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七年级数学上册 3.4 实际问题与一元一次方程 导学案
【知识清单】
1.审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
2.一元一次方程解应用题的类型：
行程问题（路程=速度×时间）
工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；
销售盈亏（利润=售价-进价，利润率=×100%）；
3.列一元一次方程解应用题的五个步骤
(1)审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
(2)设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
(3)列：根据等量关系列出方程．
(4)解：解方程，求得未知数的值．
(5)答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
【典型例题】
考点1：行程问题
例1．某校师生从学校去刘禹锡纪念馆开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车的速度为米/分，张老师先行2小时后，其余师生乘汽车出发，已知汽车速度是自行车速度的3倍，结果张老师和其余师生同时到达纪念馆，则下列结论正确的是（ ）
A．其余师生乘坐汽车到达纪念馆所用的时间为45分钟
B．张老师骑自行车到达纪念馆所用的时间为2小时40分钟
C．汽车的速度为60千米/时
D．学校与刘禹锡纪念馆之间的距离为45千米
【答案】D
【分析】根据题意逐项分析即可．
【详解】解：∵张老师骑自行车的速度为米/分，汽车速度是自行车速度的倍，
∴汽车速度是米/分，故C选项说法错误；
设乘坐汽车到达纪念馆所用的时间为分钟，
则
解得：
故乘坐汽车到达纪念馆所用的时间为分钟，故A选项说法错误；
则骑自行车到达纪念馆所用的时间为分钟，故B选项说法错误；
学校与刘禹锡纪念馆之间的距离为米千米，故D选项说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
考点2：工程问题
例2．甲单独做某项工程需天完成，乙单独做该项工程需天完成，现在甲先做天，剩下由甲乙合做．设完成此工程一共用了天，则下列方程正确的是（ 　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“甲先做天，乙再参加合做”找到等量关系列出方程即可．
【详解】由题意可得：，
故选：．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是根据工作量之间的关系列出方程．
考点3：销售盈亏
例3．某商店将一件进价为100元的商品A涨价后，刚好与一件进价为m元的商品B降价后售价一样，现将这两件商品同时售出，则该商店这次销售的盈亏情况是（ ）
A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．无法确定
【答案】B
【分析】先求出商品B的进价和售价，然后进行比较即可．
【详解】解：商品B的售价为（元），
设商品B的进价为x元，根据题意得：
，
解得：，
总进价为（元），
总售价为：（元），
∵，
∴该商店这次销售亏损了，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了销售盈亏问题，解题的关键是求出商品B的进价和售价．
【巩固提升】
1．某轮船在静水中的速度为，水流速度为，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．某市为缓解交通拥堵，决定修建高架快速路，原计划用20个月完成这项工程，实际提前2个月完成该工程，求实际每月的工作效率比原计划提高的百分比？若设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为x元，列出如下方程：．小明同学列此方程的依据是（ ）
A．商品的利润不变 B．商品的售价不变
C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变
4．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问物价几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱，问该物品的价值多少钱？在这个问题中，该物品价值的钱数为（ ）
A．53 B．56 C．59 D．62
5．数轴上一动点向右移动个单位长度到达点，再向左移动个单位长度到达点，若表示的数是，则点表示的数是（ ）
A． B．5 C．0 D．1
6．小红所在城市的居民用水实行“阶梯价格”收费，收费办法是：每户用水不超过，每立方米水费元；超过，每立方米加收1.05元，小红家今年3月份用水，缴纳水费89.6元，根据题意列出关于的方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为10，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是（ ）
A．80 B．70 C．60 D．50
二、填空题
8．甲、乙二人分别从A、B两地出发相向而行．如果二人同时出发，则12小时相遇；如果甲走全程需要20小时，则甲、乙二人的速度比是 ．
9．某商场门口沿马路向东是公园，向西是某中学．该校两名学生从商场出来准备去公园，他们商议两种方案：（1）先步行回校取自行车，然后骑车去公园；（2）直接从商场步行去公园．已知骑车速度是步行速度的4倍，从商场到学校有3公里的路程．结果他们采用了所用时间较少的方案（1），那么商场到公园的路程至少大于 公里．
10．一项工作，甲单独做需9天完成，乙单独做需12天完成，如果两人合做几天后，余下的工作再由甲单独做2天完成，则甲、乙两人合做了 天．
11．七年级（1）班要出有关“红心向党迎国庆”的黑板报，小鹏同学单独做需6小时完成，小天同学单独做需4小时完成．现由小鹏同学先干1小时后，再由小鹏、小天同学合作完成该黑板报，设小鹏、小天同学合作了小时．
（1）根据题意可列方程为 ；
（2）的值为 ．
12．一件商品按照20%的利润定价，然后打八折出售，现价为384元，则这件商品的成本是( )元．
13．由于受到库存货的积压，老板将原价为元瓶的老酒打折出售，还能获得一半的利润，这种老酒的成本价是 元瓶．
14．书架上、下两层摆放着若干本图书．如果从上层拿10本放到下层，则下层的本数是上层的3倍；如果从下层拿10本放到上层，则上层的本数是下层的2倍．上层原有图书 本，下层原有图书 本．
三、解答题
15．有一艘客轮和一艘货轮每天都要往返于A、B两个港口，客轮从A港口顺流而下到B港口需要4个小时，从港口逆流而上返回A港口需要5小时，已知水流的速度是，货轮逆流的速度与客轮顺流的速度相等．
(1)求客轮在静水中的速度；
(2)若客轮从A港口开往目的地B港口，先出发10分钟之后，货轮从B港口开往目的地A港口，问货轮开出几小时两船相距．
16．一项工程甲队单独做需要15天完成，乙队单独做需要30天完成．
(1)求甲 乙两队合作完成该工程的天数；
(2)现甲队先单独做3天，然后剩余工程由两个工程队合作完成．甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，求最终需要分别向甲 乙两队支付工程款的钱数．（要求利用一元一次方程解决问题）
17．随着生活水平的提高，人们越来越重视运动健身.为了满足大众需求，某体育运动品牌店铺推出了A，B两种运动套装，每套A运动套装的成本为120元，每套B运动套装的成本为100元，每套B运动套装的售价比每套A运动套装的售价少40元，卖3套A运动套装的利润和卖4套B运动套装的利润相同．
(1)求每套A运动套装和B运动套装的售价；
(2)为了吸引顾客，该体育运动品牌店铺针对这两种运动套装新推出以下两种促销方案：
方案一：50元购买一张打折优惠券后（限购一张），买这两种运动套装均打七五折；
方案二：每满50元立减10元．
若小明准备购买1套A运动套装和1套B运动套装，请你算算，哪种方案更划算？
18．小颖购买练习本可以到甲店购买，也可以到乙店购买，已知两店的标价都是每本1元，甲店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%出售；乙商店的优惠条件是：从第1本开始按标价的80%出售．
(1)小颖要买20本练习本时，到哪个店购买较省钱？
(2)买多少本练习本时，在两店购买练习本付的费用相等？
(3)小颖现有24元，最多可买多少本练习本？
19．如图，有一堆土，甲处比乙处高，现在要把这堆土推平整，使甲处和乙处一样高，要从甲处取多少厘米厚的土填在乙处

参考答案：
1．D
【分析】根据题意逐项分析即可．
【详解】解：∵张老师骑自行车的速度为米/分，汽车速度是自行车速度的倍，
∴汽车速度是米/分，故C选项说法错误；
设乘坐汽车到达纪念馆所用的时间为分钟，
则
解得：
故乘坐汽车到达纪念馆所用的时间为分钟，故A选项说法错误；
则骑自行车到达纪念馆所用的时间为分钟，故B选项说法错误；
学校与刘禹锡纪念馆之间的距离为米千米，故D选项说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
2．A
【分析】根据“甲先做天，乙再参加合做”找到等量关系列出方程即可．
【详解】由题意可得：，
故选：．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是根据工作量之间的关系列出方程．
3．B
【分析】先求出商品B的进价和售价，然后进行比较即可．
【详解】解：商品B的售价为（元），
设商品B的进价为x元，根据题意得：
，
解得：，
总进价为（元），
总售价为：（元），
∵，
∴该商店这次销售亏损了，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了销售盈亏问题，解题的关键是求出商品B的进价和售价．
4．D
【分析】根据往返的时间和等于5小时，列方程即可．
【详解】解：由题意得，可得．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
5．A
【分析】根据结果比原计划提前2个月完成交货，列分式方程即可．
【详解】解：设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，根据题意，得
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
6．C
【分析】表示售价与盈利的差值即为成本，表示售价与亏损的和即为成本，所以列此方程的依据为商品的成本不变．
【详解】解：设标价为元，则按八折销售成本为元，按六折销售成本为元，
根据题意列方程得，.
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，即销售问题，根据售价，成本，利润之间的关系找到等量关系列方程是解答此题的关键．
7．A
【分析】设人数为x，再根据两种付费的总钱数一样即可求解．
【详解】解：设人数为x，
由题意得：
解得：，
∴该物品价值的钱数为，
故答案选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，难度不大，属于基础题型．解题的关键是找准等量关系并准确表示．
8．D
【分析】设数轴上的动点表示的数是，根据数轴上的点向左移动时，点表示的数减去移动的长度，向右移动时，点表示的数加上移动的长度，得到点表示的数是，点表示的数是，根据点表示数是，推出，解之即可．
【详解】解：设数轴上的动点A表示的数是，
由于右移动7个单位长度到点，
∴点表示的数是，
再向左移动5个单位长度到，
∴点表示的数是．
∵点表示数是，
∴，即，
∴点A表示的数是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，解一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握数轴上的点表示的数“左减右加”．
9．A
【分析】根据“阶梯价格”收费办法列出方程即可．
【详解】根据题意可得，．
故选：A．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
10．C
【分析】设体积为v，根据瓶子中水的体积不变列出方程求解即可．
【详解】解：设体积为v，则，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，明确瓶子中水的体积不变是解题的关键．
11．
【分析】设乙的速度为x，根据题意可得甲的速度为，甲乙的速度和为，列出方程求出乙的速度，即可解答．
【详解】解：设乙的速度为x，
根据题意可得：，
解得：，
∴甲、乙二人的速度比为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解．
12．5
【分析】设步行速度为v公里/小时，商场到公园的路程为m公里，假设两种方案所用时间相等，则，化简消去v，即可求解．
【详解】解：设步行速度为v公里/小时，商场到公园的路程为m公里，
假设两种方案所用时间相等，
则，
整理可得，
∴，
解得：，
∵方案（1）用时较少，
∴商场到公园的路程至少大于5公里，
故答案为：5．
【点睛】本题考查方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
13．4
【分析】设甲、乙两人合做了x天，甲单独做需9天完成，乙单独做需12天完成，则甲每天完成任务的，乙每天完成任务的，再由各部分的工作量之和等于总工作量列方程，解这个方程即可．
【详解】解：设甲、乙两人合做了x天，
可得方程：，
解得：，
答：甲、乙两人合做了4天．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．列方程解应用题的关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，把列方程的问题转化为列代数式的问题．
14．
【分析】（1）根据工作时间乘以工作效率等于工作量，以两人工作量之和等于单位量1为等量关系，列出方程即可；
（2）根据（1）所列方程，求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，得
故答案为：；
（2）由（1）知：
解得：．
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
15．400
【分析】根据题意列一元一次方程，注意八折即原价的．
【详解】解：设成本为x元，则
解得，．
故答案为：400．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．
16．
【分析】根据“售价进价利润”列出方程，求解即可．
【详解】解：设成本价为，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，掌握“售价标价折数、利润售价进价”是解决本题的关键．
17． 22 26
【分析】设上层原有图书x本，则下层原有图书本，根据“从下层拿10本放到上层，则上层的本数是下层的2倍”列方程求解即可．
【详解】解：设上层原有图书x本，则下层原有图书本，
由题意得：，
解得：，
则，
即上层原有图书22本，下层原有图书26本，
故答案为：22，26．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确表示出下层原有图书的数量是解题的关键．
18．(1)客轮在静水中的速度为
(2)货轮开出或2小时两船相距
【分析】（1）设客轮在静水中的速度为，则客轮的顺流速度为，逆流速度为，根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可；
（2）由（1）可知，客轮顺轮速度是，逆流速度为，货轮的逆流速度为，顺流速度为，可得A，B两地之间的路程为，设货轮开出y小时两船相距，根据题意分类讨论：当两船未相遇时，当两船相遇后，列出关于y的一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：设客轮在静水中的速度为，则客轮的顺流速度为，逆流速度为，
根据题意得：，解得：，
因此，客轮在静水中的速度为；
（2）解：由（1）可知，客轮顺轮速度是，逆流速度为，
∴货轮的逆流速度为，顺流速度为，
∴A，B两地之间的路程为，
设货轮开出y小时两船相距，
当两船未相遇时，列方程得：，
解得：；
当两船相遇后，列方程得：，
解得：；
因此货轮开出或2小时两船相距．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意列方程是解题的关键．
19．(1)10天
(2)最终需要向甲队支付38.5万元工程款，向乙队支付16万元工程款
【分析】（1）用单位1除以甲乙合作的工作效率即可；
（2）设甲 乙工程队还需合作x天完成该项工程，列方程求出x的值，然后再计算费用即可．
【详解】（1）设该工程的工作量为“1”，则甲每天的工作效率为，乙每天的工作效率为
（天）．
答：甲 乙两队合作完成该工程需要10天．
（2）设甲 乙工程队还需合作x天完成该项工程，由题意得，
解得．
（万元），
（万元）
答：最终需要向甲队支付38.5万元工程款，向乙队支付16万元工程款．
【点睛】本题考查是一元一次方程的实际应用，属于工作量问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确表示出工作效率，进而根据总工作量为1列出方程求解．
20．(1)每套A运动套装的售价为200元，则每套B运动套装的售价为160元；
(2)选择方案二更划算．
【分析】（1）根据“卖3套A运动套装的利润和卖4套B运动套装的利润相同”列方程求解；
（2）先算每种方案所需要的钱数，再比较大小．
【详解】（1）解：设每套A运动套装的售价为x元，则每套B运动套装的售价为元，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：每套A运动套装的售价为200元，则每套B运动套装的售价为160元；
（2）解：按照方案一：（元），
按照方案二：，（元），
∵，
∴选择方案二更划算．
【点睛】本题考查了一元一次方程方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
21．(1)小颖要买20本练习本时，到乙店较省钱；
(2)买30本时到两个店付的钱一样多；
(3)最多可买30本练习本．
【分析】（1）分别按照甲店与乙店给的优惠活动，计算出费用，哪个店的费用更低，即更省钱，即可解决；
（2）可设买x本时到两个店付的钱一样多，分别用x表示到甲店购买的钱与到乙店购买的钱，令其相等，解出x，即可解决本题；
（3）设可买y本练习本，分别算出到甲店能买多少本，到乙店能买多少本，取更多的即可解决．
【详解】（1）解：∵甲店：(元)；
乙店：(元)．
又∵，
∴小颖要买20本练习本时，到乙店较省钱；
（2）解：设买x本时到两个店付的钱一样多．
依题意，得，
解得．
∴买30本时到两个店付的钱一样多；
（3）解：设可买y本练习本．
在甲店购买：．
解得．
∴在甲店最多可购买30本练习本；
在乙店购买：．
解得．
∴在乙店最多可购买30本练习本．
∴最多可买30本练习本．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，能够找出等量关系，列出方程是解决本题的关键．
22．现在要把这堆土推平整，使甲处和乙处一样高，要从甲处取厚的土填在乙处
【分析】首先将单位化统一，设要从甲处取厘米厚的土填在乙处，列方程求解即可得到答案．
【详解】解：，设要从甲处取厘米厚的土填在乙处，则
，解得，
答：现在要把这堆土推平整，使甲处和乙处一样高，要从甲处取厚的土填在乙处．
【点睛】本题考查一元一次方程解决实际问题，读懂题意，数形结合，找到等量关系列方程是解决问题的关键．
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