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泸县2023-2024学年高二上学期开学考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，，若，则
A． B． C． D．2
2．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是
A． B．是减函数
C．是奇函数 D．是偶函数
3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论中正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．在中，为上一点，且，则
A． B． C． D．
5．已知，则
A． B． C． D．
6．已知向量，满足，则在方向上的投影向量为
A． B． C． D．
7．在直三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
8．中，，的对应边分别为，，，满足，则角的范围是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知是虚数单位，复数，，则
A．任意，均有 B．任意，均有
C．存在，使得 D．存在，使得
10．函数的一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的有
A．函数的解析式是
B．函数的最大值是
C．函数的最小正周期是
D．函数的一个对称中心是
11．如图，在长方体中，，M，N分别为棱，的中点，则下列说法正确的是
A．M，N，A，B四点共面
B．直线与平面相交
C．直线和所成的角为
D．平面和平面所成锐二面角的余弦值为
12．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学函数为，其中A影响音的响度和音长，影响音的频率，响度与振幅有关，振幅越大，响度越大；音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉．平时我们听到的音乐都是由许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是．则下列说法正确的有
A．是偶函数；
B．的最小正周期可能为；
C．若声音甲的函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音的响度大；
D．若声音乙的函数近似为，则声音乙一定比纯音低沉．
第II卷 非选择题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某中学高三年级人，高二年级人，高一年级人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取人，则全校总共抽取 人．
14．已知一扇形的圆心角为2，半径为r，弧长为l，则的最小值为 ．
15．如图，三棱锥中，平面平面BCD，是边长为2的等边三角形，，.若A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为 .

16．在锐角中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设A、B、C、D为平面内的四点，且，，．
(1)若．求D点的坐标；
(2)设向量，，若向量与垂直，求实数k的值．
18．（12分）已知函数．
(1)求的单调增区间；
(2)当时，求的值域．
19．（12分）2023年4月21日，以“去南充，Lang起来”为主题的南充文旅（成都）推介会在成都宽窄巷子举行．本次推介会围绕“六百里秀美嘉陵江，两千年人文南充城”展开，通过川北大木偶、川剧快闪等多个环节，展示了将帅故里、锦绣南充的文旅资源，同时还向成都市民和广大游客推介了千年古城阆中游、将帅故里红色游、山水风光览胜游、亲子行读研学游和潮流江岸时尚游等五条精品旅游线路，为了解本次推介会的效果，随机抽取了名观众进行有奖知识答题，现将答题者按年龄分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，若第一组有5人．
(1)求；
(2)现用分层抽样的方法从第四组和第五组中抽取6人，再从这6人随机抽取2人作为幸运答题者，求这2人幸运答题者恰有1人来自第五组的概率．
20．（12分）在①；②的最小值为；③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边为，，，且______.
(1)求；
(2)若是内角平分线，交于，，，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21．（12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M是PB的中点.
(1)证明：平面；
(2)判断直线CM与平面的位置关系，并证明你的结论；
(3)求二面角的余弦值.
22．（12分）设平面向量、的夹角为，．已知，，．
(1)求的解析式；
(2)若﹐证明：不等式在上恒成立．泸县2023-2024学年高二上学期开学考试
数学试题参考答案
1．B 2．C 3．D 4．C 5．D 6．D 7．B 8．A
9．AD 10．BCD 11．BD 12．CD
13． 14．4 15． 16．8
17．解：（1）设，因为，，，，
于是，整理得，
即有，解得，
所以点的坐标为，
（2）因为，
所以，，
因为向量与垂足，因此，解得，
所以实数k的值为.
18．解：（1）∵，
令，
∴，
∴函数的单调递增区间为．
（2）∵，∴，∴．
则，∴．
19．解：（1）根据频率分布直方图知：第一组的频率为，
因此，.
（2）根据频率分布直方图知，第四组的人数为，
第五组的人数为，
根据分层抽样可知：第四组应抽取人，记这4人分别为，
第五组应抽取人，记这2人分别为，
再从这6人随机抽取2人，
则样本空间为，
共计15个样本点，事件“2位幸运答题者恰有1位来自第五组的”包含的样本点为
，共计8个
由古典概型概率公式得：，
所以这2位幸运答题者恰有1位来自第五组的概率为.
20．解：（1）若选①，由可得，
，
可得，因为，所以，
且，所以.
若选②，，且其最小值为，
所以，即，，又因为，
所以.
若选③，由
可得，
所以，
即，所以，
因为，所以，又因为，所以.
（2）因为是角的平分线，且，
由，
所以，且，由余弦定理可得，
即，即，
所以，故.
21．解：（1）由底面ABCD，底面ABCD，则，
在直角梯形中，，则，
又，平面，所以平面；
（2）平面，证明如下：如右图：
取PA中点E，连接ME，DE，由于M是PB的中点，故，且，
由，则，且，
从而四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，所以平面；
（3）作，垂足为N，连接BN，如右图：
在中，，又，所以≌，
可得，
则≌，故，故为所求二面角的平面角，
由（1）知平面，由平面，可得，
在中，，所以，
在等腰三角形中，，所以，
因为，在中，由余弦定理得，
所以二面角的余弦值为.
22．解：（1）因为，，，
所以，，，所以，
则
，所以，
因为，当时，当时，
所以；
（2）当时，
又，所以，
令，
因为，所以，所以，则，
所以，令，，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，即
令，
因为，所以，所以，
则，则，
令，，
显然在上单调递增，所以，即，
显然，所以，
即不等式在上恒成立.

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