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人教版七年级数学上册 1.2.3 相反数 导学案
【知识清单】
1.绝对值的概念：在数轴上，表示的点到原点的距离，叫作数的绝对值，记作，读作的绝对值。
2.绝对值的意义：
（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。距离原点越远，绝对值越大，距离原点越近，绝对值越小。
（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
或
3.有关绝对值的注意事项：
（1）因为距离是非负的，所以任何一个数的绝对值都是非负数，即；
（2）互为相反数的两个数因为到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数的绝对值相等；
（3）含绝对值的四则运算一般要先去绝对值；
（4）两个负数，绝对值大的反而小。
4.利用数轴进行有理数的比较：
（1）数轴上不同的点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
（2）正数大于0,0大于负数，正数大于负数。
5.利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。（在比较两个负数大小时，一般不改变两数原来的顺序，以免判断时失误）
6.倒数比较法：同号两数，倒数大的反而小。
7.差值比较法：设是任意两个有理数，若则；若，则；若，则。
8.商值比较法：设，则；；。
【典型例题】
考点1：绝对值的意义
例1．若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义，得到，求解即可得到答案．
【详解】解：，
，
,
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题关键是掌握正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数．
考点2：求一个数的绝对值
2．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2023
【答案】D
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，求出的绝对值即可．
【详解】解：的绝对值是．
故选：D．
【点睛】本题考查绝对值的定义及绝对值的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
考点3：化简绝对值
3．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据去括号法则和绝对值化简法则，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，故A正确，符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了化简多重符合和化简 ，解题的关键是熟练掌握化简多重符合的法则和化简绝对值的方法．
考点4：绝对值非负性的应用
4．式子的值可能是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据绝对值的非负性即可解答．
【详解】∵，
∴，
∴A、B、C选项不符题意，D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性这一性质．
考点5：绝对值方程
5．适合的整数的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．7个 D．9个
【答案】A
【分析】由题意可理解为到和5的距离的和，由此可得出的值，继而可得出答案．
【详解】解：表示到的距离，
表示到5的距离，
则表示由到5点的距离为12，
故到5中间所有点都满足，
则，由此可得为整数的值有：、、、1，共4个值，
故选：．
【点睛】本题考查了绝对值方程，理解和表示的意义是解题的关键．
考点6：绝对值的其他应用
6．计算的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】由，可得表示在数轴上点x与1和之间的距离的和，即可求解．
【详解】解：
，
表示在数轴上点x与1和之间的距离的和，
当时，
有最小值3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，理解绝对值的意义，掌握距离的求法是解题的关键．
考点7：有理数大小比较
7．在四个有理数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】先将绝对值函数，再根据正数大于0，0大于负数，负数绝对值大的反而小，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，即最小，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握比较有理数的大小的方法．
考点8：有理数大小比较的实际应用
8．在月的某一天早晨，北京的气温为；哈尔滨的气温为；上海的气温为；广州的气温为，则这四个城市中，气温最低的是（ ）
A．哈尔滨 B．北京 C．上海 D．广州
【答案】A
【分析】根据有理数比较大小的方法，正负数在实际运用中的意义即可求解．
【详解】解：∵，
∴这四个城市中，气温最低的是哈尔滨，
故选：．
【点睛】本题主要考查有理数比较大小，正负数表示气温高低的运用，掌握以上知识是解题的关键．
【巩固提升】
一、选择题
1．计算的值是（　　）
A． B． C． D．2
2．的绝对值是（ ）
A．2023 B． C． D．
3．在12，，0，，中，负数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．对于任意有理数，下列式子中取值不可能为0的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A．3 B． C．2 D．4或2
6．如下表，检测五个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，
1号 2号 3号 4号 5号
某教练想从这五个排球中挑一个最接近标准的排球作为赛球，应选哪一个（ ）
A．2号 B．3号 C．4号 D．5号
7．在，，0，3四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．3
8．一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中合格的（ ）．
A．千克 B．千克 C．千克 D．千克
二、填空题
9．，则 ．
10．一个数的绝对值等于8，这个数的等于 ．
11．比较大小： 4．（用“”填空）
12．如图所示，在数轴上存在A、B、C三点，已知A点表示的有理数是，B、C两点表示的两个数分别为x、y，且x、y满足．在数轴上存在一点P，满足．则P点所表示的数为 ．
13．数轴上点A到原点的距离为，则点A表示的数为 ．
14．设是一个四位数，，，，是阿拉伯数字，且，则式子的最大值是 ．
15．比较大小： ； 0；
16．已知里海、艾尔湖、死谷的海拔高度分别是，则海拔最低的是 ．（填“里海”“艾尔湖”或“死谷”）
三、解答题
17．把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．
，，，，，．
18．化简下列各数：
①　　　；　②　　　；③　　　；　④＝　　　．
19．根据这条性质，解答下列问题：
(1)当________时，有最小值，此时最小值为________；
(2)已知，互为相反数，且，，求的值．
20．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
(1)_______；
(2)若．请找出三个符合条件的整数x，则_______；
(3)当时，有最小值，求出其最小值．
21．希望小学要买60个足球，现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球单价都是30元，但各个商店的优惠办法不同：
甲店：全部打八折销售；
乙店：当购买足球不超过20个时，不打折；购买超过20个时，超过部分打六折；
丙店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送；
为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买合算？为什么？
参考答案
1．D
【分析】根据绝对值的意义即可得到答案．
【详解】解：的值是2，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题关键是掌握正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数．
2．A
【分析】直接根据绝对值的性质即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
的绝对值是2023，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟练掌握绝对值的性质：正数、零的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反的数，是解题的关键．
3．B
【分析】根据相反数、绝对值的概念将相关数值化简，再根据负数的定义即可作出判断．
【详解】解：∵，，
∴负数有，，共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了正数和负数，相反数和绝对值，解题的关键是注意：判断一个数是正数还是负数，要先把它化简后再判断；0既不是正数也不是负数．
4．C
【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案．
【详解】解：A．当时，，则，故A选项不符合题意；
B．当时，，故B选项不符合题意；
C．，则，不可能为0，故C选项符合题意；
D．当时，，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握任何数的绝对值都是非负数，两个非负数的和一定为非负数．
5．D
【分析】根据绝对值的意义得出两个方程，再求解即可．
【详解】解：∵,
∴或，
解得：或，
故选：D．
【点睛】本题考查解绝对值方程，掌握绝对值的意义是解题的关键．
6．C
【分析】根据题意可知，质量最接近标准的排球就是检测结果的绝对值最小的；
【详解】由题意可知：1-5号的绝对值分别为：，
绝对值最小的为质量最接近标准的，4号最接近标准；
故答案为：C
【点睛】本题考查来了正数和负数及绝对值，解题的关键是求每一号检测结果的绝对值，绝对值越小的数值越接近标准．
7．D
【分析】根据正有理数都大于0，负有理数都小于0，正有理数大于一切负有理数，负有理数绝对值大的反而小即可得出答案．
【详解】解：，
最大，
故选：D
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较方法（正有理数都大于0，负有理数都小于0，正有理数大于一切负有理数，负有理数绝对值大的反而小）是解题的关键．
8．C
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：“千克”表示合格范围在25上下的范围内的是合格品，即到之间的合格，
因为，
故只有千克合格．
故选：C．
【点睛】本题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
9．
【分析】根据绝对值的定义解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为．
【点睛】此题考查了绝对值的定义：一个数到原点的距离是这个数的绝对值，熟练掌握定义是解题的关键．
10．
【分析】根据绝对值的性质进行解答．
【详解】解：，，
，
一个数的绝对值等于8，这个数的等于，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
11．
【分析】先化简绝对值，再根据负数小于正数进行判断即可．
【详解】，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的大小比较，掌握负数小于正数是解题的关键．
12．0或/或0
【分析】先根据绝对值的非负性求出B、C两点表示的数，再分两种情况讨论：①当点P位于A点左侧时，②当点P位于两点之间时，根据两点间距离表示出，根据列式求解即可．
【详解】∵，，
∴，
解得，即B、C两点表示的两个数分别为2、3，
设点P表示的数为t，
①当点P位于A点左侧时，
，
∵，
∴，
解得；
②当点P位于两点之间时，
，
∵，
∴，
解得；
综上，P点所表示的数为或0，
故答案为：或0．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，两点间距离公式，一元一次方程的应用，熟练掌握知识点，能够运用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
13．或
【分析】根据绝对值的几何意义求解即可．
【详解】解：设点A表示的数为，
∵点A到原点的距离是，
∴，即：
∴A点表示的数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查的是数轴上点到原点的距离，掌握绝对值的几何意义是解题的关键．
14．16
【分析】若使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小即可，同时为使式子最大，则应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故，此时只能为1，所以此数为，再代入计算即可求解．
【详解】解：若使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小即可，同时为使式子最大，则应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故，此时只能为1，所以此数为，
的最大值．
故答案为：16．
【点睛】此题考查了绝对值，要使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小，再根据低位上的数字不小于高位上的数字解答．
15．
【分析】根据有理数的大小比较法则，即可求解．
【详解】解：；
；
∵，
∴．
故答案为：；；
【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握正数大于零，零大于负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
16．死谷
【分析】根据有理数大小比较的法则判断即可．
【详解】解：因为，
所以海拔最低的是死谷．
故答案为：死谷．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
17．
【分析】先利用数轴表示数的方法表示出个数，然后利用数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可．
【详解】解：，，
在数轴上表示各数如图所示：

它们的大小关系为：．
【点睛】本题考查了数轴、有理数的大小比较、绝对值、相反数等知识点，能正确在数轴上表示各个数是解此题的关键，且要注意在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
18．①；②；③3；④
【分析】根据多重复号的化简方法可解答①②③，根据绝对值的意义可化简④．
【详解】解：①；　
②；
③；　
④．
故答案为：①；②；③3；④．
【点睛】本题考查了多重符号的化简方法和绝对值的意义，一个数前面有偶数个“－”号，结果为正，一个数前面有奇数个“－”号，结果为负，0前面无论有几个“－”号，结果都为0．
19．(1)；
(2)/
【分析】（1）根据，可知，即最小值为，此时，解出即可；
（2）根据，互为相反数，可知，再去绝对值计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，有最小值，
∴，
故答案为：；．
（2）解：∵，互为相反数，
∴，
又∵，，
∴
．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，整式的绝对值的求解，对绝对值性质的理解和掌握是解答本题的关键．
20．(1)7
(2)、、（答案不唯一）
(3)最小值是3
【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值方法去绝对值即可；
（2）利用绝对值的性质求解即可；
（3）利用绝对值性质及数轴求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：7；
（2）解：表示数轴上数x所对应的点到和2所对应的点的距离之和，
，
，
这样的整数有：，、、、、0、1、2，
故答案为：、、（答案不唯一）；
（3）解：由以上可知：
表示数轴上数x所对应的点到3和6所应的点的距离之和，
∵，
∴有最小值，最小值是3．
【点睛】本题考查了取绝对值方法及去绝对值在数轴上的运用，明确绝对值含义及其化简方法是解题关键．
21．为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算，理由见解析
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出三家商店需要花费的情况，然后比较大小即可．
【详解】解：为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算．
理由：由题意可得，
在甲店购买需要花费为：30×60×0.8＝1440（元），
在乙店购买需要花费为：30×20+30×（60﹣20）×0.6＝1320（元），
在丙店购买需要花费为：30×50＝1500（元），
∵1320＜1440＜1500，
∴为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算．
【点睛】本题考查了有理数比较大小，解答本题的关键是明确题意，求出三个商店的花费情况．
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