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赣州市四高中2023-2024学年高二上学期开学考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．“”是“，”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分条件
C．必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．将化为弧度制，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，则（ ）
A． B．2 C． D．50
4．已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，已知正方形的边长为2，，分别是，的中点，平面，且，则与平面所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的有（ ）
A． B．z的虚部是－4
C．是纯虚数 D．z在复平面内对应的点位于第一象限
10．下列结论正确的是（ ）
A．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与B1C是异面直线
B．不共面的四点可以确定4个平面
C．圆锥的侧面展开图是个半圆，则圆锥的母线是底面半径的2倍
D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
11．已知两个单位向量和的夹角为，则（ ）
A．向量在向量上的投影向量为
B．向量与向量的夹角为
C．向量在向量上的投影向量为
D．的最小值为
12．如图所示，在凸四边形中，对边，的延长线交于点，对边，的延长线交于点，若，，，则（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．
三、填空题（共20分）
13．已知向量，若与互相垂直，则 ．
14．已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 ．
15．已知,且，，则的值是 ．
16．如图，在长方体中，，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则截面四边形的面积为 .
四、解答题（共70分）
17．证明：.
18．已知复数，．
(1)当m取何值时，z为纯虚数？
(2)当时，求的值．
19．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求的解析式并求出的增区间；
(2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若且关于的方程在上有解，求的取值范围．
20．在中，内角所对的边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，外接圆的面积为，求.
21．如图，有一块扇形草地，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段；

(1)若点A为弧的一个三等分点，求矩形的面积S；
(2)设，当A在何处时，矩形的面积S最大？最大值为多少？
22．已知平面四边形ABCD，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点.

(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值.
标准答案
1．A
因为，
因此，“”是“，”的充分必要条件.
故选：A.
2．C
.
故选：C.
3．A
由题意向量，，
则向量，
故，
故选：A
4．A
设顶点D的坐标为，
由题意知，,根据向量的坐标运算解得；，
解得：，即顶点D的坐标为，
故选；A.
5．A
，
故选：A
6．C
解：由，得，
由，得，
所以
故选：C.
7．A
在中，，
在中，，，
则，
由正弦定理，
可得，
在中，(m).
故选：A.
8．D
如图，连接、，且、分别交于、.
因为四边形是正方形，、分别为和的中点，
故为的中点，因为平面，平面，
所以平面，所以到平面的距离就是点到平面的距离.
，即，平面，
平面，，平面，
平面平面平面平面，
作交于点，因为平面，平面平面，
平面，所以线段的长就是点到平面的距离.
正方形的边长为.
平面，平面，所以，
在中，，根据，
有，得，
因为，平面，所以的长即为点到平面的距离，
，即与平面成角的正弦值为.
故选：D.

9．ACD
解：复数，，故A正确；
z的虚部是3，故B错误；
，是纯虚数，故C正确；
z在复平面上的对应点是，在第一象限，故D正确.
故选：ACD
10．ABC
对于A，正方体中，∵平面，平面，，∴由异面直线判定定理得与是异面直线，故A正确；
对于B，不共面的四个点中每三个点都不共线，则任意三个点都可确定一个平面，共可以确定四个平面，故B正确；
对于C，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，根据题意得，则，正确；
对于D，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的多面体叫做棱柱，错误；

故选：ABC
11．ACD
选项A：向量在向量上的投影向量为，选项正确；
选项B；
解得向量与向量的夹角为，选项错误；
选项C；向量在向量上的投影向量为：
选项正确；
选项D；
当选项正确；
故选：ACD．
12．BD
A.
，故A错误；
B.过作交于，则，，
,由向量关系知：，即，
故B正确；
C.由B知,当且仅当时成立，
故C错误；
D.由，
，，则
当且仅当时成立，故D正确.
故选：BD
13．2
由题意可得，与互相垂直，则，即，即.
故答案为：
14．
由题意可知，扇形的半径为，
故该扇形的面积为.
故答案为：.
15．
已知,，
则，，
即，，
又,，
则，，
则，，
则
故答案为：
16．
如图：
过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，，
并分别与，交于E，F，因为，且平面，平面，
所以平面，所以平面即为平面，因为，，
所以，所以四边形为菱形，且，，
所以.
故答案为：
17．证明见解析
.
18．(1)
(2)
（1）若为纯虚数，则，解得.
（2）当时，，
所以，
所以.
19．(1)；
(2)
（1）由图象可知，，则，
又，所以，故，
因为点在上，则，即，
所以，即，又，故，
所以，
令，得，
所以的增区间为.
（2）先把的图象向右平移个单位得到的图像对应的解析式为，
再向下平移1个单位，得到的图像对应的解析式为，
，则，
所以，即，
因为在上有解，即在上有解，
所以，即的取值范围为.
20．(1)
(2)或
（1）因为，由正弦定理可得，
所以，由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）设外接圆的半径为，因为外接圆的面积为，
所以，解得，
由正弦定理可得，
若的面积为，则，可得，①
由余弦定理可得，②
由①②可得，或.
21．(1)
(2)A在弧的四等分点处， .
（1）作，垂足为H，交于E，连接，

由于点A为弧的一个三等分点，四边形为矩形，即关于直线对称，
则，则，
而，故为等腰直角三角形，则，
故，
则
；
（2）因为，则，
，
故，
则
，
因为，所以，故时，取最大值，
即当时，，
即A在弧的四等分点处时，矩形的面积S最大，.
22．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）因为，，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以.
取的中点，连接，，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，所以平面.
（2）过点作，垂足为．如图所示，

由（1）知，平面，因为平面，所以，
，，平面，所以平面，
所以为与平面所成角.
由（1）知，平面，平面，所以,
在中，因为，，所以，
因为为的中点，所以，
在中，，
在中，，
在中，，
所以由同角三角函数的基本关系得.
所以与平面所成角的正弦值为.
（3）取的中点为，连接，因为为线段的中点，
所以，
由（1）知，平面，所以平面，平面.
所以，过点作，垂足为，连接，，
，平面，所以平面．平面，所以，
所以为二面角的平面角.
在中，，
由（1）知，为等边三角形，为线段的中点，
所以，
由（1）知，平面，平面．所以，
在中，，由（2）知，，
即，解得.
因为平面，平面，所以，
在中，，
所以，即二面角的平面角的余弦值为.

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