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2023年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
2. 若代数式的值是，则实数的值是( )
A. B. C. D.
3. 运动场上的颁奖台如图所示，它的主视图是( )
A. B.
C. D.
4. 下列实数中，其相反数比本身大的是( )
A. B. C. D.
5. 年月日，搭载空间站梦天实验舱的长征五号遥四运载火箭，在我国文昌航天发射场发射成功长征五号运载火箭可提供起飞推力已知起飞推力约等于，则长征五号运载火箭可提供的起飞推力约为( )
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
7. 小明按照以下步骤画线段的三等分点：
画法 图形
以为端点画一条射线；
用圆规在射线上依次截取条等长线段、、，连接；
过点、分别画的平行线，交线段于点、、就是线段的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是( )
A. 两直线平行，同位角相等
B. 两条平行线之间的距离处处相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线平行
D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
8. 折返跑是一种跑步的形式如图，在一定距离的两个标志物、之间，从开始，沿直线跑至处，用手碰到后立即转身沿直线跑至处，用手碰到后继续转身跑至处，循环进行，全程无需绕过标志物小华练习了一次的折返跑，用时在整个过程中，他的速度大小随时间变化的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
9. 的算术平方根是______ ．
10. 分解因式： ______ ．
11. 计算： ______ ．
12. 若矩形的面积是，相邻两边的长分别为、，则与的函数表达式为______ ．
13. 若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是______ 用含的代数式表示．
14. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形的面积相等任意投掷飞镖次且击中游戏板，则击中阴影部分的概率是______ ．
15. 如图，在中，，点在边上，连接若，，则 ______ ．
16. 如图，是的直径，是的内接三角形若，，则的直径 ______ ．
17. 如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落书柜、衣柜与地面均无缝隙在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的至少为______ 精确到个位，参考数据：．
18. 如图，在中，，，是延长线上的一点，是边上的一点点与点、不重合，以、为邻边作 连接并取的中点，连接，则的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
20. 本小题分
解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
21. 本小题分
为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查本次调查在八年级随机抽取了名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：
根据图中信息，下列说法中正确的是______ 写出所有正确说法的序号；
这名学生上学途中用时都没有超过；
这名学生上学途中用时在以内的人数超过一半；
这名学生放学途中用时最短为；
这名学生放学途中用时的中位数为．
已知该校八年级共有名学生，请估计八年级学生上学途中用时超过的人数；
调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近请直接写出这条直线对应的函数表达式并说明实际意义．
22. 本小题分
在张相同的小纸条上，分别写有：；；；乘法；加法将这张小纸条做成支签，、、放在不透明的盒子中搅匀，、放在不透明的盒子中搅匀．
从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是______ ；
先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．
23. 本小题分
如图，、、、是直线上的四点，，，．
求证：≌；
点、分别是、的内心．
用直尺和圆规作出点保留作图痕迹，不要求写作法；
连接，则与的关系是______ ．
24. 本小题分
如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距纸张的边线到打印区域的距离，上、下、左、右页边距分别为、、、若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？
25. 本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、是轴上的一点，连接、．
求一次函数、反比例函数的表达式；
若的面积是，求点的坐标．
26. 本小题分
对于平面内的一个四边形，若存在点，使得该四边形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点是该四边形的一个“旋点”例如，在矩形中，对角线、相交于点，则点是矩形的一个“旋点”．
若菱形为“可旋四边形”，其面积是，则菱形的边长是______ ；
如图，四边形为“可旋四边形”，边的中点是四边形的一个“旋点”求的度数；
如图，在四边形中，，与不平行四边形是否为“可旋四边形”？请说明理由．
27. 本小题分
如图，二次函数的图象与轴相交于点，，其顶点是．
______ ；
是第三象限抛物线上的一点，连接，将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点，过点作轴的垂线已知在的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求的取值范围；
将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点，且其顶点落在原抛物线上，连接、、已知是直角三角形，求点的坐标．
28. 本小题分
如图，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形和矩形，点、在边上，且点、、、在直线的同侧；第二步，设，，矩形能在边上左右滑动；第三步，画出边的中点，射线与射线相交于点点、不重合，射线与射线相交于点点、不重合，观测、的长度．
如图，小丽取，，，，滑动矩形，当点、重合时， ______ ；
小丽滑动矩形，使得恰为边的中点她发现对于任意的，总成立请说明理由；
经过数次操作，小丽猜想，设定、的某种数量关系后，滑动矩形，总成立小丽的猜想是否正确？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据同底数幂的除法法则进行解答即可．
本题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
．
故选：．
根据分式的值为零的条件即可求出答案．
本题考查分式的值，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，本题属于基础题型．
3.【答案】
【解析】解：从正面看得到．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4.【答案】
【解析】解：的相反数为，则符合题意；
的相反数为，则不符合题意；
的相反数为，则不符合题意；
的相反数为，则不符合题意；
故选：．
求得各项的相反数后与原数比较大小即可．
本题考查有理数的大小比较及相反数，熟练掌握比较有理数大小的方法是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：点的坐标是，则点关于轴对称的点的坐标是，
故选：．
根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7.【答案】
【解析】解：，
：：：：，
，
，
这一画图过程体现的数学依据是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，尺规作图，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：刚开始速度随时间的增大而增大，匀速跑一段时间后减速到，然后再加速再匀速跑到，由于体力原因，应该第一个米速度快，用的时间少，第二个米速度慢，用的时间多，故他的速度大小随时间变化的图象可能是．
故选：．
根据速度与时间的关系即可得出答案．
本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
9.【答案】
【解析】解：，
的算术平方根是，
故答案为：．
根据算术平方根的定义计算即可．
本题考查了算术平方根的定义，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．
10.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
11.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
先计算零指数幂和负整数指数幂，再合并即可．
此题考查的是实数的运算、零指数幂、负整数指数幂，掌握其运算法则是解决此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：根据长方形的面积公式：面积长宽，可得，
即，
故答案为：．
根据长方形的面积公式：面积长宽，即可求解．
此题主要考查了反比例函数的应用，利用长方形面积公式列出函数关系是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是．
故答案为：．
直接根据圆柱的体积公式计算即可．
本题考查了认识立体图形，熟练掌握圆柱的体积公式是关键．
14.【答案】
【解析】解：总面积为，
其中阴影部分面积为，
任意投掷飞镖一次，击中阴影部分的概率是，
故答案为：．
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
15.【答案】
【解析】解：设，
，，
，
，，
，
故答案为：．
设，根据已知表示出，，即可得．
本题考查解直角三角形，解题的关键是用放的式子表示相关线段的长度．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接、．
，
，
，
是的直径，
，
是等腰直角三角形，
，
．
故答案为：．
连接、，根据弧、弦、圆周角之间的关系证明是等腰直角三角形，即可求得的长．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，证明是等腰直角三角形是关键．
17.【答案】
【解析】解：如图，连接，过点作交的延长线于点，
则，，
在中，，
，
，
故答案为：．
连接，过点作交的延长线于点，利用勾股定理即可求得答案．
本题考查了勾股定理和二次根式的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，另外要仔细审题，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：，
，
是等腰直角三角形，四边形是平行四边形，
，，，，
，
当与重合时，如图，，，，
，
是中点，
，
当时，如图，，，
，，是中点，
的运动轨迹为平行于的线段，交于，
，
，
与间的距离为，
不与、重合，
．
先根据题意确定点的运动轨迹，即可确定的最大值和最小值，从而解答．
本题考查平行四边形的性质，直角三角形中线的性质，勾股定理，确定点的运动轨迹是解题关键．
19.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集是，
在数轴上表示为
，
不等式组的整数解是：，，．
【解析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组的应用，关键是能求出不等式组的解集．
21.【答案】
【解析】解：根据在坐标系中点的位置，可知：
这名学生上学途中用时最长的时间为，故说法错误；
这名学生上学途中用时在以内的人数为：人，超过一半，故说法正确；
这名学生放学途中用时最段的时间为，故说法正确；
这名学生放学途中用时的中位数是用时第和第的两名学生用时的平均数，在图中，用时第和第的两名学生的用时均小于，故这名学生放学途中用时的中位数为也小于，即说法错误；
故答案为：．
根据图中信息可知，上学途中用时超过的学生有人，
故该校八年级学生上学途中用时超过的人数为人．
如图：
设直线的解析式为：，根据图象可得，直线经过点，，
将，代入，得：
，
解得：，
故直线的解析式为：；
则这条直线可近似反映该学校学生放学途中用时和上学途中用时的变化趋势．
根据图中信息，逐项分析即可求解；
根据图中信息，可得上学途中用时超过的学生有人，用总人数抽取的学生中上学用时超过学生所占比例；即可求解；
先画出近似直线，待定系数法求解即可得到直线的解析式．
本题考查了从图象获取信息，用样本估计总体，求一次函数解析式，一次函数的性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：在；；中，无理数有两个，
从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是；
故答案为：；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的有：，，，，，，，，，共种，
抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为．
由概率公式可得答案；
用画树状图法求出所有情况数，再用概率公式列式计算．
本题考查列表法与树状图法求概念，解题的关键是能用列表法与树状图法求出所有的可能情况数．
23.【答案】，
【解析】证明：，
，
，
在和中，
，
≌；
解：如图，点即为所求；
与的关系是：，，理由如下：
≌，
，
点、分别是、的内心，
平分，平分，
，，
，
，
≌，
，
≌，
，
点、分别是、的内心，
，
四边形是平行四边形，
，．
故答案为：，．
利用即可证明≌；
根据三角形的内心定义和角平分线的画法即可解决问题；
根据三角形的内心定义证明四边形是平行四边形，即可解决问题．
本题考查了作图复杂作图，全等三角形的判定与性质，三角形内切圆与内心，解决本题的关键是掌握内心定义．
24.【答案】解：设页边距为，
根据题意得：，
解得或大于，舍去，
答：设置页边距为．
【解析】设页边距为，可得：，即可解得答案．
本题考查列代数式，解题的关键是根据各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的列方程解决问题．
25.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为；
又点在上，
，
点的坐标为，
把和两点的坐标代入一次函数得，
解得，
一次函数的解析为．
对于一次函数，令，则，
即，
根据题意得：，
解得：，
或，
或．
【解析】利用待定系数法求得即可；
先求得，再根据得，进而得出，据此可得点的坐标．
本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时注意：一次函数与反比例函数交点坐标同时满足一次函数与反比例函数解析式．
26.【答案】
【解析】解：菱形是“可旋四边形”，
，
菱形是正方形，
正方形的边长是，
故答案为：；
如图，
连接，
四边形是“可旋四边形”，为旋点，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，
四边形是“可旋四边形”，理由如下：
分别作和的垂直平分线，交于点，连接，，，，
，，
，
≌，
，
，
四边形是“可旋四边形”．
可推出四边形是正方形，从而得出结果；
连接，根据四边形是“可旋四边形”，为旋点，可得出，进一步得出结果；
分别作和的垂直平分线，交于点，连接，，，，可证得≌，进而得出，从而得出结果．
本题新定义下的阅读理解题，考查了正方形的判定，旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练运用旋转的性质．
27.【答案】
【解析】解：由题意得，
，
；
，
设，
，
，舍去，
，
，
新抛物线设为：，
，
，舍去，
，
在的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，
；
如图，
作 于，
设，
平移后的抛物线为：，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，舍去，
当时，，
或
将代入即可求得；
设，从而得出，求得的值，从而求得点坐标，设新抛物线设为：，将点坐标代入求得的值，进一步得出结果；作 于，设，从而得出平移后的抛物线为：，进而表示出的坐标，计算得出，从而得出，由此列出，求得的值，进一步得出结果．
本题考查了二次函数及其图象的性质，平移的性质，等腰的性质，直角三角形的性质，解一元二次方程等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
28.【答案】
【解析】解：四边形和四边形是矩形，
，，，
，
∽，
，
，，，，
，，
，，
，
，
，
故答案为：；
如图，
，
∽，
，
同理可得，
，
是的中点，是的中点，
，，
，
，
，
，
；
如图，
当时，即：时，，理由如下：
同理可得，
，，
，，
，是的中点，
，，
，，
，
，
当点运动到的中点是，．
可推出∽，从而，进一步得出结果；
可推出∽，从而，同理可得出，进一步得出结论；
当时，；可推出，，从而，，从而，，计算得出，从而得出．
本题考查了矩形和正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
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