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高中数学重难点突破
专题十四 函数的性质与综合应用
知识归纳
一．函数的对称性
（一）函数 的图象自身对称
1、轴对称
对于函数的定义域内任意一个，
图象关于直线对称.
推论1： 的图象关于直线对称.
推论2： 的图象关于直线对称.
推论3： 的图象关于直线对称.
求对称轴方法：
2、中心对称
对于函数的定义域内任意一个，
的图象关于点对称.
推论1：的图象关于点对称.
推论2：的图象关于点对称.
推论3：的图象关于点对称.
求对称中心方法：
小结: 轴对称与中心对称的区别
轴对称：中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)；
中心对称：中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值.
（二）两个函数的图象相互对称
1、函数与函数图象关于直线对称；
特别地，函数与关于直线x=0(y轴)轴对称；
函数与函数图象关于y轴对称；
求对称轴方法：令,得 .
2、函数与关于点中心对称；
特别地，函数与关于点(0,0)（原点）中心对称.
函数与函数图象关于原点对称函数.
求对称中心方法：横坐标令,得 ，纵坐标.
二． 函数的奇偶性
1、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(f(x) －f(－x)＝0)，那么函数f(x)叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴(x=0)对称．
推论：若y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)，即y＝f(x)的图像关于直线x＝a轴对称.
2、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(f(x) +f(－x)＝0)，那么函数f(x)叫做奇函数．奇函数的图象关于原点(0,0)对称.
推论：若y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)，即y＝f(x) 的图像关于点(a，0)中心对称.
三．函数的周期性
1、 定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，都存在非零常数T，使得恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期.
2、推论：
①的周期为T.
②的周期为.
③的周期为.
④的周期为.
⑤的周期为.
⑥ 的周期为.
⑦ 的周期为.
⑧ 的周期为.
⑨的周期为.
⑩若的周期为
四．函数的对称性与周期性
①若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|.
推论：偶函数y＝f(x)满足的周期为.
②若函数y＝f(x)同时关于点(a，0)与点(b，0)中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|.
推论：奇函数y＝f(x)满足的周期为.
③y＝f(x)有一条对称轴x＝a和一个对称中心(b，0)的周期T＝4|a－b|.
小结：①函数对称性、奇偶性和周期性定义共同点：“对于函数f(x)定义域内任意一个x”；
②对称性、周期性定义中条件，“内反表示对称性，内同表示周期性”；
五．函数的单调性
1、增函数与减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。
(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。
2、单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间。
3、函数单调性的两个等价结论
设 x1，x 2∈D(x1≠x 2)，则
(1)>0(或>0) f(x)在D上单调递增。
(2)<0(或<0) f(x)在D上单调递减。
六、函数的最大值与最小值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值。
(2)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值。
七、常见的几个具有奇偶性的函数
①含有指数式的奇函数：，.
例：与图像如下：
①含有对数式的奇函数：，，，.
例：与图像如下：
例：与图像如下：
②含有绝对值的函数：为偶函数，为奇函数.
典例分析
一、　函数奇偶性的判断
例1、(1)下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝ln x B．y＝ex C．y＝xsin x D．y＝ex－e－x
(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
(3)已知函数f(x)＝x2－，则下列判断正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数不是奇函数 B．f(x)是奇函数不是偶函数
C．f(x)既是偶函数又是奇函数 D．f(x)既不是偶函数也不是奇函数
例1、(1)答案　D
【解析】对于选项A，定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故不是奇函数．所以选项A错；
对于选项B，f(－x)＝e－x＝≠－f(x)，故选项B错；
对于选项C，f(－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sin x)＝xsin x＝f(x)，所以y＝xsin x为偶函数，故选项C错；
对于选项D，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，所以函数y＝ex－e－x为奇函数，故选项D正确．
(2)【解析】因为f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数；
因为|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数；
因为f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数；
因为|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数．
【答案】C
(3)【解析】该函数的定义域为R，
f(－x)＝(－x)2－＝x2－＝＝＝
＝－x2＋＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，
f(1)＝1－＝，f(－1)＝1－＝－，所以函数f(x)不是偶函数．
【答案】B
练1、(1)满足下列条件的函数f(x)中，f(x)为偶函数的是(　　)
A．f(ex)＝|x| B．f(ex)＝e2x C．f(lnx)＝lnx2 D．f(lnx)＝x＋
(2)设f(x)的定义域是R，则下列命题中不正确的是(　　)
A．若f(x)是奇函数，则f(f(x))也是奇函数
B．若f(x)是周期函数，则f(f(x))也是周期函数
C．若f(x)是单调递减函数，则f(f(x))也是单调递减函数
D．若方程f(x)＝x有实根，则方程f(f(x))＝x也有实根
练1、(1)答案　D
解析　∵ex＞0，∴f(x)的定义域不关于原点对称，f(x)无奇偶性，A，B错误；
令lnx＝t，则x＝et，
而f(lnx)＝lnx2，即f(t)＝2t，
f(x)＝2x显然不是偶函数，C错误；
而f(lnx)＝x＋，则f(t)＝et＋，即f(x)＝ex＋，
此时f(－x)＝e－x＋＝＋ex＝f(x)，
∴f(x)＝ex＋是偶函数，D正确，故选D.
(2)答案　C
解析　若f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以f(f(－x))＝f(－f(x))＝－f(f(x))，
所以f(f(x))也是奇函数，所以A正确；
若T是f(x)的周期，则f(x＋T)＝f(x)， 所以f(f(x＋T))＝f(f(x))，
所以f(f(x))也是周期函数，所以B正确；
若f(x)是单调递减函数，则不妨取f(x)＝－x，
则f(f(x))＝f(－x)＝x是单调递增函数，所以C错误；
设x0是方程f(x)＝x的实根，则f(x0)＝x0，则f(f(x0))＝f(x0)＝x0，
即x0是方程f(f(x))＝x的实根，所以D正确．故选C.
二、函数奇偶性的应用
例2、(1)已知f(x)＝2x＋为奇函数，g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，则f(ab)＝(　　)
A． B． C．－ D．－
(2)已知函数f(x)＝asin x＋btan x－1(a，b∈R)，若f(－2)＝2 018，则f(2)＝(　　)
A．－2 020 B．2 019 C．－2 018 D．2 017
(3)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集
是___________________．
例2、(1)答案 D
解析：由f(x)＝2x＋为奇函数，得f(－x)＋f(x)＝0，
即＋＝0，可得a＝－1.
由g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，得g(x)＝g(－x)，
即bx－log2(4x＋1)＝b(－x)－log2(4－x＋1)，可得b＝1.
则ab＝－1，f(ab)＝f(－1)＝2－1－＝－.
(2)答案 A
解析 函数f(x)＝asin x＋btan x－1(a，b∈R)，
则f(－x)＝asin(－x)＋btan(－x)－1＝－asin x－btan x－1，即有f(－x)＋f(x)＝－2，
又f(－2)＝2 018，则f(2)＝－2－f(2)＝－2－2 018＝－2 020．
(3)答案 (－7，3)
解析 由函数特点绘出函数的图象如图，
可求得函数与y＝5的交点坐标为(－5，5)，(5，5)，
要使f(x＋2)<5，则有－5练2、(1)已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1＋2x－x2，则函数f(x)的解析式是
_______________________．
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，若实数a满足f(log3a)＋f(a)≥2f(1)，则a的取值范围是(　　)
A．(0,3] B． C． D．[1,3]
练2、(1)答案　f(x)＝
解析　设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝1－2x－x2＝－f(x)，
即x＜0时，f(x)＝－1＋2x＋x2，又易知f(0)＝0，∴f(x)＝
(2)答案　C
解析　函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，故f(x)在(－∞，0]上单调递增．
因为f(log3a)＋f(a)≥2f(1)，
所以f(log3a)＋f(－log3a)＝2f(log3a)≥2f(1)，
即f(log3a)≥f(1)＝f(－1)，所以－1≤log3a≤1，
解得≤a≤3，故选C.
三、函数对称性与周期性的综合应用
例3、(1)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，f(4＋x)＝f(4－x)，且－3＜x≤3时，f(x)＝ln(x＋)，则f(2020)＝(　 　)
A．0 B．1 C．ln(－2) D．ln(＋2)
(2)已知，方程在内有且只有一个，则在区间内根的个数为(　 　)
A． B． C． D．
(3)已知定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，如果，且，则的值(　 　)
A．可正可负 B．恒大于0 C．可能为0 D．恒小于0
例3、(1)答案 C
解析 因为f(1＋x)＝f(1－x)，f(4＋x)＝f(4－x)，
所以f(x)＝f(2－x)，f(x)＝f(8－x)，∴f(2－x)＝f(8－x)，∴T＝8－2＝6，
f(2 020)＝f(－2)＝ln(－2)．
(2)答案 D
解析 ，可得关于轴对称，
因为在内有且只有一个零点，所以由对称性可得在只有两个零点。
所以一个周期中含有两个零点，区间共包含1007个周期，所以有2014个零点.
(3)答案 D
解析一、 题目中给了单调区间，与自变量不等关系，所求为函数值的关系，从而想到单调性，
而可得，因为，所以，
进而将装入了中，所以由可得，
下一步需要转化，由可得关于中心对称，
所以有。代入 可得，
从而
解析二、 本题运用数形结合更便于求解。先从分析出关于中心对称，
令代入到可得。
中心对称的函数对称区间单调性相同，从而可作出草图。而，
即的中点位于的左侧，所以比距离更远，
结合图象便可分析出恒小于0
练3、(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝________.
(2)函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 是奇函数
练3、(1)答案　338
解析　∵f(x＋6)＝f(x)，∴周期T＝6.
∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2； 当－1≤x<3时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，
f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f(2016)＝1×＝336.
又f(2017)＝f(1)＝1，f(2018)＝f(2)＝2，f(2019)＝f(3)＝－1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝338.
(2)答案 D
解析 从已知条件入手可先看的性质，由为奇函数分别可得到：
，
所以关于中心对称，
双对称出周期可求得，所以不正确，
且由已知条件无法推出一定符合。
对于选项，因为，所以，
进而可推出关于中心对称，所以为图像向左平移个单位，
即关于对称，所以为奇函数，正确
四、函数的单调性
例4、(1)已知f(x)在实数集上是减函数，若a＋b≤0，则下列不等式正确的是(　　)
A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)] B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)]
(2)已知f(x)＝，若0A．<< B．<< C．<< D．<<
(3)如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________．
例4、(1)答案 C
解析 因为a＋b≤0，所以a≤－b， b≤－a，又因为f(x)在实数集上是减函数，
所以f(a)≥f(－b)， f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)答案 C
解析 由题意可得0∴在(0，2]上单调递减，∴<<．
(3)答案　
解析　对任意x1≠x2，都有>0，所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
所以解得:≤a<2.故实数a的取值范围是.
练4、(1)已知函数f(x)＝当x1≠x2时，<0，则a的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
(2)已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
练4、(1)答案　A
解析　当x1≠x2时，<0，∴f(x)是R上的减函数．
∵f(x)＝　∴∴0(2)答案　(－∞，－2)
解析　二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，
∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，
∴且在x＝0时两个表达式的值都为3.
∴f(x)在R上单调递减，
∴由f(x＋a)>f(2a－x)得到x＋a<2a－x，
即2x∴2(a＋1)∴实数a的取值范围是(－∞，－2)．
五、函数性质的综合应用
例5、(1)已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0,2)上单调递增 B．f(x)在(0,2)上单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
(2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为______________．
(3)定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
例5、(1)答案　C
解析　f(x)的定义域为(0,2)．
f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．
设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
又y＝lnu在其定义域上单调递增，
∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴选项A，B错误；
∵f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确；
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，
∴选项D错误．故选C.
(2)答案　
解析　由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，
两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得所以符合题意的x的取值范围为.
(3)答案 B
解析　体现的是间隔2个单位的自变量，
其函数值差，联想到周期性，考虑先求出的值，由为偶函数，
可令，得
， 为周期是2的周期函数。
已知条件中函数有三个零点，
可将零点问题转化为方程
即至少有三个根，
所以与有三个交点。
先利用在的函数解析式及周期性对称性作图，
通过图像可得：时，不会有3个交点，
考虑的图像。设，
则，利用图像变换作图，
通过观察可得：只需当时，的图像在上方即可，
即 所以
六、函数的最值与值域
例6、(1)若函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于(　　)
A．0 B．2 C．4 D．8
(3)设函数f(x)＝log2x＋ax＋b(a＞0)，若存在实数b，使得对任意的x∈[t，t＋2](t＞0)都有|f(x)|≤1＋a，则t的最小值是(　　)
A．2 B．1 C. D.
例6、(1)答案　－1≤a≤2.
解析　依题意，y＝2x＋a(x≤1)，y＝a2＋lnx(x＞1)在各自的定义域上单调递增，
由函数f(x)的值域为R，得2＋a≥a2，解得－1≤a≤2.
(2)答案　C
解析　f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，
因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，
所以g(x)max＋g(x)min＝0。因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，
所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4。
(3)答案　D
解析　f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
由对任意的x∈[t，t＋2](t＞0)都有|f(x)|≤1＋a，
可得－1－a≤f(x)≤1＋a恒成立，
∴－1－a≤f(x)min＝f(t)＝log2t＋at＋b，①
1＋a≥f(x)max＝f(t＋2)＝log2(t＋2)＋a(t＋2)＋b，
即－1－a≤－log2(t＋2)－a(t＋2)－b，②
①＋②可得－2－2a≤log2t＋at＋b－log2(t＋2)－a(t＋2)－b，
化为log2≥－2，解得≥，
解得t≥，则t的最小值为.
七、分段函数问题
例7、(1)已知函数，则不等式的解集是________
(2)设函数
①若，则的最小值为________
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是__________
例7、(1)答案：
解析　①当时，，
不等式变为：
②当时，，
不等式变为：
(2)答案 ① ② 或
解析 ① 时，，
当时，，
当时，，综上所述可得：
②当时，为单调增函数，且，
当时，解析式可能的零点为，
因为恰有2个零点，所以的区域中至少有一个零点。
当时，可知在各有一个零点，符合题意。
当时，在已有两个零点，所以在不能有零点，故，
综上所述：或
例8、已知定义在上的函数满足，当时，，其中，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例8、答案 B
解析 由可得，即的周期为，
所解方程可视为与的交点，
而的作用为影响图像直线的斜率，
也绝对此段的最值（），先做出的图像，
再根据三个交点的条件作出的图像（如图），
可发现只要在处，的图像高于图像
且在处的图像低于图像即可。
所以有 ，即
例9、已知函数 的图像上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例9、 答案 A
解析 考虑设对称点为，其中，则问题转化为方程至少有三个解。
即有三个根，
所以问题转化为与有三个交点，先做出的图像，
通过观察可知若与其有三个交点，
则，进一步观察图像可得：
只要，则满足题意，所以
，所以
例10、已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）
A． 4 B．6 C．8 D．10
例10、答案 D
解析 由为偶函数可得：只需作出正半轴的图像，
再利用对称性作另一半图像即可，
当时，可以利用利用图像变换作出图像，
时，，即自变量差2个单位，函数值折半，
进而可作出，，……的图像，
的零点个数即为根的个数，
即与的交点个数，观察图像在时，有5个交点，
根据对称性可得时，也有5个交点。共计10个交点
同步训练
1．已知函数满足，当时，，则不等式的解集为　　
A．，， B．
C． D．，，
【解答】解：因为满足，当时，单调递，且（2），
根据奇函数的对称轴可知，在上单调递减，由不等式得，即．
故选：．
2．定义在上的奇函数在，上单调递减，且，则不等式的解集为　　
A． B． C．， D．
【解答】解：因为定义在上的奇函数在，上单调递减，且，
根据奇函数对称性可知在上单调递减，
不等式，所以，所以，解得．
故选：．
3．偶函数对于任意实数，都有成立，并且当时，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：对任意实数都有，
由于为偶函数，所以．所以．
所以函数是以4为周期的周期函数．所以．
故选：．
4．已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，所以，
因为，所以，所以是周期为4的周期函数，
故（1），又（1），
所以由，可得，而，解得．
故选：．
5．已知定义在上的奇函数满足当时，，则不等式的解集为　　
A．，， B．
C．，， D．
【解答】解：因为定义在上的奇函数满足当时，单调递减，
根据奇函数的对称性可知，在上单调递减，
则不等式可转化为，
所以，即，
解得或．
故选：．
6．已知函数，且（3），则实数的取值范围为　　
A．，， B．
C．，， D．
【解答】解：，关于对称，
和都在上是减函数，在上是增函数，
在上为减函数，在上为增函数，
又（3），，即或，解得或，
的取值范围为，，．
故选：．
7．设函数，则　　
A．是偶函数，且在单调递增 B．奇函数，且在，单调递减
C．是偶函数，且在，单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【解答】解：由题意可知，解得且，
所以函数的定义域为，，，，
，
所以为偶函数，
当，时，，
由复合函数的单调性可知为增函数，为增函数，
所以在，单调递增，
由偶函数的性质可得在单调递减．
故选：．
8．已知函数，则不等式的解集是　　
A．或 B． C． D．
【解答】解：构造函数．
因为
，所以是奇函数，
因为，，所以在区间上是减函数．
因为是奇函数且，所以在上是减函数．
不等式等价于，
即，所以，解得，即不等式的解集为．
故选：．
9．已知定义在上的函数 满足①②③，，时，则，，的大小关系为　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数 满足：①，故函数的图象关于直线对称；
②，故函数的周期为4；
③，，时，，故函数在，上为减函数；
故（2），（3），（2），
故 ，
故选：．
10．（2021 毕节市模拟）设函数的定义域为，满足．当，时，．若对任意，，都有，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，
，时，，，
，时，，，，，
，时，，，，，
故存在，，由，解得或，
若对任意，，都有，则．
故选：．
11．已知定义在上的奇函数满足，且，时，，则关于的结论正确的是　　
A．是周期为4的周期函数
B．所有零点的集合为，
C．时，
D．的图象关于直线对称
【解答】解：因为满足，
所以函数的图象关于直线对称，故选项正确；
因为定义在上的奇函数满足，
所以，
则，则，
故函数是周期为4的周期函数，故选项正确；
当，时，，则，，，，
所以，所以，，，
故，故选项错误；
在，一个区间上的零点为，0，由周期性可得，所有零点的集合为，，故选项正确．
故选：．
12．已知函数是定义在上的偶函数，对任意的都有（3），且（5）．当，，，且时，恒成立，则　　
A．
B．直线是图象的对称轴
C．在，上是减函数
D．方程在上有6个实根
【解答】解：令，则（3），解得（3）．
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
所以，则是周期为6的函数，
则（5），故正确；
因为，所以的图象关于直线对称，
因为的周期为6，所以直线是图象的对称轴，故正确；
由题意可得的单调递减区间为，，故错误；
在内，的实根为，，故错误．
故选：．
13．（2021 河北模拟）已知函数的定义域为，满足，，当时，，则下列说法正确的是　　
A． （1）
B．函数是偶函数
C．当时，的最大值为6
D．当时，的最小值为
【解答】解：对任意实数满足，
即函数是周期函数，周期为4．
，那么，
函数是偶函数，，可得函数关于对称轴，
又当时，，
故函数对应图像大致如图，
函数在区间，上单调递增．函数在区间，上单调递减．
当时，函数的最小值为，最大值为（2）．
且（1）成立，函数是偶函数成立，当时，的最大值为6，当时，的最小值为不成立，故正确答案为．
故选：．
14．已知函数，函数满足，且当，时，，那么　　
A．在上关于直线对称
B．当时，单调递减
C．当，时，有6个零点
D．当，时，所有零点的和为6
【解答】解：由函数，
对于：由，可得在上关于直线对称，故正确；
对于：由，当时，函数是单调递增函数；当时，函数是单调递减函数；故错误；
对于，可得是周期为2的函数，且当，时，，
作出函数图象与的图象，从图象可知有6个不同交点，故有6个零点，故正确；
对于：根据图象可得也关于直线对称，所以6个零点两两关于直线对称，可得6个零点的和为6，故正确；综上，可得答案为．
故选：．
15．已知偶函数对任意都有，当，时，，实数是关于的方程，2，3，的解，且互不相等．则下列说法正确的是　　
A．的最小正周期是12
B．图象的对称轴方程为，
C．当时，关于的方程在，上有唯一解
D．当时，存在，，，，使得的最小值为0
【解答】解：因为函数是偶函数，则图象关于轴对称，
又，所以函数关于直线对称，
当，时，函数无轴对称性，
又，
所以函数的最小正周期为24，故错误；
因为是函数的对称轴，且，
所以函数图象关于直线对称，故正确；
当，时，结合的单调性和图象可知，
当时，关于的方程在，上只有唯一解，故正确；
当时，总能找到两两关于轴对称的四个零点，使得，
若4个零点不关于轴对称时，，故正确．
故选：．
16．已知函数满足，，与交于点，，，，则　2　．
【解答】解：根据函数满足可得函数关于点中心对称，
即若点在的图象上，则点也在的图象上，
而，可知函数也关于点中心对称，
所以与交于点应成对出现，且每对交点关于中心对称，
所以，．
故答案为：2．
17．定义在上的函数满足：，当时，；当时，，则（1）（2）（3）　337　．
【解答】解：因为当时，，所以，（1），（2），
又因为，所以且函数的周期为6，
所以（3），（4）（1），（5）（2），（6），
当时，，所以（3），（4），（5），
所以（1）（2）（3）（4）（5）（6），
故（1）（2）（3）（6）．
故答案为：337．
18．已知是定义在上的函数，且满足，当时，，则　　
【解答】解：，，的周期为4，
，，，，
故答案为：．
19．已知函数，对任意，都有为常数），且当，时，，则　2　．
【解答】解：因为对任意，都有为常数，
所以，从而，即的周期为4，
所以（1），
故答案为：2．
20．定义在上的函数满足当，时，，则函数的图象与的图象的交点个数为　7　．
【解答】解：在上的函数满足，周期，
函数是偶函数．作图可得在轴右侧3个交点，轴左侧3个交点，还有坐标原点，共7个交点．
故答案为：7．
y
x
y
x
0
y
x
y
x
y
x
y
x
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高中数学重难点突破
专题十四 函数的性质与综合应用
知识归纳
一．函数的对称性
（一）函数 的图象自身对称
1、轴对称
对于函数的定义域内任意一个，
图象关于直线对称.
推论1： 的图象关于直线对称.
推论2： 的图象关于直线对称.
推论3： 的图象关于直线对称.
求对称轴方法：
2、中心对称
对于函数的定义域内任意一个，
的图象关于点对称.
推论1：的图象关于点对称.
推论2：的图象关于点对称.
推论3：的图象关于点对称.
求对称中心方法：
小结: 轴对称与中心对称的区别
轴对称：中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)；
中心对称：中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值.
（二）两个函数的图象相互对称
1、函数与函数图象关于直线对称；
特别地，函数与关于直线x=0(y轴)轴对称；
函数与函数图象关于y轴对称；
求对称轴方法：令,得 .
2、函数与关于点中心对称；
特别地，函数与关于点(0,0)（原点）中心对称.
函数与函数图象关于原点对称函数.
求对称中心方法：横坐标令,得 ，纵坐标.
二． 函数的奇偶性
1、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(f(x) －f(－x)＝0)，那么函数f(x)叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴(x=0)对称．
推论：若y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)，即y＝f(x)的图像关于直线x＝a轴对称.
2、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(f(x) +f(－x)＝0)，那么函数f(x)叫做奇函数．奇函数的图象关于原点(0,0)对称.
推论：若y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)，即y＝f(x) 的图像关于点(a，0)中心对称.
三．函数的周期性
1、 定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，都存在非零常数T，使得恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期.
2、推论：
①的周期为T.
②的周期为.
③的周期为.
④的周期为.
⑤的周期为.
⑥ 的周期为.
⑦ 的周期为.
⑧ 的周期为.
⑨的周期为.
⑩若的周期为
四．函数的对称性与周期性
①若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|.
推论：偶函数y＝f(x)满足的周期为.
②若函数y＝f(x)同时关于点(a，0)与点(b，0)中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|.
推论：奇函数y＝f(x)满足的周期为.
③y＝f(x)有一条对称轴x＝a和一个对称中心(b，0)的周期T＝4|a－b|.
小结：①函数对称性、奇偶性和周期性定义共同点：“对于函数f(x)定义域内任意一个x”；
②对称性、周期性定义中条件，“内反表示对称性，内同表示周期性”；
五．函数的单调性
1、增函数与减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。
(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。
2、单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间。
3、函数单调性的两个等价结论
设 x1，x 2∈D(x1≠x 2)，则
(1)>0(或>0) f(x)在D上单调递增。
(2)<0(或<0) f(x)在D上单调递减。
六、函数的最大值与最小值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值。
(2)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值。
七、常用结论
(1)如果一个奇函数在原点处有定义，即有意义，那么一定有；
如果函数是偶函数，那么．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)掌握一些重要类型的奇偶函数：
函数f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数；
函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数；
函数f(x)＝ (a>0且a≠1)是奇函数；
函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数；
函数f(x)＝loga(±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．
典例分析
题型一、　函数奇偶性的判断
例1、(1)下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝ln x B．y＝ex C．y＝xsin x D．y＝ex－e－x
(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
(3)已知函数f(x)＝x2－，则下列判断正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数不是奇函数 B．f(x)是奇函数不是偶函数
C．f(x)既是偶函数又是奇函数 D．f(x)既不是偶函数也不是奇函数
练1、(1)满足下列条件的函数f(x)中，f(x)为偶函数的是(　　)
A．f(ex)＝|x| B．f(ex)＝e2x C．f(lnx)＝lnx2 D．f(lnx)＝x＋
(2)设f(x)的定义域是R，则下列命题中不正确的是(　　)
A．若f(x)是奇函数，则f(f(x))也是奇函数
B．若f(x)是周期函数，则f(f(x))也是周期函数
C．若f(x)是单调递减函数，则f(f(x))也是单调递减函数
D．若方程f(x)＝x有实根，则方程f(f(x))＝x也有实根
题型二、函数奇偶性的应用
例2、(1)已知f(x)＝2x＋为奇函数，g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，则f(ab)＝(　　)
A． B． C．－ D．－
(2)已知函数f(x)＝asin x＋btan x－1(a，b∈R)，若f(－2)＝2 018，则f(2)＝(　　)
A．－2 020 B．2 019 C．－2 018 D．2 017
(3)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集
是___________________．
练2、(1)已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1＋2x－x2，则函数f(x)的解析式是
_______________________．
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，若实数a满足f(log3a)＋f(a)≥2f(1)，则a的取值范围是(　　)
A．(0,3] B． C． D．[1,3]
题型三、函数对称性与周期性的综合应用
例3、(1)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，f(4＋x)＝f(4－x)，且－3＜x≤3时，f(x)＝ln(x＋)，则f(2020)＝(　 　)
A．0 B．1 C．ln(－2) D．ln(＋2)
(2)已知，方程在内有且只有一个，则在区间内根的个数为(　 　)
A． B． C． D．
(3)已知定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，如果，且，则的值(　 　)
A．可正可负 B．恒大于0 C．可能为0 D．恒小于0
练3、(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝________.
(2)函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 是奇函数
四、函数的单调性
例4、(1)已知f(x)在实数集上是减函数，若a＋b≤0，则下列不等式正确的是(　　)
A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)] B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)]
(2)已知f(x)＝，若0A．<< B．<< C．<< D．<<
(3)如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________．
练4、(1)已知函数f(x)＝当x1≠x2时，<0，则a的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
(2)已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
五、函数性质的综合应用
例5、(1)已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0,2)上单调递增 B．f(x)在(0,2)上单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
(2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为______________．
(3)定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
六、函数的最值与值域
例6、(1)若函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于(　　)
A．0 B．2 C．4 D．8
(3)设函数f(x)＝log2x＋ax＋b(a＞0)，若存在实数b，使得对任意的x∈[t，t＋2](t＞0)都有|f(x)|≤1＋a，则t的最小值是(　　)
A．2 B．1 C. D.
七、分段函数问题
例7、(1)已知函数，则不等式的解集是________
(2)设函数
①若，则的最小值为________；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是__________
例8、已知定义在上的函数满足，当时，，其中，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例9、已知函数 的图像上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例10、已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）
A． 4 B．6 C．8 D．10
同步训练
1．已知函数满足，当时，，则不等式的解集为　　
A．，， B．
C． D．，，
2．定义在上的奇函数在，上单调递减，且，则不等式的解集为　　
A． B． C．， D．
3．偶函数对于任意实数，都有成立，并且当时，，则　　
A． B． C． D．
4．已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则　　
A． B． C． D．
5．已知定义在上的奇函数满足当时，，则不等式的解集为　　
A．，， B．
C．，， D．
6．已知函数，且（3），则实数的取值范围为　　
A．，， B．
C．，， D．
7．设函数，则　　
A．是偶函数，且在单调递增 B．奇函数，且在，单调递减
C．是偶函数，且在，单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
8．已知函数，则不等式的解集是　　
A．或 B． C． D．
9．已知定义在上的函数 满足①②③，，时，则，，的大小关系为　　
A． B．
C． D．
10．设函数的定义域为，满足．当，时，．若对任意，，都有，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
11．(多选题)已知定义在上的奇函数满足，且，时，，则关于的结论正确的是　　
A．是周期为4的周期函数
B．所有零点的集合为，
C．时，
D．的图象关于直线对称
12．(多选题)（2020秋 邵阳县期中）已知函数是定义在上的偶函数，对任意的都有（3），且（5）．当，，，且时，恒成立，则　　
A．
B．直线是图象的对称轴
C．在，上是减函数
D．方程在上有6个实根
13．(多选题)已知函数的定义域为，满足，，当时，，则下列说法正确的是　　
A． （1）
B．函数是偶函数
C．当时，的最大值为6
D．当时，的最小值为
14．(多选题)已知函数，函数满足，且当，时，，那么　　
A．在上关于直线对称
B．当时，单调递减
C．当，时，有6个零点
D．当，时，所有零点的和为6
15．(多选题)已知偶函数对任意都有，当，时，，实数是关于的方程，2，3，的解，且互不相等．则下列说法正确的是　　
A．的最小正周期是12
B．图象的对称轴方程为，
C．当时，关于的方程在，上有唯一解
D．当时，存在，，，，使得的最小值为0
16．已知函数满足，，与交于点，，，，则　　．
17．定义在上的函数满足：，当时，；当时，，则（1）（2）（3）　　．
18．已知是定义在上的函数，且满足，当时，，则　　
19．已知函数，对任意，都有为常数），且当，时，，则　　．
20．定义在上的函数满足当，时，，则函数的图象与的图象的交点个数为　　．
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