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人教版七年级数学上册 3.3 解一元一次方程（二）
——去括号与去分母 导学案
【知识清单】
1.去括号：解方程过程中，把方程中含有的括号去掉的过程叫做去括号。
2.去括号法则：将括号外的因数连同前面的符号看作一个整体，运用乘法的分配律和有理数的乘法法则，与括号内的各项相乘
①括号外的因数是正数时，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同
②括号外的因数是负数时，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反
③有多层括号的，要从里向外逐层去括号，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
3.去分母的方法：一元一次方程的各项都乘所有分母的最小公倍数，使方程中的分母变为1
4.去分母的依据：去分母的依据是等式2的性质，即在方程的两边都乘所有分母的最小公倍数，使方程的系数化为整数
【典型例题】
考点1：解一元一次方程（二）——去括号
例1．下列方程变形正确的是（ ）
A．去分母得 B．去括号得
C．移项得 D．系数化为1得
【答案】B
【分析】根据等式的性质，去括号法则，逐个进行判断即可．
【详解】解：A． 去分母得，故A不正确，不符合题意；
B． 去括号得，故B正确，符合题意；
C． 移项得，故C不正确，不符合题意；
D． 系数化为1得，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握等式的性质：等式的性质一：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立．性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．以及去括号的法则．
考点2：解一元一次方程（三）——去分母
例2．解方程，去分母后所得到的正确的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据等式两边每一项都同时乘以，即可．
【详解】，
解：等式两边同时乘以，得，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程的解法．
考点3：解一元一次方程——拓展
例3．已知关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（ ）
A．8 B． C．12 D．
【答案】A
【分析】求得方程的解，根据解是正整数，分类计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∵方程的解是正整数，
∴，
解得
∴积为，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法及其特殊解，正确理解整数解的意义是解题的关键．
【巩固提升】
1．下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．方程，移项得
B．方程，可化为
C．方程，可化为
D．方程，去括号得
2．已知关于的方程的解满足，则的值是（ ）
A． B．10 C． D．
3．将方程去分母后，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若和互为相反数，则x的值为（ ）
A． B．3 C．1 D．
5．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
6．我们规定，对于任意两个有理数，有，如．若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．0
二、填空题
7．在实数范围内定义运算“”：，若，则的值是 ．
8．已知与互为相反数，则的值为
9．若方程与的解相同，则的值为 ．
10．如果，则 ．
11．已知关于的一元一次方程的解是正整数，则所有满足题意的整数的和是 ．
12．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ．
三、解答题
13．解方程：
(1)
(2)
14．解方程：
(1)；
(2)．
15．(1)计算：；
(2)解方程：．
16．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，则______；
(2)若两个“和谐方程”的解相差2，其中较小的一个解为n，则______．
(3)若关于x的两个方程与是“和谐方程”，求m的值．
17．对于任意的有理数a、b，定义一种新的运算，规定：，，等式右边是通常的加法、减法运算，如，时，，．
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
18．关于x一元一次方程①， ②，
(1)若方程①的解比方程②的解小4，求a的值；
(2)小马虎同学在解方程①时，右边的“”漏乘了公分母6，因而求解方程的解为，试求方程①的正确的解；
参考答案
1．C
【分析】根据移项要变号可判定选项；根据分数的性质可判定选项；根据去分母的方法可判定选项；根据去括号法则可判定选项，由此即可求解．
【详解】解：、移项得，，故原选项错误，不符合题意；
、方程可化为，，故原选项错误，不符合题意；
、方程，可化为，故原选项正确，符合题意；
、方程去括号得，，故原选项错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程中的综合知识，掌握移项要变号，分数的性质，去分母的方法，去括号法则等知识是解题的关键．
2．B
【分析】先求出方程的解；再把求出的解代入方程，求关于m的一元一次方程即可．
【详解】解：∵，
解得：，
将代入方程得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3．C
【分析】根据等式的性质方程两边都乘即可．
【详解】解：，
去分母，得，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：方程两边乘时不要漏乘．
4．B
【分析】根据相反数的性质列出关于的一元一次方程，然后去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1可得结果．
【详解】解：由题意得：，
去分母：，
去括号：，
移项：，
合并同类项：，
系数化为．
故选：B．
【点睛】此题主要是考查了一元一次方程的解法，能够根据相反数的性质列出关于的一元一次方程是解题的关键．
5．D
【分析】将代入关于x的一元一次方程中，得到，然后和关于y的一元一次方程对比即可求出y的值．
【详解】解：关于x的一元一次方程的解为，
和关于y的一元一次方程对比，
可得：，
解得：，
故选：D．
【点睛】此题考查的是根据一个一元一次方程组的解求另一个一元一次方程的解，找到两个一元一次方程的对应关系是解决此题的关键．
6．B
【分析】根据规定的运算法则可得关于a的方程，解方程即得答案．
【详解】解：因为，
所以，
解得：；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的求解，正确理解规定的运算法则是解题关键．
7．
【分析】根据定义列出方程，解方程即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解方程的能力，正确理解新定义是解题关键．
8．
【分析】由互为相反数的两数之和为0列出方程，求出方程的解，再代入计算即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数的定义，解一元一次方程，代数式求值，熟知互为相反数的两数之和为0是解题的关键．
9．9
【分析】先解方程得，根据同解方程的定义把代入，然后解关于的一元一次方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
把代入，得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程以及同解方程的定义，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
10．2
【分析】去分母，等式两边同时乘以2即可求解．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程，解题关键是掌握去分母法则．
11．16
【分析】求出方程的解为，从而可得是正整数，据此求出的值，由此即可得．
【详解】解：，
，
解得，
∵关于的一元一次方程的解是正整数，
是正整数，
又为整数，
∴的所有可能的取值为，
∴所有满足题意的整数的值为，
则所有满足题意的整数的和是，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．
12．
【分析】在方程中，令可得，由题意可得，即可求解.
【详解】解：在方程中，令，
可得，
由题意可得，方程的解为
则
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了已知一元一次方程的解求参数，整体代换解一元一次方程，掌握整体代换的思想是解题的关键．
13．(1)
(2)
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得．
【详解】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：，
方程两边同乘以12去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．
14．(1)；
(2)．
【分析】（）先移项再合并同类项即可得结果；
（）按照解一元一次方程的步骤即可得出结果．
【详解】（1）解：，
，
，
（2）解：，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解步骤是解题的关键．
15．(1)；
(2)
【分析】（1）根据幂的运算及有理数加减乘除法则直接计算即可得到答案；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得到答案；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：去分母得，
，
去括号得，
，
移项合并同类项得，
，
系数化为1得，
；
【点睛】本题考查含乘方有理数的混合运算及解一元一次方程，解题的关键是在计算过程中注意符号的选择．
16．(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“和谐方程”的定义列出关于m的方程和n的方程解答即可；
（2）利用“和谐方程”的定义列出关于n的方程解答即可；
（3）分别求得两个方程的解，利用“和谐方程”的定义列出关于m的方程解答即可．
【详解】（1）解：
，
，
关于x的方程与方程是“和谐方程”，

；
（2）“和谐方程”两个解之和为1，
另一个方程的解为：，
两个“和谐方程”的解相差2，
，
；
（3），
，
，
，
关于x的两个方程与是“和谐方程”，
，
．
【点睛】本题考查了一元一次方程，解题的关解是利用“和谐方程”的定义找到方程解的关系．
17．(1)7
(2)
【分析】（1）按照题目规定的新运算法则求解即可；
（2）按照题目规定的新运算法则可得关于x的方程，解方程即得答案．
【详解】（1）由题意，得：
．
（2）由题意，得，
整理，得，
解得．
【点睛】本题以新运算为载体，主要考查了有理数的运算和一元一次方程的解法，正确理解新运算法则是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）解出方程①和②的解，并利用方程①的解比方程②的解小4列出等式并求解即可．
（2）由题意得，再把代入，解出a的值，再将其值代入原式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，
解得：，
，
解得：，
则：，
解得：．
（2）由题意得：，
将代入得：，
解得：，
则：，
解得：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
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