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人教版七年级数学上册 4.3.1 角 导学案
【知识清单】
角：由两条具有公共端点引出射线组成的图形(也可看做是由一射线绕端点旋转而成）。
角的表示：三个大写字母;一个大写字母(不混淆情况下方可使用);一个数字;一个希腊字母。
角的要素：顶点和边，角的大小与边的长短无关。
【典型例题】
考点1：角的概念理解
例1．下列说法中正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫做角 B．两点之间直线最短
C．两点确定一条直线 D．若，则点B是的中点
【答案】C
【分析】根据两点确定一条直线，角的定义，线段中点的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、应为有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故本选项错误；
B、应为两点之间线段最短，故本选项错误；
C、两点确定一条直线正确，故本选项正确；
D、若，则点为的中点错误，因为、、三点不一定共线，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的性质，直线的性质，以及角的定义，是基础题，熟记概念与各性质是解题的关键．
考点2：角的表示方法
例2．下列四个图中，能用三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据角的表示方法和图形选出即可．
【详解】解：A、图中的不能用表示，故本选项错误；
B、图中的和不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的和不是表示同一个角，故本选项错误；
D、图中、、表示同一个角，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了方向角，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
考点3：角的分类
例3．下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短 B．圆是立体图形
C．小于的角是锐角 D．射线与射线是同一条射线
【答案】C
【分析】根据线段、射线与两点之间的距离等性质依次判断即可．
【详解】解：A、两点之间线段最短，原说法错误，选项错误；
B、圆不是立体图形，原说法错误，选项错误；
C、小于的角是锐角，说法正确，选项正确；
D、射线与射线不是同一条射线，方向相反，原说法错误，选项错误，
故选：C．
【点睛】题目主要考查线段、射线、两点间的距离的性质，熟练掌握各个性质是解题关键．
考点4：画特殊角
例4．下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（　　）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【分析】一副三角板，度数有：、、、，根据度数组合，可以得到答案．
【详解】解：利用一副三角板可以画出的角，是和角的组合
故选：C．
【点睛】本题考查特殊角的画法，审题清晰是解题关键.
考点5：钟面角
例5．7点分，时钟的时针与分针的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据时钟上一大格是，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是是解题的关键．
考点6：方向角的表示
例6．观察点不变，观察角度变小，观察的范围（ ）
A．变小 B．变大 C．不变 D．不确定
【答案】A
【分析】观察点变近，观察的角度不变观察的范围就会变小．观察点不变角度越小，观察的范围就越小．
【详解】解：观察点不变，观察角度变小，观察的范围变小；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了观察点，观察角度，观察范围三者之间的关系．
考点7：与方向角有关的计算题
例7．点在点的北偏东度，点在点的西偏北度，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】点在点的北偏东度，点在点的西偏北度，画图即可得到的度数．
【详解】解：如图，点在点的北偏东度，点在点的西偏北度，
【巩固提升】
1．用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，能用，，三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列标注的四个角中，最小的角是（ ）
A． B． C． D．
4．用一副三角板不能画出的角是（ ）．
A．75° B．105° C．110° D．135°
5．上午时，钟表的分针与时针夹角的度数是（ ）
A．105度 B．85度 C．95度 D．115度
6．如图，关于射线所指方向描述正确的是（ ）
A．东偏北 B．北偏西 C．西偏北 D．南偏西
7．如图，学校A在小明家B北偏东的方向上，点C表示超市所在的位置，，则超市C在小明家B的（　　）
A．北偏西的方向上 B．北偏西的方向上
C．南偏西的方向上 D．南偏东的方向上
二、填空题
8．如图，则图中共有 个角．
9．角可以分为 、 、 三类．
10．当时间为时，时针和分针所夹角度为 ．
11．如图，把一个直径8米的圆平均分成四个扇形，再把每个扇形的弧三等分．点A在点O的 偏 °方向 米处．
12．如图，轮船从出发向北偏东方向航行一段时间到达，又从出发向南偏西方向航行一段时间到达，则 ．
三、解答题
13．如图：
(1)以点B为顶点的角有几个？分别表示出来．
(2)请分别指出以射线为边的角．
(3)以D为顶点，为一边的角有几个？分别写出来．
14．写出图中符合下列条件的角．
(1)能用一个大写字母表示的角；
(2)以点为顶点的角；
(3)图中所有小于平角的角（可用简便方法表示）．
15．画图，说理题
如图，已知四个点A、B、C、D；
(1)画射线；
(2)画线段；
(3)画；
(4)画出一点P，使P到点A、B、C、D的距离之和最小，并说明理由．
16．按要求解答下面各题．
(1)书店在区政府的（ ）面（ ）米处．
(2)图书馆在区政府的（ ）偏（ ）（ ）方向（ ）米处．
(3)学校在区政府北偏西方向600米处，请列式计算并在图上标出．
17．如图，射线表示的方向是北偏东，射线表示的方向是北偏西，射线在射线和射线之间，且．求的度数．
参考答案
1．D
【分析】把角按一定比例放大或缩小，角的度数不变．
【详解】解：放大镜看一个的角，角的两边的张开程度没变，即角的度数不变，
故选：D．
【点睛】本题考查角的概念，关键是掌握图形的放大或缩小的性质．
2．C
【分析】角的表示方法有三种：（1）用三个字母及符号“”来表示．中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点．（2）用一个数字表示一个角．（3）用一个字母表示一个角．具体用哪种方法，要根据角的情况进行具体分析，总之表示要明确，不能使人产生误解．
【详解】解：在选项A、B、D中，如果用表示，容易使人产生歧义，
无法让人明确到底表示哪个角；
只有选项C能用，，三种方法表示同一个角，不会使人产生歧义．
故选：C．
【点睛】此题主要考查学生对角的概念和角的表示方法的理解和掌握．通过练习，使学生学会角的表示方法，为今后的学习奠定基础．
3．B
【分析】根据角的分类即可得．
【详解】解：A是钝角，大于小于；B是锐角，小于；C是直角，等于；D是平角，等于，
∴最小的角是锐角，
故选：B．
【点睛】本题考查了角的分类和比较大小，解题的关键是掌握角的分类．
4．C
【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出．
【详解】解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；
75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；
110°角用一副三角板不能画出；
135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。
故选：C．
【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍．
5．C
【分析】钟表的一周，分成12个大格，求出每个大格的度数是，根据时针与分诊的格数解答即可．
【详解】解：．
故选C．
【点睛】此题考查了钟面角的有关知识，得出钟表上从1到12一共有12格，每个大格是解决问题的关键．
6．B
【分析】根据方位角的定义解答即可.
【详解】根据方位角的概念，射线表示的方向是北偏西．
故选：B．
【点睛】本题考查了方位角的概念及表示方法，方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西，偏多少度．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
7．B
【分析】根据题意可得：，然后利用角的和差关系可得，再根据方向角的定义即可解答．
【详解】解：如图，

∵学校A在小明家B北偏东的方向上，
∴，
∵，
∴，
∴超市C在小明家B的北偏西的方向上，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了方向角的定义，正确根据图形得出的度数是解题关键．
8．
【分析】根据题意可知图中有两条射线，进而可得图中角的数量为个．
【详解】解：∵图中有两条射线，
∴图中角的数量为个，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据角中射线的数量求角的个数，根据图形找出规律是解题的关键．
9． 钝角 直角 锐角
【分析】根据角的分类解答即可．
【详解】解：由题意可知：角可以分成钝角，直角和锐角．
故答案为：钝角，直角，锐角
【点睛】本题考查角的分类，解题的关键是理解角的分类．
10．/度
【分析】由钟面被等分成12份，每一份，再根据9点30分，时钟的时针和分针相距份，从而可得答案．
【详解】解：21点30分就是晚上9点30分，
9点30分，时钟的时针和分针相距（份），
9点30分，时钟的时针和分针所构成的夹角度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是时针与分针的夹角问题，理解钟面被等分12份，每一份是是解本题的关键．
11． 北 东 4
【分析】如图，根据圆的基本性质求出和的长度，再根据方位角的概念得出答案．
【详解】解：如图，连接，

由题意得：，
因为圆的直径是8米，
所以米，
所以点A在点O的北偏东方向4米处．
故答案为：北，东，30，4．
【点睛】本题主要考查了方位角，熟知方位角的表示方法是解题的关键．
12．/40度
【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．
【详解】解：如图，由已知可得：，，

∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了方向角，熟练根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
13．(1)，，，共3个
(2)，
(3)，，共2个
【分析】（1）根据角的表示方法写出答案；
（2）根据角的定义和角的表示方法写出答案；
（3）角的表示方法写出答案．
【详解】（1）解：以点为顶点的角：，，，共3个；
（2）以射线为边的角：，；
（3）以为顶点，为一边的角有：，，共2个．
【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
14．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据角的表示方法进行求解即可；
（2）根据角的表示方法进行求解即可；
（3）根据角的表示方法进行求解即可．
【详解】（1）解：能用一个大写字母表示的角为
（2）解：由题意得，以点为顶点的角有；
（3）解：由题意得，图中所有小于平角的角有，．
【点睛】本题主要考查了角的表示方法，熟知角的表示方法是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）过画射线即可．
（2）连接B和C即可．
（3）分别以C为顶点画射线、即可．
（4）连接，与的交点就是P点位置，根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使他在与的交点处．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）如图所示；
（3）如图所示；
（4）P点即为所求，
根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；
结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使他在与的交点处．
【点睛】本题考查了射线，线段的性质：两点之间，线段距离最短．要求学生能灵活应用所学的知识，解决实际问题．
16．(1)北，600
(2)北，东，45，800
(3)见解析
【分析】（1）在地图上的方向为上北、下南、左西、右东，可以判定书书店在区政府正北方向，又由线段比例尺1厘米体表200米，书店距区政府3厘米，即可求出书店距区政府的实际距离．
（2）图书馆在区政府东偏北方向4厘米处，根据图中线段比例尺，即可求出图书馆距区政府的实际距离．
（3）由学校在区政府北偏西方向，600米处，根据图中线段比例尺可求出学校距区政府的图上距离．
【详解】（1）解：米，
书店在区政府的北面600米处；
（2）米，
图书馆在区政府的北偏东方向800米处；
（3）厘米，
画图如下：
【点睛】本题考查的知识点有：根据方向和距离确定物体的位置、在平面图上标出物体的位置，用线段比例尺求图上距离和实际距离．
17．
【分析】根据方向角的定义得到，，再求出，根据角的和差计算即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查方向角，理解方向角的定义以及角的和差关系是正确解答的前提．
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