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专题17 不等式（组）的整数解
1．已知x＝2不是关于x的不等式2x﹣m＞4的整数解，x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，则m的取值范围为（　　）
A．0＜m＜2 B．0≤m＜2 C．0＜m≤2 D．0≤m≤2
2．若关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为(　　　)
A． B． C． D．
3．若关于x的不等式组恰有两个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．1≤a＜ B．1＜a≤ C．＜a≤1 D．≤a＜1
4．关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b的取值范围是
A． B． C． D．
6．已知4＜m＜5，则关于x的不等式组的整数解共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若关于的不等式的整数解共有个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．不等式＞﹣1的正整数解的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．不等式的非负整数解共有 个．
12．已知关于x的不等式的整数解共有3个，则m的取值范围为 ．
13．若关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围为 ．
14．已知关于的一元一次不等式有3个正整数解，则的取值范围是 .
15．关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围为 。
16．对于任意实数m、n，定义一种运算m※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是 ．
17．对于任意实数p，q，定义一种运算：．例如：，请根据上述定义解决问题，若关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围为 ．
18．满足不等式组的所有正整数解的和为 ．
19．若不等式的最小整数解为方程的解，求a的值．
20．已知关于的方程组
（1）若方程组中的为正数，为负数，求的取值范围；
（2）若，且为非正数，求符合条件的的所有整数的和.
参考答案：
1．B
【分析】由2x-m＞4得x＞，根据x=2不是不等式2x-m＞4的整数解且x=3是关于x的不等式2x-m＞4的一个整数解得出≥2、＜3，解之即可得出答案．
【详解】解：由2x-m＞4得x＞，
∵x=2不是不等式2x-m＞4的整数解，
∴≥2，
解得m≥0；
∵x=3是关于x的不等式2x-m＞4的一个整数解，
∴＜3，
解得m＜2，
∴m的取值范围为0≤m＜2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，解题的关键是根据不等式整数解的情况得出关于m的不等式．
2．D
【分析】先解不等式得出，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出，解之可得答案．
【详解】解：，
，
则，
不等式只有2个正整数解，
不等式的正整数解为1、2，
则，
解得：，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出关于某一字母的不等式组．
3．C
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据此不等式组恰好有两个整数解，可知这两个整数解为0和1，由此建立关于a的不等式组，求出不等式组的解集．
【详解】解：
由①得3x＋2x＋2＞0
解之： ；
3x＋5a＋4＞4x＋4＋3a
解之：x＜2a；
∴；
∵此不等式组恰好有两个整数解，这两个整数解为0和1
∴1＜2a≤2
解之：
故答案为：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的特殊解，掌握解一元一次不等式组及一元一次不等式组的特殊解的问题是解题的关键．
4．C
【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有两个正整数解即可得到一个关于a的不等式，求得a的值．
【详解】解：解不等式2x+a≤1得：,
不等式有两个正整数解，一定是1和2，
根据题意得：
解得：-5＜a≤-3．
故选C．
【点睛】本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
5．A
【分析】根据题意可得不等式恰好有两个负整数解，即-1和-2，再结合不等式计算即可．
【详解】解：根据x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，可得x的负整数解为-1和-2
综合上述可得
故选A
【点睛】本题主要考查不等式的非整数解，关键在于非整数解的确定．
6．B
【分析】先求解不等式组得到关于m的不等式解集，再根据m的取值范围即可判定整数解．
【详解】不等式组
由①得x＜m；
由②得x＞2；
∵m的取值范围是4＜m＜5，
∴不等式组的整数解有：3，4两个．
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，用到的知识点是一元一次不等式组的解法，m的取值范围是本题的关键．
7．D
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．
【详解】解不等式，由①式得，，由②式得，即
故的取值范围是，故选D．
【点睛】本题考查不等式组的整数解问题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．
8．A
【分析】先根据一元一次不等式组解出x的取值范围，再根据不等式组只有三个整数解，求出实数a的取值范围即可.
【详解】，
解不等式①得：x≥-1，
解不等式②得：x∵不等式组有解，
∴-1≤x∵不等式组只有三个整数解，
∴不等式组的整数解为：-1、0、1，
∴1故选A
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
9．D
【详解】，去分母得3（x+1）>2(2x+2)-6，去括号得3x+3>4x+4-6，移项，合并同类项得-x>-5，系数化为1得x<5，所以满足不等式的正整数的个数有4个，故选D.
10．C
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集的情况得出的范围．
【详解】解：由，得：，
由，得：，
不等式组有3个整数解，
不等式组的整数解为1、0、，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
11．4
【分析】不等式去分母，合并后，将x系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即可．
【详解】解：，
，
，
解得：，
则不等式的非负整数解为0，1，2，3共4个．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的非负整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．
【分析】首先写出连续3小于6的整数，然后即可判断m的取值范围．
【详解】由题意得：符合题意的整数解为5,4,3
∴m不能取值3，可以取值2
∴
故答案为．
【点睛】本题考查了解不等式，难度较低，主要考查学生对不等式组知识点的掌握．整理出x的取值范围分析整数解情况为解题关键．
13．﹣3≤b＜﹣2
【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定b的值．
【详解】∵x b>0，
∴x>b，
∵不等式x b>0恰有两个负整数解，
则其负整数解为-1、-2
且-3不是负整数解
∴b的取值范围为： 3 b< 2
故答案为： 3 b< 2
【点睛】本题主要考查含参的一元一次不等式的解法，含参的不等式指的是不等式未知数的系数或常数项用字母表示的不等式，利用分类讨论及数形结合思想，可结合数轴，解决含参不等式．
14．4＜a≤5．
【分析】首先求得不等式的解集，然后根据不等式的正整数解，即可得到一个关于a的不等式，从而求得a的范围．
【详解】不等式得：x＜a+1，
根据题意得：3＜a 1≤4，
解得：4＜a≤5．
故答案是：4＜a≤5．
【点晴】考查了一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据x的取值范围正确确定a 1的范围是解题的关键．再解不等式时要根据不等式的基本性质．
15．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
【详解】解：不等式的解集为：，
并且只有3个正整数解，即是正整数解为1，2，3，
所以
所以a的取值范围.
故答案为：
【点睛】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：
（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
16．
【详解】解：根据题意得：2※x=2x﹣2﹣x+3=x+1，
∵a＜x+1＜7，即a﹣1＜x＜6解集中有两个整数解，
则有,
∴a的范围为，
故答案为:．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，准确理解题意正确计算是本题的解题关键．
17．
【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出m的范围即可．
【详解】解：根据题意得，
化简得，
解得：，
∴不等式组的解集是，
∵不等式组有3个整数解，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于m的不等式组是解此题的关键．
18．7
【分析】首先根据不等式的性质，求出不等式组中的每个不等式的解集，然后在其公共解集中，找出符合条件的正整数，再求和即可.
【详解】解：由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为：；
∴不等式组的正整数解为：3，4，
∴所有正整数解的和为3+4=7．
故答案为：7.
【点睛】本题主要考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19．3.5
【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值，代入方程求得a的值即可．
【详解】解不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1）+6，
去括号，得：3x﹣6+5＜4x﹣4+6，
移项，得3x﹣4x＜﹣4+6+6﹣5，
合并同类项，得﹣x＜3，
系数化成1得：x＞﹣3．
则最小的整数解是﹣2．
把x=﹣2代入2x﹣ax=3得：﹣4+2a=3，
解得：a=3.5．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法以及方程的解的定义，正确解不等式求得x的值是关键．
20．（1）的取值范围；（2）0．
【分析】（1）先通过加减消元法求出方程组的解，再根据为正数，为负数列出不等式组求解即可得；
（2）先通过加减消元法求出方程组的解，再根据，且为非正数列出不等式组求出a的取值范围，从而可找出其中的所有整数，然后求和即可得．
【详解】
两个方程相加得
解得
将其代入第一个方程得
解得
则方程组的解集为
（1）由题意得
解得
故的取值范围；
（2）由题意得
解得
则符合条件的的所有整数有
故符合条件的的所有整数的和为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、不等式的解法，理解题意，正确列出不等式组是解题关键．

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