 60 分，含 5 小题，每小题 12 分。在每小题给出的 4 个选项中，有的小题只有一项符
合题意，有的小题有多项符合题意。将符合题意的选项前面的英文字母写在答题纸对应小题后面的括
号内。全部选对的得 12 分，选对但不全的得 6 分，有选错或不答的得 0 分。）
1. D 2. B 3. ABD 4. A 5. C
二、填空题（本题 100 分，每小题 20 分，每空 10 分。请把答案填在答题纸对应题号后面的横线上。只需
给出结果，不需写出求得结果的过程。）
17 1
6. 100 或 77.3，8 7. 9.63 ，50.0 8. 前倾， arctan 或 26.6
22 2
9. 3，12 10. 2 105，1 102
三、计算题（本题 240 分，共 6 小题，每小题 40 分。计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重
要的演算步骤, 只写出最后结果的不能得分。有数值计算的, 答案中必须明确写出数值，有单位的必须写出
单位。）
11.
（1）在 A、B 间的软绳刚刚被拉紧后的瞬间，B、C 间的轻质弹簧无形变，故小球 C 的速度为 0
vC 0 ①
在 A、B 间的软绳刚刚被拉紧后的瞬间，连接小球 A、B 的软绳与 x轴的夹角为 ，小球 B 所受到的来自软
绳的作用力沿拉直的绳的方向，因此，在此瞬间 B 的速度沿着软绳指向 A 的方向，即此时 B 的速度vB 为
vB vB(cos x sin y )， ②
式中 x 、y 分别为 x、y坐标轴的方向， vB是vB 的大小。设此时 A 的速度为
vA vAxx vAy y ， ③
A、B 构成的体系在绳被拉紧的过程中动量守恒，有
vB cos vAx v0 ④
vB sin vAy 0 ⑤
由于轻绳柔软（完全无弹性）且不可伸长，在绳刚刚被拉紧后的瞬间 A 相对于 B 的相对运动速度v A 必然垂
直于 AB 连线，且沿顺时针旋转方向，即
vAx vB cos v A sin ⑥
vAy vB sin v A cos ⑦
联立①④⑤⑥⑦式，解得
1v 2
1
A v0 1 cos x cos sin y ⑧ 2 2
v
v 0B (cos
2 x cos sin y ) ⑨
2
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由⑧⑨式和题给数据得
vA v0 (0.68x 0.24y ) ⑩
vB v0 (0.32x 0.24y )
y
【解法 2：在 A、B 间的软绳刚刚被拉紧后的瞬间，B、C 间的轻 A (初始) A
质弹簧无形变，故小球 C 的速度为 0
O
x L
vC 0 ① L
如题解图 11a，在绳刚刚被拉紧后的瞬间，将 A 的初速度按垂直于 C B
连线方向“ ”和平行于连线方向“ ”进行分解
题解图 11a
v0 v0 v0 ②’
其中
v0 sin v0 , v0 cos v0 ③’
由轻绳约束条件，在 A、B 间的软绳刚刚被拉紧后的瞬间
vB vB vA ④’
再由 A、B 间的动量守恒得
1
vB vA v ⑤’2 0
vA v0 ⑥’
于是
1
vB cos v0e2
⑦’
1 1
vA v0 v0 v0 vB cos v0e sin v0e ⑧’ 2 2
其中， e 和 e 分别为平行“ ”和垂直“ ”方向的方向向量。于是有
2
vB v0e ⑨’ 5
2 3
vA v0e v0e ⑩’】 5 5
【附注：其中平行“ ”和垂直“ ”方向的方向向量为
e cos x sin y , e sin x cos y
综上，有
1 2 1 8 6v v B 0 cos x sin cos y v ( x y )
2 2
0
25 25
1 2 2 1 17 6v v A 0 cos sin x sin cos y v0 x y 2 2 25 25
】
（2）在 A、B 间的柔软轻绳刚刚被拉紧时，B、C 间的柔软轻绳处于沿 x 方向伸直的拉紧状态，小球 C 所
受到的来自软绳的作用力指向 A，故 C 只可能沿正 x方向运动，可设
vC vC x，
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另设碰后瞬间 A、B 速度分别为
vA vAxx vAy y
vB vBxx vBy y
A、B、C 构成的体系在绳被拉紧前与刚刚拉紧后的总动量守恒，有
vAx vBx vC v0，
vAy vBy 0；
由于 B、C 间的柔软轻绳不可伸长，在 B、C 间的柔软轻绳被拉紧时，B 相对于 C 的相对运动速度沿正 y方
向，即
vBx vC 0
在此时瞬间 A 相对于 B 的相对运动速度v A 垂直于此时 AB 连线，且沿顺时针旋转方向，即
v v v Ax Bx A sin
v v Ay By vA cos
因为 A 所受冲量只沿 AB 连线方向，故 A 在垂直于 AB 连线方向的速度分量在绳被拉紧前后没有变化，由
AB 连线方向的动量定理得
3 4 3
vAx vAy v0 5 5 5
联立 式，得
13 2
vA v0x v 0 y 21 7
4 2
v v B 21 0
x v0 y 7
4
v v x C 0 21
评分标准：本题 40 分。
第（1）小问 22分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ 式各 2分；
【解法 2】：①②’③’④’ 式各 2分，⑤’式 4分，⑥’⑦’⑧’⑨’⑩’式各 2分；
第（2）小问 18分， 式各 2分。
12.
（1）先考虑一般情况。设质量为m1 、速度为 v10 的小球 1 和质量为m2 、速度 v20 0 的小球 2 发生对心碰撞，
碰撞后小球 1 和 2 的速度分别为 v1和 v2 ，由动量守恒有
m1 v10 m1 v1 m2 v2 ①
碰撞的恢复系数为
v v v v
e 2 1 2 1 ②
v10 v20 v10
由①②式得
(1 e)m
v2
1 v
m m 10
③
1 2
考虑由大球（质量为m1 ）与小球（质量为m2 ）组成的系统，系统落地速度为
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v0 2gh0 ④
在以速度 v0 向下运动的参考系中，碰撞前两球 m1、m2都处于静止状态，而地球（m0）以速度 v0 向上与
最下面的大球（m1 ）碰撞，利用公式③，碰撞后小球（m1 ）的速度u1为
(1 e)m
u1
0 v0 ⑤ m0 m 1
然后大球（m1 ）与小球（m2 ）之间发生碰撞，再利用公式③，碰撞后小球（m2 ）的速度u2 为
(1 e)m1 (1 e)
2m0mu2 u
1 2gh ⑥
m1 m
1
2 (m0 m1)(m1 m2 )
0
考虑到 m0>>m1，有
(1 e)2m
u 12 2gh0 ⑦ m1 m2
且地球与大球m1 碰后地球速度近似不变，于是小球（m2 ）相对于地面的速度为
(1 e)2m
v u v 1

2 0 1 2gh0 ⑧
m1 m2
小球（m2 ）上升的高度（相对于地面）为
2 2v (1 e)2m
h 1
2g
1
m m
h0 ⑨
1 2
由⑨式得
h m
e 1 1
m2 1 ⑩
h0 m1
（2）系统落地时的速度
v0 2gh0
在以速度 v0 竖直向下运动的惯性系中，碰撞前，4 个小球都处于静止状态，而地球（m0 ）以速度 v0 竖直向
上运动，与最下面的小球碰撞，然后依次引起小球之间的 3 次碰撞。开始两次碰撞后小球（m2 ）的速度u2
仍为⑥式所示。依次类推，最上面小球(m4)的碰撞后速度为
(1 e)4m mm m
u 0 1 2 3 2gh
(m0 m1)(m m )(m m )(m m )
0
1 2 2 3 3 4
考虑m0 m1 有
(1 e)4mm m
u 1 2 3 2gh
(m1 m2 )(m2 m3)(m3 m
0
4)
且地球与大球m1 碰后地球速度近似不变，故最上面小球(m4)相对于地面的速度
(1 e)4m m m
v u v 1 2 30 1 2gh0
(m1 m2 )(m2 m3 )(m3 m4 )
最上面小球(m4)竖直升的高度
2 2v (1 e)4m m m
h 1 2 3
2g
1 h0
(m1 m2 )(m2 m3)(m3 m4 )
由此可得
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h (m m )(m m )(m m )
e 4 1 1 2 2 3 3 4 1
h0 m1m2m3
由 式和题给数据得，恢复系数 e的数值为
e 0.885
(3)只需求
m m m(m2 ,m ) 1 2 33 (m1 m2 )(m2 m3)(m3 m4 )
1

m2 m3 m
1 1 1
4
m1 m2 m

3
达到最大值的条件。进而，
1(m2 ,m3 ) m2 m3 m4 m2 m3 m3 m4 m2 m4 m2 m m1 3 4
m1 m2 m3 m1 m2 m2 m3 m1 m3 m1 m2 m3
1

m m m m m m m m m m m m
1 3 2 3 4 3 2 3 3 4 2 4 2 3 43 3
m1 m2 m3 m1 m2 m2 m3 m1 m3 m1 m2 m3
1 1

2 3
m
1 3 4 m33 4 m4 m3 1
4
3
m1 m

1 m1 m1
式中等号仅在
m m
2 3
m
4
m1 m2 m3
时成立。即在 m4与 m1 保持不变的条件下，当
m2 m2 3 m
2
1m4 32.4 g, m 33 m
2
1m4 13.7 g
可以使 h/h0达到最大值。
这里应用了下述不等式：
对于任意正数a、b、c，有
a b c 1
(abc)3
3
式中等号当且仅当
a b c
时成立。
【附注：
上述不等式可以简单证明如下：
不妨设 a、c分别是 a、b、c中最大数、最小数。可令
a k g、b k g h、c k h，
式中 g、h 0，且
a b c
k
3
于是
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{#{QQABAYAAggioAAJAARgCUQWACEAQkAACAKgOREAAMAIBSANABAA=}#}
abc (k g)(k h)(k h g) [k 2 (g h)k gh](k h g)
a 3b c
k(k g h)(k h g) k[k 2 (g h)2 ] k 3
3
式中等号当且仅当 g h 0或（等价的）
a b c
时成立。】
由 式知， 的极大值为
3
m
4max 3 1
m1
这时，
3
2
h m
(1 e)4 1
4
3 1 11.4
h0 mmax 1
由 式和题給数据得
h
11.4
h

0 max
评分标准：本题 40 分。
第（1）小问 20分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式各 2分；
第（2）小问 12分， 式各 2分。
第（3）小问 8 分， 式各 2分。
13.
（1）半径为 r、总电量为 Q的均匀带电球壳的表面电势 (r)由下式给出
1 Q(r) ①
4 0 r
其中 0 为真空介电常量。记肥皂泡初始半径为 r1 ，得
Q 4 0r1 (r1) ②
代入题给数据得
Q 1.1 10 11 C ③
可知肥皂泡带正电。
（2）记肥皂泡变大后的半径为 r2 ，由题给公式得，肥皂泡变大前后静电势能变化为
1 Q2 1 1
We ④ 2 4π 0 r2 r

1
由③④式和题给数据得
We 5.0 10
10 J ⑤
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（3）由于球面上电荷元会受到其他部分电荷的静电力，故会产生向外的压强，记为Pe 。假设球面从半径 r2
变为半径 r2 r, 其中 r r2 ，此过程中压强Pe所做的功为
W r PdS 4πPer22 r ⑥
由题给公式可知以上过程中肥皂泡静电势能变化为
Q2 Q2 Q2 r
Ee ⑦ 8π 0 (r2 r) 8π 0r2 8π
2
0r2
而保守力做功等于势能的减少量，即
W Ee ⑧
肥皂泡的表面张力产生的压强与表面张力系数 的关系为
4
PT ⑨ r2
忽略肥皂泡内外气压差，则平衡时表面张力产生的压强与静电力产生的压强相等，故
PT Pe ⑩
联立⑥⑦⑧⑨⑩式得
2
0
r1
8r

2 r2
代入题给数据得
1.1 10 8 N/m
【解法 2：
当肥皂泡达到平衡时，体系的总势能（电荷的势能与表面张力的势能的和）达到最小。
半径为 r的肥皂泡的表面张力产生的压强与表面张力系数 的关系为
4
PT ⑥’ r
因此表面张力所对应的势能为
r
U P 4 r 2T T dr 8 r 2 U0 ⑦’
其中U0 为任意常数。结合题给电势能公式，可知总势能为
Q2
U UT ⑧’ 8 0r
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由平衡条件可知
dU 2|r r 16 r2
Q
0 ⑨’
dr 2 8 r 22 0
解得
Q
2
⑩’
128 2 0r
3
2
代入题给数据得
1.1 10 8 N/m ’ 】
评分标准：本题 40 分。
第（1）小问 8分，①式 4分，②③式各 2分；
第（2）小问 8分，④⑤各式 4分；
第（3）小问 24 分，⑥⑦⑧⑨⑩式各 4分， 式各 2分。
【解法 2】：⑥’⑦’⑧’⑨’⑩’ ’ 各 4 分。
14.
（1）在小方块内金属片的运动速度大小为
v r ①
方向沿矢经 r 末端切向。它们切割磁力线产生的电动势近似为
Bav ②
该电动势沿径向。由①②式得
Ba r ③
（2）记小方块内金属片的总电阻为 R 。每片金属片的电阻为 内
a
R ④
dh
小方块内金属片的数目为
a
n ⑤
b d
由④⑤式得，
1 a (b d )
R R ⑥
内 n ndh dh
2πr
（3）记小方块外金属片的总电阻为R 。由于密集的金属片在圆环上均匀分布， 是正整数。小方块外外 b d
金属片的数目为
2πr a
m ⑦
b d
由④⑦式得，小方块外金属片的总电阻为
1 a b d a
R ⑧
外 m dh 2πr a dh
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（4）记通过小方块的电流为 I 。由欧姆定律，通过小方块的电流为

I ⑨
R内 R外
由③⑥⑧⑨式得
Ba r (2πr a)Badh
I = ⑩ R R b d a b d a外 2π(b d ) 内
a dh 2πr a dh
（5）小方块内所有金属片所受到的总安培力为
F IaB
方向沿与圆盘上的金属片垂直。该安培力对圆盘的阻力矩近似为
M rF
由⑩ 式得，相对于圆盘转轴，阻碍圆盘转动的电磁力矩为
(2πr a)B2a2dh r
M rIaB
2π(b d )
评分标准：本题 40 分。
第（1）小问 10分，①②式各 4分，③式 2分；
第（2）小问 8分，④式 4分，⑤⑥式各 2分；
第（3）小问 4 分，⑦⑧式各 2分；
第（4）小问 8 分，⑨式 4分，⑩式 4分（写成近似表达式也同样给分）；
第（5）小问 10 分， 式各 4分， 式 2分（写成近似表达式也同样给分）。
15.
（1）锌的逸出功
hc
A h ① c
c
式中 c 是相应的截止频率。电子的最大初动能
1 1
E h A hc 20 8.677 10 J ② k max
c
由于
E 1 2k max mev ③ 2
式中 v是光电子从锌球逸出时的最大运动速度。由①②③式及题给数据得
2hc 1 1v 4.37 10
5 m/s ④
me c
（2）电子从锌球附近运动到无穷远，由能量守恒有
1
Ek max e 0 mev
2
2 ⑤ 2
式中 v2 以最大速率从锌球逸出的电子运动到离锌球无穷远处时的速度。由⑤式及题给数据得
2(E
v k max
e 0 )
2 6.05 10
5 m/s ⑥
me
（3）照射时间足够长，逸出的电子足够多，以至于锌球带正电，其电势 1满足
Ekmax e 1 0 ⑦
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由⑦式及题给数据得
E k max 0.54 V ⑧ 1 e
（4）带有电荷量为 q的锌球的电势
1 q ⑨
4π 0 R
由⑨式得
1 q ⑩
4π 0 R
设整个照射过程中从锌球跑出的光电子的数目为N ，则
q N( e)
由⑩ 式得
1 N ( e) 1 0 4π R
0
由 式及题给数据得
R( )
N 4π 1 00 7.2 10
6
e
评分标准：本题 40 分。
第（1）小问 14分，①②式各 4分，③式 2分，④式 4分；
第（2）小问 8分，⑤⑥式各 4分；
第（3）小问 8 分，⑦⑧式各 4分；
第（4）小问 10 分，⑨⑩ 式各 2分。
16.
（1）根据薄透镜成像公式有
1 1 1
= ①
s s 1 f
1 1 1
= ②
s d s 2 f
由①②式和题给数据有
s
1 1
1 30.00 cm, s 2 24.29 cm ③ 1 1 1 1

f s f s d
于是
D s s d 3.714 cm, L B s 20.00 cm ④
1 2 1
（2）如解题图 16a，在以O点为圆心的环带区域（图中用粗实线段标出）内有干涉条纹，且
r
OA 1
r
OS 2
1 (L D) 1.357 cm ⑤
s 2 s 2
r
OB 3 OS 1 1.334 cm ⑥ s 1
r
OC 2 OS 0.9980 cm ⑦
s 11
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由于
OA OB OC
干涉条纹应分布在屏幕上 B、C点之间的环带区域（以 O 点为中心），该环形区域中的点 P 与O点之间的距
离 hP 满足
D
O
S 光轴 S 2
S1
C
B
L A
解题图 16a.
D
S1
S 光轴 S 2 r
P
L
解题图 16b.
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0.9980 cm hP 1.334 cm ⑧
（3）如解题图 16b，两条光路的光程差为
2 2

r r
LP D r
2 L2 r2 (L D)2 D L 1 (L D) 1
L L D
⑨
2 2
1 r 1 r r
2D
D L 1 (L D) 1


2 L 2 L D 2L(L D)
亮纹半径应满足
LP k ， ⑩
从而有
2kL(L D)
rk , k 0,1,2,3, D
干涉条纹是以光轴和屏幕交点O为圆心的一系列同心圆环(仅存在于(2)中给出的区域中)，第 k级明环的半径
为
2kL(L D)
rk k 1.130 mm, k1 k k2 D
其中
2
OC
k1 78.0003 78,
1.130mm
2

OB
k2 139.363 139
1.130mm
能观测到的亮纹条数为
N k2 k1 1 62
附注：（傍轴近似公式的误差分析）
如果计算条纹级数 k时不用傍轴近似，而用严格公式，我们有
D OC 2 L2 OC 2 (L D)2
k1 77.88 78,
D OB2 L2 OB2 (L D)2
k2 138.97 139
可以看到，与严格结果相比，使用傍轴近似公式对条纹级数 k进行计算时，相对误差小于 0.003，绝对误差
小于 0.4，不会影响最终结果。
评分标准：本题 40 分。
第（1）小问 12分，①②式各 4分，③④式各 2分；
第（2）小问 12分，⑤式 2 分，⑥⑦式各 4分，⑧式 2分；
第（3）小问 16分，⑨式 4 分，⑩ 式各 2分。
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