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整式的乘法
知识精讲 知识点一（幂的运算） 【知识梳理】 1．同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． （m，n是正整数） （2）推广：（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如与，与，与等；②可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 2．幂的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n=amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 3．积的乘方 （1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n=an bn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 4．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an=a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） 5．零指数幂 零指数幂：a0=1（a≠0） 由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0） 注意：00无意义． 6．负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 7.用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|
＜10整数的位数-1|x|＜1a×10-n第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
【例题精讲】 例1若2m 2n＝32，则m+n的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【解析】解：∵2m 2n＝2m+n＝32＝25， ∴m+n＝5， 故选：B． 例2 计算：a2a4﹣a8÷a2+（3a3）2． 【解析】解：原式＝a6﹣a6+9a6＝9a6 例3（）2020 （1.5）2021＝　　． 【解析】解：（）2020 （1.5）2021 ＝（）2020 （1.5）2020 ＝（）2020 （）2020 ． 故答案为：． 【方法总结】 本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 例4下列运算正确的是（　　） A． B． C． D．（﹣2）﹣3＝6 【解析】解：A（）0＝1，故此选项错误； B（）﹣1＝﹣2，故此选项错误； C（）﹣2＝4，故此选项正确； D（﹣2）﹣3，故此选项错误； 故选：C． 【方法总结】 此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键． 例5在人体血液中，红细胞的直径为0.00077cm，数0.00077用科学记数法表示为（　　） A．7.7×10﹣4 B．0.77×10﹣5 C．7.7×10﹣5 D．77×10﹣3 【解析】解：0.00077＝7.7×10﹣4． 故选：A． 【方法总结】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【强化练习】 1.若a 2 23＝28，则a等于（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 2.已知ax＝3，ay＝9，则ax+y＝（　　） A．12 B．27 C．3 D．6 知识点二（整式的乘除法） 【知识梳理】 1.单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 3.多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 4.单项式相除，把它们的系数相除，同底数幂的指数相减，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 5.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 【例题精讲】 例1 一个长方体的长、宽、高分别是3m﹣4，2m和m，则它的体积是（　　） A．3m3﹣4m2 B．3m2﹣4m3 C．6m3﹣8m2 D．6m2﹣8m3 【解析】解：根据长方体体积的计算公式得，（3m﹣4） 2m m＝6m3﹣8m2， 故选：C． 例2 下列运算正确的是（　　） A．2a（a﹣1）＝2a2﹣a B．a（a+3b）＝a2+3ab C．﹣3（a+b）＝﹣3a+3b D．a（﹣a+2b）＝﹣a2﹣2ab 【解析】解：A.2a（a﹣1）＝2a2﹣2a，故本选项不合题意； B．a（a+3b）＝a2+3ab，故本选项符合题意； C．﹣3（a+b）＝﹣3a﹣3b，故本选项不合题意； D．a（﹣a+2b）＝﹣a2+2ab，故本选项不合题意． 故选：B． 例3 若（x2﹣x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为　﹣8　． 【解析】解：（x2﹣x+m）（x﹣8） ＝x3﹣8x2﹣x2+8x+mx﹣8m ＝x3﹣9x2+（8+m）x﹣8m， ∵不含x的一次项， ∴8+m＝0， 解得：m＝﹣8． 故答案为﹣8． 【强化练习】 1.计算： （1）（2x）3 （﹣5xy2） （2）a3 a4 a+（a2）4+（﹣2a4）2． 知识点三（乘法公式） 【知识梳理】 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 2.完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 【例题精讲】 例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能 能用平方差公式计算的，写出计算结果． (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】 解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算． (2) ＝－＝． (3) ＝ － ＝． (4) ＝－ ＝． (5) ＝－＝． 【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）． 例2 计算20152﹣2014×2016的结果是（　 　） 　 A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 【解析】解：原式=20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）=20152﹣（20152﹣1）=20152﹣20152+1=1， 故选D. 【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 例3计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式. 【答案与解析】 解：(1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 例4 已知，，求和的值． 解：由，得； ① 由，得． ② ①＋②得，∴ ． ①－②得，∴ ． 例5 图a是由4个长为m，宽为n的长方形拼成的，图b是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形． （1）用m、n表示图b中小正方形的边长为　 　． （2）用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积； （3）观察图b，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn； （4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值． 【解析】解：（1）图b中小正方形的边长为m﹣n．故答案为m﹣n； （2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）2； 方法②：（m+n）2﹣4mn； （3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn； （4）由（3）得：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab， ∵a+b=7，ab=5， ∴（a﹣b）2=72﹣4×5 =49﹣20 =29． 【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量． 【强化练习】 1. 如果是一个完全平方公式，那么是（ ） A.6 B.－6 C.±6 Ｄ.18 2.下列各式中，是完全平方式的是（ ） A. B. Ｃ. D. 3．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图①)，把余下的部分剪拼成一个长方形(如图②)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证(　　) A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2 3.计算： (1)(－ab)(ab2－2ab＋b)； (2)(a＋b)(a－b)＋4ab3÷4ab； (3)(2x－y－z)(y－2x－z)； (4)(2x＋y)(2x－y)＋(x＋y)2－2(2x2－xy) 4.化简求值(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝－1，y＝1； 知识复盘 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 7.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 8.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要注意积的符号 9.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 10 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 课后巩固 1．下列计算正确的是 （ ） A． B． C． D． 2．已知是一个完全平方式，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 4．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 5．如果，则应为（ ）． A．5 B．-5 C．1 D．-1 6．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A． B． C． D． 7．已知是一个关于的完全平方式，则常数的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 8．已知的展开式中不含x的一次项，则p的值是（ ） A． B．3 C．6 D． 9．已知，，则=___ 10计算:(1)·8÷(－15x2y2) (2) (3) (4)(3ab+4)2－(3ab－4)2 11．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形． （1）直接写出图2中的阴影部分面积； （2）观察图2，请直接写出下列三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系； （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若p+q＝9，pq＝7，求（p﹣q）2的值. 课前预习 同位角、内错角、同旁内角 同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样一对角叫做同位角．例如和，和等都是同位角． 内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样一对角叫做内错角．例如和，和是内错角． 同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样一对角叫做同旁内角．例如和，和是同旁内角． 说明：截线是指同时穿过两条或两条以上的直线（或线段）的直线（或线段），例如在下图中直线是截线．

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