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人教版七年级数学上册 1.3.2 有理数的减法 导学案
【知识清单】
1.有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，用字母表示为：。
2.有理数加、减法混合运算
（1）加减法统一成加法；
（2）有理数加、减混合运算的方法和步骤
第一步：用减法法则将减法转化为加法；
第二步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算。
3.有理数加减混合运算的注意事项
（1）运用加法交换律，在交换各数的位置时要连同他们前面的符号一起交换；
（2）应用加法结合律时，应充分考虑同号加数结合、同分母或便于通分的加数结合、凑整的加数结合、互为相反数的加数结合等情形，从而选择适当的方法，使运算简便。
（3）若分数、小数混在一块运算时，可以把它们先统一成分数或小数再运算。
（4）如果有大括号和小括号，应当先进行小括号里的运算，再进行大括号里的运算。
（5）负的带分数拆分为整数与分数的和时，不要将负整数与负分数的和错拆为负整数与正分数的和。
【典型例题】
考点1：有理数减法运算
例1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数加法和减法运算法则进行判断即可．
【详解】解：A．，故A错误；
B．，故B错误；
C．，故C错误；
D．，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数加法和减法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法和减法运算法则，准确计算．
考点2：有理数减法的实际应用
例2．华华家住在电梯楼房的第层，他乘电梯下到层的地下车库，则他的位置高度下降了（ ）层．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过实际问题直接转化为有理数减法运算即可．
【详解】解：(层)，
故选：．
【点睛】此题考查了有理数的减法，解题的关键在于掌握运算法则．
考点3：有理数的加减混合运算
例3．将写成省略加号的和的形式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将代数式中的减号利用去括号与添括号法则改为加号，再将减法转化成省略加号的和的形式.
【详解】解：中的减法改成加法时原式化为：，
故选：C.
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算：有理数加减法运算统一成加法运算，先转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化.
考点4：有理数加减中的简便运算
例4．计算时，运算律用得最为恰当的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的加减运算，凑整，即可求解．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的加减中运算中的简便运算，掌握有理数的运算律以及运算法则是解题的关键．
考点5：有理数加减混合运算的应用
例5．某件商品原价元，先降价元，后又涨价元，则这一商品经过调整后的价格是（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【分析】跌为负，涨为正，根据有理数的加法法则运算即可．
【详解】解：由题可得，，
这一商品最终价格是元，
故选C．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算：先把正数和负数分别相加，然后根据有理数的加法法则运算．
【巩固提升】
选择题
1．如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若，，，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．仁怀市某镇年月日这一天的最高气温和最低气温分别是和，这一天的温差是（ ）
A．　 B．　 C．　 D．　
3．泰山风景壮观，深受广大游客喜爱，1月份泰山山脚的平均气温是零上，泰山山顶的平均气温是零下，则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是（ ）
A．1 B． C．7 D．
4．某市2022年元旦这天的最高气温是，最低气温是，则这天的最高气温比最低气温高（ ）
A． B． C． D．
5．与相等的是（　　）
A． B． C． D．
6．把写成省略加号的形式是（　 　）
A． B． C． D．
7．有理数a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．c+d＞0 C． D．
8．计算的值等于（ ）
A． B． C．1010 D．1009
9．时差的计算方法：两个时区标准时间（即时区数）相减就是时差，时区的数值大的时间早．比如中国北京是东八区（），美国纽约是西五区（），两地的时差是13小时，北京比纽约要早13个小时，如北京时间2月1日18：00时，美国纽约为2月1日5：00．若美国纽约时间为3月1日20：00时，埃及开罗时间为3月2日3：00，则开罗所在的时区是（ ）
A．西二区 B．西三区 C．东二区 D．东三区
10．闻喜花馍是山西省运城市闻喜县的传统名点，是人工用面做成的各种样式的馒头，因花式各样而命名为花馍，闻喜花馍于2006年入选山西省级非物质文化遗产名录，2008年被列为第二批国家级非物质文化遗产，一山西特产店出售某种包装的闻喜花馍，其标准质量为“g”，现选取5盒进行质量检测，结果如下（单位：g）：519，473，528，532，445．其中不符合标准质量的有（ ）
A．1盒 B．2盒 C．3盒 D．4盒
二、填空题
11．点A在数轴上表示数，点B距离点A有2个单位长度，则点B表示的数为 ．
12．小明一家三口同时从家出发，到离家米处的核酸检测采样点去采样．他们三人的行走路线相同且每人的速度固定，当爸爸到达采样点时，小明离采样点还有米，妈妈离采样点还有米．那么当小明到达采样点时，妈妈离采样点还有 米．
13．计算： ．
14．计算值为 ．
15．小红在超市买了一袋鸡精，发现包装袋上印有“净含量克”的字样，意思指的是这种袋装鸡精每袋质量在 克至 克之间是符合产品要求的．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
17．下图为某一矿井的示意图．如果点距地面的高度为米，、两点的高度分别为米与米．点比点高多少？比点呢？
18．阅读下面的解题过程，并解决问题
计算： 解：原式……第一步 …………第二步 …………………………………………第三步
(1)计算过程中，第一步把原式化成_______的形式，体现了数学中的_______思想，为了计算简便，第二步运用了___________
(2)根据以上的解题技巧计算下列式子：
19．阅读下面文字：对于，可以按如下方法计算：
原式
．
上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算：
(1)；
(2)．
20．某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减
(1)根据记录可知前四天共生产 　 　辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 　 　辆；
(3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
参考答案
1．B
【分析】利用绝对值的意义，推出c、d之间的距离是2，再根据b、d之间的距离是6，利用b、d之间的距离减去c、d之间的距离即为所求．
【详解】解：∵，，，
∴数a、c之间的距离是8，数a、d之间的距离是10，数b、d之间的距离是6，
∴数c、d之间的距离是，
∴数b、c之间的距离是．
故选B．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
2．D
【分析】首先要弄清温差的含义是最高气温与最低气温的差，那么这个实际问题就可以转化为减法运算即可．
【详解】这一天的温差是： ，
故选：．
【点睛】此题考查了有理数的减法，解题的关键在于掌握运算法则．
3．C
【分析】用山脚平均气温减去山顶平均气温可求解．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数减法的实际应用，正确列出算式是解答的关键．
4．A
【分析】用最高气温减去最低气温可求解．
【详解】解：这天的最高气温比最低气温高，
故选：A．
【点睛】本题考查有理数减法的应用，正确列式并求解是解答的关键．
5．A
【分析】由有理数的加减运算，分别进行计算，然后进行判断即可．
【详解】解：
解：A．，故符合题意；
B． ，故不符合题意；
C．，故不符合题意；
D．，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行判断．
6．B
【分析】根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，即可得到结果．
【详解】解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的加减的应用，能灵活运用有理数的减法法则进行变形是解此题的关键，注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
7．C
【分析】根据数轴上各数的位置判断其大小和绝对值大小，再按照选项进行计算即可．
【详解】由数轴可知大小关系为
选项A中，且，得，正确；
选项B中，且，得，正确；
选项C中，，，，错误；
选项D中， ，，，正确．
故选C．
【点睛】本题考查数轴上数的大小判断、绝对值的计算和有理数加减结果的符号判断，根据大小进行判断和正确的化简绝对值是解题的关键．
8．A
【分析】先根据算式找出规律，第1，2两个相加为，第3，4两个数相加为1，第5，6两个数相加为1，依次类推，直到第2017与2018两个数相加，最后还剩，再相加得出结果即可．
【详解】解：
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是找出规律，准确计算．
9．C
【分析】根据正数和负数的实际意义，有理数的加减，进行解答即可．
【详解】解：美国纽约时间为3月1日20：00时，埃及开罗时间为3月2日3：00，
两地的时差为小时，
美国纽约是西五区（），
，
开罗所在的时区是东二区，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正数和负数的实际应用，有理数的加减，熟练掌握正数和负数表示的量具有相反意义，读懂题意，是解题的关键．
10．A
【分析】根据标准质量为g，得出高于550g小于450g的面粉是不合格的．
【详解】解：因为面粉每袋的标准质量为g，即，
故445g不符合要求，
故选：A．
【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．注意不是同一类别的量，不能看成是具有相反意义的量．
11．或
【分析】分类讨论点B在点A的右边或者左边，即可求解．
【详解】解：①若点B在点A的右边，则点B表示的数为：；
②若点B在点A的左边，则点B表示的数为：
故答案为：或
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离．确定两点的相对位置是解题关键．
12．
【分析】根据题意，用，即可求解．
【详解】解：依题意，当小明到达采样点时，妈妈离采样点还有米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的加减，理解题意是解题的关键．
13．
【分析】根据有理数加减的运算法则求解即可．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查有理数的加减运算及简便算法，牢记有理数加减的运算性质是解题的关键．
14．
【分析】通过观察发现，从第2项开始每四个数的和均为0，分别分组计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查规律，有理数的加减混合运算，掌握规律是解题的关键．
15． 98 102
【分析】根据题意，克表示这袋味精最少不能少于克，最多不能高于克，据此解答．
【详解】解：（克）
（克）
答：这种袋装鸡精每袋质量在98克至102克之间是符合产品要求的，
故答案为：98，102．
【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
16．(1)
(2)
(3)168
(4)
【分析】（1）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成．
（2）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成．
（3）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成．
（4）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
【点睛】本题考查了有理数的减法运算，减法法则关键是抓住两变：一是运算变，即减法变为加法；二是减数变为其相反数．易出错的是：部分学生忘记减数变为其相反数而导致出错．
17．点比点高米，点比点高米
【分析】用点的高度减去点高度即得到比高多少，用点高度减去点高度即得到点比高多少．
【详解】解：米
米
点比点高米，点比点高米．
【点睛】本题考查了有理数减法的应用，熟练掌握有理数的减法运算法则是解题的关键．
18．(1)省略加号和括号；转化；加法交换律和结合律
(2)
【分析】（1）根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得出答案；
（2）仿照题意运用有理数加减法交换律及结合律，使用简便方法计算即可．
【详解】（1）解：计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第二步运用了加法交换律和结合律；
（2）
．
【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，掌握混合运算的步骤及运算法则是解题关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据示例，利用有理数中的加减简便运算即可求解．
（2）根据示例，利用有理数中的加减简便运算即可求解．
【详解】（1）解：原式
．
（2）原式
．
【点睛】本题考查了有理数中的加减简便运算，根据示例结合有理数中的加减简便运算法则进行计算是解题的关键．
20．(1)412
(2)26
(3)该厂工人这一周的工资总额是42675元
【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据有理数的减法，可得答案；
（3）根据有理数的乘法，可得工资与奖金，根据有理数的加法，可得答案．
【详解】（1）解：(辆)；
（2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产(辆)；
（3）解：根据图表信息，本周生产的车辆共计：(辆),
，
(元)．
答：该厂工人这一周的工资总额是42675元．
【点睛】本题考查了正数和负数的应用，有理数的加法的应用，熟练掌握有理数的加法运算是解题关键．
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