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人教版七年级数学上册 1.5.1 乘方 导学案
【知识清单】
1、有理数的乘方的概念
一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”。求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在中，叫做底数，叫做指数，当看作的次方的结果时，也可读作“的次幂”。
2、有理数乘方法则
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0的任何正整数次幂都是0；
（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即。
【典型例题】
考点1：有理数幂的概念理解
例1．表示（ ）
A．乘5 B．5个相加 C．5个相乘 D．2个相加
【答案】C
【分析】根据乘方的意义：表示个数相乘，即可．
【详解】解：表示5个相乘；
故选C．
【点睛】本题考查有理数的乘方．熟练掌握表示个相乘，是解题的关键．
考点2：有理数和乘方运算
例2．下列各组运算中，运算后结果相等的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方的法则计算即可．
【详解】解：、，，运算后结果不相等，故本选项不符合题意；
B、，，运算后结相等，故本选项符合题意；
C、，，运算后结果不相等，故本选项不符合题意；
D、，，运算后结果不相等，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟记法则是解题的关键．
考点3：有理数乘方逆运算
例3．计算：（ ）
A． B．1 C．0 D．2023
【答案】B
【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得．
【详解】解：原式
．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键．
考点4：乘方运算的符号规律
例4．在计算时，结果可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据含有乘方的有理数的运算法则即可求解．
【详解】解：，
故选：．
【点睛】本题主要考查乘方的意义，乘方的符号规律，掌握以上知识的是解题的关键．
考点5：乘方的应用
例5．腾讯公司将等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级标识图为两个皇冠，则其等级为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等级规则可得一个皇冠是级，由此即可得．
【详解】解：由题意得：两个皇冠的等级是，
即其等级为，
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确列出运算式子是解题关键．
考点6：有理数四则混合运算
例6．在算式中，要使计算出来的结果最小，中应填（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别计算出四种运算的结果，进行比较即可得到答案．
【详解】解：，，，，
，
的值最小，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，有理数的比较大小，熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键．
考点7：有理数四则混合运算的实际应用
例7．一根钢材长4米，第一次用去，第二次用去米，那么还剩下（ ）
A．米 B．米 C．米 D．2米
【答案】B
【分析】根据题意列出算式进行计算即可．
【详解】解：一根钢材长4米，第一次用去，第二次用去米，那么还剩下的长度为：
（米），故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算．
考点8：程序流程图与有理数计算
例8．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入数字1，则最后输出的结果是（ ）

A．22 B．24 C．26 D．28
【答案】A
【分析】将代入程序图，根据有理数的乘法与减法法则进行计算，直到计算结果大于10即可得．
【详解】解：输入时，输出的结果为，
输入时，输出的结果为，
输入时，输出的结果为，
则最后输出的结果是，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数乘法与减法的应用，读懂计算程序图是解题的关键．
考点9：算“24”点
9．小新玩“24 点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是 24 或－24．小新已经抽到前3 张卡片上的数字分别是，若再从下列 4 张中抽出 1 张，则其中不能与前 3 张算出“24 点”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用运算符号将四个数字连接，使其结果为24或-24，即可得出答案.
【详解】A：(5-2)×8×(-1)=-24，故A错误；
B：(8-3)×5+(-1)=24，故B错误；
C：(8-4)×[5-(-1)]=24，故C错误；
D：无法组成24点，故D正确；
故答案选择：D.
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，需要熟练掌握有理数的运算法则.
考点10：含乘方的有理数混合运算的实际应用
例10．下列各对数中，数值相等的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．和
【答案】C
【分析】根据有理数的乘方法则逐项计算判断即可．
【详解】A、，，，不符合题意；
B、，，，不符合题意；
C、，，，符合题意；
D、，，，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查有理数的乘方．熟练掌握有理数的乘方法则是解题关键．
考点11：计算器——有理数
例11．用计算器求，按键的顺序正确的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】根据利用计算器进行有理数的运算的步骤求解即可．
【详解】根据利用计算器进行有理数的运算的步骤可知，用计算器求，按键的顺序为
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用计算器进行有理数的运算，牢记利用计算器进行有理数的运算的步骤是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．下列关于单项式的说法正确的是（　　）
A．次数是2，系数是 B．次数是5，系数是 C．次数是4，系数是 D．次数是4，系数是
2．下列各组数相等的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（ ）
A． B．2 C．1 D．4
4．在有理数、、、中负数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
5．观察下列等式：，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
6．定义一种新的运算：如果，则有，那么的值是（　　）
A． B． C． D．4
7．远古时期人们用结绳来计数，猎人在从右往左依次排列的绳子上打结来表示猎物的数量．如果按照满七进一的方法，如图表示有18只猎物，如果按照满五进一的方法，图中猎物的只数应该是（　　）
A．14 B．24 C．22 D．42
8．下图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为3，y的值为时，则输出的结果为（ ）
A．1 B．5 C．2 D．6
9．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
10．计算的结果为（ ）
A．0 B．2 C． D．1
11．使用科学计算器按下图按键顺序输入，则它表达的算式的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．若，则 ．
13．已知实数、满足，则 ．
14．在_____里填上“”“”“”
　毫升 升 公顷 平方米
15．根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为 ．
16．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则值为 ．
三、解答题
17．直接写出得数．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
18．如图，大圆的半径为16，三个小圆的半径相同，图中阴影部分的面积为，求小圆的半径．
19．请你用几何图形直观地解释．
20．某个体服装店老板以32元/件的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以47元/件为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，记录结果如下表所示：
售出件数 7 6 3 5 4 5
售价(元/件) 0
该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
21．用“6，0.5，2，3”四个数计算“24点”，规定
（a）每个数都必须用；
（b）每个数只能用一次（包括在指数上使用，如：2的3次方就用了2和3两个数）；
（c）绝对值被认为可以无限制地使用：
（d）符合“交换律”与“结合律”的两个式子，被认为是同一个式子；
（e）要是你还知道“负指数”和“开方”，那么你就用吧；
（f）请将演算步骤写仔细，对1个算式得5分，写对2个得7分，写对3个得9分，写对4个或以上得10分．
22．如果有一根很长的绳子，它能绕地球赤道一周（约）．利用计算器探索，将这根绳子连续对折多少次后能使每段绳长小于？
参考答案
1．C
【分析】根据单项式系数和次数的定义解答即可．
【详解】解：根据单项式定义得：单项式的次数是4，系数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．
2．B
【分析】根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，可得答案．
【详解】解∶ A.，，故；
B.，，故；
C.， ，故；
D.当a小于0时，与不相等，；
故选∶B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练求解一个数的乘方是解题的关键．
3．A
【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键．
4．C
【分析】将有理数化简计算出来，再判断正负性，即可得到答案．
【详解】解：，为正数；
，为正数；
，为负数；
，为负数．
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的化简以及有理数的正负性，熟练掌握有理数的化简是解题的关键．
5．C
【分析】由题意得，2为底的幂的个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，找到规律后即可求得结果．
【详解】解：继续计算：，…，
显然个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，
而，所以的个位数字是8；
故选：C．
【点睛】本题数字规律探索问题，考查了乘方的计算，关键是由特殊到一般找到规律．
6．B
【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值．
【详解】解：根据题中的新定义得：
．
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
7．A
【分析】按照满五进一的方法进行列式计算即可．
【详解】解：
（只）
所以按照满五进一的方法，图中猎物的只数应该是14只．
故选：A
【点睛】此题考查了有理数四则混合运算的应用，读懂题意，正确计算是解题的关键．
8．B
【分析】将代入题目所给的程序图进行计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了程序图，有理数的混合运算，解题的关键是理解根据题目所给程序图的运算顺序．
9．D
【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可．
【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2，
∵，
∴①符合题意；
②这四个数分别为-4、-6、6、2，
∵，
∴②符合题意；
③这四个数分别为-4、-3、12、2，
∵，
∴③符合题意；
④这四个数分别为-4、-3、6、1，
∵，
∴④符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
10．B
【分析】根据的奇数次幂是，的偶数次幂是1，将乘方化简，再进行计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握的奇数次幂是，的偶数次幂是1．
11．D
【分析】根据计算器的使用方法，结合各项进行判断即可．
【详解】解：按下列按键顺序输入：
则它表达的算式是，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了计算器的应用，根据有理数的输入方法正确输入数据是解题关键．
12．
【分析】根据绝对值和平方的非负性，得出答案即可.
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数和绝对值的非负性，有理数的乘方，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0．
13．
【分析】根据算术平方根和平方数的非负性可得，然后把a，b的值代入式子中，进行计算即可解答；
【详解】∵，
∴．
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根和偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．
【分析】根据有理数的运算法则、单位换算的法则依次判断即可．
【详解】因为，所以．
因为，，所以．
因为毫升升，所以毫升升．
因为公顷平方米，所以公顷平方米．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查有理数的运算、单位的换算，牢记有理数的运算法则是解题的关键．
15．
【分析】根据程序的计算顺序将的值代入就可以计算出的值．如果计算的结果则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值为止，即可得出的值．
【详解】解：依据题中的计算程序列出算式：，
∴应该按照计算程序继续计算，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．
16．3
【分析】利用相反数、倒数的定义，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】根据题意得：，，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．(1)5
(2)0
(3)
(4)
(5)49
(6)3
(7)9
(8)4
【分析】（1）按照有理数乘法法则计算；
（2）0乘以任何数都得0；
（3）按照有理数减法法则计算；
（4）先去括号，再进行加减运算；
（5）将除法变形为乘法，再进行计算；
（6）将除法变形为乘法，再进行计算；
（7）先计算乘方，再计算减法；
（8）按照除法法则计算．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：
（6）解：；
（7）解：；
（8）解：．
【点睛】本题考查有理数的四则运算，属于基础题，正确计算是解题的关键．
18．5
【分析】设先求出小圆的面积，进而利用乘方求解即可．
【详解】解∶ ，
，
∵，
∴小圆的半径为5
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算的运用，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键．
19．解释见解析
【分析】利用正方形的面积计算方法进行解答即可．
【详解】解：设小正方形的边长为，则正方形的边长为，
∴正方形的面积为：，
∵正方形是由个边长为的小正方形拼接而成，
∴正方形的面积为：，
∴．
【点睛】本题考查积的乘方的实际意义．抓住面积的不同表示方法是解题的关键．
20．472元
【分析】首先由进货量和进货单价计算出进货的成本，然后再根据售价计算出赚了多少钱．
【详解】解：如表格，则总的售价为
，
，
，
售完这30件连衣裙后，赚了472元．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，关键在于根据表格计算出一共卖了多少钱．
21．见解析
【分析】根据要求写出式子，然后写出计算过程即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确列出式子是关键．
22．26
【分析】运用计算器计算处在之间即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴将这根绳子连续对折26次后便能使每段绳长小于．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，根据计算器的操作方法计算出处在之间是解本题的关键．
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