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人教版七年级数学上册 3.1.2 等式的性质 导学案
【知识清单】
1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.
2．等式的性质：
等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式。
【典型例题】
考点：等式的性质
例．已知，下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等式的性质逐项判断即得答案．
【详解】解：A、∵，∴当时，故本选项不成立；
B、∵，∴，故本选项成立；
C、∵，∴，故本选项不成立；
D、∵，∴，故本选项不成立；
故选：B
【点睛】本题考查了等式的性质，等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式；等式的两边同时乘或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式，熟练掌握等式的性质是关键．
【巩固提升】
1．下列各等式变形中，不一定成立的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
2．下列等式变形不正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
3．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．下列说法一定正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（ ）
A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲
6．下列等式变形错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．若，根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．有13个乒乓球，有12个质量相同，另有一个较轻一点，如果用天平称，至少称（　　）次保证能找出这个乒乓球．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．根据等式的基本性质，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题
11．已知方程，用含x的式子表示y，则 ．
12．若，则 ．
13．已知，则 ．（填“”“”或“”）
14．已知，用含x的代数式表示y，则 ．
15．已知方程，用x关于的代数式表示y，则 ．
三、解答题
16．求未知数．
(1)
(2)
17．方程的解相同，求的值．
18．利用等式性质解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
19．已知是常数， ．
(1)若，，求；
(2)试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式；
(3)若的取值与无关，请说明．
20．利用等式的性质，说明由如何变形得到．
参考答案
1．D
【分析】根据等式基本性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．如果，那么一定成立，故A不符合题意；
B．如果，那么一定成立，故B不符合题意；
C．如果，那么一定成立，故C不符合题意；
D．如果，当时不一定成立，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质，1、等式两边同时加上(或减去)同一个整式,等式仍然成立；2、等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式等式仍然成立．
2．D
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A.如果，那么，变形正确；
B.如果，那么，变形正确；
C.如果，那么，变形正确；
D.如果，那么或，变形不正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，1.等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2.等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
3．C
【分析】根据等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、若，两边同时减去3，得，故正确，不合题意；
B、若，两边同时乘以，得，故正确，不合题意；
C、若，当时，无意义，故错误，符合题意；
D、若，两边同时除以2，得，故正确，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是等式的基本性质，熟知等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解答此题的关键点．
4．B
【分析】根据等式的性质判断即可．
【详解】解：A选项，若，则，故不符合题意；
B选项，若，则，故符合题意；
C选项，若，则，故不符合题意；
D选项，若，则，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
5．A
【分析】设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到，进而推出，，由此即可得到答案．
【详解】解：设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，
由左边第一幅图可知①，由中间一幅图可知②，
∴得，
∴，
∴，
由②得，，即
∴
∴，故A不正确，B正确，
，故C，D正确，
故选A ．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意得到，是解题的关键．
6．C
【分析】根据等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，等式两边仍相等；同时乘以或除以同一个数（除数不为0），等式两边仍相等．作相应变形进而判断．
【详解】解：A、根据等式的性质1，等式两边都加1，可得，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、根据等式的性质1，等式两边都加上，可得，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、等式两边都乘以2可得，原变形错误，故此选项符合题意；
D、等式两边都加上，可得，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
7．A
【分析】根据等式的性质1：等式两边同时加上相等的数或式子,两边依然相等.性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子,两边依然相等，解答即可．
【详解】解：A、若，两边同时除以，当时，原变形错误，故这个选项符合题意；
B、若；等式两边同时乘，则，原变形正确，故这个选项不符合题意；
C、若，等式两边同时乘，则，原变形正确，故这个选项不符合题意；
D、若，两边同时减去1，则，原变形正确，故这个选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键．
8．B
【分析】利用等式的性质变形得到结果，即可作出判断．
【详解】A、两边都乘以得，，故该选项不正确，不符合题意；
B、两边都除以2得，，故该选项正确，符合题意；
C、当时，两边都乘以得,，故该选项不正确，不符合题意；
D、两边都减去3得,，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．
9．C
【分析】根据题意，首先要将13个乒乓球分成1、6、6三组，若一样重，则拿出的那一个是次品；若不一样重，再将轻的那6个分成3、3两组，进而再将轻的那3个分成1、1、1称量，即可求解．
【详解】解：首先要将13个乒乓球分成1、6、6三组，先称量6、6两组，若一样重，则拿出的那一个是次品；
若不一样重，再将轻的那6个分成3、3两组，进而再将轻的那3个分成1、1、1称量，
从而可知至少需要3次才能找出次品．
故选：C．
【点睛】本题考查了数学知识的应用，等式的性质，理解题意是解题的关键．
10．D
【分析】运用等式的性质进行逐一辨别、求解即可．
【详解】解：若，则，或，
选项A不符合题意；
若，则，
选项B不符合题意；
，则，
选项C不符合题意；
，
，
选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】此题考查了等式性质的应用能力，掌握性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，关键是能准确理解并运用该知识．
11．
【分析】根据等式的性质进行移项即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟练运用并正确变形是解题关键．
12．
【分析】根据等式的性质，两边同时乘以即可得到结论．
【详解】由，等式两边同时乘以得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．
13．
【分析】根据等式的基本性质进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是理解并掌握等式的基本性质，等式两边同时乘以一个数或整式，等式仍然成立．
14．
【分析】将移到方程的右边即可．
【详解】解：，
移项得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
15．
【分析】利用移项法则先移项，得，再将系数化为1即可．
【详解】解：移项，得：，
即，
所以．
【点睛】本题考查了移项法则和等式性质的应用，掌握移项法则是解题关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先根据比例的基本性质把原式转化为，再根据等式的性质在方程两边同时除以求解即可；
（2）根据等式的性质在方程两边同时加，然后化简，再根据等式的性质在方程两边同时除以求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【点睛】本题考查了等式的性质，解比例方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
17．
【分析】依据等式的性质，即可求解．
【详解】解：将左右两边同时乘以3，得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等式的性质：等式两边同时加上或者减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，变形求得x的值即可；
（2）根据等式的性质：等式两边同时加上或者减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，变形求得x的值即可；
（3）根据等式的性质：等式两边同时加上或者减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，变形求得a的值即可．
【详解】（1）解：，
方程两边同时加2，得：，即：，
方程两边同时加，得：，即：，
方程两边同时除以12，得：，即：；
（2）解：，
方程两边同时减1，得：，即：，
方程两边同时减x，得：，即：，
方程两边同时除以2，得：，即：；
（3）解：，
方程两边同时加3，得：，即：，
方程两边同时乘2，得：，即：．
【点睛】本题考查由等式的性质解方程．掌握等式的性质：等式两边同时加上或者减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立是解题关键．
19．(1)
(2)，
(3)见解析
【分析】（1）将，，代入进行计算即可；
（2）根据等式的性质，依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项即可；
（3）由的取值与无关可得，进而得到，即，得出结论．
【详解】（1）解：当，时，
；
（2）解：将两边都乘以得，
，
去括号得，，
移项得，，
两边都乘以得，，
即，
∴，；
（3）解：∵的取值与无关，
∴，即，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是正确解答的前提．
20．见解析
【分析】先根据等式的性质两边同时乘以2去掉分母，然后等式两边同时加上2即可得到答案．
【详解】解：
等式两边同时乘以4得：，
等式两边同时加上2得：，即．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立．
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