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2.1.2两条直线平行和垂直的判定导学案
学习目标
1.理解两条直线平行与垂直的条件,培养数学抽象的核心素养.
2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直，强化数学运算的核心素养.
3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题，培养逻辑推理的核心素养.
重点难点
1.重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件
2.难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直
课前预习 自主梳理
知识点一　两条直线(不重合)平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件
对应关系 两直线的斜率都不存在
图示
思考：两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？
提示 不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．
知识点二　两条直线垂直的判定
图示
对应 关系 若(两直线的斜率都存在) 则． 的斜率不存在，的斜率为0
思考：当直线m与直线n平行或垂直时，它们对应的斜率有怎样的关系？
提示
当两直线平行时，它们对应的斜率相等．
当两直线垂直时，它们对应的斜率的乘积为－1.
特别地，当两直线的斜率都不存在时，两直线平行．
当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线垂直．
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)如果两条直线与垂直，则它们的斜率之积一定为－1.(　　)
(2)若两条直线平行，则这两条直线的方向向量一定相等．(　　)
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．(　　)
(4)若两条直线的斜率都不存在，且两直线不重合，则这两条直线平行．(　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√
【详解】(1)错误．当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两直线也垂直．
(2)错误．若两条直线平行，则这两条直线的方向向量只要共线即可．
(3)错误．当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线才垂直．
(4)正确．斜率都不存在且不重合的两条直线都是垂直于x轴的直线，所以这两条直线平行．
2.下列说法中，
①若两直线平行，则其斜率相等;
②若两直线斜率之积为-1，则这两条直线垂直;.
③若直线与直线垂直，则.
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据直线倾斜角与斜率关系、直线垂直的判定判断各项的真假，即可得结果.
【详解】①若两直线平行且两线都垂直于x轴，此时斜率不存在，错误；
②若两直线斜率之积为-1，则这两条直线垂直，正确；
③若直线与直线垂直，则，，错误.
正确命题为②.
故选：A
3.直线和直线平行，则（ ）
A． B．2或 C．3 D．或3
【答案】A
【解析】用两直线平行的条件求解，注意去除两直线重合的情形即可得．
【详解】由题意，解得或，
时，两直线方程都是，两直线重合，舍去，
时，两直线直线方程分别为，，两直线平行．
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查两直线平行求参数，两直线和平行时，但包括两直线平行和重合，因此需要验证．
4.直线与直线的位置关系是（　　）
A．相交 B．重合 C．平行 D．垂直
【答案】C
【解析】根据直线的一般方程满足,则两直线平行.
【详解】解: 直线与直线,
满足,
故直线与直线平行.
故选:C
【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,若两直线满足,则两直线平行.
5.已知直线，则与（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【答案】A
【分析】由直线的斜率间的关系可得结论．
【详解】因为的斜率分别为，所以，所以.
故选：A.
新课导学
环节一 创设情境，引入课题
为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系．
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗 两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢
环节二 观察分析，感知概念
思考
问题1：我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行．
当两条直线与直线平行时，它们的斜率与满足什么关系？
注释：若没有特别说明，说“两条直线，”时，指两条不重合的直线．
如图2.1-7，若，则与的倾斜角与相等，
由，可得，即．
因此，若，则．
环节三 抽象概括，形成概念
反之，当时，，
由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，，因此．
于是，对于斜率分别为，的两条直线，，有
显然，当时，直线的斜率不存在，此时．
若直线，重合，此时仍然有．
用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论．
例2已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论．
解：如图2.1-8，由已知可得直线的斜率，
直线的斜率，因为，
所以直线．
环节四 辨析理解 深化概念
例3已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明．
解：如图2.1-9，由已知可得边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，边所在直线的斜率．
因为，，所以，．
因此四边形是平行四边形．
显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交．在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形．
问题2：当直线，垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？
设两条直线，的斜率分别为，，则直线，的方向向量分别是，，于是，即．也就是说．
当直线或的倾斜角为时，若，则另一条直线的倾斜角为；
反之亦然．
由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；
反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们互相垂直．
即
环节五 概念应用，巩固内化
例4已知，，，，试判断直线与的位置关系．
解：直线的斜率，直线的斜率，
因为，所以．
例5 已知，，三点，试判断的形状．
分析：如图2.1-10，猜想，是直角三角形．
解：边所在直线的斜率，边所在直线的斜率．
由，得，即，所以是直角三角形．
环节六 归纳总结,反思提升
问题3：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1.知识总结：
利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：第57页 练习 第1，2题
第57 页 习题2.1 第5,6,9,10题
备用练习1. 若直线与直线互相垂直，则a的值为（ ）
A． B．1
C． D．2
【答案】B
【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；
【详解】解：因为直线与直线互相垂直，所以
解得；
故选：B
2.已知直线l经过点O（0，0），且与直线垂直，那么直线l的方程是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可求出直线l的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可．
【详解】直线l与直线垂直，
直线l的斜率为，
则，即
故选C．
【点睛】本题考查了直线方程的求法，考查两直线垂直的等价条件，属于基础题．
4．已知直线l：，若直线l与直线：平行，则m的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平行得到，再排除重合的情况得到答案.
【详解】直线l：，若直线l与直线：平行，
则，解得，
当时，两直线重合，舍去；当时，验证满足.
故选：C.
5.若直线与平行，则实数的值为
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据两条直线平行的性质可得，，求解的值即可.
【详解】解：直线与化为
所以，，解得：.
故选：B.2.1.2两条直线平行和垂直的判定导学案
学习目标
1.理解两条直线平行与垂直的条件,培养数学抽象的核心素养.
2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直，强化数学运算的核心素养.
3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题，培养逻辑推理的核心素养.
重点难点
1.重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件
2.难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直
课前预习 自主梳理
知识点一　两条直线(不重合)平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件
对应关系
图示
思考：两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？
提示 不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．
知识点二　两条直线垂直的判定
图示
对应 关系 若(两直线的斜率都存在) 则． 的斜率不存在，的斜率为0
思考：当直线m与直线n平行或垂直时，它们对应的斜率有怎样的关系？
提示
当两直线平行时，它们对应的斜率相等．
当两直线垂直时，它们对应的斜率的乘积为－1.
特别地，当两直线的斜率都不存在时，两直线平行．
当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线垂直．
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)如果两条直线与垂直，则它们的斜率之积一定为－1.(　　)
(2)若两条直线平行，则这两条直线的方向向量一定相等．(　　)
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．(　　)
(4)若两条直线的斜率都不存在，且两直线不重合，则这两条直线平行．(　　)
2.下列说法中，
①若两直线平行，则其斜率相等;
②若两直线斜率之积为-1，则这两条直线垂直;.
③若直线与直线垂直，则.
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.直线和直线平行，则（ ）
A． B．2或 C．3 D．或3
4.直线与直线的位置关系是（　　）
A．相交 B．重合 C．平行 D．垂直
5.已知直线，则与（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
新课导学
环节一 创设情境，引入课题
为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系．
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗 两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢
环节二 观察分析，感知概念
思考
问题1：我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行．
当两条直线与直线平行时，它们的斜率与满足什么关系？
注释：若没有特别说明，说“两条直线，”时，指两条不重合的直线．
如图2.1-7，若，则与的倾斜角与相等，
由，可得，即．
因此，若，则．
环节三 抽象概括，形成概念
反之，当时，，
由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，，因此．
于是，对于斜率分别为，的两条直线，，有
显然，当时，直线的斜率不存在，此时．
若直线，重合，此时仍然有．
用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论．
例2已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论．
环节四 辨析理解 深化概念
例3已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明．
显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交．在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形．
问题2：当直线，垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？
设两条直线，的斜率分别为，，则直线，的方向向量分别是，，于是，即．也就是说．
当直线或的倾斜角为时，若，则另一条直线的倾斜角为；
反之亦然．
由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；
反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们 ．
即
环节五 概念应用，巩固内化
例4已知，，，，试判断直线与的位置关系．
例5 已知，，三点，试判断的形状．
环节六 归纳总结,反思提升
问题3：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1.知识总结：
利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：第57页 练习 第1，2题
第57 页 习题2.1 第5,6,9,10题
备用练习1. 若直线与直线互相垂直，则a的值为（ ）
A． B．1
C． D．2
2.已知直线l经过点O（0，0），且与直线垂直，那么直线l的方程是
A． B．
C． D．
4．已知直线l：，若直线l与直线：平行，则m的值为（ ）
A． B．
C． D．
5.若直线与平行，则实数的值为
A．或 B．
C． D．

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