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专题06 二次函数中铅垂线段及进阶
1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）．
（1）直线BC的解析式为________．
（2）求抛物线所对应的函数解析式．
（3）①顶点D的坐标为________；②当0≤x≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________．
（4）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）经过A（，）和B（4，6）两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，当△PAC为直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
3．如图，在直角坐标系中，抛物线＋4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）写出抛物线顶点D的坐标 ；
（2）点D1是点D关于y轴的对称点，判断点是否在直线AC上，并说明理由；
（3）若点E是抛物线上的点，且在直线AC的上方，过点E作EF⊥x轴交线段AC于点F，求线段EF的最大值．
4．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B，C，已知，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在第一象限的抛物线上，且点的横坐标为，过点向轴作垂线交直线于点，设线段的长为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值；
6．已知抛物线与x轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)如图1，点在抛物线上，过点作轴，交直线于点，交轴于点，设点的横坐标为，且，求线段长度的最大值．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点．
(1)求的值及B，C两点坐标；
(2)为第一象限内抛物线上的一个点，过点作轴于点，交于点．
①当线段的长取最大值时，求点的坐标；
②连接，当线段时，求点的坐标．
8．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，直线交于点D，交x轴于点E，交抛物线于点F，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求线段长度的最大值；
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过三点．
（1）求两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．
10．如图1，抛物线与x轴交于和B点，与y轴交于点．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)如图2，若点D是在直线上方的抛物线的一点，作于点E，求线段的最大值．
11．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点D为抛物线上一个动点（不与B，C重合）．
（1）求直线l的表达式；
（2）如图，当点D在直线l上方的抛物线上时，过D点作DEx轴交直线l于点E，设点D的横坐标为m．
①当点D运动到使得点E与点C重合时，求点D的坐标；
②求线段DE的长（用含m的代数式表示），并求出线段DE的最大值．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上有一点M，M的横坐标为，过点M作于点H，作ME平行于y轴交直线BC于点E，交x轴于点F，求的周长的最大值．
(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当时，直接写出线段PQ与二次函数的图象交点个数及对应的m的取值范围．
13．抛物线过点，点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图2，点P在直线下方的抛物线上，过点P作轴于点D，交直线于点E，过P点作，交与F点，的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由．
14．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）．
(1)求c的值，并用含a的代数式表示b；
(2)当a＝时．
①求此函数的解析式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值；
②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，直线l： 与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线 与x轴的另一个交点为A．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作轴交l于点D，轴交l于点E，求的最大值；
(3)设F为直线l上的点，点P仍在直线l下方的抛物线上，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
16．如图，已知二次函数与轴交于点A（，0），B（4，0），与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AC，BC，点是直线上方抛物线上一点，过点作//交直线于点，//轴交直线于点，求△PDE周长的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，将原抛物线向左平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线对称轴上一点，点是平面直角坐标系内一点，当点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并任选一点，写出求解过程．
17．如图1，抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P为直线AC上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P作х轴的平行线交抛物线于点D，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得新抛物线，在新抛物线对称轴上找一点M，在新抛物线上找一点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
18．已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C(0，3)，其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为m．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)如图1，PE⊥BC，垂足为E，当DE＝BD时，求m的值；
(3)如图2，连接AP，交BC于点H，则的最大值是 ．
参考答案：
1．（1） ；（2） ；（3）① ；②4，-5；（4）
【分析】（1）设直线BC的解析式为 ，把点B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解；
（2）把点B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解；
（3）①将抛物线解析式化为顶点式，即可求解；
②根据抛物线的顶点式，可得当 时，有最大值4，再由二次函数的增减性，即可求解；
（4）设点 ，则，可得，即可求解．
【详解】解：（1）设直线BC的解析式为 ，
把点B（3，0）和C（0，3）代入得：
，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ；
（2）把点B（3，0）和C（0，3）代入得：
，
解得： ，
∴抛物线所对应的函数解析式为 ；
（3）①，
∴点 ；
②∵ ，
∴当 时，有最大值4，
∴在直线的左侧时， 随 的增大而增大；在直线的右侧时， 随 的增大而减小，
当 时， ，
当 时， ，
∴当0≤x≤4时，二次函数的最大值为4，最小值为-5；
（4）设点 ，则，
∴ ，
∴当 时， 的值最大，最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
2．（1）；（2）当P点坐标为，线段PC有最大且为；（3）当为直角三角形时，点P得坐标为或
【分析】（1）把、代入抛物线解析式中进行求解即可；
（2）设直线AB的解析式为：，求出直线AB的解析式为，可设动点P得坐标为，则C点得坐标为，则，根据二次函数的性质即可求解；
（3）分三种情况进行讨论求解：①若点P为直角顶点，则；②若点A为直角顶点，则；③若点C为直角顶点，则．
【详解】解：（1）∵、在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）设直线AB的解析式为：，
∵、在直线上，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为，
设动点P得坐标为，则C点得坐标为，
∴，
∵，
∴当时，当P点坐标为，线段PC有最大且为．
（3）∵为直角三角形，
①若点P为直角顶点，则，
由题意易知，轴，则AP∥x轴（与题意不符合题意）
∴此种情形不存在；
②若点A为直角顶点，则．
如图1，过点作于点N，则，．过点A作，交x轴于点M，设直线AB与x轴交于点E，
∴E点坐标为（-2，0），
∴OE=2，
∴，
∴，
∴，
∴△ANC是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
设直线AM得解析式为，则：，
解得，
∴直线AM得解析式为：①，
又∵抛物线得解析式为：②，
∴联立①②式，，
解得：或（与点A重合，舍去）
∴，即点C、M点重合．当时，，
∴；
③若点C为直角顶点，则．
∴PC⊥AC，
又∵PC⊥x轴，
∴AC∥x轴，
∴C点即为A点关于抛物线对称轴的对称点，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线．
如图2，作点关于对称轴得对称点C，则点C在抛物线上，且，当时，．
∴，
∴综上所述，当为直角三角形时，点P得坐标为或．
【点睛】考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及二次函数与直角三角形的综合，二次函数与一次函数综合、函数图象交点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
3．（1）；（2）点在直线上，理由见解析；（3）
【分析】（1）根据二次函数的解析式直接写出即可；
（2）先根据二次函数求出A、C的坐标，再用待定系数法确定直线AC的关系式，再求出
点，把它代入直线判断是否再直线上；
（3）设，则，，求出线段的表达式，即可求解．
【详解】解：（1）抛物线，则顶点坐标为
（2）点在直线上，理由如下：
将代入抛物线解析式，可得，即
将代入抛物线解析式，可得，解得，
即
设直线解析式为，将和代入解析式得
，解得，即解析式为
由（1）得，则
当时，
∴点在直线上
（3）抛物线解析式
点E是抛物线上的点，且在直线AC的上方
设，则，
所以，线段EF的最大值为．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图像与性质，根据题意求出与坐标轴的交点，数形结合的思想表示出线段是解题的关键．
4．(1)
(2)存在，线段的最大值为
【分析】（1）把已知A，C两点坐标代入解b，c的值，求函数解析式；
（2）求直线得解析式，设D点的横坐标为x，则，化成顶点式求最值．
【详解】（1）解：经过点C，则，
将点A的坐标代入抛物线表达式：，得：，解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）解：存在，理由：
令，得：，解得：或，故点，
设直线为，将点B、C的坐标代入得：
，解得：．
∴直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，，
∴当x时，线段最大值为：；
【点睛】本题考查二次函数的解析式和图像上的动点问题、坐标与图形，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
5．(1)
(2)，4
【分析】（1）抛物线经过，两点，把，两点坐标代入解析式，解得：，，即可求出抛物线的解析式；
（2）如图所示：因为点横坐标为，则，，则，即可求出的最大值．
【详解】（1）抛物线经过，两点，
．
解得：，．
抛物线的解析式为．
（2）将代入抛物线的解析式得：，
．
设直线的解析式为．
将，代入得：，解得：，
直线的解析式为：．
过点作的垂线交于点Q，如图所示：
点的横坐标为，
，．
．
．
当时，的最大值为4．
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
6．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；
（2）先求出直线的解析式，得到点和点的坐标，求出，根据二次函数的性质求出最大值即可．
【详解】（1）将点、代入得
，解得，
∴抛物线的函数解析式是；
（2）设直线的解析式为，将点、代入，得
，解得，
∴直线BC的解析式为，
∵轴，设点的横坐标为，且，
∴，，
∴，
∴当时，有最大值，即的最大长度为
【点睛】本题考查了二次函数与图形的综合知识，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最大值问题，解题是注意运用数形结合的思想解决问题．
7．(1)，，
(2)①；②
【分析】（1）根据该抛物线的对称轴是直线，结合对称轴的公式即可求出b的值，从而得出抛物线解析式，进而即可求出B，C两点坐标；
（2）①利用待定系数法可求出直线的解析式为．设，则，则可求出．再根据为第一象限内抛物线上的一个点，即得出，从而可求出当时，有最大值，进而得出；②由，即得出点C在线段的垂直平分线上，从而可由，列出关于a的等式，解出a的值，再舍去不合题意的值，即可求M的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为．
令，则，
解得：．
∵点B在y轴右侧，
∴．
令，则，
∴；
（2）①设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为．
设，则，
∴．
∵为第一象限内抛物线上的一个点，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为3，
∴；
②∵，
∴点C在线段的垂直平分线上，
∴，即，
解得：．
∵为第一象限内抛物线上的一个点，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数与一次函数的综合．利用数形结合的思想是解题关键．
8．(1)
(2)2
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，再求出，然后求出直线的解析式得到，则，据此求解即可．
【详解】（1）解：将代入中，得
解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
∴
∴，
∵，
∴当时，取最大值，最大值为2．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
9．（1）A（4，0）,C（0，﹣4）；（2） ；（3）PD的最大值为，此时点P（2，﹣6）．
【分析】（1）OA＝OC＝4OB＝4，即可求解；
（2）抛物线的表达式为： ，即可求解；
（3），即可求解．
【详解】解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，
故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；
（2）抛物线的表达式为：，
即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为： ；
（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC＝4，
，
∵
，
设点 ，则点H（x，x﹣4），
∵ ＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为，
此时点P（2，﹣6）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示PD，是本题解题的关键
10．(1)
(2)
【分析】（1）把、代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；
（2）作D作轴于N交于F，如图：先求解，直线为，，证明，可得，可得最大时，最大，设，则，再建立二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过、，
∴，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）作D作轴于N交于F，如图：
在中，令得，
解得或，
∴，设直线为，
∴，解得，
∴直线为，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴最大时，最大，
设，则，
∴，
∴时，最大为2，
∴的最大值为．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，线段长度最大值问题，锐角三角函数的应用，熟练的运用二次函数的性质解决问题是解本题的关键．
11．（1）；（2）①；②，8
【分析】（1）根据抛物线的解析式，分别令即可求得的坐标，进而根据待定系数法求得直线的解析式；
（2）①根据题意DEx，则的纵坐标为，根据是二次函数上的点即可求得的横坐标；②根据是直线上的点，结合（1）的结论，根据的横坐标，表示出的纵坐标，进而根据DEx轴，即可求得的纵坐标，根据的解析式即可求得横坐标，由的长等于的横坐标减去的横坐标即可求得的长，进而根据配方法即可求得最大值．
【详解】（1）由，令，则，即
令，则，
即
解得
点A在点B的左侧
，
设直线的解析式为：，将，代入得，
解得
设直线的解析式为：，
（2）① DEx轴，，
当点D运动到使得点E与点C重合时，的纵坐标为，
由，令，则
解得
②点D的横坐标为m，则
DEx轴，
点的纵坐标为，
点在直线：上，
此时点的横坐标为：
则线段DE的长为
线段DE的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与坐标轴的交点问题，求一次函数的解析式，求二次函数最值问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
12．(1)
(2)
(3)①；②当时，1个交点，当时，2个交点
【分析】（1）待定系数法求解析式；
（2）根据等腰直角三角形的性质，勾股定理，可得的周长为，根据二次函数的性质判断的最值，从而即可求解；
（3）①根据题意，表示出的长，根据一次函数的性质结合函数图象即可求解；
②根据①的结论，在点的左侧，进而求得关于对称，观察函数图象可知，当的纵坐标小于点纵坐标时，有2个交点，其他情形只有1个交点，据此即可求解．
【详解】（1）由，令，得，即，
，
，
，
即，
，，在抛物线上，
设，将点代入，的，
解得，
，
即；
（2），
是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，
的周长为
设的直线解析式为，将，代入得，
解得
的直线解析式为
M的横坐标为，则，
当时，的长随着的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为
的周长最大值为
（3）①的横坐标为m，轴，点Q的横坐标为．
1）当点在点的左边时，如图，
，的长度随着的增大而减小，
此时
解得
2）当点在点左边时，此时
，的长度随着的增大而增大，
故不符合题意，
综上所述当，的长度随着的增大而减小
②由①可知，当时，
设，
的横坐标为m，轴，点Q的横坐标为．
关于对称，
如图，设与抛物线交于点，过点作轴的平行线，
当时，，
令
解得
根据图像可知，当位于上方时，与二次函数的图象1个交点，当位于下方时，2个交点，
即当时，1个交点，当时，2个交点．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，待定系数法求解析式，线段周长最值问题，等腰三角形的性质，一次函数的性质，坐标与图形，中点坐标公式，数形结合是解题的关键．
13．(1)，
(2)
【分析】（1）根据抛物线经过点，点，用待定系数法即可求解；
（2）证明，可得的周长：的周长，求出直线的解析式，设，，的周长为z，表示出的长，利用的周长：的周长列出关于z的函数解析式，再运用二次函数最值求解即可．
【详解】（1）由题意得
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴点．
（2）的周长有最大值．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴的周长：的周长，
∵，
∴，
∴的周长，
∵直线过和，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，的周长为z，
，
∴，
∴，
∵，
∴z有最大值，此时，
当时，，
故P点的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，勾股定理，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．(1)c=6；b=2a+4
(2)①最小值为 ，最大值为20；②D( 3， )．
【分析】（1）分别把 A（0，6）和B（-2，-2）代入解析式，可得c和b的值．
（2）①当a＝时，此函数表达式为y＝x2+x+6，图象开口向上，由顶点坐标公式可知顶点坐标，根据二次函数的性质，当在顶点时函数值最小观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值．②令y=0，得C的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+m，把A（0，6），C（-6，0）代入可得直线AC解析式，设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6），得FD的值，设△FDM的周长为l，则l＝DF+DM+MF＝，当FD最大时，周长最大，根据二次函数的性质可得最大值．
【详解】（1）把（0，6）代入y=ax2+bx+c，
得c=6．
把（-2，-2）代入y=ax2+bx+6，
得4a-2b+6=-2，
∴b=2a+4．
（2）①当a＝时，
∴，且c=6
∴函数表达式为y＝x2+x+6=，图象开口向上．
∴顶点坐标为，
∵-4≤x≤2，
∴当x＝ 时，y的最小值为 ．
观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值，
把x=2代入y＝x2+x+6，
y的最大值为20．
②∵y＝x2+x+6，
令y=0，则x=-6或x＝ ，
∵点C在左侧，
∴C（-6，0）
设直线AC的解析式为y=kx+m，
把A（0，6），C（-6，0）代入y=kx+m，得
解得k=1，m=6，
∴y=x+6
设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6）
∴FD＝x+6 (x2+x+6)＝ x2 x，
∵OA=OC=6，∠AOC=90°，
∴∠COA=90°，
∵DF∥AO，
∴∠DFM=∠CAO=45°，
DM＝FM＝FD，
设△FDM的周长为l，
则l＝DF+DM+MF＝
当FD最大时，周长最大，
又∵，
又∵ ＜0且-6＜x＜0，
∴x=-3时，FD有最大值，即此刻△FDM周长最大．
把x=-3代入y＝x2+x+6，
得y＝ ，
∴D( 3， )．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解本题要熟练掌握二次函数的性质，求二次函数的解析式、待定系数法，数形结合是解题关键．
15．(1)
(2)最大值是3
(3)能，或
【分析】（1）先确定出点B、C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先设出点P的坐标，进而得出点D、E的坐标，即可得出的函数关系式，即可得出结论；
（3）分AB为边和对角线两种情况，利用平行四边形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C，
∴、，
∵点、C在抛物线解上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）∵点P在直线l下方的抛物线上，设，
∵轴，轴，点D，E都在直线上，
∴，，
∴，
，
∴，
即：，
∴当时，的最大值是3．
（3）能，理由如下：
∵抛物线的解析式为，
令，
解得：或，
∴，，
∴，
如图，若以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，
当以AB为边时，则且，
设，则，
∴，
解得：或与A重合，舍去，
∴，
当以AB为对角线时，
连接交AB于点G，则，，
设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
作于点M，于点N，则，，
设，则，
∴，
解得：或与A重合，舍去，
∴，
综上所述，以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，此时点F的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数极值的确定方法，平行四边形的性质，二元一次方程组，一元二次方程，中点坐标，两点间距离公式等知识．用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
16．(1)
(2)点
(3)点N（7，）或（1，）或（1，2）．
【分析】(1)将 A（，0），B（4，0），代入二次函数求得a，b的值即可；
(2)先求得 直线的解析式为：，设点，得到，求得的长，然后证得∽，利用相似三角形的周长的比等于相似比，利用二次函数的最值即可求解；
(3)先利用二次函数的平移规律得到新抛物线的解析式，然后设出，分两种情况：①线段为菱形的对角线时；②线段为菱形的边时，如图求解即可．
【详解】（1）∵抛物线过点，
∴，解得 ，
∴抛物线的解析式为∶
（2）∵，
∴当时，，
∴点C的坐标为(0，2)，
∴设直线BC的解析式为，
∵直线BC过点B，
∴，解得，
∴直线的解析式为：．
设点，其中
∴点，
∴．
∵，C(0，2)，
∴，，，
，
∵∥，∥轴，
∴，，
∴∽，
∴，
∴，
∴，
，
∴最大值=，此时，
∴此时点；
（3）∵，该抛物线向左移动个单位，
∴新抛物线为，
∴设，、
分两种情况：
线段为菱形的对角线时，
∵，
，，
时，则，即，
∴，
∴ ，解得，
∴；
当线段为菱形的对角线时，如图所示，
∵，
，，
时，则，即，
∴或，
∴或
∴或 ，解得或，
∴点N的坐标为（1，）或（1，2）．
综上可得，点N的坐标为（7，）或（1，）或（1，2）．
【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到了勾股定理，待定系数法，菱形等知识，解题关键是熟练灵活运用所学知识，通过数形结合思想和分类讨论思想，准确计算，解决问题．
17．(1)
(2)，
(3)M点有，，
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可．
（2）根据题意可求出直线AC的解析式为，即可设，点，则．即可根据，求出，由此可知当时，有最大值为，即得出P点坐标．
（3）求出平移后的抛物线解析式为，即可设，．分类讨论①当CN为对角线时，②当AC为对角线时， ③当CM为对角线时，利用平行四边形的性质求出M坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A(-4，0)，B(1，0)两点，
∴可设抛物线解析式为．
∵该抛物线过点C(0，3)，
∴将C(0，3)代入，得：
∴，
∴抛物线解析式为整理得：．
（2）解：设经过A、C的直线解析式为，
∴
解得：
∴直线AC的解析式为：．
∵抛物线解析式为，
∴对称轴．
设点，点，则．
∴，即
∴当时，有最大值为．
将代入，得：．
∴此时点．
（3）解：平移后的抛物线解析式为
∴设，．
①当CN为对角线，如图，四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
即此时；
②当AC为对角线时，如图，四边形为平行四边形，
∴，，
即，，
解得：，
∴点M坐标为．
③当CM为对角线时，如图，四边形为平行四边形，
∴，，
即，，
解得：，
∴点M坐标为．
综上可知M点的坐标为或(0，-10)或(0，10)．
【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合，二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，利用数形结合的思想是解题关键．
18．(1)
(2)m=2
(3)
【分析】（1）根据对称轴是直线x=1，利用二次函数对称轴方程可求出b，再根据抛物线与y轴的交点坐标C（0，3）可求出c，即可求出二次函数解析式；
（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，可得OB=OC，继而得出△OBC是等腰直角三角形，由PQ⊥OB，PE⊥BC，可得△DQB和△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BQ=DQ，BD=，DE=PD，由P的横坐标是m，用含m表示出DE、BD的长，再根据DE=BD列方程求解；
（3）过点A作垂直x轴直线交BC与点G，先直线BC解析式，再求AG，由 PQ⊥OB，AG⊥OB，可得 PQ∥AG，继而可得△PDH∽△AHG，由相似三角形的性质可得，再根据二次函数求最值求解即可
【详解】（1）将C （0，3）代入y=-x2+bx+c可得c=3，
∵对称轴是直线x=1，
∴=1，即-=l，解得b=2，
∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3；
（2）令解得，
∴A(-1，0)，B（3，0），
∴OB=3，
∵OC=3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，BC=，
∵PQ⊥OB，PE⊥BC，
∴∠PQB=∠PED=90°，
∴∠QDB=∠PDE=∠OBC=45°，
∴△DQB和△PED是等腰直角三角形，
∴BQ=DQ，BD=，DE=，
∵P点横坐标是m，且在抛物线上，
∴PQ=，OQ=m，
∴BQ=DQ=3-m，BD=，
∴PD=PQ-DQ=，DE=，
∵DE＝BD，
∴，
解得：（舍去），
∴m=2
（3）过点A作x轴的垂线交BC于点G，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
将B（3，0），C（0，3）代入，可得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∵A（-1，0），
∴G（-1，4），
∴AG=4，
∴PQ⊥OB，AG⊥OB，
∴PQ∥AG，
∴△PDH∽△AHG，
∴，
∴当a=时，有最大值，最大值是．
故答案为：
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数最值问题，相似三角形的性质与判定等知识，第（3）问将比例转化是解题关键．

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