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专题04 二次函数中的正方形
1．如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上的点，C、D为抛物线y=-x2+2x+3上两点，且四边形ABCD是正方形，则正方形ABCD的面积是 ．

2．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在抛物线的图像上．若正方形OABC的边长为，OC与y轴的正半轴的夹角为，则a的值为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形．则点的坐标是 ．
二、解答题(共0分)
4．如图，抛物线y＝x2＋2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）．
（1）请求出A、B、C三点的坐标；
（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；
(2)求△BCD的面积；
(3)点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线上的一个动点，点关于原点的对称点为.当点落在该抛物线上时，求的值；
（3）是抛物线上一动点，连接，以为边作图示一侧的正方形，随着点的运动，正方形的大小与位置也随之改变，当顶点或恰好落在轴上时，求对应的点坐标.
7．二次函数的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B．
（1）当m=1时，求顶点P的坐标；
（2）若点Q（a，b）在二次函数的图象上，且，试求a的取值范围；
（3）在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD．
①求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值．
8．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象L经过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）作x轴的平行线，交L于A，B两点（点A在点B的左边），过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为点D，C．当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，求点A的坐标．
9．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．
10．如图，直线交横轴、纵轴分别于、两点，且直线的表达式为：，点为横轴上原点右侧的一点，且满足，抛物线经过点、、．
(1)点、、的坐标分别为______、______、______；
(2)求抛物线表达式；
(3)如图，点为直线上方、抛物线上一点，过点作矩形，且轴，求当矩形为正方形时点的坐标．
11．如图，已知直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于、两点，点为抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点，垂足为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点位于抛物线对称轴右侧时，点为抛物线对称轴左侧一个动点，过点作轴，垂足为点．若四边形为正方形时求点的坐标；
（3）若是以点为顶角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点的横坐标．
12．已知抛物线y＝ax2＋2ax＋c与x轴交于A（－3，0），B两点，交y轴于点C（0，－3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P在抛物线的对称轴上，P的纵坐标为n，若－3＜n＜0，以C、P为顶点作正方形CPDE（C、P、D、E顺时针排列），若正方形CPDE有两个顶点在抛物线上，求n的值；
（3）如图2，C、F两点关于对称轴对称，直线y＝kx＋b（k＜0）过点F，且与抛物线有且只有一个交点，平移直线y＝kx＋b交抛物线于G，H两点（点G在点H上方），请判断∠GCF与∠HCF的数量关系，并说明理由．
13．如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知C点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为，点P是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ是平行四边形，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求使△APC的面积为整数的P点的个数；
（3）当点P在抛物线上运动时，四边形OPAQ可能是正方形吗？若可能，请求出点P的坐标，若不可能，请说明理由；
（4）在点Q随点P运动的过程中，当点Q恰好落在直线AC上时，则称点Q为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q为“和谐点”的横坐标的值．
14．直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．
①如图1，当点为抛物线顶点时，求长．
②如图2，当时，求点的坐标；
如图3，在（2）②的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点.是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
参考答案：
1．24-8
【分析】设正方形的边长为a，令y=a，得a=-x2+2x+3，求解x，则可得出C，D两点的横坐标，再根据CD=a，从而可得出关于a的方程，求出a，即可得出正方形ABCD的面积．
【详解】解：设正方形的边长为a，令y=a，得a=-x2+2x+3，
解得x1=1+，x2=1-，
∴xC=1+，xD=1-，
∴CD=a= xC-xD=1+-1+=2，
∴a2+4a-16=0，
解得a=2-2(舍去负值)，
∴正方形ABCD的面积=a2=24-8．
故答案为：24-8．
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及二次函数与一元二次方程的关系，正方形的性质，解一元二次方程等知识点，掌握基本知识是解题的关键．
2．
【分析】连接OB，过点B作BE⊥y轴于点E，则由勾股定理求出OB的长，再得到∠EOB=30°，得到 ，由勾股定理求出 ，的到点B的坐标，把点B的坐标代入 即可求解；
【详解】连接OB，过点B作BE⊥y轴于点E，则
OB==2
∵∠COB=15°，∠COB=°=45°
∴∠EOB=45°-15°=30°
∴
∴
∴点B的坐标为（1， ）把点B的坐标代入
得：
∴a=
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数几何综合，也考查了正方形的性质，勾股定理解三角形．添加合适的辅助线是解题的关键．
3．，
【分析】先将点A（3，0）代入求出关系式，由正方形的性质可知点D的纵坐标是3，即可求出点D的横坐标，可得答案．
【详解】将点A（3，0）代入，得
，
解得，
∴抛物线的关系式为．
∵四边形OABC是正方形，
∴CO=AO=3，
∴点D的纵坐标是3．
当y=3时，，
解得或（舍），
∴点D的横坐标是．
∵四边形EFBD是正方形，
∴，
∴点E的坐标是．
故答案为：．
【点睛】这是一道二次函数和正方形的综合问题，考查了正方形的性质，求二次函数关系式等．
4．（1）点A（﹣1，﹣1），点B（﹣2，0），点C（0，0）；（2）y＝（x﹣2）2﹣2或y＝（x﹣）2﹣．
【分析】（1）令y＝0，可求点B，点C坐标，通过配方可求点A坐标；
（2）设平移后抛物线的表达式为：y＝（x＋1﹣m）2﹣1＋n（m＞1），分两种情况讨论，可求点D，点E坐标，分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2＋2x与x轴交于B、C两点，
∴0＝x2＋2x，
∴x1＝0，x2＝﹣2，
∴点B（﹣2，0），点C（0，0），
∵y＝x2＋2x＝（x＋1）2﹣1，
∴点A（﹣1，﹣1）；
（2）设平移后抛物线的表达式为：y＝（x＋1﹣m）2﹣1＋n（m＞1），
∴点D（m﹣1，﹣1＋n），
∵y＝（x＋1﹣m）2﹣1＋n＝x2＋2×（1﹣m）x＋m2﹣2m＋n，
∴点E（0，m2﹣2m＋n），
如图1，当点D在点A的下方时，过点A作AM⊥y轴于N，过点D作DM⊥AM于M，
∴∠ANE＝∠AMD＝90°，
∵以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，
∴AE＝AD，∠EAD＝90°，
∴∠EAN＋∠DAM＝90°，
∵∠AEN＋∠EAN＝90°，
∴∠AEN＝∠DAM，
∴△AEN≌△DAM（AAS），
∴AN＝DM，EN＝AM，
∴1＝﹣1﹣（﹣1＋n），m﹣1﹣（﹣1）＝m2﹣2m＋n﹣（﹣1），
∴n＝﹣1，m＝3，
∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2；
如图2，点D在点A上方时，过点D作DM⊥y轴于N，过点A作AM⊥DM于M，
同理可证△EDN≌△DAM，
∴DN＝AM，EN＝DM，
∴m﹣1＝﹣1＋n＋1，m2﹣2m＋n﹣（﹣1＋n）＝m﹣1＋1，
∴m＝，n＝，
∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣）2﹣，
综上所述：平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝（x﹣）2﹣．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平移的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
5．(1)，顶点D的坐标是（3，）
(2)6
(3)存在，点M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）
【分析】（1）由抛物线 经过点A（1，0），B（5，0）两点可得，求出的值，进而可得抛物线解析式，将解析式化成顶点式可得顶点坐标；
（2）如图，设抛物线的对称轴与BC的交点为H，设直线BC的解析式为，待定系数法求得直线BC的解析式为y＝，令，则可得H（3，），则，根据计算求解即可；
（3）设点M的坐标为（x，），由题意知分两种情况求解：一、如图①②，作轴，交对称轴于，作于，，则，，，证明△GAM≌△HMI，则AG＝MH，即，求解x的值，进而可求M点的坐标；二、如图③④，同理可证△MAP≌△MIQ，则MP＝MQ，即，求解x的值，进而可求M点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点A（1，0），B（5，0）两点
∴
解得：
∴抛物线的解析式是
∵
∴顶点D的坐标是（3，）．
（2）解：如图，设抛物线的对称轴与BC的交点为H，
设直线BC的解析式为
将B（5，0），C（0，）代入得
解得
∴直线BC的解析式为y＝
令，则
∴H（3，）
∴
∴．
（3）解：存在．
设点M的坐标为（x，）
由题意知分两种情况求解：一、如图①②
作轴，交对称轴于，作于
∵
∴
∵，
∴△GAM≌△HMI
∴AG＝MH，即 解得x＝
∴M点的坐标为（，）或（，）；
二、如图③④
同理可证△MAP≌△MIQ
∴MP＝MQ，即
解得x＝
∴M点的坐标为（，）或（，）；
综上所述，点M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，顶点坐标，二次函数与面积综合，二次函数与特殊四边形综合，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
6．（1）.（2）或.（3）点的坐标为，，
，.
【分析】（1）将和点代入解析式解方程即可；
（2）将的坐标表示，把坐标代入解析式求m即可；
（3）利用正方形性质和一线三直角几何模型，找到全等三角形，根据直角边解方程即可.
【详解】（1）∵抛物线经过点和点.
得，解得
∴抛物线的解析式为.
（2）∵与关于原点对称，
∴的坐标为.
∵，都在抛物线上，
∴，.
∴.
解得或.
（3）当点落在轴上时，
如图1，过点作轴于点，
∵四边形是正方形，
∴，.
∴.
∵，
∴.
∴.
又，
∴.
∴.
∴，有，
解得或（舍去）.
∴点坐标为.
如图2，过点作轴于点，
同理可以证得，
∴.
∴，有，
解得或（舍去）.
∴点坐标为.
当点落在轴上时，
如图3，过点作轴于点，过点作于点，
同理可以证得，
∴，
∴，有，
解得或（舍去）.
∴点坐标为.
如图4，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，
同理可以证得，
∴，
∴，有，
解得或（舍去）.
∴点坐标为.
综上所述，点的坐标为，，
，.
【点睛】本题是经典的二次函数题目，涉及待定系数法求解析式，点的表示及代入，以及与一线三直角模型的点的存在性问题，是典型的综合性题目.
7．（1）P（2，）；（2）a的取值范围为：a＜0或a＞4；（3）①D（m，m+3）； ②2，3，4．
【分析】（1）把m=1代入二次函数解析式中，进而求顶点P的坐标即可；
（2）把点Q（a，b）代入二次函数解析式中，根据得到关于a的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a的取值范围即可；
（3）①过点D作DE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥DE于点F，求出二次函数与y轴的交点A的坐标，得到OA的长，再根据待定系数法求出直线AP的解析式，进而求出与x轴的交点B的坐标，得到OB的长；通过证明△ADF≌△ABO，得到AF=OA=m，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D的坐标；
②因为二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，由①同理可得：C（m+3，3），分当x等于点D的横坐标时与当x等于点C的横坐标两种情况，进行讨论m可能取的整数值即可．
【详解】解：（1）当m=1时，二次函数为，
∴顶点P的坐标为（2，）；
（2）∵点Q（a，b）在二次函数的图象上，
∴，
即：
∵，
∴＞0，
∵m＞0，
∴＞0，
解得：a＜0或a＞4，
∴a的取值范围为：a＜0或a＞4；
（3）①如下图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥DE于点F，
∵二次函数的解析式为，
∴顶点P（2，），
当x=0时，y=m，
∴点A（0，m），
∴OA=m；
设直线AP的解析式为y=kx+b(k≠0)，
把点A（0，m），点P（2，）代入，得：
，
解得：，
∴直线AP的解析式为y=x+m，
当y=0时，x=3，
∴点B（3，0）；
∴OB=3；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAF+∠FAB=90°，
且∠OAB+∠FAB =90°，
∴∠DAF=∠OAB，
在△ADF和△ABO中，
，
∴△ADF≌△ABO（AAS），
∴AF=OA=m，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，
∴点D的坐标为：（m，m+3）；
②由①同理可得：C（m+3，3），
∵二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，
∴当x=m时，，可得，化简得：．
∵，∴，∴，
显然：m=1，2，3，4是上述不等式的解，
当时，，，此时，，
∴符合条件的正整数m=1，2，3，4；
当x= m+3时，y≥3，可得，
∵，∴，即，
显然：m=1不是上述不等式的解，
当时，，，此时，恒成立，
∴符合条件的正整数m =2，3，4；
综上：符合条件的整数m的值为2，3，4．
【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．
8．（1）y=﹣x2+x；（2）A的坐标为（2，4）或（﹣4，﹣16）
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图，设A（m，﹣m2+m），由四边形ABCD是正方形，推出AD=CD，由此构建方程解决问题即可．
【详解】（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象L经过原点，与x轴的另一个交点为（8，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；
（2）如图，设A（m，﹣m2+m），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，
根据抛物线的对称性得：CD= 2(4﹣m)，
∴|﹣m2+m|=2(4﹣m)，
解得m=2或12（舍弃）或﹣4或6（舍弃），
∴A（2，4）或（﹣4，﹣16），
综上所述，满足条件的等A的坐标为（2，4）或（﹣4，﹣16）．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
9．（1）a=1，k=﹣1；（2）（2，2）；（3）
【详解】试题分析：（1）先求出直线y=﹣3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a（x﹣2）2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3﹣m）2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标；
（3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，则四边形AMCN为正方形，在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长．
试题解析：（1）∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，3）．
又∵抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），
∴，解得，
故a，k的值分别为1，﹣1；
（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．
在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，
在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，
∵AQ=BQ，
∴1+m2=4+（3﹣m）2，
∴m=2，
∴Q点的坐标为（2，2）；
（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．
又∵对称轴x=2是AC的中垂线，
∴M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）．
此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，
∴四边形AMCN为正方形．
在Rt△AFN中，AN==，即正方形的边长为．
考点：1、二元一次方程组的解法，2、等腰三角形的性质，3、勾股定理，4、二次函数的性质，5、正方形的判定与性质
10．(1)（﹣3，0），（1，0），
(2)
(3)
【分析】（1）先求得点A和点C的坐标，得到OA和OC的长，得到AC2，然后求得AB的长，得到点B的坐标；
（2）由点A（﹣1，0）、B（1，0）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），然后代入点C的坐标得到a的值，从而得到抛物线的表达式；
（3）设点D的坐标，然后得到点F的坐标，即可得到DH和DF的长，然后利用正方形的性质列出方程求解，即可得到点D的坐标．
【详解】（1）解：对，当x＝0时，，当y＝0时，x＝﹣3，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为，
∴OA＝3，OC＝，
∴AC2＝OA2+OC2＝9+3＝12，
∵AC2＝AO AB，
∴12＝3AB，
∴AB＝4，
∴点B的坐标为（1，0），
故答案为：（﹣3，0），（1，0），．
（2）由点A（﹣3，0）、B（1，0）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
将点代入y＝a（x+3）（x﹣1）得，，
∴，
∴抛物线的表达式为．
（3）设点D的坐标为，
抛物线的对称轴为：
点F的坐标为，
∴DH＝，
∵四边形DFEH为正方形，
∴DH＝DF，即，
解得：（舍）或，
当时，
∴点D的坐标为．
【点睛】本题考查了勾股定理，二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，解题的关键是熟知二次函数图象上点的坐标特征．
11．（1）抛物线的解析式为；（2）四边形为正方形时点的坐标为和；（3）点的横坐标为2或－1或或.
【分析】（1）先由二次函数解析式求出C点坐标，进而求出一次函数解析式，再求出B点坐标，最后把A、B坐标代入抛物线解析式解方程即可；
（2）四边形为正方形时，，轴，且P、Q两点关于对称轴对称，设出P点坐标，表示出，解方程即可；
（3）由是以点为顶角顶点的等腰直角三角形，可得∠QPF=∠PEB,即轴，可得P、Q两点关于对称轴对称，设，用分别表示Q、F坐标即可，最后根据PQ=PF列方程计算即可解题.
【详解】（1）抛物线经过点，则点坐标为(0，3)，
代入可得，则直线的解析式为.
直线经过点，则点坐标为(3，0)
将点、代入抛物线
解得，
∴抛物线的解析式为.
（2）抛物线的对称轴为.
∵四边形为正方形，∴，轴.
∴点与点关于直线对称.
设点，则，.
∴，解得：或（舍去）或或（舍去）
当时，点，
当时，点，
∴四边形为正方形时点的坐标为和
（3）点的横坐标为2或－1或或.
∵是以点为顶角顶点的等腰直角三角形
∴∠QPF=∠PEB=90°
∴轴
∴点与点关于直线对称.
设点，则，
∴.
∵，
∴，
解得：或或或
综上所述，点的横坐标为2或－1或或.
【点睛】本题是二次函数综合题，熟记一次函数、正方形、等腰三角形的性质是解题的关键，难度一般，但是计算量比较大，需要注意.
12．（1）y=x2+2x-3；（2）n的值为-4或-1或；（3）∠GCF+∠HCF=180°
【分析】（1）将，点分别代入抛物线的关系式，，即可求解；
（2）正方形有两个顶点在抛物线上，而点必在抛物线上，分三种情况①点在抛物线上，即点是抛物线的顶点，如图①，点即顶点；②点在抛物线上，如图2，过点作直线于点，过点作直线于点，构造型全等．得，．用的代数式表示出点坐标为，代入抛物线得，解得，或，时如图；③点在抛物线上，如图③，④，过点作直线于点，过点作于点，同理可知，得，，表示出点坐标表示为或，代入抛物线解析式得，解得，．
（3）与互补．根据、两点关于对称轴对称，求出点坐标为，根据直线与抛物线只有一个交点，用方程组只有一解，求出直线关系式，解得，，根据平行得设直线的关系式为，构建方程组的解就是对应的、的横纵坐标，设点的坐标为，，点的坐标为，，则，是方程的两个根，得，，过点作于点，过点作于点，分别表示，，作差法比较两个代数式的大小关系，，得，即可求解．
【详解】解：（1）将，点分别代入抛物线的关系式，
，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）正方形有两个顶点在抛物线上，
而点必在抛物线上，
、、中有一点在抛物线上，
①点在抛物线上，即点是抛物线的顶点，如图1，
，
点的纵坐标；
②点在抛物线上，如图2，
过点作直线于点，过点作直线于点，
，，
，
，
，
，
，．
点向上平移1个单位，向右平移个单位得到点，
点坐标为，
点在抛物线上，
，
解得，或，时如图，
此时点恰好也在轴上；
③点在抛物线上，如图3，4，
过点作直线于点，过点作于点，
同理可知，
，，
点坐标表示为或，
点在抛物线上，
，
解得，．
综上，的值为或或．
（3）．
理由：、两点关于对称轴对称，
点坐标为，
直线过点，
，得，
直线与抛物线有且只有一个交点，
方程组，有且只有一解，
消元得，，
根的判别式，
解得，，
平移直线交抛物线于，两点（点在点上方）
直线的关系式为，
方程组的解就是对应的、的横纵坐标，
设点的坐标为，，点的坐标为，，
则，是方程的两个根，
，，
过点作于点，过点作于点，
在中，，
在中，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数解析式求法，构造K型全等，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根与系数的关系，解题关键是交点坐标个数与对应方程组解的个数关系．
13．（1）；（2）9个 ；（3）或；（4）
【分析】（1）抛物线与轴交于点，顶点的横坐标为，则，即可求解；
（2）的面积，即可求解；
（3）当四边形是正方形时，点只能在轴的下方，此时为等腰直角三角形，设点，则，即可求解；
（4）求出直线的表达式为：，则直线的表达式为：②，联立①②求出的坐标，又四边形是平行四边形，则的中点即为的中点，即可求解．
【详解】解：（1）抛物线与轴交于点，顶点的横坐标为，则，解得，
故抛物线的抛物线为：；
（2）对于，令，则或6，故点、的坐标分别为、；
如图，过点作轴交于点，
设直线的表达式为：
由点（6，0）、（0，4）的坐标得，解得，
∴直线的表达式为：①，
设点，则点，
的面积，
当时，，当时，，
故使的面积为整数的点的个数为9个；
（3）当四边形是正方形时，点只能在轴的下方，
此时为等腰直角三角形，设点，则，
即，解得：或4，
故点的坐标为，或；
（4）设点，为点，
设直线的表达式为：，
由点，的坐标可得，解之得：
∴直线的表达式为：，
，则和表达式中的值相同，
故直线的表达式为：②，
联立①②得：，解得：，
则点，，
四边形是平行四边形，则的中点即为的中点，
如图2，作轴于点C，轴于点D，
∴,
则有，，解得：，
经检验，是原分式方程得跟，
则，
故的横坐标的值为．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形正方形的性质、面积的计算等，能熟练应用相关性质是解题的关键．
14．(1)
(2)①；②
(3)当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，点坐标为或或
【分析】（1）由直线y=-x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，取得A、B点的坐标，把A、B点的坐标代入y=ax2+2x+c取得a、c的值，即可求出抛物线的解析式；
（2）①求出点D，E的坐标，即可DE的长；②设，得，连接，延长交轴于点，得四边形是平行四边形，求出，，列方程求解即可；
（3）分MH⊥MK和MH⊥HK两种情况分类讨论，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）对于，
令，则，
∴，
令，则，
∴，
∵抛物线经过点，，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）①∵，
∴顶点，
把代入得，
∴点，
∴；
②设，
∵轴交于点，
∴，
∵，
∴，
∵轴
∴FG//OB
∴
∴
∴，
∵，
∴，
连接，延长交轴于点，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点横坐标为，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍），
∴；
（3）令，则，
解得或，
∴，
设的解析式为，将、代入，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴，
联立，
解得，
∴，
∵以点，，，为顶点的四边形是正方形，
①如图2，图3，当时，点在上，点在上，
∵点在抛物线上，
∴或，
当时，，
∴，
∴，
∴的中点为，则的中点也为，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∴的中点为，则的中点也为，
∴，
此时与轴重合，
∴不符合题意；
②如图4，图5，当时，此时轴，
∴或，
当 时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述：当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，点坐标为或或 .
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，掌握用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质是解题的关键．

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