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高中数学重难点突破
专题十五 函数的零点问题解题策略
知识归纳
1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
注意事项：
(1)函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)＜0”是函数f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
典例分析
题型一、函数零点所在区间的判定
例1、若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A．(a，b)和(b，c)内　　　　 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
变式1、已知实数，满足，，则函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
例2、已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则g(x0)＝________.
例3、函数f(x)＝ex＋ln x，g(x)＝e－x＋ln x，h(x)＝e－x－ln x的零点分别是a，b，c，则(　　)
A．aC．c题型二、函数零点个数的判定
例4、(2020·浙江省高三二模)已知函数，下列关于函数的零点个数的判断，正确的是（　　）
A．当a＝0，m∈R时，有且只有1个 B．当a＞0，m≤﹣1时，都有3个
C．当a＜0，m＜﹣1时，都有4个 D．当a＜0，﹣1＜m＜0时，都有4个
例5、已知偶函数，且，则函数在区间的零点个数为（ ）
A．2020 B．2016 C．1010 D．1008
例6、定义在上的函数满足，且时， ； 时， . 令，则函数的零点个数为（ ）
A. B. C. D.
变式2、函数f(x)＝则函数h(x)＝f(x)－log4x的零点个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
题型三、根据函数零点个数求参数
例7、已知函数是定义域为的偶函数，当时， （符号表示不超过的最大整数），若方程有6个不同的实数解，则的取值范围是__________．
例8、(2015，天津)已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例9、设定义域为的函数，若关于的方程有个不同的实数解，则m=
变式3、(2020·湖南长沙一中高三月考(理))已知偶函数的定义域为R，当时，函数，若函数有且仅有6个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型四、零点之间的关系
例10、已知函数 ，若有三个不同的实数，使得 ，则的取值范围是________
例11、已知函数，（其中），若的四个零点从小到大依次为，，，，则的值是（ ）
A．16 B．13 C．12 D．10
变式1、定义在上的奇函数，当时，则函数的所有零点之和为 ．
变式2、已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有解的和为（　　）
A． B．1 C．3 D．5
同步练习
1．函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是(　　)
A． B．(1，2) C．(2，e) D．(e，3)
2．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则(　　)
A.a4．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
5．若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则(　　)
A．mn＝1 B．mn>1 C．06．函数f(x)的定义域为[－1,1]，图象如图1所示；函数g(x)的定义域为[－2,2]，图象如图2所示，方程
f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根，则m＋n＝(　　)
A．14 B．12 C．10 D．8
7．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
8．已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[2，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞)
C．(0，]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞)
9．设f(x)＝则函数y＝f(f(x))的零点之和为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
10．已知函数 ，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，则函数在区间上零点的个数为（ ）
A．9 B．10 C．18 D．20
12．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
14．设函数，若函数有三个零点，则（　　）
A．12 B．11 C．6 D．3
15．已知函数f(x)＝x，g(x)＝x，记函数h(x)＝则函数F(x)＝h(x)＋x－5的所有零点的和为________．
16．已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)＜0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 .
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专题十五 函数的零点问题解题策略
知识归纳
1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
注意事项：
(1)函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)＜0”是函数f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
典例分析
一、函数零点所在区间的判定
例1、若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A．(a，b)和(b，c)内　　　　 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
变式、已知实数，满足，，则函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
例2、已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则g(x0)＝________.
例3、函数f(x)＝ex＋ln x，g(x)＝e－x＋ln x，h(x)＝e－x－ln x的零点分别是a，b，c，则(　　)
A．aC．c函数零点个数的判定
例4、已知函数，下列关于函数的零点个数的判断，正确的是（　　）
A．当a＝0，m∈R时，有且只有1个 B．当a＞0，m≤﹣1时，都有3个
C．当a＜0，m＜﹣1时，都有4个 D．当a＜0，﹣1＜m＜0时，都有4个
【答案】B
【解析】令，则，
当时， 若，则或，即或，
即当，时，不是有且只有1个零点，故A错误；
当时，时，可得或，
可得的个数为个，即B正确；
当，或时，由，且，可得零点的个数为1个或3个，故C，D错误．故选：B．
例5、已知偶函数，且，则函数在区间的零点个数为（ ）
A. 2020 B. 2016 C. 1010 D. 1008
【答案】A
【解析】依题意，当时，对称轴为，
由可知，函数的周期T=8，令，
可得，求函数的零点个数，
即求偶函数与函数图像交点个数，
当时，函数与函数图象有个交点，
,由知，当时函数与函数图象有个交点,故函数的零点个数为,故选.
例6、定义在上的函数满足，且时， ； 时， . 令，则函数的零点个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】时，时
令即
∵函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，分别画出函数y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=x+2的图象，
∴y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=x+2有8个交点，故函数g（x）的零点个数为8个．故选：B．
变式、函数f(x)＝则函数h(x)＝f(x)－log4x的零点个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　D
解析　函数h(x)＝f(x)－log4x的零点个数即为方程f(x)＝log4x的根的个数，分别画出y1＝f(x)，y2＝log4x的图象，由图可知，两个函数的图象有5个交点，所以函数h(x)有5个零点．
三、根据函数零点个数求参数
例7、已知函数是定义域为的偶函数，当时， （符号表示不超过的最大整数），若方程有6个不同的实数解，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】作出函数的图像，如图所示：
有6个不同的实数解，即为与有六个交点.当时，显然不成立；当时，只需解得.
故答案为： .
例8、已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：由得，
所以，
即
,所以恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解，即函数与函数的图象
的4个公共点，由图象可知.
例9、设定义域为的函数，若关于的方程有个不同的实数解，则m=
【答案】2
【解析】∵题中原方程有个不同的实数根，∴即要求对应于等于某个常数有个不同实数解和个不同的实数解，∴故先根据题意作出的简图：
由图可知，只有当时，它有三个根，故关于的方程有一个实数根，∴，∴或，时，方程
或,有5个不同的实数根，∴．
变式、已知偶函数的定义域为R，当时，函数，若函数有且仅有6个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】画出的图像,先求解,再数形结合列出关于的不等式求解即可.
【详解】由题意画出的图像如图所示,由解得,,由函数有且仅有6个零点知,解得,
四、零点之间的关系
例10、已知函数 ，若有三个不同的实数，使得 ，则的取值范围是________
解析：的图像可作，所以考虑作出的图像，不妨设，由图像可得： ，且关于轴对称，所以有，再观察，且，所以，
从而
答案：
例11、已知函数，（其中），若的四个零点从小到大依次为，，，，则的值是（ ）
A．16 B．13 C．12 D．10
【答案】B
【解析】解：由题意可知，
有四个零点等价于函数图象与函数有四个交点，如图所示，
由图形可知，，，，，
∴，，，，
即，，，，
所以，，故，故选B．
变式1、定义在上的奇函数，当时，则函数的所有零点之和为 ．
【答案】
【解析】由图知，共五个零点，从左到右交点横坐标依次为，满足，因此所有零点之和为
变式2、(2020·四川高考模拟)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有解的和为（　　）
A． B．1 C．3 D．5
【答案】C
【解析】∵是定义在R上的奇函数，且当时，
∴当时， ，则 即
则 作出的图象如图：
∵的图象与的图象关于对称
∴作出的图象，由图象知与的图象有三个交点
即有三个根，其中一个根为1，另外两个根a，b关于对称
即，则所有解的和为，故选C．
同步练习
1．函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是(　　)
A． B．(1，2) C．(2，e) D．(e，3)
【答案】　C
【解析】　易知f(x)在(0，＋∞)上是单调递增，且f(2)＝ln 2－<0，f(e)＝＋e－－2>0.∴f(2)f(e)<0，故f(x)的零点在区间(2，e)内.
2．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　由f(x)＝0，得|log0.5x|＝x，
作出函数y＝|log0.5x|和y＝x的图象，
由图知两函数图象有2个交点，
故函数f(x)有2个零点．
3．已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则(　　)
A.a【答案】　A
【解析】　令函数f(x)＝2x＋x＋1＝0，可知x<0，即a<0；
令g(x)＝log2x＋x＋1＝0，则0令h(x)＝log2x－1＝0，可知x＝2，即c＝2.显然a4．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
答案　C
解析　由题意，知函数f(x)在(1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1,2)内，
所以即
解得05．若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则(　　)
A．mn＝1 B．mn>1 C．0答案　C
解析　由题设可得|logax|＝x，不妨设a>1，m1，且－logam＝m，logan＝n，以上两式两边相减可得loga(mn)＝n－m<0，所以06．函数f(x)的定义域为[－1,1]，图象如图1所示；函数g(x)的定义域为[－2,2]，图象如图2所示，方程f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根，则m＋n＝(　　)
A．14 B．12 C．10 D．8
答案　A
解析　由题图1可知，若f(g(x))＝0，则g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1，由题图2可知，g(x)＝－1时，x＝－1或x＝1；g(x)＝0对应的x值有3个；g(x)＝1时，x＝2或x＝－2，故m＝7.若g(f(x))＝0，则f(x)＝－1.5或f(x)＝1.5或f(x)＝0，由题图1知，f(x)＝1.5与f(x)＝－1.5对应的x值各有2个，f(x)＝0时，x＝－1或x＝1或x＝0，故n＝7，故m＋n＝14.故选A.
7．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　C
解析　令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝f(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意；
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．
故选C.
8．已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[2，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞)
C．(0，]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞)
答案　B
解析　在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m22与g(x)＝＋m的大致图象．
分两种情形：
(1)当0＜m≤1时，≥1，如图①，当x∈[0,1]时，
f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．
(2)当m＞1时，0＜＜1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，
即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．
综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．
故选B.
9．设f(x)＝则函数y＝f(f(x))的零点之和为(　　)
A．0B．1C．2D．4
答案　C
解析　由f(f(x))＝0得f(x)＝0或f(x)＝1，当f(x)＝0时，x＝0或x＝1；当f(x)＝1时，x＝－1或x＝2，所以函数y＝f(f(x))的零点之和为0＋1＋(－1)＋2＝2，故选C.
10．已知函数 ，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，
当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，
当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，
当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝ [﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，
作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，
设h（x）＝ ，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），
作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，
即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．
11．已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，则函数在区间上零点的个数为（ ）
A．9 B．10 C．18 D．20
【答案】B
【解析】函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数等价于函数f（x）与g（x）图象在上交点的个数，
由f（x）＝f （2﹣x），得函数f（x）图象关于x＝1对称，
∵f（x）为偶函数，取x＝x+2，可得f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），得函数周期为2.
又∵当x∈[0，1]时，f（x）＝x，且f（x）为偶函数，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，
g（x），
作出函数f（x）与g（x）的图象如图：
由图可知，两函数图象共10个交点，
即函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数为10.故选：B.
12．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则有且只有一个实数根.
当 时，当 时， ，由即，解得，
结合图象可知，此时当时，得 ，则 是唯一解，满足题意；
当时，此时当时，，此时函数有无数个零点，不符合题意；
当 时，当 时，，此时 最小值为 ，
结合图象可知，要使得关于的方程有且只有一个实数根，此时 .
综上所述： 或.故选:A.
13．已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6、答案：B
解析：不妨设，作出的图像可知若与有四个不同交点，则，且关于轴对称。所以有即
因为，所以，求出该表达式的范围即为
14．设函数，若函数有三个零点，则（　　）
A．12 B．11 C．6 D．3
【答案】B
【解析】作出函数的图象如图所示，
令，由图可得关于的方程的解有两个或三个（时有三个，时有两个），
所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五个根），由，可得的值分别为，
则故选B．
15．已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)＜0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
答案　(1,4)　(1,3]∪(4，＋∞)
解析　当λ＝2时，f(x)＝其图象如图(1)．
由图知f(x)＜0的解集为(1,4)．
f(x)＝恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．
在同一平面直角坐标系中画出y1＝x－4与y2＝x2－4x＋3的图象，如图(2)，平移直线x＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)．
16．已知函数f(x)＝x，g(x)＝x，记函数h(x)＝则函数F(x)＝h(x)＋x－5的所有零点的和为________．
答案　5
解析　由题意知函数h(x)的图象如图所示，易知函数h(x)的图象关于直线y＝x对称，函数F(x)所有零点的和就是函数y＝h(x)与函数y＝5－x图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线y＝x对称，所以＝5－，所以x1＋x2＝5.
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