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2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
同步知识点分类练习题（附答案）
一．正方形的性质
1．如图，已知在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10厘米，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动，设运动时间为t秒．当△BPE与△CQP全等时，t的值为（　　）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
2．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，里面放置两个大小相同的正方形CDEF与正方形GHIJ，点F在边BC上，点D，H在边AC上，点G在边DE上，点I，J在斜边AB上，则正方形CDEF的边长为（　　）
A． B． C． D．
4．在直线上依次摆着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝　 　．
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF＝EB，以线段AF为边作正方形AFGH，点H在线段AB上，则的值是 　 　．
6．如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，AC＝10，AE＝CF＝3，则四边形BFDE的面积为 　 　．
7．如图，△ABC中，AB＝2，AC＝，∠BAC的度数为α，四边形BCDE为正方形．
（1）当α＝45°时，求AE的长．
（2）当α＝　 　度时，AE的长最大，AE的最大值为 　 　．
8．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，∠DAE的平分线AG与边CD相交于点G，与BC的延长线相交于点F．
（1）若AB＝2，BE＝CE，求CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，求证：G为边CD的中点．
二．正方形的判定
9．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形
D．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
10．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．四边相等的四边形是正方形
11．如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，其中∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，O为BC中点，EF过点O分别交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，有以下四个结论：①四边形BECF为平行四边形；②当BF＝3.5时，四边形BECF为矩形；③当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形；④四边形BECF不可能为正方形．其中错误的结论是 　 　．（填写序号）
12．如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中正确的有 　 　个．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．如果E、F分别是AD、BC上的点，且EF经过AC中点O，G，H是对角线AC上的点．下列判断正确的有 　 　．（填序号）
①在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是平行四边形；
②在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是矩形；
③在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是菱形；
④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形．
14．已知，为矩形的对角线，完成如下操作，并解决问题：

(1)作的垂直平分线；（不写画法，保留作图痕迹）
(2)在直线上确定两点，，使四边形为正方形，简要阐述作法，并说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线OC：yOC＝3x与直线AC：yAC＝﹣x+8相交于点C（2，6）．
（1）点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿x轴向左运动，两点同时出发．分别过点M，N作x轴的垂线，分别交直线OC，AC于点P，Q，请你在图1中画出图形，猜想四边形PMNQ的形状（点M，N重合时除外），并证明你的猜想；
（2）在（1）的条件下，当点M运动 　 　秒时，四边形PMNQ是正方形（直接写出结论）．
16．如图，△ABC中，AB＝AC，D、F分别为BC、AC的中点，连接DF并延长到点E，使DF＝FE，连接AE、AD、CE．
（1）求证：四边形AECD是矩形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECD是正方形，并说明理由．
三．正方形的判定与性质
17．如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则下列判断：
①四边形AEDF一定是平行四边形；
②若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形；
③若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形；
④若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形．
正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，4），A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，且△ABO的周长是8，则P到直线AB的距离是（　　）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
19．如图，分别以点A、B为圆心，同样长度为半径作圆弧，两弧相交于点C、D．连结AC、BC、AD、BD，则四边形ADBC一定是 　 　．
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
20．如图，以平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH，当∠ADC＝α（0°＜α＜90°）时，有以下结论：①∠GCF＝180°﹣α；②∠HAE＝90°+α；③HE＝HG；④四边形EFGH是正方形；⑤四边形EFGH是菱形．则结论正确有　 　．
21．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH．四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？
22．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值．
（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，求HR长度．
参考答案
一．正方形的性质
1．解：当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP＝CQ，BE＝CP，
∵AB＝BC＝10厘米，AE＝4厘米，
∴BE＝CP＝6厘米，
∴BP＝10﹣6＝4厘米，
∴运动时间＝4÷2＝2（秒）；
当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP＝PC＝5厘米，CQ＝BE＝6厘米，即可．
∴点P，Q运动的时间t＝＝（秒），
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
3．解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10．
∵四边形GHIJ为正方形，
∴GH∥AB．
∴∠GHD＝∠A．
设正方形CDEF与正方形GHIJ的边长为x，则HI＝CD＝x．
在Rt△AHI中，
∴．
∴AH＝x．
在Rt△GHD中，
∴DH＝x．
∵AC＝CD+DH+AH＝8，
∴x+x+x＝8．
解得：x＝．
故选：B．
4．解：如图，∵图中的四边形为正方形，
∴∠ABD＝90°，AB＝DB，
∴∠ABC+∠DBE＝90°，
∵∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠CAB＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AC＝BE，
∵DE2+BE2＝BD2，
∴ED2+AC2＝BD2，
∵S1＝AC2，S2＝DE2，BD2＝1，
∴S1+S2＝1，
同理可得S3+S4＝3，
∴S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．
故答案为4．
5．解：设AB＝2a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝2a，∠BAD＝90°，
∵E点为AD的中点，
∴AE＝a，
∴BE＝＝＝a，
∴EF＝BE＝a，
∴AF＝EF﹣AE＝（﹣1）a，
∵四边形AFGH为正方形，
∴AH＝AF＝（﹣1）a，
∴＝＝，
故答案为：．
6．解：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，
又∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BD＝AC＝10，
∵AE＝CF＝3，
∴EF＝4，
∴四边形BFDE的面积为BD EF＝×10×4＝20．
故答案为：20．
7．解：（1）以AB为边，在AB的左侧作正方形ABMN，连接MC、AM，则AB＝BM，∠ABM＝90°，∠MAB＝45°，
∵AB＝2，
∴AM＝2，
∵四边形BCDE为正方形，
∴BC＝BE，∠CBE＝90°，
∴∠MBC＝∠ABE，
∴△MBC≌△ABE，
∴MC＝AE，
∵α＝45°，∠MAB＝45°，
∴∠MAC＝∠MAB+∠BAC＝90°，
∵AC＝，AM＝2，
∴MC＝＝，
∴AE＝．
（2）结合图1可知，当M、A、C三点共线时，MC的长最大，即AE的长最大，
∴AE＝MC＝MA+AC＝2+，
此时，∠MAC＝180°，∠MAB＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°＝135°，即α＝135°．
故答案为：135，2+．
8．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝2，BE＝CE，
∴BE＝EC＝1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；
（2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
即点G为CD的中点．
二．正方形的判定
9．解：A．当AC＝BD时，由对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B．当AC⊥BD时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意；
C．当AB＝BC时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意；
D．当∠ABC＝90°时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；
故选：A．
10．解：A、对角线平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
B、对角线平分互相垂直且相等的四边形是正方形，说法错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，说法正确，符合题意；
D、四边相等的四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
故选：C．
11．解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴AB＝CD＝3，AC＝BD＝5，BC＝EF＝4，∠A＝∠D，∠ACB＝∠CBD，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵O为BC中点，
∴BO＝CO，
在△BOF和△COE中，
，
∴△BOF≌△COE（ASA），
∴OF＝OE，
∴四边形BECF为平行四边形，故①正确；
当BF＝3.5时，若BE⊥AC，
∵，
∴BE＝，
∴，
∵BF＝3.5，
∴CE≠BF，
∴BF＝3.5时，四边形BECF不是矩形，
故②错误，
∵BF＝2.5，
∴CE＝2.5，
∴AE＝AC﹣CE＝2.5，
∴E为AC中点，
∴BE＝CE，
∵四边形BECF是平行四边形，
∴当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形，故③正确；
当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形，此时∠BEC≠90°，
∴四边形BECF不可能为正方形．故④正确．
故答案为：②．
12．解：①∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，
∴平行四边形AEDF是矩形，故①正确；
②∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DF∥AB，
∴∠ADF＝∠BAD，
∴∠ADF＝∠CAD，
∴AF＝DF，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故②正确；
③∵AD⊥BC，AC＝AB，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DF∥AB，
∴∠ADF＝∠BAD，
∴∠ADF＝∠CAD，
∴AF＝DF，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，四边形AEDF不一定是正方形，故③错误；
即正确的个数是2个，
故答案为：2．
13．解：①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形，故该说法正确；
②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形，故该说法正确；
③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形，故该说法正确；
④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形，
故答案为①②③④．
14．（1）解：直线如图所示

（2）解：正方形如图所示，
设直线与的交点为O，以O为圆心，的长度为半径画弧，交直线于两点M、N，连接，，，，
∵且，

∴四边形是正方形．
15．解：（1）如图，四边形PMNQ为矩形，
证明：∵点A在直线AC：yAC＝﹣x+8上，
当y＝0 时，x＝8，
∴A（8，0），
设点M的运动时间为m秒，
则OM＝m，AN＝3m，
∴M（m，0），N（8﹣3m，0），
∵PM⊥x轴，QN⊥x轴，
∴∠PMA＝∠QNA＝90°，
∴PM∥QN，
∵点P在直线OC：yOC＝3x，点Q在直线AC：yAC＝﹣x+8上，
∴P（m，3m），Q（8﹣3m，3m），
∴PM＝QN，
∴四边形PMNQ为平行四边形，
∵∠PMA＝90°，
∴四边形PMNQ为矩形；
（2）∵四边形PMNQ是正方形，
∴MN＝QN，
即8﹣4m＝|3m|，
解得：x＝或8，
∴当点M运动秒或8秒时，四边形PMNQ是正方形，
故答案为：或8．
16．证明：（1）∵D、F分别为BC、AC的中点，使DF＝FE，
∴CF＝FA，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形AECD是矩形；
（2）当∠BAC＝90°时，
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD＝BD＝CD，
∵由（1）得四边形AECD是矩形，
∴矩形AECD是正方形．
三．正方形的判定与性质
17．解：①∵D是BC的中点，E是AB的中点，
∴DE∥AC．
∵D是BC的中点，F是AC的中点，
∴DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
∴①正确；
②如图，
由①知：AE∥DF，
∴∠EAD＝∠ADF．
若AD平分∠BAC，
则∠EAD＝∠FAD．
∴∠FAD＝∠ADF，
∴AF＝FD，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
∴②不正确；
③如图，
若AD⊥BC，
∵D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC．
∵AD⊥BC，E是AB的中点，
∴DE＝AB．
同理：DF＝AC，
∴DE＝DF．
由①知：四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
∴③正确；
④若∠A＝90°，如图，
由①知：四边形AEDF是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④，
故选：C．
18．解：如图，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂直分别为C，D，
∵P（4，4），
∴四边形CODP是边长为4的正方形，
∴PC＝PD＝OC＝OD＝4，
将△PAD沿PA折叠得到△PAE，延长AE交y轴于点B，
∴PE＝PD，AD＝AE，∠PDA＝∠PEA＝90°，
∴PE＝PC，
在Rt△PEB和Rt△PCB中，
，
∴Rt△PEB≌Rt△PCB（HL），
∴BE＝BC，
∵△ABO的周长是8，
∴AO+BO+AE＝AO+BO+BE+AE＝AO+BO+BC+AD＝CO+DO＝8，
∴△ABO符合题意，
∴P到直线AB的距离PE＝4，
故选：A．
19．解：由题意可知：AC＝AD＝BC＝BD，
∴四边形ADBC是菱形，也是平行四边形，
故答案为：BD．
20．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝α，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，
∵平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，
∴BE＝AE＝CG＝DG，AH＝DH＝BF＝CF，∠ABE＝∠EAB＝∠FBC＝∠FCB＝∠GCD＝∠GDC＝∠HAD＝∠HDA＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠BCD＝180°﹣α，
∴∠EAH＝360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣α）＝90°+α，∠GCF＝360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣α）＝90°+α，
∴①错误；②正确；
∠HDG＝45°+45°+α＝90°+α，∠FBE＝45°+45°+α＝90°+α，
∴∠HAE＝∠HDG＝∠FCG＝∠FBE，
在△FBE、△HAE、△HDG、△FCG中，
，
∴△FBE≌△HAE≌△HDG≌△FCG（SAS），
∴∠BFE＝∠GFC，EF＝EH＝HG＝GF，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BFC＝90°＝∠BFE+∠EFC＝∠GFC+∠CFE，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∴②③④⑤正确；
故答案为：②③④⑤．
21．解：四边形EFGH是正方形．
证明：∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝DG＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，
∴EF＝EH＝HG＝GF，∠EHA＝∠HGD．
∴四边形EFGH是菱形．
∵∠EHA＝∠HGD，∠HGD+∠GHD＝90°，
∴∠EHA+∠GHD＝90°．
∴∠EHG＝90°．
∴四边形EFGH是正方形．
22．（1）证明：作AG⊥EF于G，如图1，
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝BG，
同理：Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），
∴DF＝GF，∴BE+DF＝GE+GF＝EF，
设BE＝x，DF＝y，则CE＝BC﹣BE＝6﹣x，CF＝CD﹣DF＝6﹣y，EF＝x+y，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2，
整理得：xy+6（x+y）＝36，
∴（BE+6）（DF+6）＝（x+6）（y+6）＝xy+6（x+y）+36＝36+36＝72；
（3）解：如图2所示：
把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，
由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，
∴MG＝DG＝MP＝PH＝6，
∴GQ＝4，
设MR＝HR＝a，则GR＝6﹣a，QR＝a+2，
在Rt△GQR中，由勾股定理得：（6﹣a）2+42＝（2+a）2，
解得：a＝3，即HR＝3．
当△PQR是钝角三角形时，过P作PT⊥PR交RQ延长线于T，如图3所示：
则∠TPQ＝90°﹣45°＝45°，
由①得：TH＝3，
∴PT＝＝＝3，
设HR＝x，PR＝y，则TR＝x+3，
∵△PTR的面积＝（x+3）×6＝×3y，
∴y＝6+2x，
∴5y2＝（6+2x）2①，
在Rt△PRH中，由勾股定理得：y2＝62+x2②，
由①②得：（x﹣12）2＝0，
∴x＝12，
即HR＝12；
综上所述，HR为3或12，

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