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2023年湖北省高三 9月起点考试
高三数学试卷
考试时间：2023年 9月 5日下午 15：00-17：00 试卷满分：150分
注意事项:
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知复数 满足 1 + = 2 ,则 的虚部为
1 1 3 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
2．已知集合 = 2 5 + 4 ≥ 0 , 集合 = ∈ 1 ≤ 2 , 则集合 ∩ 的
元素个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3．设等差数列 的前 项的和为 ,满足 2 3 5 = 7, 2 + 7 = 12 ,则 的最大值为
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
4．已知 2 + 2 4 的所有项的系数和为 3，则 2 3 的系数为
A. 80 B. 40 C. 80 D. 40
5 . 已知圆 的直径 = 4，动点 满足 = 2 , 则点 的轨迹与圆 的相交弦长为
8 2 4 2 2 2
A. B. C. D. 2 2
3 3 3
2
6．设函数 = + 2 + 1 ≤ 0 , 则函数 = 1 1的零点个数为
ln > 0
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7．已知来自甲、乙、丙三个学校的 5名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别
为 1、2、2 . 现要求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为
A. 40 B. 36 C. 56 D. 48

8．已知 = sin , = , = ln 2 ,则 , , 的大小关系为
5 2
A. < < B. < < C. < < D. < <
湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共 4 页）第 1页
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共计 20 分.每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得 5 分，选对但不全得 2 分，有选错的得 0 分.
9．下列说法正确的是
A. 若直线 1 + 1 = 0与直线 2 + 2 = 0平行，则 = 2 或 1
B. 数据 1、5、8、2、7、3的第 60%分位数为 5
C. ~ 12 1设随机变量 ， ，则 = 最大时， = 6
2
D. 在 中，若 cos = cos , 则 为等腰三角形
10 . 已知函数 = sin cos + 3cos2 3 , 则
2
A. 点 ，0 为 = 的一个对称中心
3

B. 函数 = 在区间 , 上单调递增
2 4
C. 函数 = 2 在区间 0, 上的值域为 1，2
4
D. 若函数 = 在区间 0,
7
上只有一条对称轴和一个对称中心，则 ≤ ≤
3 12
11 . 在边长为 2的正方体 1 1 1 1中，点 , , 分别为 , 1, 1 1 的中点，则
A. //平面 1 1 B.
6
点 B 到平面 PMN 的距离为
3
C. 1 、 、 相交于一点 D. 平面 PMN 与正方体的截面的周长为 6 2
2
12 ．已知双曲线 2 = 1的左右顶点为 1, 2 , 左右焦点为 1, 2 ,直线 与双曲线的左2
右两支分别交于 , 两点,则
A. 若∠ = 1 2 ，则 的面积为 2 33 1 2
B. 存在弦 的中点为 1,1 ，此时直线 的方程为 2 1 = 0
1 1
C. 若 1 的斜率的范围为 8, 4 ，则 2 的斜率的范围为 , 2 4
D. 直线 与双曲线的两条渐近线分别交于 , 两点,则 =
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共计 20 分.
13. 若向量 = 1, , = 2, 1 ,且 + 2 = 2 ，则 + 与 的夹角为_________.
14. 一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场了解到下列信息：每月的土地占地费 1
（单位：万元）与仓库到车站的距离 （单位：km）成反比，每月库存货物费 2（单
位：万元）与 成正比.若在距离车站 10km处建立仓库，则 1 与 2 分别为 4 万元和
16万元. 则当两项费用之和最小时 =_________（单位：km）.
15．已知直线 = 1是曲线 = + ln 与抛物线 = 2 + 2 2 3的公切线，
则 =_________.
16．在 2 中， = = 10, = 2，将 绕着边 逆时针旋转 后得到 ，
3
则三棱锥 的外接球的表面积为_________.
湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共 4 页）第 2页
四、解答题：本大题共 6小题，共计 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17 10 = 3 = 2 ．（ 分）已知数列 的首项 1 ，满足 +1 +1 ∈ + .4
(1) 1求证：数列 1 为等比数列；
1
(2)记数列 的前 项的和为 ，求满足条件 < 100的最大正整数 .
18．（12分）已知 , , 为 的三个内角 ， ， 的对边，且满足：
cos + 3 sin = 0
(1)求角 A ；
2 3
(2)若 的外接圆半径为 ，求 的周长的最大值.
3
19．（12分）如图所示，在三棱柱 中，侧面 2 ∠ = 是边长为 的菱形， ；
3
侧面 为矩形， = 4，且平面 ⊥平面 .
(1)求证： ⊥ ；
(2)设 是线段 上的动点，试确定点 的位置，
21
使二面角 的余弦值为 .
7
20．（12分）为了研究吸烟是否与患肺癌有关，某研究所采取有放回简单随机抽样的方法，
调查了 100人，得到成对样本观测数据的分类统计结果如下表所示：
肺 癌
吸烟 非肺癌患者 肺癌患者 合计
非吸烟者 25 10 35
吸烟者 15 50 65
合计 40 60 100
湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共 4 页）第 3页
(1)依据小概率 = 0.001的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险 ;
(2)从这 100人中采用分层抽样，按照是否患肺癌抽取 5人，再从这 5人中随机抽 2人，
记这 2人中不患肺癌的人数为 ，求 的分布列和均值 ;
(3)某药厂研制出一种新药，声称对治疗肺癌的有效率为 90% .现随机选择了 10名肺癌
患者，经过使用药物治疗后，治愈的人数不超过 7人.请问你是否怀疑该药厂的宣传，
请说明理由.
参考公式和数据：
2
(1) 2 = ，其中 = + + + ；且
+ + + + 0.001
= 10.828.
(2) 0.98 ≈ 0.430 ; 概率低于 0.08的事件称为小概率事件，一般认为在一次试验中是几
乎不发生的.
21．（12 1 1分）已知函数 = 2 2 ln
2 2
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 ≥ 0在其定义域内恒成立，求 的范围.
2 2
22 2．（12分）已知椭圆 : +
2 2
= 1 > > 0 的离心率 = ，且经过点 2， 1 .
2
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 : = + 与椭圆 交于 , 两点，且椭圆 上存在点 ，使得四边形
为平行四边形.试探究：四边形 的面积是否为定值？若是定值，求出四边
形 的面积；若不是定值，请说明理由.
湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共 4 页）第 4页2023 年湖北省高三 9 月起点考试
高三数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B D A C D A BC AC ACD ACD
292
填空题： 13. 14. 5 15. 2 16.
4 9
2 1 3 1+3 3
1.由于 = = = ，则 的虚部为 ，故选 C。
1+ 2 2 2
2.由于集合 = ≥ 4或 ≤ 1 ，集合 = ∈ 1 ≤ ≤ 3 = 1,0,1,2,3 ，
从而 ∩ = 1,4 ∩ 1,0,1,2,3 = 2,3 , 故元素个数为 2 ，故选 B。
3.设 的首项为 1，公差为 , 则 7 = 2 1 + 2 1 + 4 = 1 ,
又 1 + + 7 1 + 21 = 12 1 = 7， = 2 ，
则 = 7 2 1 = 9 2 ≥ 0 1 ≤ ≤ 4 ,
从而数列得前 4项为正，其余项为负， 故 的最大值为 4 = 16 , 故选 B。
4.由已知可得: 2 + = 3 = 1 ,
所以 2 + 2 4 = 2 + 32 3 + 24 2 2 + = 40 2 3 +
则 2 3 的系数为 40 , 故选 D。
5.明显，圆 的半径为 2，其方程为： 2 + 2 = 4 ①
可设 2，0 ， 2，0 , 动点 ，
由 = 2 ，从而有 + 2 2 + 2 = 2 + 2 2 + 2
化简得： 2 + 2 12 + 4 = 0 ②
2 4 2
由① ②可得相交弦的方程为： = 带入式①可求出 =± ,
3 3
8 2
故相交弦长为 , 故选 A。
3
6.令 = 1 , 则亦有 = 1 ,可求出 = 2或 0或
从而有 = + 1 = 1或 1或 + 1，从而相应方程的根的个数分别为 1或 3或 2，
故函数 = 1 1的零点个数为 6 , 故选 C。
7.设这 5 个人分别为:ABCDE ,则要求 B与 C和 D与 E的演讲顺序都不能相邻。
第一类：A在 BC 中间，此时再把 D与 E插空到这 3 人中间，
此时的不同的演讲顺序有 2 22 4 = 24
第二类：A不在 BC 中间，此时先考虑 B与 C和 D与 E ，他们的顺序应相间排列，最后考虑
A ，此时的不同的演讲顺序有 2 2 22 2 2 13 = 24
综上可得：总共有 48 种不同的演讲顺序,故选 D。
8.对于 ，由sin < 0 < < ,则sin < ≈ 0.63 ,故 < 0.63；
2 5 5
= > 2.56对于 , = 1.6 = 0.8 ,故 > 0.8 ；
2 2 2
2 3 2 2
对于 ,由于 3 = 2 ≈ 7.39 < 8 = 23 , 则 3 < 2，从而可得ln 2 > ≈ 0.67
3
3 4 3 3
同理， 4 = 3 ≈ 20.08 > 16 = 24 , 则 4 > 2，从而可得ln 2 < = 0.75
4
所以有 0.67 < = ln 2 < 0.75
综上有： < < 故选 A。
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 1页
9.对于 A ，由两直线平行可得： 1 = 2 = 2 或 1
又 = 2 时，两直线重合，舍去；经检验 = 1符合题意,故 A 错误。
对于 B ，这 6 个数据按从小到大排序为：1 2 3 5 7 8 ，由 6 × 60% = 3.6，
则这组数据第 60%分位数为第 4个数，即为 5，故 B 正确。
1
对于 C ，由 + 1 = 13 × = 6.5 , 从而 = 6 时 = 最大, 故 C正确。
2
对于 D ，由 cos = cos ,可得 sin cos = sin cos ,
sin 2 = sin 2 ,又 0 < 2 、2 < 2 ,则有 2 = 2 或 2 + 2 = ，
= 或 + = ，故 为等腰三角形或直角三角形, 故 D 不正确。
2
1
10.明显 = sin 2 + 3 1 + cos 2 3 = sin 2 +
2 2 2 3
对于 A 明显成立，故 A 正确
2
对于 B 令 = 2 + ,由 ∈ , 则 ∈ , ,
3 2 4 3 6
2
明显： ∈ , 即 ∈ , 5 时 = 递减，故 B 不正确
3 2 2 12
对于 C 由 = 2 + ∈ 0, 5 ,及 则 ∈ , sin ∈ 1 , 1 ,
3 4 3 6 2
则 = 2 在区间 0, 上的值域为 1，2 ，故 C 正确
4
对于 D 由 = 2 + 3 ,及 ∈ 0, 则 ∈ , 2 + 由题意可知： ≤ 2 + <
3 3 3 3 2
7
从而得： ≤ < ，故 D 不正确
3 12
11. 对于 A 明显有 ∥ 1 又 1 平面 1 1 ， 平面 1 1
从而 //平面 1 1成立，故 A 正确
对于 B 由等体积法： = ,
明显有： 1的面积为 1 = ，点 到 的距离为 1 = 1 ,2
又在 中， = = 2， = 6，可求出 的面积为 2 =
3
，
2
1 3 1 1
从而可得： × × 2 = × × 1 2 =
3
, 故 B 不正确
3 2 3 2 3
对于 C 由于 ∥ 1 ,则 1 , 相交于一点 ,
从而有 ∈ 平面 , ∈ 1 平面 1 1
则可得 ∈平面 ∩平面 1 1 = ，即 ∈
所以有 1 , , 相交于一点 , 故 C 正确
对于 D 平面 PMN 与正方体的截面为边长为 2正六边形 ，
（点 , , 分别为 , 1, 1 1的中点）则其周长为 6 2，故 D 正确
2
12. 在双曲线 2 = 1 中， = 1, = 2, = 3
2
且 1 1，0 , 2 1，0 ， 1 3，0 , 2 3，0
对于 A 设 1 = , 2 = ，由双曲线定义得： = 2，
两边平方可得： 2 + 2 2 = 4 ①
2
在 1 2中，由余弦定理可得： 2 + 2 2 cos
= 2 3
3
2 + 2 = 12 ② 联立①②可得: = 8
1 1
故 1 2 的面积为 sin = × 8 ×
3 = 2 3 ,故 A 正确
2 3 2 2
2 2×1
对于 B 由中点弦公式： = 02 = = 2 ,此时直线 的方程为 = 2 1 0 1×1
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 2页
带入双曲线的方程消去 可得：2 2 4 + 3 = 0 ,此时 = 8 < 0，
此时直线 与双曲线无公共点，说明此时直线 不存在, 故 B不正确
2
对于 C 设 , ,则 2 = 1 2 = 2 2 1
2
2 2 2 1
又直线 1与 2的斜率的乘积 1 2 = = = +1 1 2 1 2 = 2 , 1
∈ 8, 4 ∈ 1 1由于 1 从而可得： 2 , ，故 C 正确2 4
2
对于 D 设直线 : = + 带入 2 = （※）
2
（说明： = 1 时（※）式表示双曲线； = 0 时（※）式表示双曲线的两条渐近线）
得 2 2 2 + 2 + 2 + 2 = 0 , 应满足： 2 2 ≠ 0，且 > 0
2
且明显有： 1 + 2 = （与 无关）2 2
这说明线段 的中点与线段 的中点重合，故有 = 成立, 故 D 正确。
13.由于 + 2 = 2 ⊥ ，从而 0 = = 2 = 2 ,
+ = 3,1 = 2, 1 5 2则 ,又 ，则 + 与 的夹角的余弦值为cos = = ，
10 5 2
则 + 与 的夹角为 。
4

14.由已知可设： 1 = 1 , 2 = 2 ,且这两个函数分别过 10，4 ， 10，16 ，
得 1 = 10 × 4 = 40
16 8 40 8
， 2 = = ，从而 1 = , 10 5 2 = > 0 ,5
故 1 + 2 =
40 + 8 ≥ 2 40 8 = 16 40 8 ，当 = 即 = 5 时等号成立。
5 5 5
15.先考虑 = 1与 = + ln 相切，设切点的横坐标为 0 ,
由 = + ln ，则 , = 1 + 1 ,

1
由相切的性质可得：① 0 1 = 0 + ln 0 及② = 1 + 0
由②知： 0 = 1 + 0 带入①可求出：ln 0 = 0，从而有 0 = 1 = 2
再考虑 = 2 1与 = 2 + 2 2 3相切
联立方程，消去 ，可得： 2 2 2 = 0 = 2 = 0 舍去 。
16.如图所示，取 的中点 ,连接 , 2 ,则明显有∠ = ，
3
由于 与 的外心 与 分别在 与 上，
则三棱锥 的外接球的球心 在过点 且与平面 垂直的直线上。

由对称性可知：∠ = ，易求出 = 3，设 = = ,则 = 3
3
在 中，有 2 = 1 + 3 2 = 5 ,则 = 5 ， = 4 ，
3 3 3
4 3
又在 中，∠ = = ，
3 3
2 = 2 + 2 = 48+25 73从而在 中， = ，
9 9
292
所以三棱锥 的外接球的表面积 = 4 2 = 。
9
2 1 1 1
17.解：(1)由于 +1 = ， = + ， +1 +1 2 2
1
即 1 = 1 1 1 ∈ 3分
+1 2 +
1 1 = 1 ， 1
1 1
又 所以数列 1 是首项为 ，公比为的 等比数列 5分
1 3 3 2
1 1 1 1 1 1 1 1
(2)由(1)可知： 1 = × = 1 + × 6分
3 2 3 2
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 3页
2
则 = + 1
1
2 ,且 关于 是递增的 8分3
又 99 < 100， 100 > 100 ，所以满足条件的最大正整数 = 99 10分
18.解：(1)由已知可得：sin cos + 3 sin sin = sin + sin
= sin + sin + = sin + sin cos + sin cos 2分
1
由于sin > 0 ，则有 1 = 3 sin cos = 2 sin sin = 4分
6 6 2
又 0 < < ，则有 < < 5 ，所以有 = = 6分
6 6 6 6 6 3
4 3
(2)由正弦定理可知： = 2 = , 则由 = = 2 7分
sin 3 3
又有余弦定理可知： 2 = 2 + 2 2 cos 4 = 2 + 2 8分
由于 2 + 2 ≥ 2 , 则有 4 = 2 + 2 ≥ 2 = ,即 ≤ 4 9分
又 4 = 2 + 2 = + 2 3 ,即 + 2 = 4 + 3 ≤ 4 + 3 × 4 = 16
从而 + ≤ 4（当 = = 2等号成立） 11分
则 + + ≤ 6 ,故 的周长的最大值为 6 12分
19. (1)证明：连接 ，在矩形 中,明显有： ⊥
又平面 ⊥ 平面 ，平面 ∩平面 =
从而可得： ⊥ 平面 ，又 平面 ,
从而可得： ⊥ 3分
又在菱形 中 ⊥ 且 ∩ =
则 ⊥ 平面 又 平面 则 ⊥ 5分
(2) 如图，建立空间直角坐标系，设 0，0， 0 ≤ ≤ 4 , 且 2，0，0 ，
1，0， 3 , 则 = 2，0， 3 ， = 2，0， 7分
设 = ， ， 是平面 的一个法向量，
由 0 = = 2 + 3 及 0 = = 2 +
故可取 = 3 ， ，2 3 9分
又明显，平面 的一个法向量为 = 0，0，1 10分
21
由已知有 = cos 2 3， = = 2 11分
7 12+4 2
所以点 为 21的中点，使二面角 的余弦值为 12分
7
20.解：(1)零假设为 0：吸烟与患肺癌之间无关 1分
2 = 100× 25×50 15×10
2
根据列联表中的数据，计算可得：
40×60×35×65
= 6050 ≈ 22.161 > 10.828 3分
273
依据小概率 = 0.001的独立性检验，认为 0不成立，即吸烟会增加患肺癌的风险 4分
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 4页
(2)由已知可得：抽取的 5 人中，不患肺癌的有 2 人，患肺癌的有 3 人。
明显： 的所有可能取值为：0，1，2， 5分
= 0 =
2
3 3
1 1 2
且 2 = ， = 1 =
2 3 3
2 = ， = 2 =
2 = 1
5 10 5 5
2
5 10
故 的分布列为：
0 1 2
3 3 1

10 5 10
7分
3 3 1 4的均值为 = 0 × + 1 × + 2 × = 8分
10 5 10 5
(3)随机选取 10个病人，治愈人数不超过于 7人的概率为：
= 1 8 0.98 × 0.12 9 0.99 × 0.1 0.91010 10
= 1 45 × 0.430 × 0.01 10 × 0.430 × 0.9 × 0.1 0.430 × 0.81
= 0.0712 < 0.08
从而该事件称为小概率事件，一般认为在一次试验中是几乎不发生的，所以可以怀疑该药厂
是虚假宣传 12分
, = 1 2 =
2 2
21. (1) > 0 1分

当 ≤ 0时， , < 0恒成立，此时 的递减区间是 0， +∞ ，无递增区间 2分
当 > 0 时，考虑 2 2 = 0 , 明显 = 1 + 8 > 0 ,
= 2 2 2 = 0 = 1+ 1+8 且 1 2 ,则 有一正一负两个根，取正跟 0 2
且当 0 < < 1+ 1+8 时， , < 0 > 1+ 1+8 当 时， , > 0
2 2
1+ 1+8 1+ 1+8
此时 的递减区间是 0， ，递增区间为 ， +∞ 4分
2 2
综上可得：当 ≤ 0时， 的递减区间是 0， +∞ ，无递增区间；
> 0 0 1+ 1+8 1+ 1+8 当 时， 的递减区间是 ， ，递增区间为 ， +∞ 5分
2 2
(2) 当 ≤ 0 3时， 在 0， +∞ 递减，且 1 = < 0不符合题意 6分
2
> 0 = = 1 2 2 ln 1当 时，由(1)可知：只需 0 ≥ 0 7分2 0 0 0 2
又由于 02 0 2 = 0 02 = 0 + 2 8分
+2 1 1
则只需 = 0 0 2 ln 0 = 0 2 ln ≥ 0 9分2 2 2 0
1
考虑 = 2 ln ，明显： 在 0， +∞ 递减且 1 = 0，
2
从而可得：0 < 0 ≤ 1 10分
考虑 = 2 2 ,由 > 0 及(1)可知： = 2 2 = 0有一正一负两个根
又 0 = 2 < 0，要使 0 < 0 ≤ 1成立，则必有 1 = 3 ≥ 0 ≥ 3
综上所述：使函数 ≥ 0在其定义域内恒成立的 的范围为 3，+∞ 12分
（其他解法可酌情给分）
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 5页
= 2 2 122. (1)由已知可得： , + 2 2 2
2 2 2
= 1 , = +
2 2
可得： = 2 , = = 2 , 椭圆 的方程为 + = 1 4分
4 2
(2) 四边形 OAMB 的面积为定值 6，理由如下：
2 2
将 = + 带入 + = 1可得： 2 2 + 1 2 + 4 + 2 2 4 = 0
4 2
2
设 1, 1 , 2, + =
4 , = 2 42 则 1 2 2 2+1 1 2 2 2+1
2
且 1 + 2 = 1 + 2 + 2 = 2 6分2 +1
由于四边形 OAMB 为平行四边形，则 = + ，
4 2 则点 2 ， 2 ，带入椭圆 的方程，化简可得: 2 2 = 2 2 + 1 8分2 +1 2 +1
此时 = 4 2 4 2 2 + 1 2 2 4 =12 2 2 + 1 > 0恒成立

由于点 到直线 AB 的距离为 =
2+1
4 2 2 2 4
而 = 1 + 2 2 21 + 2 4 1 2 = 1 + 4 ×2 2+1 2 2+1
又由 2 2 = 2 2 + 1 可得 = 1 + 2 2 3 10分
2 2+1
= 2 = = 2 3 从而 2 2+1
2
2 12 12
2
又 = = = 62 2+1 2 2
所以四边形 OAMB 的面积为定值 6 12分
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 6页

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