资源简介

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
（第1课时）导学案
学习目标
能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.
会求直线的方向向量与平面的法向量.
能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.
能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判断．
重点难点
重点：会求直线的方向向量与平面的法向量
难点：能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系
课前预习 自主梳理
知识点一　空间中点、直线和平面的向量表示
1．空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．
空间中直线的向量表示式：如图，a是直线l的方向向量，点A和点P为直线l上的点，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①将代入①式,得．②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
空间平面的向量表示式：取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,,使③
我们把③式称为空间平面的向量表示式．由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
4．平面的法向量：直线．取直线的方向向量,我们称向量为平面的法向量（normalvector）．给定一个点A和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合．
思考：直线的方向向量和平面的法向量是不是唯一的？
提示 直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的向量作为方向向量或法向量．
知识点二　空间中直线、平面的平行
1.线线平行的向量表示:
设分别是直线的方向向量,则,使得.
2.线面平行的向量表示:
设是直线的方向向量,是平面的法向量,,则
3.面面平行的向量表示:
设分别是平面的法向量,则使得.
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)若两条直线平行，则它们方向向量的方向相同或相反． (　　)
(2)两直线的方向向量平行，则两直线平行． (　　)
(3)若两个平面平行，则这两个平面的法向量平行． (　　)
(4)若向量是直线的一个方向向量，则向量也是直线的一个方向向量．(　　)
【答案】 (1)√　(2)×　(3)√　(4)×
【详解】 (1)正确．相互平行的两条直线的方向向量共线，所以两向量的方向相同或相反．
(2)错误．两直线的方向向量平行，这两直线可能平行或重合．
(3)正确．由法向量的概念可知正确．
(4)错误．当k＝0时，ka＝0不是直线l的方向向量．
2.已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】代入法向量的计算公式，即可求解.
【详解】，，令法向量为，则，
，可取.
故选：A.
3.若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据面面平行判断出，法向量互相平行即可求解.
【详解】若平面，
则两个平面的法向量互相平行，
所以平面的法向量为，
所以当时，向量为，
故选：A.
4.以下真命题共有___________个.
①一个平面的单位法向量是唯一的；
②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行；
③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.
【答案】1
【分析】利用单位向量和平面法向量的定义否定命题①；利用直线与平面平行的判定定理否定命题②；利用两个平面位置关系定义判断命题③.
【详解】①一个平面的单位法向量有无穷多个.判断错误；
②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行或这条直线在这个平面内.判断错误；
③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.判断正确.
综上，正确命题共有1个
故答案为：1
新课导学
学习探究
环节一：创设情境,引入课题
引导语：我们已经把向量从平面推广到空间,并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题．我们发现,建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键．本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题．
环节二：观察分析,感知概念
1．空间中点、直线和平面的向量表示
我们知道,点、直线和平面是空间的基本图形,点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素因此,为了用空间向量解决立体儿何问题,首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．
教师引导学生思考下列问题：
问题1：如何确定一个点在空间的位置？
思考：
如何用向量表示空间中的一个点．
如图1.4-1,在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量来表示．我们把向量称为点的位置向量．
环节三：抽象概括,形成概念
问题2：在空间中给一个定点和一个定方向（向量）,能确定一条直线在空间中的位置吗？
思考
我们知道,空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线．如何用向量表示直线
用向量表示直线,就是要利用点A和直线的方向向量表示直线上的任意一点．
如图1.4-2,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,由向量共线的条件可知,点在直线上的充要条件是存在实数,使得
,即．
进一步地,如图1.4-3,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使
①
将代入①式,得
．②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
你能证明这个结论吗？
环节四：辨析理解,深化概念
问题3：给一个定点和两个定方向（向量）,能确定一个平面在空间中的位置吗？
思考
一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地,一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定,如何用向量表示这个平面？
我们知道,平面可以由内两条相交直线确定．如图1.4-4,设两条直线相交于点,它们的方向向量分别为和,为平面内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对,使得
．
这样,点与向量,不仅可以确定平面,还可以具体表示出内的任意一点．这种表示在解决几何问题时有重要作用．
进一步地,如图1.4-5,取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,,使
③
我们把③式称为空间平面的向量表示式．由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
问题4：给一个定点和一个定方向（向量）,能确定一个平面在空间中的位置吗？
我们知道,给定空间一点A和一条直线,则过点A且垂直于直线的平面是唯一确定的．由此得到启发,我们可以利用点A和直线的方向向量来确定平面．
如图1.4-6,直线．取直线的方向向量,我们称向量为平面的法向量（normalvector）．给定一个点A和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合．
如果另有一条直线,在直线上任取向量,与有什么关系
环节五：课堂练习,巩固运用
例1如图1.4-7,在长方体中,,,,是的中点．以为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）求平面的法向量；
（2）求平面的法向量．
分析：（1）平面与轴垂直,其法向量可以直接写出；（2）平面可以看成由中的两个向量所确定,运用法向量与它们的垂直关系,可转化为数量积运算求得法向量．
解：（1）因为轴垂直于平面,所以是平面的一个法向量．
（2）因为,,,是的中点,所以,,的坐标分别为,,．因此,．
设是平面的法向量,则
,．
所以
,
求平面的法向量,通常只需要求出平面的一个法向量,求直线的方向向量也是如此．
环节六归纳总结,反思提升
请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1.本节课学习的概念有哪些？
2.在解决问题时,涉及的数学核心素养？
1.本节学习了
空间中点的向量表示；
直线的向量表示；
平面的法向量的求法
平面的法向量的求法
2.涉及的数学核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算。
环节七：目标检测,作业布置
作业布置：教科书第29页练习—1.2.3
备用练习
1.在直三棱柱中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图像，根据直棱柱侧棱垂直于底面即可求解．
【详解】如图，
∵、、均垂直于平面ABC，故选项D中可以作为平面ABC的法向量．
故选：D．1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
（第1课时）导学案
学习目标
能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.
会求直线的方向向量与平面的法向量.
能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.
能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判断．
重点难点
重点：会求直线的方向向量与平面的法向量
难点：能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系
课前预习 自主梳理
知识点一　空间中点、直线和平面的向量表示
1．空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．
空间中直线的向量表示式：如图，a是直线l的方向向量，点A和点P为直线l上的点，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①将代入①式,得 ．②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知,空间任意直线由 唯一确定．
空间平面的向量表示式：取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,,使 ③
我们把③式称为空间平面的向量表示式．由此可知,空间中任意平面由 唯一确定．
4．平面的法向量：直线．取直线的方向向量,我们称向量为平面的 ．给定一个点A和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 ．
思考：直线的方向向量和平面的法向量是不是唯一的？
提示 直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的向量作为方向向量或法向量．
知识点二　空间中直线、平面的平行
1.线线平行的向量表示:
设分别是直线的方向向量,则,使得.
2.线面平行的向量表示:
设是直线的方向向量,是平面的法向量,,则
3.面面平行的向量表示:
设分别是平面的法向量,则使得.
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)若两条直线平行，则它们方向向量的方向相同或相反． (　　)
(2)两直线的方向向量平行，则两直线平行． (　　)
(3)若两个平面平行，则这两个平面的法向量平行． (　　)
(4)若向量是直线的一个方向向量，则向量也是直线的一个方向向量．(　　)
2.已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是 （ ）
A． B． C． D．
3.若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（　　）
A． B． C． D．
4.以下真命题共有___________个.
①一个平面的单位法向量是唯一的；
②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行；
③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.
新课导学
学习探究
环节一：创设情境,引入课题
引导语：我们已经把向量从平面推广到空间,并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题．我们发现,建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键．本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题．
环节二：观察分析,感知概念
1．空间中点、直线和平面的向量表示
我们知道,点、直线和平面是空间的基本图形,点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素因此,为了用空间向量解决立体儿何问题,首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．
教师引导学生思考下列问题：
问题1：如何确定一个点在空间的位置？
思考：
如何用向量表示空间中的一个点．
如图1.4-1,在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量来表示．我们把向量称为点的位置向量．
环节三：抽象概括,形成概念
问题2：在空间中给一个定点和一个定方向（向量）,能确定一条直线在空间中的位置吗？
思考
我们知道,空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线．如何用向量表示直线
用向量表示直线,就是要利用点A和直线的方向向量表示直线上的任意一点．
如图1.4-2,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,由向量共线的条件可知,点在直线上的充要条件是存在实数,使得
进一步地,如图1.4-3,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使
①
将代入①式,得
②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
你能证明这个结论吗？
环节四：辨析理解,深化概念
问题3：给一个定点和两个定方向（向量）,能确定一个平面在空间中的位置吗？
思考
一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地,一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定,如何用向量表示这个平面？
我们知道,平面可以由内两条相交直线确定．如图1.4-4,设两条直线相交于点,它们的方向向量分别为和,为平面内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对,使得
这样,点与向量,不仅可以确定平面,还可以具体表示出内的任意一点．这种表示在解决几何问题时有重要作用．
进一步地,如图1.4-5,取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,,使
③
我们把③式称为空间平面的向量表示式．由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
问题4：给一个定点和一个定方向（向量）,能确定一个平面在空间中的位置吗？
我们知道,给定空间一点A和一条直线,则过点A且垂直于直线的平面是唯一确定的．由此得到启发,我们可以利用点A和直线的方向向量来确定平面．
如图1.4-6,直线．取直线的方向向量,我们称向量为平面的法向量（normalvector）．给定一个点A和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合．
如果另有一条直线,在直线上任取向量,与有什么关系
环节五：课堂练习,巩固运用
例1如图1.4-7,在长方体中,,,,是的中点．以为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）求平面的法向量；
（2）求平面的法向量．
求平面的法向量,通常只需要求出平面的一个法向量,求直线的方向向量也是如此．
环节六归纳总结,反思提升
请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1.本节课学习的概念有哪些？
2.在解决问题时,涉及的数学核心素养？
1.本节学习了
空间中点的向量表示；
直线的向量表示；
平面的法向量的求法
平面的法向量的求法
2.涉及的数学核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算。
环节七：目标检测,作业布置
作业布置：教科书第29页练习—1.2.3
备用练习
在直三棱柱中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是( )
A． B． C． D．

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